高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省鹽城市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期6月期末考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．本試卷考試時(shí)間為120分鐘，試卷滿分150分，考試形式閉卷．2．本試卷中所有試題必須作答在答題卡上規(guī)定的位置，否則不給分．3．答題前，務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水簽字筆填寫在試卷及答題卡上．一、單選題：（本大題共8小題，每小題5分，計(jì)40分．每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的，請(qǐng)?jiān)诖痤}卡的指定位置填涂答案選項(xiàng)．）1.已知隨機(jī)變量，若，則（）A.0.2 B.0.3 C.0.7 D.0.8【答案】D【解析】隨機(jī)變量，，則，故.故選：D.2.已知，，若，則（）A. B.－1 C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，且，所以，解?故選：C3.若隨機(jī)事件A，B滿足，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由概率的性質(zhì)，.故選：B.4.白術(shù)是常見(jiàn)的大宗藥材，最早記載于《神農(nóng)本草經(jīng)》,又叫于術(shù)、片術(shù)，具有補(bǔ)脾健胃，燥濕利水等功效．今年白術(shù)從1月份到5月份每公斤的平均價(jià)格（單位：元）的數(shù)據(jù)如下表：月份12345每公斤平均價(jià)格77109137168199根據(jù)上表可得回歸方程，則實(shí)數(shù)的值為（）A.46 B.47 C.48 D.49【答案】C【解析】依題意，，又回歸直線方程必過(guò)樣本中心點(diǎn)，所以，解得.故選：C5.若雙曲線C：的漸近線與圓沒(méi)有公共點(diǎn)，則雙曲線C的離心率的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】雙曲線漸近線為，且與圓沒(méi)有公共點(diǎn)，圓心到漸近線的距離大于半徑，即，，，．故選：B．6.某中學(xué)開(kāi)設(shè)8個(gè)社團(tuán)課程，甲乙兩名同學(xué)分別從這8個(gè)社團(tuán)課程中隨機(jī)選2個(gè)課程報(bào)名，則兩人恰好有1個(gè)課程相同的選法有（）A.168種 B.336種 C.392種 D.640種【答案】B【解析】從這8個(gè)社團(tuán)課程中隨機(jī)選1個(gè)課程，是兩名同學(xué)共同選的1個(gè)課程，方法種數(shù)為種，從剩下的7個(gè)社團(tuán)課程中選2個(gè)課程，分別給甲乙兩名同學(xué)，方法種數(shù)為種，所以共有種.故選:B.7.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)積為，滿足，則（）A.175 B.185 C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?，?dāng)時(shí)，解得，當(dāng)時(shí)，所以，則，所以，又，所以是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以.故選：A8.已知函數(shù)，若，則m與n的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.不能確定【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，則，即，兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，則，則令，，令，解得：；令，解得：，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，所以，所以.故選：B.二、多選題：（本題共3個(gè)小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡的指定位置填涂答案選項(xiàng)．）9.2024年五一假期新片《維和防暴隊(duì)》,《末路狂花錢》,《穿過(guò)月亮的旅行》,《九龍城寨之圍城》，《間諜過(guò)家家代號(hào)：白》,《哈爾的移動(dòng)城堡》的豆瓣評(píng)分如下：,,，，，．則下列關(guān)于這組數(shù)據(jù)的說(shuō)法中正確的有（）A.均值為 B.中位數(shù)為C.方差為 D.第百分位數(shù)為【答案】ABD【解析】對(duì)于A：這組數(shù)據(jù)的均值為，故A正確；對(duì)于B、D：將數(shù)據(jù)從小到大排列為，，，，，，故中位數(shù)為，又，所以第百分位數(shù)為，故B、D正確；對(duì)于C：這組數(shù)據(jù)的方差為，故C錯(cuò)誤.故選：ABD10.已知正方體的棱長(zhǎng)為1，為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有（）A.平面B.