板塊四.統(tǒng)計數(shù)據(jù)的數(shù)字特征

且H腥學(xué)問內(nèi)容

隨機抽樣

1.隨機抽樣：滿意每個個體被抽到的機會是均等的抽樣，共有三種常常采納的隨機抽樣方

法：

⑴簡潔隨機抽樣：從元素個數(shù)為N的總體中不放回地抽取容量為〃的樣本，假如每一次抽

取時總體中的各個個體有相同的可能性被抽到，這種抽樣方法叫做簡潔隨機抽樣.

抽出方法：①抽簽法：底紙片或小球分別標(biāo)號后抽簽的方法.

②隨機數(shù)表法：隨機數(shù)表是使用計算器或計算機的應(yīng)凡程序生成隨機數(shù)的功能生成的一張

數(shù)表.表中每一位置消失各個數(shù)字的可能性相同.

隨機數(shù)表法是對樣本進行編號后，依據(jù)肯定的規(guī)律從隨機數(shù)表中讀數(shù)，并取出相應(yīng)的樣本的

方法.

簡潔隨機抽樣是最簡潔、最基本的抽樣方法.

⑵系統(tǒng)抽樣：將總體分成均衡的若干部分，然后依據(jù)預(yù)先制定的規(guī)章，從每一部分抽取一個

個體，得到所需要的樣本的抽樣方法.

抽出方法：從元素個數(shù)為N的總體中抽取容量為〃的樣本，假如總體容量能被樣本容量整

除，設(shè)k=),先對總體進行編號，號碼從1到N,再從數(shù)字1到&中隨機抽取一個數(shù)s作

為起始數(shù)，然后順次抽取第S+3S+2&,…+汝個數(shù)，這樣就得到容量為〃的樣

本.假如總體容量不能被樣本容量整除，可隨機地從總體中剔除余數(shù)，然后再按系統(tǒng)抽樣

方法進行抽樣.

系統(tǒng)抽樣適用于大規(guī)模的抽樣調(diào)查，由于抽樣間隔相等，又被稱為等距抽樣.

⑶分層抽樣：當(dāng)總體有明顯差別的幾部分組成時，要反映總體狀況，常采納分層抽樣，使

總體中各個個體按某種特征分成若干個互不重疊的幾部分，每一部分叫做層，在各層中按

層在總體中所占比例進行簡潔隨機抽樣，這種抽樣方法叫做分層抽樣.

分層抽樣的樣本具有較強的代表性，而且各層抽樣時，可敏捷選用不同的抽樣方法，

應(yīng)用廣泛.

2.簡潔隨機抽樣必需具備下列特點：

⑴簡潔隨機抽樣要求被抽取的樣本的總體個數(shù)N是有限的.

⑵簡潔隨機樣本數(shù)〃小于等于樣本總體的個數(shù)N.

⑶簡潔隨機樣本是從總體中逐個抽取的.

⑷簡潔隨機抽樣是一種不放回的抽樣.

⑸簡潔隨機抽樣的每個個體入樣的可能性均為￡.

3.系統(tǒng)抽樣時，當(dāng)總體個數(shù)N恰好是樣本容量〃的整數(shù)倍時，取k=?；

n

若火不是整數(shù)時，先從總體中隨機地剔除幾個個體，使得總體中剩余的個體數(shù)能被樣本容

n

量〃整除.由于每個個體被剔除的機會相等，因而整個抽樣過程中每個個體被抽取的機會仍

舊相等，為上.

n

二.頻率直方圖

列出樣本數(shù)據(jù)的頻率分布表和頻率分布直方圖的步驟：

①計算極差：找出數(shù)據(jù)的最大值與最小值，計算它們的差；

②打算組距與組數(shù)：取組距，用臀打算組數(shù)；

組距

③打算分點：打算起點，進行分組：

④列頻率分布直方圖：丸?落入各小組的數(shù)據(jù)累計，算出各小數(shù)的頻數(shù)，除以樣本容量，得

到各小組的頻率.

⑤繪制頻率分布直方圖：以數(shù)據(jù)的值為橫坐標(biāo)，以坐手的值為縱坐標(biāo)繪制直方圖，

組距

頻率

知小長方形的面積=組距X=頻率.

頻率分布折線圖：將頻率分布直方圖各個長方形上邊的中點用線段連接起來，就得到頻率分

布折線圖，一般把折線圖畫成與橫軸相連，所以橫軸左右兩端點沒有實際意義.

總體密度曲線：樣本容量不斷增大時，所分組數(shù)不斷增加，分組的組距不斷縮小，頻率分布

直方圖可以用?條光滑曲線y=/(x)來描繪，這條光滑曲線就叫做總體密度曲線.總體密度

曲線精確地反映了一個總體在各個區(qū)域內(nèi)取值的規(guī)律.

