/廣東省佛山市H7聯盟2024?2025學年高二下學期5月聯考數學試題一、單選題1．三個不同的盒子中分別裝有3張不同的白色卡牌?2張不同的黑色卡牌?2張不同的綠色卡牌，某人從這三個盒子中任意取出1張卡牌，則不同的取法有（

）A．3種 B．7種 C．10種 D．12種2．質點按規(guī)律做直線運動（位移單位：，時間單位：），則質點在時的瞬時速度是其在時的瞬時速度的（

）A． B． C． D．3．已知數列滿足，且，則（

）A．2 B． C． D．14．已知函數，則（

）A． B． C． D．5．在公差大于的等差數列中，，，則該數列的公差為（

）A． B． C． D．6．現需要給一個四棱錐的五個頂點涂色，有四種不同的顏色可供選擇，要求相鄰頂（在同一條棱上的兩個頂點）不能涂同一種顏色，則不同的涂色方案種數為（

）A．48 B．72 C．96 D．1447．函數的大致圖象如圖所示，設的導函數為，則的解集為（

）A． B． C． D．8．從中任選4個不同的數字組成一個四位數，若這個四位數是偶數，則個位?十位和百位上的數字之和為偶數的概率為（

）A． B． C． D．二、多選題9．已知離散型隨機變量的分布列如下表所示，則（

）247A． B．C． D．10．已知函數在處取得極值0，則下列說法正確的是（

）A．B．當時，C．當時，D．過點可作一條切線與曲線相切11．已知是數列的前項和，則下列結論正確的是（

）A．數列是等比數列B．C．數列是等比數列D．若恒成立，則的取值范圍為三、填空題12．的展開式中的系數為（用數字作答）.13．將本不同的書（包括本數學書和本英語書）平均分給甲?乙?丙三人，其中數學書和英語書不能分給同一個人，則不同的分配方法種數是.（用數字作答）14．已知函數在上單調遞增，則的取值范圍為.四、解答題15．已知函數，曲線在點處的切線方程為.（1）求的值；（2）證明.16．已知是等差數列的前項和，且.（1）求的通項公式；（2）若，求數列的前項和.17．已知.（1）求的值；（2）求的值；（3）證明：能被3整除.18．甲?乙兩人參加某答題挑戰(zhàn)賽，規(guī)則如下：每次由其中一人答題，若答對了，則此人繼續(xù)答題，若未答對，則換對方答題，每次答題系統(tǒng)都會隨機地給出一道文學題或科學題，給出文學題的概率為，給出科學題的概率為.已知甲答對文學題與科學題的概率分別為，，乙答對文學題與科學題的概率均為，且各輪答題正確與否相互獨立.由抽簽確定第1次答題的人選，第1次答題的人是甲?乙的概率各為.（1）已知第1次甲答題，求甲答對題目的概率；（2）求第2次答題的人是乙的概率；（3）求第次答題的人是甲的概率.19．己知是函數的導函數，是的零點，若在上，恒成立，則稱是上的“好函數”.（1）若函數是上的“好函數”，求整數的值.（2）已知函數.（i）討論的零點個數；（ii）已知是的零點，證明：是上的“好函數”.

