模擬函數(shù)壓軸題目及答案一、選擇題1.函數(shù)f(x)=x^3-3x+1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）。A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)答案：C解析：函數(shù)f(x)=x^3-3x+1的導(dǎo)數(shù)為f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0，解得x=±1。當(dāng)x<-1或x>1時(shí)，f'(x)>0，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)-1<x<1時(shí)，f'(x)<0，函數(shù)單調(diào)遞減。因此，函數(shù)在x=-1處取得極大值，在x=1處取得極小值。又因?yàn)閒(-1)=-1<0，f(1)=-1<0，f(0)=1>0，所以函數(shù)f(x)=x^3-3x+1有三個(gè)零點(diǎn)。2.函數(shù)f(x)=x^2+2x+1的最小值為（）。A.0B.1C.2D.3答案：B解析：函數(shù)f(x)=x^2+2x+1可以寫成f(x)=(x+1)^2，這是一個(gè)開口向上的二次函數(shù)，其最小值出現(xiàn)在頂點(diǎn)處。頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x=-1，代入函數(shù)得f(-1)=0。因此，函數(shù)f(x)=x^2+2x+1的最小值為0。二、填空題3.若函數(shù)f(x)=x^3-3x+1在區(qū)間[-2,2]上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為______。答案：[-1,1]解析：函數(shù)f(x)=x^3-3x+1的導(dǎo)數(shù)為f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0，解得x=±1。當(dāng)x<-1或x>1時(shí)，f'(x)>0，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)-1<x<1時(shí)，f'(x)<0，函數(shù)單調(diào)遞減。因此，要使函數(shù)f(x)=x^3-3x+1在區(qū)間[-2,2]上單調(diào)遞增，需要滿足-1≤a≤1。4.函數(shù)f(x)=x^2+2ax+1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（）。答案：(-a,1-a^2)解析：函數(shù)f(x)=x^2+2ax+1可以寫成f(x)=(x+a)^2+1-a^2，這是一個(gè)開口向上的二次函數(shù)，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-a,1-a^2)。三、解答題5.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x+1，求證：函數(shù)f(x)在區(qū)間[-2,2]上至少有一個(gè)零點(diǎn)。證明：首先求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0，解得x=±1。當(dāng)x<-1或x>1時(shí)，f'(x)>0，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)-1<x<1時(shí)，f'(x)<0，函數(shù)單調(diào)遞減。因此，函數(shù)在x=-1處取得極大值，在x=1處取得極小值。又因?yàn)閒(-2)=-1<0，f(-1)=-1<0，f(1)=-1<0，f(2)=3>0，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[-2,2]上至少有一個(gè)零點(diǎn)。6.已知函數(shù)f(x)=x^2+2ax+1，求證：函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x=-a對(duì)稱。證明：函數(shù)f(x)=x^2+2ax+1可以寫成f(x)=(x+a)^2+1-a^2，這是一個(gè)開口向上的二次函數(shù)，其對(duì)稱軸為x=-a。因此，函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x=-a對(duì)稱。四、綜合題7.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x+1，求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-2,2]上的值域。解：首先求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0，解得x=±1。當(dāng)x<-1或x>1時(shí)，f'(x)>0，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)-1<x<1時(shí)，f'(x)<0，函數(shù)單調(diào)遞減。因此，函數(shù)在x=-1處取得極大值f(-1)=-1，在x=1處取得極小值f(1)=-1。又因?yàn)閒(-2)=-1，f(2)=3，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[-2,2]上的值域?yàn)閇-1,3]。8.已知函數(shù)f(x)=x^2+2ax+1，求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,1]上的最小值。解：函數(shù)f(x)=x^2+2ax+1可以寫成f(x)=(x+a)^2+1-a^2，這是一個(gè)開口向上的二次函數(shù)，其對(duì)稱軸為x=-a。當(dāng)-1≤-a≤1時(shí)，即-1≤a≤1時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,1]上的最小值為f(-a)=1-a^2。當(dāng)a<-1時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,1]上的最小值為f(1)=2a+2；當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,1]上的最小值為f(-1)=2-2a。綜上，函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,1]上的最小值為：f(x)_min={1-a^2,-1≤a≤1{2a+2,a<-1{2-2a,a>1通過以上題目及答案的分析，我們可以看出，函數(shù)壓軸題目