高級中學名校試卷PAGEPAGE1云南省曲靖市師宗縣2023-2024學年高二下學期期末考試數(shù)學試題注意事項：1．答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．請按題號順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．3．選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標號涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚．4．考試結(jié)束后，請將試卷和答題卡一并上交．5．本卷主要考查內(nèi)容：高考范圍．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知全集，且，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，且，所以，因為，，所以，所以．故選：B．2.已知復數(shù)，若是實數(shù)，則實數(shù)（）A.3 B. C.6 D.【答案】C【解析】因為，則，∴，得到，故選：C．3.函數(shù)的最小正周期為（）A.1 B.2 C. D.【答案】A【解析】函數(shù)的最小正周期為.故選：A.4.在等比數(shù)列中，，公比，則（）A.6 B. C.12 D.【答案】A【解析】.故選：A．5.已知向量，，且，則（）A.2 B. C.2或 D.2或【答案】C【解析】由或,故選:C．6.從由1，2，3，4，5組成的沒有重復數(shù)字的兩位數(shù)中任取一個，則這個兩位數(shù)大于40的個數(shù)是（）A.6 B.8 C.10 D.12【答案】B【解析】這個兩位數(shù)大于40的個數(shù)為．故選：B．7.如圖，已知圓錐的軸截面是等邊三角形，底面圓的半徑為2，現(xiàn)把該圓錐打磨成一個球，則該球半徑的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】當球是圓錐的內(nèi)切球時球半徑最大，此時截面大圓為等邊三角形的內(nèi)切圓，根據(jù)正三角形三心合一，可知內(nèi)心即為重心，所以圓半徑為正三角形高的，即．故選：B．8.已知，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，所以，即，解方程得或（舍）.因為，所以，，所以.故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知為等差數(shù)列的前項和，且，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.為遞減數(shù)列C. D.【答案】ACD【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為，可得，解得，所以，所以A正確；因為，所以數(shù)列為遞增數(shù)列，所以B錯誤；由，可得，所以C正確；因為，所以，所以D正確．故選：ACD．10.已知函數(shù)，下列說法正確的是（）A.函數(shù)在上單調(diào)遞增 B.函數(shù)在上單調(diào)遞減C.函數(shù)的極小值為 D.若有3個不等實根，則【答案】BCD【解析】對于A，因為，所以，，，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，故A錯誤；對于B，在上，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故B正確；對于C，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當時，取極小值，故C正確；對于D，，故，根據(jù)待定系數(shù)法得，故D正確.故選：BCD.11.設(shè)橢圓的左右焦點為，，是上的動點，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.離心率C.面積的最大值為D.以線段為直徑的圓與直線相切【答案】AD【解析】由題意，橢圓，可得，可得，所以焦點為,根據(jù)橢圓的定義，所以A正確；橢圓的離心率為，所以B錯誤；其中面積的最大值為，所以C錯誤；由原點到直線的距離，所以以線段為直徑的圓與直線相切，所以D正確.故選：AD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知函數(shù)滿足，且是偶函數(shù)，在上有，則_______．【答案】1【解析】由題意可知．故答案為：13.如圖,在直四棱柱中,當?shù)酌嫠倪呅螡M足條件_______時,有.（注：填上你認為正確的一種條件即可，不必考慮所有可能的情形．）【答案】【解析】當時，有．理由如下：連接，因為平面，平面，所以，因為∥，∥，，所以，因為，平面，所以平面，因為平面，所以.故答案為：14.