第1課時直線的方向向量與平面的法向量a1，a2，a3…an是一組非零共線向量，表示向量a1的有向線段所在直線與直線l平行．問題1：表示向量a2，a3，…an的有向線段所在直線與直線l的關(guān)系怎樣？提示：平行或重合．問題2：如何表示a1，a2…an與直線l的關(guān)系呢？提示：利用一個向量來表示直線l的方向，a1，a2，…an與該向量共線．直線l上的向量e(e≠0)以及與e共線的非零向量叫做直線l的方向向量.直線l與平面α垂直，l1，l2是平面α內(nèi)的兩條直線．問題1：表示直線l的方向向量的有向線段所在的直線與平面α是否垂直？提示：垂直．因為這些直線與l平行或重合．問題2：直線l的方向向量與直線l1，l2的方向向量是否垂直？提示：垂直．1．如果表示非零向量n的有向線段所在直線垂直于平面α，那么稱向量n垂直于平面α，記作n⊥α.此時，我們把向量n叫做平面α的法向量．2．與平面垂直的直線叫做平面的法線．因此，平面的法向量就是平面法線的方向向量．1．一條直線有無數(shù)個方向向量，它們共線．一個平面有無數(shù)個法向量，它們也共線．2．平面α的一個法向量垂直于與平面α共面的所有向量．3．給定一點A和一個向量a，那么過點A，以向量a為法向量的平面是惟一的．[例1]根據(jù)下列條件，分別判定相應(yīng)直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系：(1)平面α，β的法向量分別是u＝(－1,1，－2)，v＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，2，－\f(1,2)))；(2)直線l的方向向量a＝(－6,8,4)，平面α的法向量u＝(2,2，－1)．[思路點撥]利用方向向量與法向量的平行或垂直來判斷線、面位置關(guān)系．[精解詳析](1)∵u＝(－1,1，－2)，v＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，2，－\f(1,2)))，∴u·v＝(－1,1，－2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，2，－\f(1,2)))＝－3＋2＋1＝0，∴u⊥v，故α⊥β.(2)∵u＝(2,2，－1)，a＝(－6,8,4)，∴u·a＝(2,2，－1)·(－6,8,4)＝－12＋16－4＝0，∴u⊥a，故l?α或l∥α.[一點通]1．兩直線的方向向量共線(垂直)時，兩直線平行(垂直)．2．直線的方向向量與平面的法向量共線時，直線和平面垂直；直線的方向向量與平面的法向量垂直時，直線在平面內(nèi)或線面平行．3．兩個平面的法向量共線時，兩平面平行．1．若兩條直線l1、l2的方向向量分別為a＝(1,2，－2)，b＝(－2，－4,4)，則l1與l2的位置關(guān)系為________．解析：∵b＝－2a，∴a∥b，即l1∥l2或e1與e2重合．答案：平行或重合2．根據(jù)下列條件，判斷相應(yīng)的線、面位置關(guān)系：(1)直線l1，l2的方向向量分別是a＝(1，－3，－1)，b＝(8,2,2)；(2)平面α，β的法向量分別是u＝(1,3,0)，v＝(－3，－9，0)；(3)直線l的方向向量，平面α的法向量分別是a＝(1，－4，－3)，u＝(2,0,3)；(4)直線l的方向向量，平面α的法向量分別是a＝(3,2,1)，u＝(－1,2，－1)．解：(1)∵a＝(1，－3，－1)，b＝(8,2,2)，∴a·b＝8－6－2＝0，∴a⊥b，即l1⊥l2.(2)∵u＝(1,3,0)，v＝(－3，－9,0)，∴v＝－3u，∴v∥u，即α∥β.(3)∵a＝(1，－4，－3)，u＝(2,0,3)，∴a·u≠0且a≠ku(k∈R)，∴a與u既不共線也不垂直，即l與α相交但不垂直．(4)∵a＝(3,2,1)，u＝(－1,2，－1)，∴a·u＝－3＋4－1＝0，∴a⊥u，即l?α或l∥α.[例2]已知點A(3,0,0)，B(0,4,0)，C(0,0,5)，求平面ABC的一個單位法向量．[思路點撥]可先求出一個法向量，再除以該向量的模，便可得到單位法向量．[精解詳析]由于A(3,0,0)，B(0,4,0)，C(0,0,5)，所以＝(－3,4,0)，＝(－3,0,5)．設(shè)平面ABC的法向量為n＝(x，y，z)，則有n·＝0，且n·＝0，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3x＋4y＝0，,－3x＋5z＝0.))取z＝1，得x＝eq\f(5,3)，y＝eq\f(5,4)，于是n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，\f(5,4)，1)).又|n|＝eq\f(\r(769),12)，所以平面α的單位法向量是n0＝±eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(20,\r(769))，\f(15,\r(769))，\f(12,\r(769)))).[一點通]求平面的法向量的方法與步驟：(1)求平面的法向量時，要選取兩相交向量、.(2)設(shè)平面法向量的坐標(biāo)為n＝(x，y，z)．(3)聯(lián)立方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·＝0，,n·＝0.))并解答．(4)求出的向量中三個坐標(biāo)不是具體的值而是比例關(guān)系，設(shè)定某個坐標(biāo)為常數(shù)而得到其他坐標(biāo)．(常數(shù)不能為0)3．已知平面α經(jīng)過三點A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，試求平面α的一個法向量．解：∵A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，∴＝(1，－2，－4)，＝(2，－4，－3)．設(shè)平面α的一個法向量是n＝(x，y，z)．依題意應(yīng)有n·＝0且n·＝0.即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y－4z＝0，,2x－4y－3z＝0.))解得z＝0，且x＝2y.令x＝2，則y＝1∴平面α的一個法向量是n＝(2,1,0)．4.如圖所示，在四棱錐S－ABCD中，底面是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥底面ABCD，且SA＝AB＝BC＝1，AD＝eq\f(1,2)，求平面SCD與平面SBA的一個法向量．解：因為AD、AB、AS是兩兩垂直的線段，所以如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz，則A(0,0,0)，D(eq\f(1,2)，0,0)，C(1,1,0)，S(0,0,1)，則＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1，0))，＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0，1)).由題意易知向量＝(eq\f(1,2)，0,0)是平面SAB的一個法向量．設(shè)n＝(x，y，z)為平面SDC的法向量，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·＝\f(1,2)x＋y＝0，,n·＝－\f(1,2)x＋z＝0.))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(1,2)x，,z＝\f(1,2)x.))取x＝2，則y＝－1，z＝1，∴平面SDC的一個法向量為(2，－1,1)．(1)直線AB的方向向量；(2)求證：BD⊥平面VAC，并確定平面VAC的法向量．解：(1)由已知易得，在以這五個頂點為起點和終點的向量中，直線AB的方向向量有：、、、四個．(2)∵底面ABCD為正方形，∴BD⊥AC.∵VA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴BD⊥VA，又AC∩VA＝A，∴BD⊥平面VAC，所以平面VAC的法向量有、兩個．確定平面的法向量通常有兩種方法：(1)幾何體中已經(jīng)給出有向線段，只需證明線面垂直．(2)幾何體中沒有具體的直線，此時可以采用待定系數(shù)法求解平面的法向量．課時達(dá)標(biāo)訓(xùn)練（二十二）1．若直線l⊥平面α，且l的方向向量為(m,2,4)，平面α的法向量為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1，2))，則m為________．解析：∵l的方向向量與平面α的法向量平行．∴eq\f(m,\f(1,2))＝eq\f(2,1)＝eq\f(4,2).∴m＝1.答案：1答案：過點A且與向量n垂直的平面3．設(shè)直線l1的方向向量為a＝(2，－1,2)，直線l2的方向向量為b＝(1,1，m)，若l1⊥l2，則m＝________.解析：∵l1⊥l2，∴2－1＋2m＝0.∴m＝－eq\f(1,2).答案：－eq\f(1,2)4．在空間中，已知平面α過點A(3,0,0)和B(0,4,0)及z軸上一點C(0,0，a)(a>0)，如果平面α與平面xOy的夾角為45°，則a＝________.