視野拓展一物理中的三維空間情境問(wèn)題

在近兒年高考試題中出現(xiàn)了不少三維空間情境問(wèn)題，且出現(xiàn)頻率有增多的趨勢(shì)。這類問(wèn)題對(duì)學(xué)生的空間

想象能力要求較高，大多數(shù)學(xué)生看到題目后往往束手無(wú)策。下面通過(guò)具體的、典型的例題談一下這類問(wèn)題的

解題技法。

對(duì)稱等效法

技法一

【典例1】如圖所示，有一長(zhǎng)方體八ACKA/iG。1，AR=2RC,R%=RGM、N、P、Q分別為AR、

45、C,D,.CO的中點(diǎn)（圖中未畫出），下列說(shuō)法正確的是（）

A.若4點(diǎn)放置一正點(diǎn)電荷，則電勢(shì)差Uca>UNP

B.若8點(diǎn)放置一正點(diǎn)電荷，則電勢(shì)差UCCI=UNP

C.若在BI、8兩點(diǎn)放置等量異種點(diǎn)電荷，G、M兩點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)相同

D.若在當(dāng)、8兩點(diǎn)放置等量異種點(diǎn)電荷，。、功兩點(diǎn)的電勢(shì)相等

答案：A

解析：如圖所示，若在3點(diǎn)放一正點(diǎn)電荷，連接BP,以B為圓心，分別以8C、AN的長(zhǎng)為半徑作圓弧，分

別交8P于R、S點(diǎn)、,則0c=%?,（pci=（ps,故有UCCI=URS,又因?yàn)椤?"，故有UNP=USP,設(shè)3C=d,則

有RS=（V2-1）J,SP=（次一夜）d,顯然RS>SP,根據(jù)正點(diǎn)電荷電場(chǎng)的特點(diǎn)，可知RS段的平均電場(chǎng)

強(qiáng)度大于SP段的，兄離正點(diǎn)電荷越遠(yuǎn)場(chǎng)強(qiáng)越小、電勢(shì)越低，根據(jù)U-EQ,故必有即Ucci>

UNP,逸項(xiàng)A正確，B錯(cuò)誤；若在歷、8兩點(diǎn)放等量的異種點(diǎn)電荷，在G點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)方向在BBiGC面

上，在M點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)方向在44B出面上，故此兩點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)方向一定不同，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；若在辦、B兩點(diǎn)

放置等量的異種點(diǎn)電荷，囪、8連線的中垂面是等勢(shì)面，則。、5兩點(diǎn)分布在中垂面的兩側(cè)，電勢(shì)不相等，

選項(xiàng)D錯(cuò)誤。

名師指津

在處理三維空間情境中有圖形對(duì)稱特點(diǎn)的物理問(wèn)題時(shí)，可通過(guò)分割、填補(bǔ)、等效法將非理想化的物理問(wèn)

題轉(zhuǎn)化成熟悉的具有對(duì)稱性的物理問(wèn)題。如［典例1］中將三維空間中不在同一平面上各點(diǎn)電勢(shì)問(wèn)題通過(guò)等

勢(shì)面轉(zhuǎn)化為同一平面或同一直線上的也勢(shì)問(wèn)題。

【即時(shí)訓(xùn)練】

1.一球面均勻帶有負(fù)電荷，球內(nèi)的電場(chǎng)強(qiáng)度處處為零，。為球心.A、B為直徑上的兩點(diǎn)，OA=OB,現(xiàn)垂直

于48將球面均分為左右兩部分，C為截面上的一點(diǎn)，移去左半球面，右半球面所帶電荷仍均勻分布，如圖

所不，則0、C兩點(diǎn)電勢(shì)夕0、9c大小關(guān)系為（）

A"?！?。。B.夕。二伙7

C.30V(pcD.無(wú)法確定

解析：B對(duì)于完整帶電球面，在其內(nèi)部A8的中垂面上各點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)為零，可知左、右半球面在此中垂面上各

點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)等大反向，因左、右半球面的電場(chǎng)關(guān)于中垂面對(duì)稱，則左、右半球面各自在中垂面上各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)方

向均垂直于中垂面，則左半球面移走之后，右半球面在中垂面上各點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)均垂直于中垂面，則中垂面為等勢(shì)

