/河南省新鄉(xiāng)市2023?2024學(xué)年高二下學(xué)期期末測(cè)試數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．（

）A．3 B．5 C． D．172．已知集合，，則（

）A． B． C． D．3．已知為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，且點(diǎn)到直線的距離為，則（

）A． B． C． D．4．若曲線在點(diǎn)處的切線與在點(diǎn)處的切線平行，則（

）A．3 B．2 C． D．5．已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，則為（

）A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等腰三角形6．函數(shù)的圖象大致為（

）A．

B．

C．

D．

7．若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則滿足條件的的個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．8．在正四棱錐中，，則正四棱錐體積的最大值為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．2019年至2023年河南省社會(huì)消費(fèi)品零售總額及其增長(zhǎng)速度如圖所示，則（

）A．2019年至2023年河南省社會(huì)消費(fèi)品零售總額穩(wěn)步上升B．2019年至2023年河南省社會(huì)消費(fèi)品零售總額的極差為3501億元C．2019年至2023年河南省社會(huì)消費(fèi)品零售總額增長(zhǎng)速度的平均數(shù)為D．2019年至2023年河南省社會(huì)消費(fèi)品零售總額增長(zhǎng)速度的分位數(shù)為10．已知正三棱臺(tái)的體積為，則（

）A．B．正三棱臺(tái)的高為9C．直線與平面所成角的正切值為D．正三棱臺(tái)的外接球的表面積為11．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，若，則（

）A．B．C．方程有唯一的實(shí)數(shù)解D．函數(shù)有極大值三、填空題（本大題共3小題）12．已知向量，且，則.13．已知雙曲線的離心率分別為和，則的最小值為.14．將六個(gè)數(shù)字填入如圖所示的方格中，要求每個(gè)方格填個(gè)數(shù)字，且每個(gè)數(shù)字不重復(fù)，則在這三列數(shù)字中，第一列的數(shù)字之和最小的概率為.

四、解答題（本大題共5小題）15．如圖，在平面四邊形中，為的中點(diǎn)，，將沿對(duì)折至，使得.(1)證明：平面；(2)求二面角的正切值.16．已知函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，求在上的最小值與最大值.17．在某張?jiān)嚲淼亩囗?xiàng)選擇題中，每道題有4個(gè)選項(xiàng)，其中僅有2個(gè)或3個(gè)選項(xiàng)正確.(1)已知多項(xiàng)選擇題第9題僅有2個(gè)選項(xiàng)正確，甲從4個(gè)選項(xiàng)中隨機(jī)選2個(gè)，求甲第9題得滿分的概率；(2)在有3個(gè)選項(xiàng)正確的多項(xiàng)選擇題中，選1個(gè)選項(xiàng)且選對(duì)得2分，選2個(gè)選項(xiàng)且都選對(duì)得4分，選3個(gè)選項(xiàng)且都選對(duì)得6分，有選錯(cuò)的得0分.已知多項(xiàng)選擇題第10題僅有3個(gè)選項(xiàng)正確，以第10題得分的期望值為決策依據(jù)，甲應(yīng)隨機(jī)選多少個(gè)選項(xiàng)？18．最大公因數(shù)，也稱最大公約數(shù)，指兩個(gè)或多個(gè)正整數(shù)公有約數(shù)中最大的一個(gè)，a，b的最大公約數(shù)記為，a，b，c的最大公約數(shù)記為.與最大公約數(shù)相對(duì)應(yīng)的概念是最小公倍數(shù)，幾個(gè)自然數(shù)公有的倍數(shù)叫做這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)，其中最小的一個(gè)自然數(shù)叫做這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)，a，b的最小公倍數(shù)記為，a，b，c的最小公倍數(shù)記為.例如，.(1)求的值；(2)若數(shù)列滿足，，求數(shù)列的前n項(xiàng)和；(3)若公差為整數(shù)的等差數(shù)列滿足，，證明.19．在圓上任取一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線段為垂足，平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)滿足，記的軌跡為曲線.(1)求的方程；(2)已知為的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)且斜率為的直線交于兩點(diǎn)，過點(diǎn)且斜率為的直線交于兩點(diǎn)，且，求四邊形面積的最大值.