已知拋物線，過的直線交拋物線于兩點，且，則直線的方程為__________.【答案】【解析】因為在拋物線內(nèi)部，又，所以是的中點.設(shè)，所以，即，又在拋物線上，所以，兩式作差，得，所以，所以直線的方程為，即.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．15.在中，角A，B，C所對邊分別為a，b，c，且滿足（1）求A；（2）若，求a的最小值.解：（1），即，即；（2）由余弦定理有，當且僅當時取等號，故a的最小值為1.16.如圖，在四棱錐中，底面ABCD為矩形，平面PAD，E是AD的中點，為等腰直角三角形，，．（1）求證：；（2）求PC與平面PBE所成角的正弦值．解：（1）∵平面，平面PAD，∴，又∵是等腰直角三角形，是斜邊AD的中點，∴，又∵平面，平面，，∴平面∵平面ABCD，∴；（2）如圖，以為原點，EP，EA所在的直線為軸，軸，在平面ABCD內(nèi)，通過點作AD的垂線為軸，建立空間直角坐標系，不妨設(shè)，則，，，則，，設(shè)平面PBE的法向量為，，取，則，故為平面PBE的一個法向量，設(shè)PC與平面PBE所成的角為，則，∴與平面PBE所成角的正弦值為．17.某工廠在春節(jié)期間為職工舉辦了趣味有獎燈謎活動，有6個燈謎，編號為：個燈謎中猜對1個獲“小獎”，猜對3個獲“中獎”，猜對6個獲“大獎”．（1）小王從6個燈謎中任取3個作答，設(shè)選中編號為的燈謎的個數(shù)為隨機變量X，求X的分布列及數(shù)學期望；（2）若小王猜對任一編號燈謎的概率為，求小王在猜對編號為的燈謎的條件下，獲得“中獎”的概率.解：（1）由題意得X可取，，，所求分布列為：X0123P數(shù)學期望（2）設(shè)“小王猜對號燈謎為”為事件A，“小王獲得中獎”為事件B，則，故，即小王在猜對編號為的燈謎的條件下，獲得“中獎”的概率為．18.已知雙曲線過點，左、右頂點分別為，，直線與直線的斜率之和為．（1）求雙曲線的標準方程；（2）過雙曲線右焦點的直線交雙曲線右支于，（在第一象限）兩點，，是雙曲線上一點，的重心在軸上，求點的坐標．解：（1）依題意左、右頂點分別為，，所以，解得，將代入得，解得，故雙曲線方程為；（2）設(shè)，，直線的方程為，將代入整理得，，∴，，又由，代入上式得，解得，，因為的重心在軸上，所以，所以，代入雙曲線得，故或．19.已知函數(shù)（）．（1）當時，求函數(shù)的最小值；（2）若，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）當時，，，可得，，令，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，則函數(shù)的最小值為；（2）由題意有，又由函數(shù)（）單調(diào)遞減，且，可得，下面證明：當時，，由關(guān)于的函數(shù)（）單調(diào)遞減，則有，由（1）有，故有在時恒成立，故若，則實數(shù)的取值范圍為．云南省曲靖市師宗縣2023-2024學年高二下學期期末考試數(shù)學試題注意事項：1．答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．請按題號順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．3．選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標號涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚．4．考試結(jié)束后，請將試卷和答題卡一并上交．5．本卷主要考查內(nèi)容：高考范圍．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知全集，且，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，且，所以，因為，，所以，所以．故選：B．2.已知復數(shù)，若是實數(shù)，則實數(shù)（）A.3 B. C.6 D.【答案】C【解析】因為，則，∴，得到，故選：C．3.函數(shù)的最小正周期為（）A.1 B.2 C. D.【答案】A【解析】函數(shù)的最小正周期為.故選：A.4.在等比數(shù)列中，，公比，則（）A.6 B. C.12 D.【答案】A【解析】.故選：A．5.已知向量，，且，則（）A.2 B. C.2或 D.2或【答案】C【解析】由或,故選:C．6.從由1，2，3，4，5組成的沒有重復數(shù)字的兩位數(shù)中任取一個，則這個兩位數(shù)大于40的個數(shù)是（）A.6 B.8 C.10 D.12【答案】B【解析】這個兩位數(shù)大于40的個數(shù)為．故選：B．7.