面，見(jiàn)O、C兩點(diǎn)電勢(shì)相等，故B正確，A、C、D錯(cuò)誤。

分段法

技法二

【典例2】在芯片制造過(guò)程中，離子注入是其中一道重要的工序。如圖所示是離子注入工作原理示意圖,

離子經(jīng)加速后沿水平方向進(jìn)入速度選擇器，然后通過(guò)磁分析器，選擇出特定比荷的離子，經(jīng)偏轉(zhuǎn)系統(tǒng)后注入

處在水平面內(nèi)的晶圓(硅片)。速度選擇器和磁分析器中的勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為8,方向均垂直

紙面向外；速度選擇器和偏轉(zhuǎn)系統(tǒng)中的勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小均為石，方向分別為豎直向上和垂直紙面向

外。磁分析器截面是內(nèi)外半徑分別為凡和&的四分之一圓環(huán)，其兩端中心位置M和N處各有一個(gè)小孔；偏

轉(zhuǎn)系統(tǒng)中電場(chǎng)的分布區(qū)域是一邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的正方體，其底面與晶圓所在水平面平行，間距為2L。當(dāng)偏轉(zhuǎn)系統(tǒng)

不加電場(chǎng)時(shí)，離子恰好豎直注入晶圓上的。點(diǎn)。整個(gè)系統(tǒng)置于真空中，不計(jì)離子重力。求：

<1)離子通過(guò)速度選擇器的速度大小y和磁分析器選擇出來(lái)離子的比荷;

(2)偏轉(zhuǎn)系統(tǒng)加電場(chǎng)時(shí)離子注入晶圓的位置到。點(diǎn)的距離。

答案?(1)--------.......2.(2)—^

口乖,B(%+&)BRX+R2

解析：(1)能通過(guò)速度選擇器的離子受到的靜電力和洛倫茲力等大反向，有qvB=qE,即i，=《

從磁分析器中心孔N射出離子的運(yùn)動(dòng)半徑為/?二中

2

ri,,niv_Dq_v_2E

~R,2。

(2)經(jīng)過(guò)偏轉(zhuǎn)系統(tǒng)過(guò)程中，豎直方向離子做勻速直線運(yùn)動(dòng)，沿電場(chǎng)方向做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，設(shè)偏轉(zhuǎn)的距離

為為，離開偏轉(zhuǎn)系統(tǒng)時(shí)，離子速度與豎直方向的夾角為仇

則為=白絲(-)2

2mv

離開電場(chǎng)后，離子繼續(xù)偏轉(zhuǎn)的距離為X2,

則X2=2Ltan0

所以離子注入晶圓的位置到。點(diǎn)的距離x-+k氤

名師指津

當(dāng)物體在三維空間情境中的運(yùn)動(dòng)可分為多個(gè)階段或過(guò)程，而各個(gè)階段或過(guò)程又分別在不同的平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)

時(shí)，則可將三維空間情境中的物理問(wèn)題通過(guò)分段等方法轉(zhuǎn)化為我們熟悉的二維空間中的問(wèn)題來(lái)處理。如【典

例2】中離子通過(guò)速度選擇器、磁分析器的過(guò)程在紙面內(nèi)運(yùn)動(dòng)；當(dāng)離子進(jìn)入偏轉(zhuǎn)系統(tǒng)后則在垂直于紙面的豎

直平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)。

【即時(shí)訓(xùn)練】

2.（多選）（2022?湖南府考）如圖，間距L=1m的U形金屬導(dǎo)軌，-一端接有0.1Q的定值電阻R,固定在

高〃=0.8m的絕緣水平桌面上。質(zhì)量均為0.1kg的勻質(zhì)導(dǎo)體棒。和〃靜止在導(dǎo)軌上，兩導(dǎo)體棒與導(dǎo)軌接觸良

好且始終與導(dǎo)軌垂直，接入電路的限值均為0.1Q,與導(dǎo)軌間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為0.1（設(shè)最大靜摩擦力等于滑

動(dòng)摩擦力），導(dǎo)體棒〃距離導(dǎo)軌最右端1.74m。整個(gè)空間存在豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)（圖中未畫出），磁感應(yīng)