三.莖葉圖

制作莖葉圖的步驟：

①將數(shù)據(jù)分為“莖”、"葉”兩部分；

②將最大莖與最小莖之間的數(shù)字按大小挨次排成一列，并畫上豎線作為分隔線;

③將各個數(shù)據(jù)的“葉”在分界線的一側(cè)對應(yīng)莖處同行列出.

四.統(tǒng)計數(shù)據(jù)的數(shù)字特征

用樣本平均數(shù)估量總體平均數(shù)；用樣本標(biāo)準(zhǔn)差估量總體標(biāo)準(zhǔn)差.

數(shù)據(jù)的離散程序可以用極差、方差或標(biāo)準(zhǔn)差來描述.

極差又叫全距，是一組數(shù)據(jù)的最大值和最小值之差，反映一組數(shù)據(jù)的變動幅度；

樣本方差描述了一組數(shù)據(jù)平均數(shù)波動的大小，樣本的標(biāo)準(zhǔn)差是方差的算術(shù)平方根.

一般地，設(shè)樣本的元素為芭，W,…，毛樣本的平均數(shù)為工，

定義樣本方差為｛J")',

n

樣本標(biāo)準(zhǔn)差s=卜-a+但一：：+…+區(qū)

簡化公式：，[&2+￡+…+￡)_欣2]

五.獨立性檢驗

1.兩個變量之間的關(guān)系；

常見的有兩類：一類是確定性的函數(shù)關(guān)系；另一類是變量間存在關(guān)系，但又不具備函數(shù)關(guān)系

所要求的確定性，它們的關(guān)系是帶有肯定隨機性的.當(dāng)一個變量取值肯定時，另一個變量的

取值帶有肯定隨機性的兩個變量之間的關(guān)系叫做相關(guān)關(guān)系.

2.散點圖：將樣本中的〃個數(shù)據(jù)點(七,y)(i=l,2,…，〃)描在平面直角坐標(biāo)系中，就得到

了散點圖.

散點圖形象地反映了各個數(shù)據(jù)的親密程度，依據(jù)散點圖的分布趨勢可以直觀地推斷分析兩個

變量的關(guān)系.

3.假如當(dāng)二個變量的值變大時，另一個變量的值也在變大，則這種相關(guān)稱為正相關(guān)；此時,

散點圖中的點在從左下角到右上角的區(qū)域.

反之，一個變量的值變大時，另一個變量的值由大變小，這種相關(guān)稱為負(fù)相關(guān).此時，散點

圖中的點在從左上角到右下角的區(qū)域.

散點圖可以推斷兩個變量之間有沒有相關(guān)關(guān)系.

4.統(tǒng)計假設(shè)：假如大事甘與8獨立，這時應(yīng)當(dāng)有P(A8)=P(A)P(8),用字母兒表示此式,

即H。:P(AB)=P(A)P(B),稱之為統(tǒng)計假設(shè).

5.Z2(讀作“卜方”)統(tǒng)計量：

統(tǒng)計學(xué)中有一個特別有用的統(tǒng)計量，它的表達(dá)式為個=〃"“〃22-/%)2,用它的大小可以

%+%+〃+/+2

用來打算是否拒絕原來的統(tǒng)計假設(shè)〃。.假如/的值較大，就拒絕“。，即認(rèn)為A與8是有

關(guān)的.

/統(tǒng)計量的兩個臨界值：3.841、6.635；當(dāng)/>3.841對，有95%的把握說大事A與3有

關(guān);當(dāng)/>6.635時，有99%的把握說大事A與4有關(guān)；當(dāng)/〈3.841時，認(rèn)為大事A與4

是無關(guān)的.

獨立性檢驗的基本思想與反證法類似，由結(jié)論不成立時推出有利于結(jié)論成立的小概率大事發(fā)

生，而小概率大事在一次試驗中通常是不會發(fā)生的，所以認(rèn)為結(jié)論在很大程度上是成立的.

1.獨立性檢驗的步驟：統(tǒng)計假設(shè)：H。；列出2x2聯(lián)表；計算/統(tǒng)計量；查對臨界值表，

作出推斷.

22

2.幾個臨界值：P(Z>2.706)^0.10,P(Z>3.841)^0.05,6.635)^0.01.