解析：平面xOy的法向量為n＝(0,0,1)，＝(－3,4,0)，＝(－3,0，a)，設(shè)平面α的法向量為u＝(x，y，z)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3x＋4y＝0，,－3x＋az＝0，))則3x＝4y＝az，取z＝1，則u＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,3)，\f(a,4)，1))，故cos〈n，u〉＝eq\f(1,\r(\f(a2,9)＋\f(a2,16)＋1))＝eq\f(\r(2),2).又∵a>0，∴a＝eq\f(12,5).答案：eq\f(12,5)5．已知a＝(1,4,3)，b＝(3，x，y)分別是直線l1、l2的方向向量，若l1∥l2，則x＝________，y＝________.解析：由l1∥l2，得eq\f(1,3)＝eq\f(4,x)＝eq\f(3,y)，解得x＝12，y＝9.答案：1296．已知A(2,2,2)，B(2,0,0)，C(0,2，－2)，(1)寫出直線BC的一個方向向量；(2)設(shè)平面α經(jīng)過點A，且是α的法向量，M(x，y，z)是平面α內(nèi)任一點，試寫出x、y、z滿足的關(guān)系式．解：(1)∵B(2,0,0)，C(0,2，－2)，∴＝(－2,2，－2)，即(－2,2，－2)為直線BC的一個方向向量．∴(－2,2，－2)·(x－2，y－2，z－2)＝0.∴－2(x－2)＋2(y－2)－2(z－2)＝0.化簡得x－y＋z－2＝0.7．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，(1)求平面ABCD的一個法向量；(2)求平面A1BC1的一個法向量；(3)若M為CD的中點，求平面AMD1的一個法向量．(1)∵平面ABCD即為坐標(biāo)平面xOy，∴n1＝(0,0,1)為其一個法向量．(2)∵B1D⊥平面A1BC1，(3)設(shè)n＝(x0，y0，z0)為平面AMD1的一個法向量，令x0＝2，則y0＝－1，z0＝1，∴n＝(2，－1,1)為平面AMD1的一個法向量．8.如圖，已知ABCD－A1B1C1D1是長方體，建立的空間直角坐標(biāo)系如圖所示．AB＝3，BC＝4，AA1＝2.(1)求平面B1CD1的一個法向量；(2)設(shè)M(x，y，z)是平面B1CD1內(nèi)的任意一點，求x，y，z滿足的關(guān)系式．解：(1)在如題圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz中，各點坐標(biāo)為B1(3,0,2)，C(3,4,0)，D1(0,4,2)，由此得＝(0,4，－2)，＝(－3,0,2)；設(shè)平面B1CD1的一個法向量為a＝(x，y，z)，則a⊥，a⊥，從而a·＝0，a·＝0，所以0·x＋4·y－2·z＝0，－3·x＋0·y＋2·z＝0，解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2y－z＝0，,3x－2z＝0，))得到eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(z,2)，,x＝\f(2z,3).))不妨取z＝6，則y＝3，x＝4.所以a＝(4,3,6)就是平面B1C1D的一個法向量．即4(x－3)＋3y＋6(z－2)＝0,4x＋3y＋6z＝24，所以滿足題意的關(guān)系式是4x＋3y＋6z＝24.第2課時空間線面關(guān)系的判定以前人們?yōu)楹粚嵉孛?，采用的是一種由三人合作使用的石制工具，石墩上有三個石耳，用三根粗繩子拴著，三個人站在三個方位上，同時拉繩子使石墩離開地面，然后落下石墩夯實地面．若三個人所站方位使得繩子兩兩成等角，且與水平地面所成角為45°，為了使重量為100kg的石墩垂直離開地面．每個人至少需要用eq\f(100\r(2),3)kg的力．問題1：在空間中給定一個定點A(一個石耳)和一個定方向(繩子方向)，能確定這條直線在空間的位置嗎？提示：能．問題2：石墩下落的過程中，石墩所在的直線和地面垂直嗎？提示：垂直．問題3：若一條直線平行于平面，直線的方向向量u和平面的的法向量n有什么關(guān)系？若直線垂直于平面呢？提示：u⊥n，u∥n.1．空間中平行關(guān)系的向量表示設(shè)兩直線l、m的方向向量分別為a，b，兩平面α、β的法向量分別為u，v，則線線平行l(wèi)∥m?a＝kb，(k∈R)線面平行l(wèi)∥α?a⊥u?a·u＝0面面平行α∥β?u∥v?u＝kv(k∈R)2．空間垂直關(guān)系的向量表示設(shè)直線l，m的方向向量分別為a，b，平面α，β的法向量分別為u，v，則線線垂直l⊥m?a·b＝0線面垂直l⊥α?a∥u?a＝ku，(k∈R)面面垂直α⊥β?u⊥v?u·v＝0用空間向量解決立體幾何問題的步驟為(1)化為向量問題：用空間向量表示立體圖形中點、線、面等元素．(2)進(jìn)行向量運(yùn)算：進(jìn)行空間向量的運(yùn)算，研究點、線、面之間的關(guān)系．(3)回到圖形問題：把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成相應(yīng)的幾何意義．[例1]在棱長為a的正方體OABC－O1A1B1C1中，E、F分別是AB、BC上的動點，且AE＝BF，求證：A1F⊥C1E.[精解詳析]以O(shè)為坐標(biāo)原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A1(a,0，a)，C1(0，a，a)．設(shè)AE＝BF＝x，∴E(a，x,0)，F(xiàn)(a－x，a,0)．＝－ax＋ax－a2＋a2＝0，[一點通]利用空間向量證明線線垂直的方法：(1)坐標(biāo)法：根據(jù)圖形的特征，建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，準(zhǔn)確地寫出相關(guān)點的坐標(biāo)，表達(dá)出兩直線的方向向量，證明其數(shù)量積為零．(2)基向量法：利用向量的加減運(yùn)算律，結(jié)合圖形，將要證明的兩直線所在的向量用基向量表達(dá)出來，利用數(shù)量積運(yùn)算說明兩向量的數(shù)量積為0.1.如圖，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱長都為1，M是底面上BC邊的中點，N是側(cè)棱CC1上的點，且CN＝eq\f(1,4)CC1.求證：AB1⊥MN.證明：法一：(基向量法)設(shè)＝a，＝b，＝c，則由已知條件和正三棱柱的性質(zhì)，得|a|＝|b|＝|c|＝1，a·c＝b·c＝0，＝－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)cos60°＋eq\f(1,4)＝0.法二：(坐標(biāo)法)設(shè)AB中點為O，作OO1∥AA1.以O(shè)為坐標(biāo)原點，以O(shè)B，OC，OO1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．由已知得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0，0))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，0))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),2)，0))，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),2)，\f(1,4)))，B1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，1))，∵M(jìn)為BC中點，∴Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(\r(3),4)，0)).2．直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，AB＝2，AD＝1，AA1＝3，M是BC的中點．在DD1上是否存在一點N，使MN⊥DC1？并說明理由．解：如圖所示，建立以D為坐標(biāo)原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸的空間直角坐標(biāo)系，則C1(0,2,3)，M(eq\f(1,2)，2,0)，D(0,0,0)，設(shè)存在N(0,0，h)，[例2]已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，E、F分別是BB1、DD1的中點，求證：(1)FC1∥平面ADE；(2)平面ADE∥平面B1C1F.[思路點撥]建立直角坐標(biāo)系，求得平面的法向量，利用法向量的關(guān)系來確定線面平行，面面平行．