強(qiáng)度大小為0.1T。用戶=0.5N沿導(dǎo)軌水平向右的恒力拉導(dǎo)體棒小當(dāng)導(dǎo)體棒。運(yùn)動(dòng)到導(dǎo)軌最右端時(shí)，導(dǎo)體

棒〃跳要滑動(dòng)，撤去F,導(dǎo)體棒。離開導(dǎo)軌后落到水平地面上。重力加速度取10m*,不計(jì)空氣阻力，不計(jì)

其他電阻，下列說(shuō)法正確的是（）

A.導(dǎo)體棒。離開導(dǎo)軌至落地過(guò)程中，水平位移為0.6m

B.導(dǎo)體棒。離開導(dǎo)軌至落地前，其感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)不變

C.導(dǎo)體棒。在導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，導(dǎo)體棒匕有向右運(yùn)動(dòng)的趨勢(shì)

D.導(dǎo)體棒。在導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，通過(guò)電阻R的電荷量為0.58C

解析：BD導(dǎo)體棒。向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，由楞次定律可知，導(dǎo)體棒〃有向左運(yùn)動(dòng)的趨勢(shì)，C錯(cuò)誤；沒(méi)導(dǎo)體棒。運(yùn)動(dòng)

到最右端時(shí)的速度為山，此時(shí)棒々切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E=8Za，o,回路中的感應(yīng)電流/=與，R+,

R&

=g+R,此時(shí)棒b所受安培力為/英=8夕，導(dǎo)體棒人剛要滑動(dòng)時(shí)所受靜摩擦力Ff達(dá)到最大值，此時(shí)尸安

=R=umg,聯(lián)立以上各式解得w=3m/s,導(dǎo)體棒。離開導(dǎo)軌到落地做平拋運(yùn)動(dòng)，有仁刎，尸孫人解得

x=1.2m,A錯(cuò)誤；磁場(chǎng)方向豎直向下，導(dǎo)體棒。離開導(dǎo)軌后在水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，又七=8小。，可

知導(dǎo)體棒〃平拋過(guò)程中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)不變，B正確；導(dǎo)體棒。在導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)平均值為

E=警，回路中平均感應(yīng)電流/=占，通過(guò)導(dǎo)體棒a的電荷量產(chǎn)/加，聯(lián)立三式解得夕=黑=盥=i/6C,

導(dǎo)體棒人與定值電阻尺并聯(lián)，所以通過(guò)電阻R的電荷量q，=3=Q58C,D正確。

“三視圖”轉(zhuǎn)換法

技法三

【典例3】（2022?廣東高考）如圖所示，一個(gè)立方體空間被對(duì)角平面MNPQ劃分成兩個(gè)區(qū)域，兩區(qū)域分

布有磁感應(yīng)強(qiáng)度大小相等、方向相反且與z軸平行的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。一質(zhì)子以某一速度從立方體左側(cè)垂直O(jiān)yz平

面進(jìn)入磁場(chǎng)，并穿過(guò)兩個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域c下列關(guān)于質(zhì)子運(yùn)動(dòng)軌跡在不同坐標(biāo)平面的投影中，可能正確的是

（）

答案：A

解析：根據(jù)題述情境，質(zhì)子垂直0）2平面進(jìn)入磁場(chǎng)，由左手定則可知，質(zhì)子先向），軸正方向偏轉(zhuǎn)穿過(guò)MNPQ

平面，再向x軸正方向偏轉(zhuǎn)，所以A可能正確，B錯(cuò)誤；該軌跡在平面上的投影為一條平行于x軸的直

線，C、D錯(cuò)誤。

名師指津

利用“三視圖”（正視、側(cè)視、俯視），可以將空間三維問(wèn)題轉(zhuǎn)化為我們熟悉的平面問(wèn)題，會(huì)降低試題

難度，一個(gè)三維空間可以從多個(gè)二維平面去描述，解題的關(guān)鍵是對(duì)題目信息進(jìn)行分析，尋找到最有效解決問(wèn)

題的二維平面。

【即時(shí)訓(xùn)練】

3.如圖所示，在水平地面上有一斜面，質(zhì)量均為〃?的A、8兩物塊放在斜面的等高處，A、8之間連接著一個(gè)