2x2聯(lián)表的獨立性檢驗:

假如對于某個群體有兩種狀態(tài)，對于每種狀態(tài)又有兩個狀況，這樣排成一張2x2的表，如

下：

狀態(tài)A狀態(tài)X合計

狀態(tài)A年々+

狀態(tài)N%丐2

%n

假如有調(diào)查得來的四個數(shù)據(jù)八，/，%1'42’并盼望依;據(jù)這樣的4個數(shù)據(jù)來檢驗上述的兩種

狀態(tài)A與8是否有關(guān)，就稱之為2x2聯(lián)表的獨立性檢驗.

六.回歸分析

1.回歸分析：對于具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的方法叫做回歸分析，即回歸分

析就是會找相關(guān)關(guān)系中這種非確定關(guān)系的某種確定性.

回歸直線：假如散點圖中的各點都大致分布在一條直線四周，就稱這兩個變量之間具有線性

相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回歸直線.

2.最小二乘法：

記回歸直線方程為：y=a+bx,稱為變量丫對變量x的1可歸直線方程，其中叫做【可歸

系數(shù).

亍是為了區(qū)分y的實際值)，，當(dāng)“取值%時，變量y的相應(yīng)觀看值為而直線上對應(yīng)于8

的縱坐標(biāo)是a=。+如.

設(shè)x,y的一組觀看值為(4,yj,i=l,2,，且回歸直線方程為亍=。+阮，

當(dāng)/取值七時，y的相應(yīng)觀看值為丫-差其-戈G=1,2,…，〃）刻畫了實際觀看值與回歸

直線上相應(yīng)點的縱坐標(biāo)之間的偏離程度，稱這些值為離差.

我們盼望這〃個離差構(gòu)成的總離差越小越好，這樣才能使所找的直線很貼近已知點.

記?？飘a(chǎn)，回歸直線就是全部直線中Q取最小值的那條.

r=l

這種使“離差平方和為最小''的方法，叫做最小二乘法.

用最小二乘法求回歸系數(shù)。"有如下的公式:

）:X.y.—nxy

b=R---------，4=5-癥，其中上方加“人”，表示是由觀看值按最小二乘法求得的

沅2

r=l

回歸系數(shù).

3.線性回歸模型：將用于估量），值的線性函數(shù)。+云作為確定性函數(shù)；），的實際值與估量

值之間的誤差記為￡，稱之為隨機誤差；將），=a+Zu-+￡稱為線性回歸模型.

產(chǎn)生隨機誤差的主要緣由有：

①所用的確定性函數(shù)不恰當(dāng)即模型近似引起的誤差；

②忽視了某些因素的影響，通常這些影響都比較?。?/p>

③由于測量工具等緣由，存在觀測誤差.

4.線性回歸系數(shù)的最佳估量值：

采用最小二乘法可以得到。，b的計算公式為

〃__n__

ZE-〃"_i”i?

力=『,——=—---------a=y-bx,其中》=一之七，y=-tyi

2（七4）2疝）2小'5

r=lf=1

由此得到的直線?=4+%就稱為回歸直線，此直線方程即為線性回歸方程.其中?分

別為。，人的估量值，4稱為回歸截距，A稱為回歸系數(shù)，》稱為回歸值.

5.相關(guān)系數(shù)：

Z（%-幻（力-y）Zwa-〃町’

.._i-l________________________LI_______________

、歷2-;）2?力（M-?）2J這X；-疝）2）（力）”心了）

V；=1r=lV1=1r=l

6.相關(guān)系數(shù)「的性質(zhì)：

⑴|廠區(qū)1；

⑵|「|越接近于1,X,），的線性相關(guān)程度越強；

（3）|r|越接近于0,X,），的線性相關(guān)程度越弱.

可見，一條回歸直線有多大的猜測功能，和變量間的相關(guān)系數(shù)親密相關(guān).

7.轉(zhuǎn)化思想：

依據(jù)專業(yè)學(xué)問或散點圖，對某些特別的非線性關(guān)系，選擇適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q，把非線性方程轉(zhuǎn)

化為線性回歸方程，從而確定未知參數(shù).

8.一些備案

①回歸（regression）一?詞的來歷：“回歸”這個詞英國統(tǒng)計學(xué)家FrancilsGalton提出來的.1889

年，他在討論祖先與后代的身高之間的關(guān)系時發(fā)覺，身材較高的父母，他們的孩子也較高，

但這些孩子的平均身高并沒有他們父母的平均身高高；身材較矮的父母,他們的孩子也較矮,

但這些孩子的平均身高卻比他們父母的平均身高高.Galton把這種后代的身高向中間值靠近

的趨勢稱為“回歸現(xiàn)象后來，人們把由一個變量的變化去推想另一個變量的變化的方法稱

為回歸分析?.