[精解詳析]如圖，建立空間直角坐標(biāo)系D－xyz，則D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2，2,1)，F(xiàn)(0,0,1)，設(shè)n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)分別是平面ADE、平面B1C1F的法向量，則n1⊥，n1⊥，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n1·＝2x＝0，,n1·＝2y＋z＝0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,z＝－2y，))取y＝1，則n1＝(0,1，－2)．同理可求n2＝(0,1，－2)．(2)∵n1∥n2，∴平面ADE∥平面B1C1F.[一點通]利用向量法證明幾何體的平行問題的途徑：(1)利用三角形法則和平面向量基本定理實現(xiàn)向量間的相互轉(zhuǎn)化，得到向量的共線關(guān)系．(2)通過建立空間直角坐標(biāo)系，借助直線的方向向量和平面的法向量進(jìn)行平行關(guān)系的證明．3．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O1為B1D1的中點，求證：BO1∥平面ACD1.設(shè)正方體的棱長為2，則A(2,0,0)，D1(0,0,2)，C(0,2,0)，B(2,2,0)，O1(1,1,2)，又BO1?平面ACD1，∴BO1∥平面ACD1.又BO1?平面ACD1，∴BO1∥平面ACD1.4．長方體ABCD－A1B1C1D1中，DA＝2，DC＝3，DD1＝4，M，N，E，F(xiàn)分別是棱A1D1，A1B1，D1C1，B1C1的中點，求證：平面AMN∥平面EFBD.證明：建立如右圖所示的空間直角坐標(biāo)系，取MN、DB及EF的中點R，T，S，則A(2,0,0)，M(1,0,4)，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(3,2)，4))，D(0,0,0)，B(2,3,0)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2)，4))，F(xiàn)(1,3,4)，Req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(3,4)，4))，Seq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(9,4)，4))，Teq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)，0))，＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(3,4)，4))，＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(3,4)，4))，得MN∥EF，AR∥TS，∴MN∥平面EFBD，AR∥平面EFBD，又∵M(jìn)N∩AR＝R，∴平面AMN∥平面EFBD.[例3]如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別是B1B、DC的中點，求證：AE⊥平面A1D1F.[精解詳析]設(shè)正方體的棱長為1，如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，則A(1,0,0)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，1，\f(1,2)))，A1(1,0,1)，D1(0,0,1)，F(xiàn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，0)).∴＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1，\f(1,2)))，即AE⊥A1D1，AE⊥D1F，又A1D1∩D1F＝D1，∴AE⊥平面A1D1F.[一點通]用向量法證明線面垂直的方法及步驟：(1)基向量法：①設(shè)出基向量，然后表示直線的方向向量．②找出平面內(nèi)兩條相交直線的向量并用基向量表示．③利用數(shù)量積計算．(2)坐標(biāo)法：①建立空間坐標(biāo)系，將直線的方向向量用坐標(biāo)表示．②求平面內(nèi)任意兩條相交直線的方向向量或平面的法向量．③證明直線的方向向量與平面內(nèi)兩相交直線的方向向量垂直或與平面的法向量平行．5．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為BB1，D1B1的中點，求證：EF⊥平面B1AC.證明：設(shè)正方體的棱長為2，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則A(2,0,0)，C(0,2,0)，B1(2,2,2)，E(2，2,1)，F(xiàn)(1,1,2)．·＝(－1，－1,1)·(－2,2,0)＝0，∴EF⊥AB1，EF⊥AC，又AB1∩AC＝A，∴EF⊥平面B1AC.法二：設(shè)平面B1AC的法向量為n＝(x，y，z)．令x＝1，可得平面B1AC的一個法向量為n＝(1,1，－1)又＝(－1，－1,1)＝－1·(1,1，－1)＝－n.∴∥n，∴EF⊥平面B1AC.6.如圖，在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，點E是棱BC的中點，點F是棱CD上的動點．確定F點的位置，使得D1E⊥平面AB1F.解：以A為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)DF＝x，則A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，A1(0,0,1)，B1(1,0,1)，D1(0,1,1)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)，0))，F(xiàn)(x，1,0)．?x－eq\f(1,2)＝0，即x＝eq\f(1,2).又AB1∩AF＝A，∴當(dāng)點F是CD的中點時，D1E⊥平面AB1F.[例4]在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是棱BC的中點，試在棱CC1上求一點P，使得平面A1B1P⊥平面C1DE.[思路點撥]eq\x(畫圖)→eq\x(建系)→eq\x(\a\al(寫出相關(guān)點的坐標(biāo),并設(shè)出點P的坐標(biāo)))→eq\x(相關(guān)向量坐標(biāo))→eq\x(\a\al(求出平面A1B1P與,平面C1DE的法向量))→eq\x(\a\al(列方程求出,點P的坐標(biāo)))→eq\x(確定點P位置).[精解詳析]如圖，建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)正方體的棱長為1，則A1(1,0,1)，B1(1,1,1)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1，0))，C1(0,1,1)．設(shè)點P的坐標(biāo)為(0,1，a)．設(shè)平面A1B1P的一個法向量為n1＝(x1，y1，z1)，令z1＝1，則得x1＝a－1，所以平面A1B1P的一個法向量為n1＝(a－1,0,1)．設(shè)平面C1DE的一個法向量為n2＝(x2，y2，z2)，取y2＝1，則得x2＝－2，z2＝－1，∴平面C1DE的一個法向量為n2＝(－2,1，－1)，因為平面A1B1P⊥平面C1DE?n1⊥n2.?n1·n2＝0?－2(a－1)－1＝0，∴a＝eq\f(1,2).故當(dāng)點P為CC1的中點時，平面A1B1P⊥平面C1DE.[一點通]證明面面垂直的方法：(1)利用空間向量證明面面垂直通常可以有兩個途徑：一是利用兩個平面垂直的判定定理將面面垂直問題轉(zhuǎn)化為線面垂直進(jìn)而轉(zhuǎn)化為線線垂直問題；二是直接求解兩個平面的法向量，證明兩個法向量垂直，從而得到兩個平面垂直．(2)向量法證明面面垂直的優(yōu)越性主要體現(xiàn)在不必考慮圖形的位置關(guān)系，恰當(dāng)建系或用基向量表示后，只需經(jīng)過向量運(yùn)算就可得到要證明的結(jié)果，思路方法很“公式化”．7.如圖，在五面體ABCDEF中，F(xiàn)A⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M為EC的中點，AF＝AB＝BC＝FE＝eq\f(1,2)AD.求證：平面AMD⊥平面CDE.證明：法一：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，點A為坐標(biāo)原點，設(shè)AB＝1，依題意得B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，E(0,1,1)，F(xiàn)(0,0,1)，Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1，\f(1,2))).∴AM⊥CE，又·＝0，∴AD⊥CE，又AM∩AD＝A，∴CE⊥平面AMD.而CE?平面CDE，所以平面CDE⊥平面AMD.法二：由法一得＝(－1,0,1)，＝(0，－1,1)，設(shè)平面CDE的法向量為u＝(x，y，z)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(u·＝0，,u·＝0.))