若直線與平面所成角為，則點(diǎn)的軌跡是橢圓C.存在點(diǎn)，使得D.正方體的外接球被平面所截得的截面面積為【答案】ACD【解析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，所以，，，所以，，所以，，即，，又，平面，所以平面，故A正確；設(shè)，則，又平面的法向量可以為，依題意，所以，所以直線與平面所成角為，則點(diǎn)的軌跡是圓，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，，所以?dāng)時(shí)滿足，故C正確；正方體的外接球的直徑為正方體的體對(duì)角線，則外接球的半徑，球心為的中點(diǎn)，設(shè)為，則，由平面，所以平面的一個(gè)法向量為，又，所以點(diǎn)到平面的距離，設(shè)平面被外接球所截的截面圓的半徑為，則，所以截面圓的面積，故D正確.故選：ACD11.定義：過(guò)曲線上一點(diǎn)且垂直于該點(diǎn)處切線的直線為曲線在該點(diǎn)處的法線．已知是拋物線C：上一點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線C的焦點(diǎn)，點(diǎn)P處的切線與y軸交于點(diǎn)T，點(diǎn)P處的法線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)G，與拋物線C交于另一點(diǎn)B，點(diǎn)M是PG的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有（）A.點(diǎn)T的坐標(biāo)是 B.的方程是C. D.過(guò)點(diǎn)M的拋物線C的法線有且只有【答案】BC【解析】對(duì)于A，由題得，故拋物線C方程為即，故，所以點(diǎn)處的切線斜率為2，所以切線方程為即，令，則，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由A以及法向量定義可知切線的法向量的斜率為，故的方程為即，故B正確；對(duì)于C，對(duì)于，令，則，所以；令，則，所以，聯(lián)立或，即，，所以，，，則，，故，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)镸是PG的中點(diǎn)，故由上得，所以，設(shè)過(guò)點(diǎn)M的法線與拋物線C的交點(diǎn)為，由分析可知點(diǎn)處的切線斜率為，故法線斜率為，所以點(diǎn)處的法線方程為，將代入法線方程得，即或，故或，所以過(guò)點(diǎn)M的拋物線C的法線有兩條.故D錯(cuò).故選：BC.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，計(jì)15分．第14題第一空2分，第二空3分．不需寫出解答過(guò)程，請(qǐng)把答案寫在答題卡的指定位置上）12.展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)_____．【答案】【解析】的系數(shù)分別為，故展開(kāi)式中的系數(shù)和為.故答案為：.13.一種拋擲骰子游戲：若拋擲出點(diǎn)數(shù)為1，2，則得0分；若拋擲出點(diǎn)數(shù)為3，4，5，6，則得2分．現(xiàn)拋擲骰子10次，則得分X的期望值為_(kāi)_____．【答案】【解析】設(shè)拋擲骰子一次得分，則，，，所以，因?yàn)?，所?故答案為：.14.祖暅，祖沖之之子，他的“祖暅原理”﹔冪勢(shì)既同，則積不容異．意思是：夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等．將雙曲線E：與，所圍成的平面圖形（含邊界）繞其虛軸旋轉(zhuǎn)一周得到如圖所示的幾何體，其中線段OA為雙曲線的實(shí)半軸，直線分別與雙曲線E的一條漸近線及右支交于點(diǎn)B和C，則線段BC旋轉(zhuǎn)一周所得圖形的面積為_(kāi)_____，幾何體的體積為_(kāi)_____．【答案】；【解析】由雙曲線得，則漸近線方程為，所以，則；又，則，則線段旋轉(zhuǎn)一周所得的圖形的面積為：；設(shè)在直線和之間的任一條直線，分別與雙曲線E的一條漸近線及右支交于點(diǎn)G和F，由，則，又，則，則線段旋轉(zhuǎn)一周所得的圖形的面積為：，則被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，兩個(gè)截面的面積總相等，又雙曲線的實(shí)半軸，此時(shí)截面面積為，所以根據(jù)祖暅定理可得,幾何體的體積為.故答案為：；四、解答題（本大題共6小題，計(jì)77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟，請(qǐng)把答案寫在答題卡的指定區(qū)域內(nèi)）15.盒中有四張卡片，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，現(xiàn)從盒中任取兩張卡片，記取到偶數(shù)的個(gè)數(shù)為．（1）求；（2）求的分布列．解：（1）表示的隨機(jī)事件是“取到的兩張卡片上的數(shù)字是一個(gè)偶數(shù)、一個(gè)奇數(shù)”，所以；（2）依題意的可能取值為，，，則，，，所以的分布列如下所示：16.