如圖，已知圓錐的軸截面是等邊三角形，底面圓的半徑為2，現(xiàn)把該圓錐打磨成一個球，則該球半徑的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】當球是圓錐的內(nèi)切球時球半徑最大，此時截面大圓為等邊三角形的內(nèi)切圓，根據(jù)正三角形三心合一，可知內(nèi)心即為重心，所以圓半徑為正三角形高的，即．故選：B．8.已知，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，所以，即，解方程得或（舍）.因為，所以，，所以.故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知為等差數(shù)列的前項和，且，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.為遞減數(shù)列C. D.【答案】ACD【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為，可得，解得，所以，所以A正確；因為，所以數(shù)列為遞增數(shù)列，所以B錯誤；由，可得，所以C正確；因為，所以，所以D正確．故選：ACD．10.已知函數(shù)，下列說法正確的是（）A.函數(shù)在上單調(diào)遞增 B.函數(shù)在上單調(diào)遞減C.函數(shù)的極小值為 D.若有3個不等實根，則【答案】BCD【解析】對于A，因為，所以，，，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，故A錯誤；對于B，在上，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故B正確；對于C，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當時，取極小值，故C正確；對于D，，故，根據(jù)待定系數(shù)法得，故D正確.故選：BCD.11.設(shè)橢圓的左右焦點為，，是上的動點，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.離心率C.面積的最大值為D.以線段為直徑的圓與直線相切【答案】AD【解析】由題意，橢圓，可得，可得，所以焦點為,根據(jù)橢圓的定義，所以A正確；橢圓的離心率為，所以B錯誤；其中面積的最大值為，所以C錯誤；由原點到直線的距離，所以以線段為直徑的圓與直線相切，所以D正確.故選：AD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知函數(shù)滿足，且是偶函數(shù)，在上有，則_______．【答案】1【解析】由題意可知．故答案為：13.如圖,在直四棱柱中,當?shù)酌嫠倪呅螡M足條件_______時,有.（注：填上你認為正確的一種條件即可，不必考慮所有可能的情形．）【答案】【解析】當時，有．理由如下：連接，因為平面，平面，所以，因為∥，∥，，所以，因為，平面，所以平面，因為平面，所以.故答案為：14.已知拋物線，過的直線交拋物線于兩點，且，則直線的方程為__________.【答案】【解析】因為在拋物線內(nèi)部，又，所以是的中點.設(shè)，所以，即，又在拋物線上，所以，兩式作差，得，所以，所以直線的方程為，即.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．15.在中，角A，B，C所對邊分別為a，b，c，且滿足（1）求A；（2）若，求a的最小值.解：（1），即，即；（2）由余弦定理有，當且僅當時取等號，故a的最小值為1.16.如圖，在四棱錐中，底面ABCD為矩形，平面PAD，E是AD的中點，為等腰直角三角形，，．（1）求證：；（2）求PC與平面PBE所成角的正弦值．解：（1）∵平面，平面PAD，∴，又∵是等腰直角三角形，是斜邊AD的中點，∴，又∵平面，平面，，∴平面∵平面ABCD，∴；（2）如圖，以為原點，EP，EA所在的直線為軸，軸，在平面ABCD內(nèi)，通過點作AD的垂線為軸，建立空間直角坐標系，不妨設(shè)，則，，，則，，設(shè)平面PBE的法向量為，，取，則，故為平面PBE的一個法向量，設(shè)PC與平面PBE所成的角為，則，∴與平面PBE所成角的正弦值為．17.某工廠在春節(jié)期間為職工舉辦了趣味有獎燈謎活動，有6個燈謎，編號為：個燈謎中猜對1個獲“小獎”，猜對3個獲“中獎”，猜對6個獲“大獎”．（1）小王從6個燈謎中任取3個作答，設(shè)選中編號為的燈謎的個數(shù)為隨機變量X，求X的分布列及數(shù)學期望；（2）若小王猜對任一編號燈謎的概率為，求小王在猜對編號為的燈謎的條件下，獲得“中獎”的概率.解：（1）由題意得X可取，，，所求分布列為：X0123P數(shù)學期望（2）設(shè)“小王猜對號燈謎為”為事件A，“小王獲得中獎”為事件B，則，故，即小王在猜對編號為的燈謎的條件下，獲得“中獎”的概率為．18.已知雙曲線過點，左、右頂點分別為，，直線與直線的斜率之和為．（1）求雙曲線的標準方程；（2）過雙曲線右焦點的直線交雙曲線右支于，（在第一象限）兩點，，是雙曲