于是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋z＝0，,－y＋z＝0.))令x＝1，可得u＝(1,1,1)．設(shè)平面AMD的法向量為v＝(x′，y′，z′)，令z′＝1，可得v＝(－1,0,1)．∵u·v＝(1,1,1)·(－1,0,1)＝－1＋0＋1＝0.∴u⊥v.∴平面CDE⊥平面AMD.8．在四面體ABCD中，AB⊥平面BCD，BC＝CD，∠BCD＝90°，∠ADB＝30°，E、F分別是AC、AD的中點，求證：平面BEF⊥平面ABC.證明：建系如圖，取A(0,0，a)，則易得B(0,0,0)，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)a，\f(\r(3),2)a，0))，D(0，eq\r(3)a,0)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),4)a，\f(\r(3),4)a，\f(a,2)))，F(xiàn)(0，eq\f(\r(3),2)a，eq\f(a,2))，則有＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),4)a，\f(\r(3),4)a，0))，＝(0,0，a)，＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)a，\f(\r(3),2)a，0))，∵·＝0，·＝0，∴EF⊥AB，EF⊥BC.又AB∩BC＝B，∴EF⊥平面ABC.又EF?平面BEF，∴平面BEF⊥平面ABC.9．在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2BC，E，F(xiàn)，E1分別是棱AA1，BB1，A1B1的中點．求證：(1)CE∥平面C1E1F；(2)平面C1E1F⊥平面CEF.證明：以D為原點，DA，DC，DD1所在的直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系D－xyz，設(shè)BC＝1，則C(0,1,0)，E(1,0,1)，C1(0,1,2)，F(xiàn)(1,1,1)，E1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)，2)).(1)設(shè)平面C1E1F的法向量n＝(x，y，z)，令x＝1，得n＝(1,2,1)．∵＝(1，－1,1)，n·＝1－2＋1＝0，∴⊥n.又∵CE?平面C1E1F，∴CE∥平面C1E1F.(2)設(shè)平面EFC的法向量為m＝(a，b，c)，∵＝(0,1,0)，＝(－1,0，－1)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m·＝0，,m·＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝0，,－a－c＝0.))令a＝－1，得m＝(－1,0,1)．∵n·m＝1×(－1)＋2×0＋1×1＝－1＋1＝0，∴平面C1E1F⊥平面CEF.1．利用向量方法證明幾何中的平行問題可以通過兩條途徑實現(xiàn)，一是利用三角形法則和平面向量基本定理實現(xiàn)向量間的相互轉(zhuǎn)化，得到向量的共線關(guān)系；二是通過建立空間直角坐標(biāo)系，借助直線的方向向量和平面的法向量進(jìn)行平行關(guān)系的證明．2．用向量法處理空間中垂直關(guān)系的關(guān)鍵是求得直線的方向向量和平面的法向量，借助直線的方向向量與平面的法向量之間的關(guān)系確定空間中的線面垂直問題．課時達(dá)標(biāo)訓(xùn)練（二十三）1．若兩平面α，β的法向量分別為u＝(2，－3,4)，v＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，1，－\f(4,3)))，則α與β的位置關(guān)系是________．解析：∵u＝－3v，∴u∥v，∴α∥β.答案：平行2．若平面α、β的法向量分別為(－1,2,4)，(x，－1，－2)，并且α⊥β，則x的值為________．解析：∵α⊥β，∴－x－2－8＝0.∴x＝－10.答案：－103．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O是B1D1的中點，則B1C與平面ODC1的關(guān)系是________．又∵B1C不在平面ODC1內(nèi)，∴B1C∥平面ODC1.答案：平行4．若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，則直線AB與平面CDE的位置關(guān)系是_____．解析：∵＝λ＋μ(λ，μ∈R)，∴與，共面．∴AB∥平面CDE或AB?平面CDE.答案：AB∥平面CDE或AB?平面CDE5．已知＝(1,5，－2)，＝(3,1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，則(x，y，z)等于________．解析：·＝3＋5－2z＝0，故z＝4.·＝x－1＋5y＋6＝0，且·＝3(x－1)＋y－12＝0，得x＝eq\f(40,7)，y＝－eq\f(15,7).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(40,7)，－\f(15,7)，4)) 6．如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E為PC的中點，EF⊥BP于點F.求證：(1)PA∥平面EDB；(2)PB⊥平面EFD.證明：以D為坐標(biāo)原點，DA，DC，DP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系D－xyz，如圖，設(shè)DC＝PD＝1，則P(0,0,1)，A(1,0,0)，D(0,0,0)，B(1,1,0)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，\f(1,2))).∴＝(1,1，－1)，＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，\f(1,2)))，＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)，－\f(1,2)))，設(shè)F(x，y，z)，則＝(x，y，z－1)，＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，y－\f(1,2)，z－\f(1,2))).∵⊥，∴x＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(z－\f(1,2)))＝0，即x＋y－z＝0.①又∵∥，可設(shè)＝λ，∴x＝λ，y＝λ，z－1＝－λ.②由①②可知，x＝eq\f(1,3)，y＝eq\f(1,3)，z＝eq\f(2,3)，∴＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，－\f(1,6)，\f(1,6))).(1)設(shè)n1＝(x1，y1，z1)為平面EDB的一個法向量，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n1·＝0?\f(1,2)y1＋\f(1,2)z1＝0，,n1·＝0?x1＋\f(1,2)y1－\f(1,2)z1＝0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝z1，,y1＝－z1.))取z1＝－1，則n1＝(－1,1，－1)．∵＝(1,0，－1)，∴·n1＝0.又∵PA?平面EDB，∴PA∥平面EDB.(2)設(shè)n2＝(x2，y2，z2)為平面EFD的一個法向量，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n2·＝0?\f(1,3)x2－\f(1,6)y2＋\f(1,6)z2＝0，,n2·＝0?\f(1,2)y2＋\f(1,2)z2＝0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝－z2，,y2＝－z2.))取z2＝1，則n2＝(－1，－1,1)．∴∥n2，∴PB⊥平面EFD.7．如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四邊形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，點M在PB上，PB＝4PM，PB與平面ABCD成30°的角．求證：(1)CM∥平面PAD；(2)平面PAB⊥平面PAD.證明：以C為坐標(biāo)原點，CB所在直線為x軸，CD所在直線為y軸，CP所在直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C-xyz.∵PC⊥平面ABCD，∴∠PBC為PB與平面ABCD所成的角，∴∠PBC＝30°.∵PC＝2，∴BC＝2eq\r(3)，PB＝4.