已知數(shù)列是正項(xiàng)等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，且，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求滿足的最大整數(shù)n．解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公比為，則，則，因?yàn)椋?，，所?（2）因?yàn)?，，，所以bn在上單調(diào)遞增，，滿足的最大整數(shù)為.17.如圖，在四棱錐中，平面平面，四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形，為等邊三角形，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足．（1）求證：平面﹔（2）求二面角的余弦值．解：（1）如圖，連接交于，連接，由是的中點(diǎn)可得，又為正方形，所以，所以，所以，即，又，即，所以/，又平面，平面，所以平面；（2）因平面平面，且平面平面，為等邊三角形，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，可得，又平面，故得平面.如圖，取的中點(diǎn)為，連接，分別以為軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.則，， 所以，，則，設(shè)平面的法向量為，由，則，故可取；又平面的一個(gè)法向量為，所以，由圖可知二面角的平面角為銳角，所以二面角的余弦值為.18.已知函數(shù)．（1）若函數(shù)的圖象在處的切線與直線平行．①求實(shí)數(shù)值；②對(duì)于任意，，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若函數(shù)存在極小值，試用零點(diǎn)存在定理證明：存在，使得等于函數(shù)的極小值．解：（1）①函數(shù)的定義域?yàn)?，，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象在處的切線與直線平行，即，解得或；當(dāng)時(shí)，則，則函數(shù)的圖象在處的切線為，與直線平行，符合題意；當(dāng)時(shí)，則，則函數(shù)的圖象在處的切線為，與直線重合，不符合題意；所以.②對(duì)于任意，，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，即恒成立，所以在上單調(diào)遞減，令，，則在上恒成立，所以在上恒成立，令，，則在上單調(diào)遞遞增，所以，所以在上單調(diào)遞遞增，所以，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為；（2）函數(shù)的定義域?yàn)?，且，?dāng)時(shí)恒成立，所以在上單調(diào)遞增，則無(wú)極值，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，的關(guān)系如下所示：?jiǎn)握{(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以處取得極小值，令，則，，（，所以，則，所以），所以，又在上為連續(xù)函數(shù)，所以在上存在零點(diǎn)，即使得，此時(shí)，所以存在，使得等于函數(shù)的極小值.19.在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓E：的離心率為，右焦點(diǎn)F到橢圓E上任意一點(diǎn)的最小距離為1．（1）求橢圓E的方程；（2）設(shè)A，B為橢圓E的左，右頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作直線l交橢圓E于C，D兩點(diǎn)，C與A，B不重合），連接，交于點(diǎn)Q．①求證：點(diǎn)Q在定直線上：②設(shè)，，求的最大值．解：（1）由題意得，，所以橢圓E的方程為.（2）①由（1），，，故可設(shè)直線，聯(lián)立，則，設(shè)，則，，，由題意可知直線與直線斜率存在，則，，聯(lián)立所以，故點(diǎn)Q在定直線上.②由上以及，得：，，故，，即，，所以，因?yàn)?，故，所以最大值為，即的最大值?江蘇省鹽城市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期6月期末考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．本試卷考試時(shí)間為120分鐘，試卷滿分150分，考試形式閉卷．2．本試卷中所有試題必須作答在答題卡上規(guī)定的位置，否則不給分．3．答題前，務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水簽字筆填寫在試卷及答題卡上．一、單選題：（本大題共8小題，每小題5分，計(jì)40分．每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的，請(qǐng)?jiān)诖痤}卡的指定位置填涂答案選項(xiàng)．）1.已知隨機(jī)變量，若，則（）A.0.2 B.0.3 C.0.7 D.0.8【答案】D【解析】隨機(jī)變量，，則，故.