答案1．【正確答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)模的概念運(yùn)算即可得解.【詳解】.故選B.2．【正確答案】D【分析】解一元二次不等式求出集合，解指數(shù)不等式求出集合，再根據(jù)交集的定義計(jì)算可得.【詳解】由，即，解得，所以，由，解得，所以，又因?yàn)?，則，所以.故選D.3．【正確答案】D【分析】利用拋物線的定義即可求解.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離為，所以點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離為，由拋物線的定義得，.故選D.4．【正確答案】A【分析】先應(yīng)用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算律求出導(dǎo)函數(shù)再根據(jù)斜率相等求參即可.【詳解】由，得，當(dāng)時(shí)，,由，得，曲線在點(diǎn)處的切線與在點(diǎn)處的切線平行，則，得.故選A.5．【正確答案】C【分析】由正弦定理可得，消去，可得，結(jié)合，可知為中最大的內(nèi)角，最后利用余弦定理求得，可知為鈍角，即得解.【詳解】由正弦定理得，，，為的外接圓半徑，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，即，又因?yàn)?，即，所以為中最大的?nèi)角，則，所以為鈍角三角形.故選C.6．【正確答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性排除C,D項(xiàng)；再由函數(shù)的零點(diǎn)只有三個(gè)，排除B項(xiàng)即得.【詳解】因?yàn)?，所以是偶函?shù)，排除C，D項(xiàng);因?yàn)樵谏系牧泓c(diǎn)有共三個(gè)，排除B項(xiàng).故選A.【方法總結(jié)】函數(shù)圖象的辨識(shí)可從以下方面入手：①從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；②從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置；③從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì)；④從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱性；⑤從函數(shù)的特征點(diǎn)，排除不合要求的圖象.7．【正確答案】C【分析】先對(duì)分不同情況進(jìn)行討論，得出當(dāng)時(shí)不滿足條件，當(dāng)或時(shí)滿足條件，當(dāng)時(shí)不滿足條件，即得到所求的全部為和，從而得到答案.【詳解】若，則，所以不滿足條件；若或，則對(duì)有，或.所以，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性知在上單調(diào)遞減，滿足條件；若，則，所以不滿足條件；若，則由可知，存在正整數(shù)滿足.此時(shí)，，從而在上存在極值點(diǎn)，不可能單調(diào)遞減，不滿足條件.綜上，滿足條件的有和.故選C.8．【正確答案】B【分析】設(shè)正四棱錐的高為h，底面邊長(zhǎng)為x，由題可得及，后由導(dǎo)數(shù)知識(shí)可得答案.【詳解】過頂點(diǎn)P向平面ABCD作垂線，垂足為O，則PO為正四棱錐的高，設(shè)為h.設(shè)底面邊長(zhǎng)為x，則，則，則.所以正四棱錐的體積為：，則.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則.故選B.9．【正確答案】BC【分析】對(duì)于A項(xiàng)，直接觀察圖形即可判斷；對(duì)于BCD項(xiàng)，由數(shù)據(jù)的數(shù)字特征結(jié)合圖形即可逐一判斷.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，2020年河南省社會(huì)消費(fèi)品零售總額有所下降，所以A錯(cuò)誤.對(duì)于B項(xiàng)，2019年至2023年河南省社會(huì)消費(fèi)品零售總額的極差為億元，所以B正確.對(duì)于C項(xiàng)，2019年至2023年河南省社會(huì)消費(fèi)品零售總額增長(zhǎng)速度的平均數(shù)為，所以C正確.對(duì)于D項(xiàng)，2019年至2023年河南省社會(huì)消費(fèi)品零售總額增長(zhǎng)速度從小到大依次為,，因?yàn)?，所以該組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為，所以D錯(cuò)誤.故選BC.10．【正確答案】ABD【分析】根據(jù)題意，由條件可得三棱臺(tái)的高，由其外接球的球心位于上，即可得到其半徑，從而得到其外接球的表面積.【詳解】設(shè)正三棱臺(tái)的高為，由，得，所以B正確；如圖，設(shè)的中點(diǎn)分別為，連接，

