3.6直線和圓的位置關(guān)系1.直線與圓的位置關(guān)系有三種:

、

、

.

設(shè)圓的半徑為r,圓心到直線的距離為d,根據(jù)直線和圓相交、相切、相離的定義,容易得到直線和圓

?d<r;直線和圓

?d=r;直線和圓

?d>r.

2.切線的定義:直線和圓有唯一的公共點(即直線和圓相切)時,這條直線叫做圓的切線,這個唯一的公共點叫做切點.探究點一直線和圓的位置關(guān)系【新知探究】相交相切相離相交相切相離[例1-1]圓的半徑是7cm,如果圓心與直線上某一點的距離是6.5cm,那么該直線和圓的位置關(guān)系是()A.相離 B.相切C.相交 D.相交或相切CB判斷直線和圓的位置關(guān)系的步驟(1)求出圓心到直線的距離;(2)比較距離和半徑的大小;(3)根據(jù)距離和半徑的大小關(guān)系,判斷直線和圓的位置關(guān)系.【新知鞏固】1.(2022六盤水)如圖所示的是“光盤行動”宣傳海報中的圖片,圖中餐盤與筷子可看成直線和圓的位置關(guān)系是()A.相切 B.相交

C.相離 D.平行2.在同一平面內(nèi),已知點O到直線l的距離為5,以點O為圓心,r為半徑畫圓,當(dāng)r=

時,☉O上有且只有3個點到直線l的距離等于3.

B83.如圖所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AC=3,圓心O在AB上由點A向點B運動,運動到圓心O與B點重合為止,☉O的半徑r=2,BO=m,則m取值范圍如何時,☉O與直線BC相交?相切?相離?解:如圖所示,當(dāng)☉O與直線BC相切時,作OD∥AC,交☉O于點D.∵∠C=90°,∠B=30°,BO=m,OD=2,∴BO=2OD,即m=4.即當(dāng)m為4時,直線BC與☉O相切;若☉O與直線BC相離,則有m>4,∵AC=3,∴AB=6,當(dāng)4<m≤6時,☉O與直線BC相離;若☉O與直線CB相交,則有m<4,即0≤m<4.切線的性質(zhì):圓的切線垂直于過切點的

.

[例2-1](2023眉山)如圖所示,AB切☉O于點B,連接OA交☉O于點C,BD∥OA交☉O于點D,連接CD,若∠OCD=25°,則∠A的度數(shù)為()A.25°

B.35°

C.40°

D.45°探究點二圓的切線的性質(zhì)【新知探究】半徑C[例2-2]如圖所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,O為AC上一點,以點O為圓心,OC為半徑的圓恰好與AB相切,D為切點,連接BO.求證:BO平分∠ABC.證明:如圖所示,連接OD.∵AB與☉O相切,∴∠ODB=90°.在Rt△BDO和Rt△BCO中,∵DO=CO,OB=OB,∴Rt△BDO≌Rt△BCO(HL).∴∠DBO=∠CBO.∴BO平分∠ABC.【新知鞏固】CA3.(2022懷化)如圖所示,AB與☉O相切于點C,AO=3,☉O的半徑為2,則AC的長為

.

4.如圖所示,以點O為圓心的兩個同心圓中,大圓的弦AB與小圓相切,點P為切點,大圓、小圓的半徑分別為10cm和6cm,則AB的長為

.16cm5.(2022泰安)如圖所示,在△ABC中,∠B=90°,☉O過點A,C,與AB交于點D,與BC相切于點C,若∠A=32°,則∠ADO的度數(shù)為

.