故選：D.2.已知，，若，則（）A. B.－1 C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，且，所以，解?故選：C3.若隨機(jī)事件A，B滿足，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由概率的性質(zhì)，.故選：B.4.白術(shù)是常見(jiàn)的大宗藥材，最早記載于《神農(nóng)本草經(jīng)》,又叫于術(shù)、片術(shù)，具有補(bǔ)脾健胃，燥濕利水等功效．今年白術(shù)從1月份到5月份每公斤的平均價(jià)格（單位：元）的數(shù)據(jù)如下表：月份12345每公斤平均價(jià)格77109137168199根據(jù)上表可得回歸方程，則實(shí)數(shù)的值為（）A.46 B.47 C.48 D.49【答案】C【解析】依題意，，又回歸直線方程必過(guò)樣本中心點(diǎn)，所以，解得.故選：C5.若雙曲線C：的漸近線與圓沒(méi)有公共點(diǎn)，則雙曲線C的離心率的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】雙曲線漸近線為，且與圓沒(méi)有公共點(diǎn)，圓心到漸近線的距離大于半徑，即，，，．故選：B．6.某中學(xué)開(kāi)設(shè)8個(gè)社團(tuán)課程，甲乙兩名同學(xué)分別從這8個(gè)社團(tuán)課程中隨機(jī)選2個(gè)課程報(bào)名，則兩人恰好有1個(gè)課程相同的選法有（）A.168種 B.336種 C.392種 D.640種【答案】B【解析】從這8個(gè)社團(tuán)課程中隨機(jī)選1個(gè)課程，是兩名同學(xué)共同選的1個(gè)課程，方法種數(shù)為種，從剩下的7個(gè)社團(tuán)課程中選2個(gè)課程，分別給甲乙兩名同學(xué)，方法種數(shù)為種，所以共有種.故選:B.7.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)積為，滿足，則（）A.175 B.185 C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?，?dāng)時(shí)，解得，當(dāng)時(shí)，所以，則，所以，又，所以是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以.故選：A8.已知函數(shù)，若，則m與n的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.不能確定【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，則，即，兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，則，則令，，令，解得：；令，解得：，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，所以，所以.故選：B.二、多選題：（本題共3個(gè)小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡的指定位置填涂答案選項(xiàng)．）9.2024年五一假期新片《維和防暴隊(duì)》,《末路狂花錢》,《穿過(guò)月亮的旅行》,《九龍城寨之圍城》，《間諜過(guò)家家代號(hào)：白》,《哈爾的移動(dòng)城堡》的豆瓣評(píng)分如下：,,，，，．則下列關(guān)于這組數(shù)據(jù)的說(shuō)法中正確的有（）A.均值為 B.中位數(shù)為C.方差為 D.第百分位數(shù)為【答案】ABD【解析】對(duì)于A：這組數(shù)據(jù)的均值為，故A正確；對(duì)于B、D：將數(shù)據(jù)從小到大排列為，，，，，，故中位數(shù)為，又，所以第百分位數(shù)為，故B、D正確；對(duì)于C：這組數(shù)據(jù)的方差為，故C錯(cuò)誤.故選：ABD10.已知正方體的棱長(zhǎng)為1，為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有（）A.平面B.若直線與平面所成角為，則點(diǎn)的軌跡是橢圓C.存在點(diǎn)，使得D.正方體的外接球被平面所截得的截面面積為【答案】ACD【解析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，所以，，，所以，，所以，，即，，又，平面，所以平面，故A正確；設(shè)，則，又平面的法向量可以為，依題意，所以，所以直線與平面所成角為，則點(diǎn)的軌跡是圓，故B錯(cuò)誤；因?yàn)椋?，所以?dāng)時(shí)滿足，故C正確；正方體的外接球的直徑為正方體的體對(duì)角線，則外接球的半徑，球心為的中點(diǎn)，設(shè)為，則，由平面，所以平面的一個(gè)法向量為，又，所以點(diǎn)到平面的距離，設(shè)平面被外接球所截的截面圓的半徑為，則，所以截面圓的面積，故D正確.故選：ACD11.定義：過(guò)曲線上一點(diǎn)且垂直于該點(diǎn)處切線的直線為曲線在該點(diǎn)處的法線．