輕質(zhì)彈簧，其勁度系數(shù)為鼠彈簧史于壓縮狀態(tài)，且物塊與斜面均能保持靜止。已知斜面的傾角為仇兩物

塊和斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為4,設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，重力加速度的大小為g。下列說(shuō)法正確

的是（）

A.斜面對(duì)A、8組成系統(tǒng)的靜摩擦力為0

B.斜面和水平地面間有靜摩擦力

C.若將彈簧拿掉，A物塊有可能發(fā)生滑動(dòng)

mgl^2cos20—sin20

D.彈簧的最大壓縮量為」----------

K

解析：D選A、8組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象，畫出側(cè)視圖如圖甲所示，可看出靜摩擦力大小等于系統(tǒng)重力沿

斜面的分力，即尸2〃?gsin仇選項(xiàng)A錯(cuò)誤。以兩物塊、輕質(zhì)彈簧和斜面組成的整體為研究對(duì)象進(jìn)行受力分

析知，整體只在豎直方向上受重力及地面的支持力，沒(méi)有沿水平方向的相對(duì)運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)，故斜面與水平地面間

沒(méi)有靜摩擦力作用，選項(xiàng)B錯(cuò)誤。以A物塊為研究對(duì)象進(jìn)行受力分析，在斜面內(nèi)的受力如圖乙所示，人與彈

力尸彈和"取sin<9的合力大小相等，方向相反；若撤去彈簧，A在斜面內(nèi)的受力如圖丙所示，則啟=〃zgsin

他分析可知fi'V方，所以4物塊不可能發(fā)生滑動(dòng)，選項(xiàng)C錯(cuò)誤。由于幾皿=〃〃985仇則

運(yùn)動(dòng)的獨(dú)立性原理

技法四

【典例4］如圖所示的直角坐標(biāo)系中，在xOz平面上方空間存在沿），軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，xOz平面下方

空間存在沿x軸正方向的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度、磁感應(yīng)強(qiáng)度均未知，坐標(biāo)（一2〃，d,0）處一電荷量為外

質(zhì)量為機(jī)的帶電粒子以速度如沿x軸正方向飛出，從坐標(biāo)原點(diǎn)。進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)，該粒子在磁場(chǎng)中的周期為

吧,不計(jì)重力。

V。

(I)求電場(chǎng)強(qiáng)度￡和進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)粒子速度與x軸正方向的夾角孔

(2)求磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小。

(3)若粒子穿過(guò)原點(diǎn)O記為第0次穿越xOz平面，求粒子第4次穿越xOz平面時(shí)的坐標(biāo)。

答案：(1)皿45°(2)吧效(3)(16J,0,—)

2qd4qdn

解析：(1)帶電粒子從坐標(biāo)原點(diǎn)0進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)，則可知電場(chǎng)力方向向下，故粒子為正電荷，在電場(chǎng)中做

類平拋運(yùn)動(dòng)，則有2d=w,1=：4尸，又由牛頓第二定律可知"=〃?〃

聯(lián)立解得七=駕

2qa

粒子運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)時(shí)沿電場(chǎng)方向的分速度為Vy=at=vo

進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)粒子速度與x軸正方向的夾角。滿足tan0=—=1,即8=45。。

%

(2)進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)粒子速度為v=-^；=&也)，在磁場(chǎng)中，由Bqi，=吟，T=—

解得7=黑，由于該粒子在磁場(chǎng)中的周期為％,則磁感應(yīng)強(qiáng)度8的大小為8=喏。

Bqv04qd

(3)電子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，粒子速度分解為沿磁場(chǎng)方向和垂直于磁場(chǎng)方向，粒子做螺旋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)左手定則判

斷，經(jīng)過(guò)半個(gè)周期，第1次經(jīng)過(guò)xOz平面出磁場(chǎng)，則沿x軸的位移大小為川=ucos45°-/i=vcos45。六44,

沿z軸的位移大小為zi=2R=墨

出磁場(chǎng)后，粒子在)，軸方向做勻減速運(yùn)動(dòng)后反向做勻加速運(yùn)動(dòng)，粒子在x軸方向做勻速運(yùn)動(dòng)，之后第2次經(jīng)