答案1．【正確答案】B【詳解】根據題意，不同的取法有種，故選B..2．【正確答案】A【詳解】由題意，函數，可得，則，，所以，即質點在時的瞬時速度是其在時的瞬時速度的.故選A.3．【正確答案】A【詳解】由題可得，猜測是周期為3的數列，下證周期為3.因為，故,故是周期數列且周期為3.故.故選A.4．【正確答案】C【詳解】因為，所以，得.故選C.5．【正確答案】D【詳解】設等差數列的公差為，則，得，所以，即，又，解得.故選D.6．【正確答案】B【詳解】若用四種顏色，則同色或同色，則涂色方案有種；若用三種顏色，則同色且同色，則涂色方案有種.綜上，不同的涂色方案有種.故選B7．【正確答案】D【詳解】即為或，故或，由圖可知當時，，當時，，故的解為；的解為，所以的解集為.故選D.8．【正確答案】A【詳解】若個位上的數字是0，則這樣的四位偶數有個；若個位上的數字不是0，則這樣的四位偶數有個.故四位數是偶數的有156個.下面考慮這個四位數既滿足是偶數，又滿足個位?十位和百位上的數字之和為偶數的情況：若個位?十位和百位上的數字都是偶數，則這樣的四位數有個；若個位?十位和百位上的數字是1個偶數和2個奇數，則當這個偶數是0時，這樣的四位數有個，當這個偶數不是0時，這樣的四位數有個.綜上，滿足這兩個條件的四位數有60個.故所求的概率為.故選A9．【正確答案】BC【詳解】由離散型隨機變量分布列的性質可得，解得，故A錯誤，B正確;由期望公式可得，故C正確;錯誤.故選BC.10．【正確答案】ACD【詳解】由，得，因為函數在處取得極值0，則，解得，，此時，則，令，得或；令，得，所以函數在和上單調遞增，在上單調遞減，則函數在處取得極小值0，滿足題意，則，故A正確；當時，，則，故B錯誤；當時，，則，故C正確；設切點為，則，所以切線方程為，又點在切線上，所以，解得，所以過點可作一條切線與曲線相切，故D正確.故選ACD.11．【正確答案】ABD【詳解】對于A，由題可知，則，又，所以是首項為，公比為的等比數列，A正確；對于B，，，B正確；對于C，，所以，則，故不是等比數列，C錯誤.對于D，由題可知易知當為奇數時，單調遞增且；當為偶數時，單調遞減，且；若恒成立，則當為奇數時，，所以；當為偶數時，，所以.綜上，的取值范圍為，D正確.故選ABD.12．【正確答案】【詳解】的展開式的通項公式，令，所以的展開式中的系數為.13．【正確答案】【詳解】方法一：先從甲?乙?丙三人中選一人，這個人既不分數學書，又不分英語書，有種分配方法，再將數學書和英語書分給剩下兩人一人一本，最后把其余本書平均分給這兩個人，有種分配方法，綜上，不同的分配方法種數是.方法二：各選兩本書與數學書?英語書組成一組，然后再分配給三人，則不同的分配方法種數是.14．【正確答案】【詳解】由函數，可得，因為在上單調遞增，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，即在上恒成立，所以在上恒成立，因為當時，，當且僅當時，等號成立，所以，解得，所以的取值范圍為.15．【正確答案】（1），；（2）證明見解析.【詳解】（1）由題可知，則，解得.又，所以點在切線上，故.（2）由（1）知，定義域為.當時，，則在上單調遞減；當時，，則在上單調遞增.所以，故.16．【正確答案】（1）；（2）.【詳解】（1）設等差數列的公差為.由，可得，兩式相減可得：，所以，兩式相減可得：，即.當時，，解得，所以，故的通項公式為.（2），則，則，①①得，②①②得，故.17．【正確答案】（1）.（2）（3）證明見解析【詳解】（1）由的展開式中的系數為，所以，即解得.（2）由，令，得，令，得，兩式相減得.（3）證明：當，可得，，所以能被3整除.18．【正確答案】（1）（2）（3）【詳解】（1）甲答對題目的概率為.（2）乙答對題目的概率為.記“第次答題的人是甲”為事件，“第次答題的人是乙”為事件，所以.（3）設，依題可知，，則，即.設，解得，則.又，所以是首項為，公比為的等比數列，即.19．【正確答案】（1）.（2）（i）答案見解析；（ii）證明見解析【詳解】（1）易知在上單調遞增，且，則是唯一的零點.因為是上的“好函數”，且，所以在上恒成立，即.因為在上單調遞增，且，所以整數.（2）（i）因為，且，所以的零點個數等價于函數在上的零點個數.當時，沒有零點.當時，，令，則，所以當時，單調遞減，當時，單調遞增.又，所以當時，，此時沒有零點；當時，，此時有一個零點；當時，，又，所以結合的單調性可知，在和上各恰有一個零點，即在上存在一個零點，在上存在一個零點.綜上，當時，沒有零點；當時，有一個零點；當時，有兩個零點.（ii）證明：①若，由（i）可知，在上沒有零點，且，則在上