已知是拋物線C：上一點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線C的焦點(diǎn)，點(diǎn)P處的切線與y軸交于點(diǎn)T，點(diǎn)P處的法線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)G，與拋物線C交于另一點(diǎn)B，點(diǎn)M是PG的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有（）A.點(diǎn)T的坐標(biāo)是 B.的方程是C. D.過(guò)點(diǎn)M的拋物線C的法線有且只有【答案】BC【解析】對(duì)于A，由題得，故拋物線C方程為即，故，所以點(diǎn)處的切線斜率為2，所以切線方程為即，令，則，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由A以及法向量定義可知切線的法向量的斜率為，故的方程為即，故B正確；對(duì)于C，對(duì)于，令，則，所以；令，則，所以，聯(lián)立或，即，，所以，，，則，，故，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)镸是PG的中點(diǎn)，故由上得，所以，設(shè)過(guò)點(diǎn)M的法線與拋物線C的交點(diǎn)為，由分析可知點(diǎn)處的切線斜率為，故法線斜率為，所以點(diǎn)處的法線方程為，將代入法線方程得，即或，故或，所以過(guò)點(diǎn)M的拋物線C的法線有兩條.故D錯(cuò).故選：BC.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，計(jì)15分．第14題第一空2分，第二空3分．不需寫出解答過(guò)程，請(qǐng)把答案寫在答題卡的指定位置上）12.展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)_____．【答案】【解析】的系數(shù)分別為，故展開(kāi)式中的系數(shù)和為.故答案為：.13.一種拋擲骰子游戲：若拋擲出點(diǎn)數(shù)為1，2，則得0分；若拋擲出點(diǎn)數(shù)為3，4，5，6，則得2分．現(xiàn)拋擲骰子10次，則得分X的期望值為_(kāi)_____．【答案】【解析】設(shè)拋擲骰子一次得分，則，，，所以，因?yàn)?，所?故答案為：.14.祖暅，祖沖之之子，他的“祖暅原理”﹔冪勢(shì)既同，則積不容異．意思是：夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等．將雙曲線E：與，所圍成的平面圖形（含邊界）繞其虛軸旋轉(zhuǎn)一周得到如圖所示的幾何體，其中線段OA為雙曲線的實(shí)半軸，直線分別與雙曲線E的一條漸近線及右支交于點(diǎn)B和C，則線段BC旋轉(zhuǎn)一周所得圖形的面積為_(kāi)_____，幾何體的體積為_(kāi)_____．【答案】；【解析】由雙曲線得，則漸近線方程為，所以，則；又，則，則線段旋轉(zhuǎn)一周所得的圖形的面積為：；設(shè)在直線和之間的任一條直線，分別與雙曲線E的一條漸近線及右支交于點(diǎn)G和F，由，則，又，則，則線段旋轉(zhuǎn)一周所得的圖形的面積為：，則被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，兩個(gè)截面的面積總相等，又雙曲線的實(shí)半軸，此時(shí)截面面積為，所以根據(jù)祖暅定理可得,幾何體的體積為.故答案為：；四、解答題（本大題共6小題，計(jì)77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟，請(qǐng)把答案寫在答題卡的指定區(qū)域內(nèi)）15.盒中有四張卡片，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，現(xiàn)從盒中任取兩張卡片，記取到偶數(shù)的個(gè)數(shù)為．（1）求；（2）求的分布列．解：（1）表示的隨機(jī)事件是“取到的兩張卡片上的數(shù)字是一個(gè)偶數(shù)、一個(gè)奇數(shù)”，所以；（2）依題意的可能取值為，，，則，，，所以的分布列如下所示：16.已知數(shù)列是正項(xiàng)等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，且，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求滿足的最大整數(shù)n．解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公比為，則，則，因?yàn)?，所以，，所?（2）因?yàn)?，，，所以bn在上單調(diào)遞增，，滿足的最大整數(shù)為.17.如圖，在四棱錐中，平面平面，四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形，為等邊三角形，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足．（1）求證：平面﹔（2）求二面角的余弦值．解：（1）如圖，連接交于，連接，由是的中點(diǎn)可得，又為正方形，所以，所以，所以，即，又，即，所以/，又平面，平面，所以平面；（2）因平面