設(shè)的外心分別為，連接，過作，垂足為.易知,，則，所以，直線與平面所成角的正切值為所以A正確，C錯(cuò)誤；設(shè)正三棱臺(tái)的外接球的球心為，半徑為，連接，則，得，所以正三棱臺(tái)的外接球的表面積為，所以D正確.故選ABD.11．【正確答案】AB【分析】對(duì)于A項(xiàng)，取，推理即得；對(duì)于B項(xiàng)，取得到，再取即可推得，利用其單調(diào)性即可判斷不等式成立；對(duì)于C項(xiàng)，利用B項(xiàng)求出的函數(shù)解析式代入，將問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題即得；對(duì)于D項(xiàng)，代入易得結(jié)論不成立.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，令，得.因?yàn)?，所以，即，所以A正確；對(duì)于B項(xiàng)，令，得，由，得.又因?yàn)?，所?令，得，即，所以，因?yàn)闉樵龊瘮?shù)，且，所以，所以B正確；對(duì)于C項(xiàng)，由B項(xiàng)可知，等價(jià)于.設(shè)，因?yàn)?，所以在上至少有一個(gè)零點(diǎn)，又，所以的零點(diǎn)不唯一，從而方程的實(shí)數(shù)解不唯一，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，因?yàn)?，所以函?shù)只有極小值，沒有極大值，所以D錯(cuò)誤.故選AB.【思路導(dǎo)引】解題的關(guān)鍵在于按照選項(xiàng)提示，通過賦值法，求出的值，繼而求得的解析式，利用其單調(diào)性判斷B項(xiàng)，利用函數(shù)的零點(diǎn)存在定理判斷C項(xiàng)，利用函數(shù)的性質(zhì)判斷函數(shù)的極值情況.12．【正確答案】2.【分析】由向量線性運(yùn)算及垂直的數(shù)量積即可求解出.【詳解】由題意得，則，得.故2.13．【正確答案】.【分析】由雙曲線離心率公式結(jié)合基本不等式即可求解.【詳解】，，由題意得，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.故答案為.14．【正確答案】.【分析】先計(jì)算存在某兩列使得這兩列各自的兩個(gè)數(shù)之和同時(shí)為最小的概率，然后利用對(duì)稱性和全概率公式即可.【詳解】設(shè)事件表示“存在某兩列，使得這兩列各自的兩個(gè)數(shù)之和相等且同時(shí)為最小”，表示“第一列的數(shù)字之和最小”.若事件發(fā)生，由于所有數(shù)字之和不是的倍數(shù)，所以三列的各自兩個(gè)數(shù)之和不可能都相等.這就意味著當(dāng)事件發(fā)生時(shí)，存在且僅存在兩列各自兩個(gè)數(shù)之和相等且同為最小，所以根據(jù)對(duì)稱性有.列舉即知，這兩列各自的兩個(gè)數(shù)只可能是和，和，和.所以.若事件不發(fā)生，則兩數(shù)之和最小的一列是唯一的，所以根據(jù)對(duì)稱性有.所以.故答案為.【關(guān)鍵點(diǎn)撥】本題解決的關(guān)鍵在于，假設(shè)事件，利用條件概率公式與全概率公式分析計(jì)算得解.15．【正確答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）由已知邊長(zhǎng)可證明一個(gè)直角，再結(jié)合線線垂直即可證明線面垂直；（2）方法一可用空間向量法來求二面角的正切值，方法二是用立體幾何作圖證明二面角的平面角，再進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）由題設(shè)，易知，所以即.又因?yàn)?，?因?yàn)槠矫?所以平面.（2）（方法一）如圖，以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸?軸?軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則.設(shè)平面的法向量為，則取，則，得.易得平面的一個(gè)法向量為，由圖可知二面角為鈍角，則二面角的余弦值為.所以二面角的正切值為.（方法二）如圖，過點(diǎn)作，垂足為，連接.由平面，面，則，又因?yàn)槠矫妫瑒t平面，又因?yàn)槠矫?，則，則為二面角的平面角.由由勾股定理可得，.因?yàn)槎娼桥c二面角互補(bǔ)，所以二面角的正切值為.【方法總結(jié)】利用空間向量求解立體幾何問題的一般步驟（1）觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；（2）寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線的方向向量；（3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)公式求出相應(yīng)的角或距離.16．【正確答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；(2)答案見解析.【分析】（1）先求導(dǎo)函數(shù)再根據(jù)導(dǎo)數(shù)正負(fù)求出單調(diào)區(qū)間即可；（2）先根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合自變量的區(qū)間分類討論求最值即可；【詳解】（1）.令，得；令，得；令，得.所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）當(dāng)時(shí)，,由（1）知，在處取得極大值，且極大值為.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，.當(dāng)時(shí)，，若，則，因?yàn)?，所?17．【正確答案】(1)；(2)2個(gè).【分析】（1）由古典概型求出概率即可；（2）分別算出選1個(gè)選項(xiàng)，選2個(gè)選項(xiàng)，選3個(gè)選項(xiàng)的概率，再求出對(duì)應(yīng)的期望，進(jìn)行比較，即可得到答案.【詳解】（1）甲第9題得滿分的概率為.（2）若甲隨機(jī)選1個(gè)選項(xiàng)，則甲得2分的概率為，得0分的概率為，甲隨機(jī)選1個(gè)選項(xiàng)的得分的期望為；若甲隨機(jī)選2個(gè)選項(xiàng)，則甲得4分的概率為，得0分的概率為，甲隨機(jī)選2個(gè)選項(xiàng)的得分的期望為；若甲隨機(jī)選3個(gè)選項(xiàng)，則甲得6分的概率為，得0分的概率為，甲隨機(jī)選3個(gè)選項(xiàng)的得分的期望為；甲選4個(gè)選項(xiàng)必定得0分.因?yàn)榧纂S機(jī)選2個(gè)選項(xiàng)的得分的期望最大，所以甲應(yīng)隨機(jī)選2個(gè)選項(xiàng).18．【正確答案】(1)2(2)(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)定義求出最小公倍數(shù)和最大公約數(shù)后，由對(duì)數(shù)運(yùn)算法則計(jì)算；（2）由新定義轉(zhuǎn)化后用錯(cuò)位相減法求和；（3）由新定義轉(zhuǎn)化后利用裂項(xiàng)相消法求和后可證得不等式成立．【詳解】（1）.（2）因?yàn)?，，?與3互質(zhì)，所以，所以，，兩式相減得，所以.（3）證明：設(shè)的公差為d.因?yàn)椋?，所以，則，因?yàn)楣頳為整數(shù)，所以，.當(dāng)時(shí)，因?yàn)榕c互質(zhì)，所以，所以，所以.19．【正確答案】(1)；(2).【分析】（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，利用題中的條件，求得向量的坐標(biāo)之間的關(guān)系，從而得到，代入圓的方程求得結(jié)果；（2）設(shè)直線與直線斜率為，根據(jù)，得，設(shè)，與第一問中所求的橢圓方程聯(lián)立，消元，利用韋達(dá)定理以及弦長(zhǎng)公式，化