∴D(0,1,0)，B(2eq\r(3)，0,0)，A(2eq\r(3)，4,0)，P(0,0,2)，Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，0，\f(3,2)))，∴＝(0，－1,2)，＝(2eq\r(3)，3,0)，＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，0，\f(3,2)))，(1)法一：令n＝(x，y，z)為平面PAD的一個法向量，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(·n＝0，,·n＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－y＋2z＝0，,2\r(3)x＋3y＝0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(z＝\f(1,2)y，,x＝－\f(\r(3),2)y，))令y＝2，得n＝(－eq\r(3)，2,1)．∵n·＝－eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＋2×0＋1×eq\f(3,2)＝0，∴n⊥，又CM?平面PAD，∴CM∥平面PAD.法二：∵＝(0,1，－2)，＝(2eq\r(3)，4，－2)，令＝x＋y，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)＝2\r(3)y，,0＝x＋4y，,\f(3,2)＝－2x－2y，))方程組有解為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝\f(1,4)，))∴＝－＋eq\f(1,4)，由共面向量定理知與，共面，又∵CM?平面PAD，∴CM∥平面PAD.(2)取AP的中點E，連接BE，則E(eq\r(3)，2,1)，＝(－eq\r(3)，2,1)，∵PB＝AB，∴則BE⊥PA.又∵·＝(－eq\r(3)，2,1)·(2eq\r(3)，3,0)＝0，∴⊥，∴BE⊥DA，又PA∩DA＝A.∴BE⊥平面PAD，又∵BE?平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD.8.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，用向量法證明：(1)平面A1BD∥平面CB1D1；(2)AC1⊥平面A1BD.證明：建系如圖，設(shè)正方體的棱長為1.則A1(1,0,1)、B(1,1,0)、D1(0,0,1)、B1(1,1,1)、C(0,1,0)、A(1,0,0)、C1(0,1,1)．＝(0,1，－1)，設(shè)平面A1BD的一個法向量為n1＝(x1，y1，z1)，令z1＝1，得x1＝－1，y1＝1.∴平面A1BD的一個法向量為n1＝(－1,1,1)．設(shè)平面CB1D1的一個法向量為n2＝(x2，y2，z2)，令y2＝1，得x2＝－1，z2＝1，∴n2＝(－1,1,1)．∴n1＝n2，即n1∥n2.∴平面A1BD∥平面CB1D1.第3課時空間的角的計算山體滑坡是一種常見的自然災(zāi)害．甲、乙兩名科技人員為了測量一個山體的傾斜程度，甲站在水平地面上的A處，乙站在山坡斜面上的B處，A、B兩點到直線l(水平地面與山坡的交線)的距離AC和BD分別為30m和40m，CD的長為60m，AB的長為80m.問題1：如何用向量方法求異面直線AC和BD所成的角？提示：設(shè)異面直線AC與BD所成的角為θ，則cosθ＝|cos〈，〉|.問題2：如何求斜線BD與地面所成角α？提示：設(shè)地面的法向量為n，則sinα＝|cos〈，n〉|.問題3：如何求水平地面與斜坡面所成的二面角β？提示：cosβ＝cos〈，〉．異面直線所成的角設(shè)兩條異面直線a，b所成的角為θ，它們的方向向量分別為a、b.則cosθ＝eq\f(|a·b|,|a||b|)直線與平面所成的角設(shè)直線和平面所成的角為θ，且直線的方向向量為a，平面的法向量為b，則sinθ＝eq\f(|a·b|,|a||b|)二面角的平面角設(shè)二面角α—l—β的銳二面角大小為θ，且兩個半平面的法向量分別為a，b，則cosθ＝eq\f(|a·b|,|a||b|)對直線(或斜線)與平面所成角的幾點認(rèn)識(1)斜線與平面的夾角范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))；而直線與平面的夾角范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))；(3)平面α的法向量n與所成的銳角θ1的余角θ就是直線AB與平面α所成的角．[例1]如圖所示，三棱柱OAB－O1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB＝60°，∠AOB＝90°，且OB＝OO1＝2，OA＝eq\r(3)，求異面直線A1B與AO1所成的角的余弦值的大小．[思路點撥]eq\x(建系)→eq\x(\a\al(求A1，B，,A，O1坐標(biāo)))→，坐標(biāo)→cos〈，〉→eq\x(結(jié)論).[精解詳析]建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則O(0,0,0)，O1(0,1，eq\r(3))，A(eq\r(3)，0,0)，A1(eq\r(3)，1，eq\r(3))，B(0,2,0)，∴＝－＝(－eq\r(3)，1，－eq\r(3))，∴cos〈，〉＝eq\f(A1B→·O1A→,|A1B→|·|O1A→|)＝eq\f(－\r(3)，1，－\r(3)·\r(3)，－1，－\r(3),\r(7)·\r(7))＝－eq\f(1,7).異面直線A1B與AO1所成的角的余弦值為eq\f(1,7).[一點通]求異面直線所成的角的方法及關(guān)注點：(1)方法：利用數(shù)量積或坐標(biāo)方法將異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩直線的方向向量所成的角，若求出的兩向量的夾角為鈍角，則異面直線所成的角應(yīng)為兩向量夾角的補(bǔ)角．(2)關(guān)注點：求角時，常與一些向量的計算聯(lián)系在一起，如向量的坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算及模的運(yùn)算．1.如圖所示，已知在四面體ABCD中，O是BD的中點，CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝eq\r(2).(1)求證：AO⊥平面BCD；(2)求異面直線AB與CD所成的角的余弦值．解：以O(shè)為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則B(1,0,0)，D(－1,0,0)，C(0，eq\r(3)，0)，A(0,0,1)，(1)證明：＝(0,0,1)，＝(－2,0,0)，＝(－1，eq\r(3)，0)．∵·＝0，·＝0，∴OA⊥BD，OA⊥BC.又BD∩BC＝B，∴AO⊥平面BCD.(2)＝(－1,0,1)，＝(－1，－eq\r(3)，0)．∴cos〈，〉＝eq\f(·,||||)＝eq\f(\r(2),4)，∴異面直線AB與CD所成的角的余弦值為eq\f(\r(2),4).2.已知平行六面體ABCD－A1B1C1D1的所有棱長都是1，且∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°，求直線AC1與AC所成角的余弦值．＝＋，||2＝2＋2＋2·＝1＋1＋1＝3，＝2＋·＋·＋·＋2＋·＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＋1＋eq\f(1,2)＝4，即AC1與AC所成角的余弦值為eq\f(2\r(2),3).[例2](湖南高考)如圖，在直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AC⊥BD，BC＝1，AD＝AA1＝3.(1)證明：AC⊥B1D；(2)求直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值．[思路點撥]以A為原點，AB，AD，AA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．[精解詳析](1)證明：易知，AB，AD，AA1兩兩垂直．如圖，以A為坐標(biāo)原點，AB，AD，AA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)AB＝t，則相關(guān)各點的坐標(biāo)為A(0,0,0)，B(t,0,0)，B1(t,0,3)，C(t,1,0)，C1(t,1,3)，D(0,3,0)，D1(0,3,3)．因為AC⊥BD，所以·＝－t2＋3＋0＝0，解得t＝eq\r(3)或t＝－eq\r(3)(舍去)．設(shè)n＝(x，y，z)是平面ACD1的一個法向量，令x＝1，則n＝(1，－eq\r(3)，eq\r(3))．設(shè)直線B1C1與平面ACD1所成角為θ，則即直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值為eq\f(\r(21),7).