64°6.如圖所示,AB是☉O的直徑,AD平分∠BAC交☉O于點D,過點D的切線交AC的延長線于點E.求證:DE⊥AE.證明:如圖所示,連接OD.∵DE是☉O的切線,∴OD⊥DE.∴∠ODE=90°.∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA.∵AD平分∠BAC,∴∠CAD=∠DAB.∴∠CAD=∠ADO.∴OD∥AE.∴∠E+∠ODE=180°.∴∠E=90°.∴DE⊥AE.第2課時切線的判定與三角形的內(nèi)切圓過半徑

且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.[例1-1]如圖所示,在△POM中,點M在☉O上,點P在☉O外,OP交☉O于點N,以下條件不能判定PM是☉O的切線的是()A.OM⊥MP

B.∠O+∠P=∠OMPC.OM2+PM2=OP2

D.點N是OP的中點探究點一切線的判定【新知探究】外端D[例1-2]如圖所示,AB是☉O的直徑,AC是☉O的弦,過點C的直線交AB的延長線于點D,∠D=60°,∠A=15°.試判斷直線CD與☉O的位置關(guān)系,并說明理由.解:直線CD與☉O相切.理由如下:如圖所示,連接OC,∵∠A=15°,OA=OC,∴∠ACO=∠A=15°.∴∠COD=∠ACO+∠A=30°.∴∠OCD=180°-∠COD-∠D=180°-30°-60°=90°.∴OC⊥CD.∵點C在☉O上,∴CD是☉O的切線.【新知鞏固】1.如圖所示,點P為☉O外一點,連接OP,以O(shè)P為直徑作圓,兩圓交于點Q,連接PQ,可判定PQ是☉O的切線,則判定其為切線的依據(jù)是()A.經(jīng)過半徑的外端且垂直這條半徑的直線是圓的切線B.垂直于半徑的直線是圓的切線C.和圓只有一個公共點的直線是圓的切線D.圓心到直線的距離等于半徑時,這條直線是圓的切線A2.如圖所示,AB是半圓O的直徑,點C在半圓上(不與點A,B重合),DE⊥AB于點D,交BC于點F,下列條件中能判定CE是切線的是()A.∠E=∠CFE B.∠E=∠ECF C.∠ECF=∠EFC D.∠ECF=60°3.如圖所示,在Rt△ABC中,∠A=90°,☉O是它的內(nèi)切圓,與AB,BC,CA分別相切于點D,E,F,若∠ACB=40°,則∠DOE的度數(shù)為

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C130°4.如圖所示,已知∠AOB=30°,M為OB邊上任意一點,以點M為圓心,3cm為半徑作☉M.當(dāng)OM=

cm時,☉M與OA相切.

65.(2022棗莊節(jié)選)如圖所示,在☉O中,AB是☉O的直徑,CD是過☉O上一點C的直線,且AD⊥DC于點D,AC平分∠BAD.求證:CD是☉O的切線.證明:如圖所示,連接OC,∵AC平分∠BAD,∴∠DAC=∠CAO.∵OA=OC,∴∠CAO=∠OCA.∴∠DAC=∠OCA.∴AD∥OC.∵AD⊥DC,∴CO⊥DC.∵OC是☉O的半徑,∴CD是☉O的切線.與三角形三邊都

的圓叫做三角形的內(nèi)切圓,內(nèi)切圓的圓心是三角形三條

線的交點,叫做三角形的內(nèi)心,三角形的內(nèi)心到三角形三條邊的距離

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[例2-1]下列關(guān)于三角形的內(nèi)心說法正確的為()A.內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點 B.內(nèi)心是三角形三邊垂直平分線的交點C.內(nèi)心到三角形三個頂點的距離相等 D.鈍角三角形的內(nèi)心在三角形外探究點二三角形的內(nèi)切圓、內(nèi)心【新知探究】相切角平分相等A[例2-2]如圖所示,△ABC的內(nèi)切圓☉I分別與BC,AC,AB相切于點D,E,F,若∠B=55°,∠C=75°,則∠EDF的度數(shù)是()A.55°

B.60°

C.65°

D.70°C【新知鞏固】1.一個三角形的內(nèi)心也是它的外接圓圓心,這個三角形的形狀是()A.等腰三角形 B.直角三角形C.等邊三角形 D.等腰直角三角形2.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點A,B的坐標(biāo)分別是(0,6),(-8,0),則Rt△ABO內(nèi)心的坐標(biāo)為

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C(-2,2)3.(2023仙桃)如圖所示,在△ABC中,∠ACB=70°,△ABC的內(nèi)切圓☉O與AB,BC分別相切于點D,E,連接DE,AO的延長線交DE于點F,求∠AF