②回歸系數(shù)的推導(dǎo)過程：

Q=E［（X-。）一如『=Z），：-2az,+〃/一2正Z丫+2abz七+

=而+2asz七-Z）：）+"Z"；-2/、為￡+￡￡‘

把上式看成。的二次函數(shù)，/的系數(shù)〃>0,

因此當(dāng)。=_2（立-一￡2=￡%一冬］時取最小值.

2〃n

同理，把Q的綻開式按人的降轅排列，看成〃的二次函數(shù)，當(dāng)。=皆%二⑦土?xí)r取最小值.

Z（D（另一另

解得：1）=0------------a=y-ljx,

右:-疝

r=l

其中工=」?是樣本平均數(shù).

9.對相關(guān)系數(shù)r進行相關(guān)性檢驗的步驟：

①提出統(tǒng)計假設(shè)“0：變量X,），不具有線性相關(guān)關(guān)系；

②假如以95%的把握作出推斷，那么可以依據(jù)1-0.95=0.05與〃-2（〃是樣本容量）在相

關(guān)性檢驗的臨界值表中查出一個，?的臨界值（其中1-0.95=0.05稱為檢驗水平）；

③計算樣本相關(guān)系數(shù)「：

④作出統(tǒng)計推斷：若IrAq3，則否定”。，表明有95%的把握認(rèn)為變量y與x之間具有線

性相關(guān)關(guān)系；若1「區(qū)而3,則沒有理由拒絕”o,即就目前數(shù)據(jù)而言，沒有充分理由認(rèn)為變

量y與x之間具有線性相關(guān)關(guān)系.

說明：

⑴對相關(guān)系數(shù)r進行顯著性檢驗，?般取檢驗水平a=005,即牢靠程度為95%.

⑵這里的，?指的是線性相關(guān)系數(shù)，，?的肯定值很小，只是說明線性相關(guān)程度低，不肯定不相

關(guān)，可能是非線性相關(guān)的某種關(guān)系.

⑶這里的，?是對抽樣數(shù)據(jù)而言的.有時即使|川=1,兩者也不肯定是線性相關(guān)的.故在統(tǒng)計

分析時，不能就數(shù)據(jù)論數(shù)據(jù)，要結(jié)合實際狀況進行合理解釋.

助嘛典例分析

題型一.數(shù)字特征的計算

【例1】（2022海淀二模）

某校高中班級開設(shè)了豐富多彩的校本課程，甲、乙兩班各隨機抽取了5名同學(xué)的

學(xué)分，用莖葉圖表示（如右圖）.5,,*分別表示甲、乙兩班各自5名同學(xué)學(xué)分的

標(biāo)準(zhǔn)差，則0匈?（填">"、"<"或"=

甲乙

8067

54110

2243

【例2】（2022崇文二模）

甲、乙、丙三名射擊運動員在某次測試中各射擊20次，三人的測試成果如下表

標(biāo)準(zhǔn)差，則外應(yīng)，S3的大小關(guān)系為

【例3】10個正數(shù)的平方和是370,方差是33,那么平均數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【例4】若M個數(shù)的平均數(shù)是X,N個數(shù)的平均數(shù)是V,則這M+N個數(shù)的平均數(shù)

是（）

X+YcX+yMX+NYMX+NY

AA.-----B.-----C.--------D.--------

2M+NM+NX+Y

［例5］已知一組數(shù)據(jù)不再，…，/的方差是2,

且G-3尸+（修-3尸+…-3f=380,則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)工=.

【例6】求下列各組數(shù)據(jù)的方差與標(biāo)準(zhǔn)差（精確到0.1）,并分析由這些結(jié)果可得出什么更

一般的結(jié)論.

（1）123456789；

（2）111213141516171819；

（3）24681012141618

【例7】（2022上海18）

在發(fā)生某公共衛(wèi)生大事期間，有專業(yè)機構(gòu)認(rèn)為該大事在一段時間內(nèi)沒有發(fā)生大規(guī)模

群體感染的標(biāo)志為“連續(xù)10天，每天新增疑似病例不超過7人〃.依據(jù)過去1。天甲、

乙、丙、丁四地新增疑似病例數(shù)據(jù)，肯定符合該標(biāo)志的是（）

A.甲地：總體均為3,中位數(shù)為4B.乙地：總體均值為1,總體方差大于0

C.丙地：中位數(shù)為2,眾數(shù)為3D.丁地：總體均值為2,總體方差為3

【例8】（2022四川卷文）

設(shè)矩形的長為明寬為〃，其比滿意。之0.618,這種矩形給人以美感，

稱為黃金矩形.黃金矩形常應(yīng)用于工藝品設(shè)計中.下面是某工藝品廠隨機抽取兩個