[一點通]利用向量法求直線與平面所成角的解題步驟為：(1)根據(jù)題設(shè)條件、圖形特征建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；(2)得到相關(guān)點的坐標(biāo)，進(jìn)而求出相關(guān)向量的坐標(biāo)；(3)利用公式cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)，進(jìn)行計算，其中向量a是直線的方向向量，b可以是平面的法向量，也可以是直線在平面內(nèi)射影的方向向量；(4)將〈a，b〉轉(zhuǎn)化為所求的線面角．3.如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝CC1，M、N分別是A1B、B1C1的中點．(1)求證：MN⊥平面A1BC；(2)求直線BC1和平面A1BC所成的角的大小．解：(1)證明：根據(jù)題意，CA、CB、CC1兩兩垂直，以C為原點，CA、CB、CC1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AC＝BC＝CC1＝a，則B(0，a,0)，B1(0，a，a)，A(a，0,0)，C(0,0,0)，C1(0,0，a)，A1(a,0，a)，Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，\f(a,2)，\f(a,2)))，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(a,2)，a)).所以＝(a，－a，a)，＝(a,0，a)，即MN⊥BA1，MN⊥CA1.又BA1∩CA1＝A1，故MN⊥平面A1BC.故直線BC1和平面A1BC所成的角為30°.4．如圖，已知四棱錐P－ABCD的底面為等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足為H，PH是四棱錐的高，E為AD的中點．(1)證明：PE⊥BC；(2)若∠APB＝∠ADB＝60°，求直線PA與平面PEH所成角的正弦值．解：(1)證明：以H為原點，HA，HB，HP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，線段HA的長為單位長，建立空間直角坐標(biāo)系H－xyz如圖，則A(1,0,0)，B(0,1,0)．設(shè)C(m,0,0)，P(0,0，n)(m<0，n>0)，D(0，m,0)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(m,2)，0)).可得＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(m,2)，－n))，＝(m，－1,0)．因為·＝eq\f(m,2)－eq\f(m,2)＋0＝0，所以PE⊥BC.(2)由已知條件可得m＝－eq\f(\r(3),3)，n＝1，故Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，0，0))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(\r(3),3)，0))，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(\r(3),6)，0))，P(0,0,1)．設(shè)n＝(x，y，z)為平面PEH的法向量，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·＝0，,n·＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(\r(3),6)y＝0，,z＝0.))因此可以取n＝(1，eq\r(3)，0)．又＝(1,0，－1)，可得|cos〈，n〉|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(n·,n·||)))＝eq\f(1,2\r(2))＝eq\f(\r(2),4)，所以直線PA與平面PEH所成角的正弦值為eq\f(\r(2),4).[例3](江蘇高考)如圖，在直三棱柱A1B1C1－ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，點D是BC的中點．(1)求異面直線A1B與C1D所成角的余弦值；(2)求平面ADC1與平面ABA1所成二面角的正弦值．[思路點撥](1)先建系求出A1B和C1D的方向向量，再求其余弦值；(2)求出平面ADC1與平面ABA1的法向量，用向量法求余弦值再轉(zhuǎn)化為正弦值．(2)設(shè)平面ADC1的法向量為n1＝(x，y，z)，即x＋y＝0且y＋2z＝0，取z＝1，得x＝2，y＝－2，所以n1＝(2，－2,1)是平面ADC1的一個法向量．取平面ABA1的一個法向量為n2＝(0,1,0)，設(shè)平面ADC1與平面ABA1所成二面角的大小為θ.由|cosθ|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(n1·n2,|n1||n2|)))＝eq\f(2,\r(9)×\r(1))＝eq\f(2,3)，得sinθ＝eq\f(\r(5),3).因此平面ADC1與平面ABA1所成二面角的正弦值為eq\f(\r(5),3).[一點通]用向量法求二面角的大小時，應(yīng)注意兩個問題：一是建系后兩個平面的法向量求解正確；二是求出了兩法向量夾角后，應(yīng)結(jié)合圖形與題意判斷求出的是二面角的大小，還是它的補(bǔ)角的大小，從而確定二面角大?。?．(天津高考)如圖，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，側(cè)棱A1A⊥底面ABCD，AB//DC，AB⊥AD，AD＝CD＝1，AA1＝AB＝2，E為棱AA1的中點．(1)證明：B1C1⊥CE;(2)求二面角B1－CE－C1的正弦值．(3)設(shè)點M在線段C1E上，且直線AM與平面ADD1A1所成角的正弦值為eq\f(\r(2),6)，求線段AM的長．所以B1C1⊥CE.(2)可知＝(1，－2，－1)．設(shè)平面B1CE的法向量m＝(x，y，z)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m·＝0，,m·＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y－z＝0，,－x＋y－z＝0.))消去x，得y＋2z＝0，不妨令z＝1，可得一個法向量為m＝(－3，－2,1)．由(1)知，B1C1⊥CE，又CC1⊥B1C1，可得B1C1⊥平面CEC1，所以二面角B1－CE－C1的正弦值為eq\f(\r(21),7).可?。?0,0,2)為平面ADD1A1的一個法向量．設(shè)θ為直線AM與平面ADD1A1所成的角，6.如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝2eq\r(2)，E，F(xiàn)分別是AD，PC的中點．(1)證明：PC⊥平面BEF；(2)求平面BEF與平面BAP夾角的大?。逜P＝AB＝2，BC＝AD＝2eq\r(2)，四邊形ABCD是矩形．∴A，B，C，D，P的坐標(biāo)為A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2，2eq\r(2)，0)，D(0,2eq\r(2)，0)，P(0,0,2)，又E，F(xiàn)分別是AD，PC的中點，∴E(0，eq\r(2)，0)，F(xiàn)(1，eq\r(2)，1)．∴＝(2,2eq\r(2)，－2)，＝(－1，eq\r(2)，1)，＝(1,0,1)，∴·＝－2＋4－2＝0，·＝2＋0－2＝0，∴⊥，⊥，∴PC⊥BF，PC⊥EF，BF∩EF＝F，∴PC⊥平面BEF.(2)由(1)知平面BEF的法向量n1＝＝(2,2eq\r(2)，－2)，平面BAP的法向量n2＝＝(0,2eq\r(2)，0)，∴n1·n2＝8.設(shè)平面BEF與平面BAP的夾角為θ，則cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|)＝eq\f(8,4×2\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，∴θ＝45°，∴平面BEF與平面BAP的夾角為45°.1．兩條異面直線所成角的余弦值一定為非負(fù)值，而對應(yīng)的方向向量的夾角可能為鈍角．2．直線的方向向量為u，平面的法向量為n，直線與平面成角為θ，則sinθ＝|cos〈u，n〉|，不要漏了絕對值符號．3．利用兩平面的法向量n1，n2求出cos〈n1，n2〉后要根據(jù)圖形判斷二面角是銳角還是鈍角．課時達(dá)標(biāo)訓(xùn)練（二十四）1．已知A(0,1,1)，B(2，－1,0)，C(3,5,7)，D(1,2,4)，則直線AB與直線CD所成角的余弦值為________．解析：＝(2，－2，－1)，＝(－2，－3，－3)，∴cos〈，〉＝eq\f(·,||||)＝eq\f(5,3×\r(22))＝eq\f(5\r(22),66).∴直線AB，CD所成角的余弦值為eq\f(5\r(22),66).答案：eq\f(5\r(22),66)2．棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別為A1B1，BB1的中點，則異面直線AM與CN所成角的余弦值是________．解析：依題意，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(1,0,0)，Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)，1))，C(0,1,0)，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，1，\f(1,2))).故異面直線AM與CN所成角的余弦值為eq\f(2,5).答案：eq\f(2,5)3．PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝1，BC＝eq\r(2)，則二面角A－PB－C的余弦值為________．解析：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,0)，B(eq\r(2)，1,0)，C(0,1,0)，P(0,0,1)，＝(0,0,1)，＝(eq\r(2)，1,0)，＝(eq\r(2)，0,0)，＝(0，－1，1)．設(shè)平面PAB的法向量為m＝(x，y，z)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m·＝0，,m·＝0，))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，y，z·0，0，1＝0，,x，y，z·\r(2)，1，0＝0，))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－\r(2)x，,z＝0，))令x＝1，則m＝(1，－eq\r(2)，0)．設(shè)平面PBC的法向量為n＝(x′，y′，z′)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·＝0，,n·＝0，))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′，y′，z′·\r(2)，0，0＝0，,x′，y′，z′·0，－1，1＝0，))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝0，,y′＝z′，))令y′＝－1，則n＝(0，－1，－1)，∴cos〈m，n〉＝eq\f(m·n,|m||n|)＝eq\f(\r(3),3).答案：eq\f(\r(3),3)4．(大綱全國卷改編)已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，則CD與平面BDC1所成角的正弦值等于________．令y＝－2，得平面BDC1的一個法向量為n＝(2，－2,1)．設(shè)CD與平面BDC1所成的角為θ，則sinθ＝|cos〈n，〉|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(n·,|n|||)))＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)5．已知E，F(xiàn)分別是棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1的棱BC，CC1的中點，則截面AEFD1與底面ABCD所成二面角的余弦值是________．解析：以D為坐標(biāo)原點，以DA，DC，DD1分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則A(1,0,0)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1，0))，F(xiàn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1，\f(1,2)))，D1(0,0,1)．取y＝1，則n＝(2,1,2)，而平面ABCD的一個法向量為u＝(0,0,1)，∴cos〈n，u〉＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)6.如圖，在幾何體ABCDE中，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，BE和CD都垂直于平面ABC，且BE＝AB＝2，CD＝1，點F是AE的中點．求AB與平面BDF所成角的正弦值．解：以點B為原點，BA、BC、BE所在的直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則B(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，D(0,2,1)，E(0,0,2)，F(xiàn)(1,0,1)．∴＝(0,2,1)，＝(1，－2,0)，＝(2,0,0)．設(shè)平面BDF的一個法向量為n＝(2，a，b)，∵n⊥，n⊥，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·＝0，,n·＝0.))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－2a＝0，,2a＋b＝0.))解得a＝1，b＝－2.∴n＝(2,1，－2)．又設(shè)AB與平面BDF所成的角為θ，則sinθ＝eq\f(·n,||·|n|)＝eq\f(4,2×3)＝eq\f(2,3).即AB與平面BDF所成角的正弦值為eq\f(2,3).7．(江西高考)如圖，四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，E為BD的中點，G為PD的中點，△DAB≌△DCB，EA＝EB＝AB＝1，PA＝eq\f(3,2)，連結(jié)CE并延長交AD于F.(1)求證：AD⊥平面CFG；(2)求平面BCP與平面DCP的夾角的余弦值．解：(1)證明：在△ABD中，因為E是BD中點，所以EA＝EB＝ED＝AB＝1，故∠BAD＝eq\f(π,2)，∠ABE＝∠AEB＝eq\f(π,3)，因為△DAB≌△DCB，所以△EAB≌△ECB，從而有∠FED＝∠BEC＝∠AEB＝eq\f(π,3)，所以∠FED＝∠FEA，故EF⊥AD，AF＝FD.因為PG＝GD，所以FG∥PA.又PA⊥平面ABCD，所以GF⊥AD，故AD⊥平面CFG.故＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)，0))，＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，－\f(\r(3),2)，\f(3,2)))，＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(\r(3),2)，0)).設(shè)平面BCP的一個法向量n1＝(1，y1，z1)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n1·＝\f(1,2)＋\f(\r(3),2)y1＝0，,n1·＝－\f(3,2)－\f(\r(3),2)y1＋\f(3,2)z1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y1＝－\f(\r(3),3)，,z1＝\f(2,3)，))即n1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(\r(3),3)，\f(2,3))).設(shè)平面DCP的一個法向量n2＝(1，y2，z2)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n2·＝－\f(3,2)＋\f(\r(3),2)y2＝0，,n2·＝－\f(3,2)－\f(\r(3),2)y2＋\f(3,2)z2＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝\r(3)，,z2＝2，))即n2＝(1，eq\r(3)，2)．從而平面BCP與平面DCP的夾角的余弦值為cosθ＝eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|)＝eq\f(\f(4,3),\r(\f(16,9))·\r(8))＝eq\f(\r(2),4).8.如圖，在幾何體ABCDE中，DA⊥平面EAB，CB∥DA，EA⊥AB，M是EC的中點，EA＝DA＝AB＝2CB.(1)求證：DM⊥EB；(2)求異面直線AB與CE所成角的余弦值；(3)求二面角M－BD－A的余弦值．則A(0,0,0)，E(2a,0,0)，B(0,2a,0)，C(0,2a，a)，D(0,0,2a)，所以M(a，a，eq\f(a,2))，(2)＝(0,2a,0)，＝(2a，－2a，－a)，設(shè)異面直線AB與CE所成的角為θ，則cosθ＝eq\f(|·|,||·||)＝eq\f(4a2,2a·3a)＝eq\f(2,3).即異面直線AB與CE所成角的余弦值為eq\f(2,3).(3)∵DA⊥平面EAB，AD?平面DAB，∴平面DAB⊥平面EAB，∵EA?平面EAB，平面EAB∩平面DAB＝AB，EA⊥AB.∴EA⊥平面DAB.∴＝(2a,0,0)是平面DAB的一個法向量．設(shè)平面MBD的一個法向量為n＝(x，y，z)，令z＝a，則n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，a，a))，設(shè)二面角M－BD－A的平面角為α，則cosα＝eq\f(·n,||·|n|)＝eq\f(a2,2a·\f(3a,2))＝eq\f(1,3).即二面角M－BD－A的余弦值為eq\f(1,3).一、空間向量的線性運(yùn)算空間向量的線性運(yùn)算包括加、減及數(shù)乘運(yùn)算，選定空間不共面的向量作為基向量，并用它們表示出目標(biāo)向量，這是用向量法解決立體幾何問題的基本要求，解題時，可結(jié)合已知和所求，根據(jù)圖形，利用向量運(yùn)算法則表示所需向量．二、空間向量的數(shù)量積由a·b＝|a||b|cos〈a，b〉可知，利用該公式可求夾角、距離．還可由a·b＝0來判定垂直問題，要注意數(shù)量積是一個數(shù)，其符號由〈a，b〉的大小確定．三、空間向量與平行和垂直空間圖形中的平行與垂直問題是立體幾何中最重要的問題之一，主要是運(yùn)用直線的方向向量和平面的法向量解決．利用空間向量解決空間中的位置關(guān)系的常用方法有：(1)線線平行．證明兩條直線平行，只需證明兩條直線的方向向量是共線向量．(2)線線垂直．證明兩條直線垂直，只需證明兩直線的方向向量垂直，且a⊥b?a·b＝0.(3)線面平行．用向量證明線面平行的方法主要有：①證明直線的方向向量與平面的法向量垂直；②證明可在平面內(nèi)找到一個向量與直線的方向向量是共線向量；③利用共面向量定理，即證明可在平面內(nèi)找到兩不共線向量把直線的方向向量線性表示出來．(4)線面垂直．用向量證明線面垂直的方法主要有：①證明直線的方向向量與平面的法向量平行；②利用線面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為線線垂直問題．(5)面面平行．①證明兩個平面的法向量平行(即是共線向量)；②轉(zhuǎn)化為線面平行、線線平行問題．(6)面面垂直．①證明兩個平面的法向量互相垂直；②轉(zhuǎn)化為線面垂直、線線垂直問題．四、空間向量與空間角利用空間向量求空間角，一般有兩種方法：即幾何法和向量法，利用向量法只需求出直線的方向向量與平面的法向量即可．(1)求兩異面直線所成的角可利用公式cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a|·|b|)，但務(wù)必注意兩異面直線所成角θ的范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，而兩向量之間的夾角的范圍是[0，π]．故實質(zhì)上應(yīng)有cosθ＝|cos〈a，b〉|.(2)求線面角．求直線與平面所成的角時，一種方法是先求出直線及此直線在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，通過數(shù)量積求出直線與平面所成的角；另一種方法是借助平面的法向量，先求出直線的方向向量與平面法向量的夾角φ，即可求出直線與平面所成的角θ，其關(guān)系是sinθ＝|cosφ|.(3)求二面角．基向量法：利用定義在棱上找到兩個能表示二面角的向量，將其用一組基底表示，再做向量運(yùn)算；坐標(biāo)法：建立空間直角坐標(biāo)系，求得兩個半平面的法向量n1，n2，利用cos〈n1，n2〉＝eq\f(n1·n2,|n1||n2|)結(jié)合圖形求得．階段質(zhì)量檢測（三）(時間120分鐘，滿分160分)一、填空題(本大題共14小題，每小題5分，共70分．將答案填在題中的橫線上)1．已知a＝(－3,2,5)，b＝(1，x，－1)，且a·b＝2，則x的值是________．解析：a·b＝－3＋2x－5＝2，∴x＝5.答案：52．設(shè)A、B、C、D是空間不共面的四點，且滿足·＝0，·＝0，·＝0，則△BCD的形狀是________．解析：△BCD中，·＝(－)·(－)＝2＞0，∴∠B為銳角，同理，∠C，∠D均為銳角，∴△BCD為銳角三角形．答案：銳角三角形3．已知直線l與平面α垂直，直線的一個方向向量為u＝(1,3，z)，向量v＝(3，－2,1)與平面α平行，則z＝________.解析：∵平面α的法向量u＝(1,3，z)，v與平面α平行，∴u⊥v，∴u·v＝1×3＋3×(－2)＋z×1＝0，∴z＝3.答案：34．已知空間三點A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．若|a|＝eq\r(3)，且a分別與，垂直，則向量a為__________．解析：設(shè)a＝(x，y，z)，＝(－2，－1,3)，＝(1，－3,2)．則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋z2＝3，,－2x－y＋3z＝0，,x－3y＋2z＝0，))解得a＝(1,1,1)或(－1，－1，－1)．答案：(1,1,1)或(－1，－1，－1)5．已知A(1,5，－2)，B(2,4,1)，C(x,3，y＋2)，且A、B、C三點共線，則實數(shù)x，y的值分別為________、________.解析：若A、B、C三點共線，則，也共線．＝(1，－1,3)，＝(x－2，－1，y＋1)，∴eq\f(1,x－2)＝1＝eq\f(3,y＋1).∴x＝3，y＝2.答案：326．已知向量p關(guān)于基底{a，b，c}的坐標(biāo)為(3,2，－1)，則p關(guān)于基底{2a，－b，eq\f(1,2)c}的坐標(biāo)是________．解析：由已知得p＝3a＋2b－c，則p＝eq\f(3,2)(2a)＋(－2)(－b)＋(－2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)c)).故p關(guān)于基底eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(2a，－b，\f(1,2)c))的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－2，－2)).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－2，－2))7．已知直線l1，l2的方向向量分別為a，b，且a＝(1,2，－2)，b＝(－2,3，m)，若l1⊥l2，則實數(shù)m的值為________．解析：∵l1⊥l2，∴a⊥b.∴a·b＝1×(－2)＋2×3＋(－2)×m＝4－2m＝0.∴m＝2.答案：28．已知a＝(cosα，1，sinα)，b＝(sinα，1，cosα)，則向量a＋b與a－b的夾角是________．解析：(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝(cos2α＋sin2α＋1)－(sin2α＋1＋cos2α)＝0，∴(a＋b)⊥(a－b)．答案：90°9．已知向量a＝(cosθ，sinθ，1)，b＝(eq\r(3)，－1,2)，則|2a－b|的最大值是________．解析：因為2a－b＝(2cosθ－eq\r(3)，2sinθ＋1,0)，所以|2a－b|＝eq\r(2cosθ－\r(3)2＋2sinθ＋12)＝eq\r(8＋8sinθ－\f(π,3))≤4.答案：410．平面α的法向量為u＝(－1，－2，－1)，平面β的法向量為v＝(2,4,2)，則不重合的平面α與平面β的位置關(guān)系為________．解析：∵v＝－2(－1，－2，－1)＝－2u，∴v∥u，∴α∥β.答案：平行11．已知直角△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝4，D為AB的中點，沿中線將△ACD折起使得AB＝eq\r(13)，則二面角A－CD－B的大小為________．解析：如圖，取CD中點E，在平面BCD內(nèi)過B點作BF⊥CD，交CD延長線于F.據(jù)題意知AE⊥CD，AE＝BF＝eq\r(3)，EF＝2，AB＝eq\r(13).且〈，〉為二面角的平面角，由2＝(＋＋)2得13＝3＋3＋4＋2×3×cos〈，〉，∴cos〈，〉＝－eq\f(1,2)，∴〈，〉＝120°.即所求的二面角為120°.答案：120°12.如圖，在空間四邊形ABCD中，AC和BD為對角線，G為△ABC的重心，E是BD上一點，BE＝3ED，若以{，，}為基底，則＝________.解析：＝－＝＋eq\f(1,4)－eq\f(1,3)(＋)＝＋eq\f(1,4)－eq\f(1,4)－eq\f(1,3)－eq\f(1,3)＝－eq\f(1,12)－eq\f(1,3)＋eq\f(3,4).答案：－eq\f(1,12)－eq\f(1,3)＋eq\f(3,4)13．正方體ABCD－A1B1C1D1中，BB1與平面ACD1所成角的余弦值為________．解析：以D為原點，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，設(shè)正方體棱長為1，D(0,0,0)，B1(1,1,1)，B(1,1,0)，則＝(0,0,1)．∵B1D⊥平面ACD1，設(shè)BB1與平面ACD1所成的角為θ，∴cosθ＝eq\f(\r(6),3).答案：