過(guò)xOz平面進(jìn)入磁場(chǎng)，則及=2加2=21戶=44

a

以此類推，第3次經(jīng)過(guò)xOz平面出磁場(chǎng)，則由=4乩Z2=2R=^

笫4次經(jīng)過(guò)xOz平面進(jìn)入磁場(chǎng)，則g=4,7,所以

x=x\+也+工3+必=16d

z=21+z2=_,

則粒子第4次穿越xOz平面時(shí)的坐標(biāo)為

(16乩0,噤o

名師指津

本題本質(zhì)是帶電粒子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)的組合場(chǎng)內(nèi)周期性運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，創(chuàng)新點(diǎn)是粒子由電場(chǎng)進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度方

向與磁場(chǎng)方向不垂直，粒子做螺旋運(yùn)動(dòng)，從而使粒子的運(yùn)動(dòng)變?yōu)閺?fù)雜的空間運(yùn)動(dòng)，解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn)就

是根據(jù)運(yùn)動(dòng)的獨(dú)立性原理，將螺旋運(yùn)動(dòng)分解為勻速圓周運(yùn)動(dòng)和勻速直線運(yùn)動(dòng)，在x、y、z三個(gè)方向上分別求

解運(yùn)動(dòng)的位移。

【即時(shí)訓(xùn)練】

4.如圖甲所示，空間存在兩邊界為同心圓的電、磁場(chǎng)區(qū)域/、II,區(qū)域II位于區(qū)域/外側(cè)，圓柱面的軸線沿

空間直角坐標(biāo)系Qxyz的x軸方向。半徑R=0.05m的足夠長(zhǎng)水平圓柱形區(qū)域/內(nèi)分布著沿x軸正方向的勻強(qiáng)

磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小8=4X10-沿刀軸正方向觀察電磁場(chǎng)分布如圖乙，寬度d=0.05m的區(qū)域II同時(shí)

存在電、磁場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度￡=40N/C的勻強(qiáng)電場(chǎng)沿x軸正方向(圖中未畫出)，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小也為

5=4X103T,磁感線與圓弧邊界平行且沿順時(shí)針?lè)较?。?，軸負(fù)方向觀察電磁場(chǎng)分布如圖丙。比荷

t=5X107C/kg的帶正電粒子，從坐標(biāo)為(0,0,0.10m)的4點(diǎn)以一定初速度沿z軸負(fù)方向進(jìn)入?yún)^(qū)域【I。

(不計(jì)粒子的重力和空氣阻力)

B

（1）該粒子若以速度如沿直線通過(guò)區(qū)域II,求速度卬大小以及它在區(qū)域/中運(yùn)動(dòng)的半徑；

（2）若撤去區(qū)域n的電場(chǎng)，求該粒子以速度2%從進(jìn)入?yún)^(qū)域n到離開區(qū)域/運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間；

（3）若撤去區(qū)域n中的磁場(chǎng)，該粒子以速度物進(jìn)入?yún)^(qū)域n,求它第二次離開區(qū)域ii的位置坐標(biāo)。

答案：(1)IXl^m/s0.05m

(2)-X10^5s(3)(―m,0.1in,0)

440

解析：(1)粒子沿直線通過(guò)區(qū)域H,則%=/，o8,

解得vo=7=1XIO'm/s

D

設(shè)粒子在區(qū)域/中運(yùn)動(dòng)的半徑為R,則夕因”〃舁解得R=0.05m°

（2）撤去區(qū)域H的電場(chǎng)，設(shè)粒子在區(qū)域H中運(yùn)動(dòng)的半徑為&，則夕2M解得4=01（）m

如圖（a）所示，根據(jù)幾何關(guān)系可知sin〃i=5=3即。i=30。，粒子在區(qū)域II中運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角為30。,

R22

所以/產(chǎn)々.陋=吧

360°qB6Bq

轄咫J

（a）

設(shè)在區(qū)域/中粒子運(yùn)動(dòng)的半徑為R/，將粒子在區(qū)域/中的運(yùn)動(dòng)分解，垂直x軸方向分速度為2%cos仇，則

“ZbBcos30。="1。弋30。），解得尺，=。05百m

Ri

如圖（b）所示，根據(jù)幾何關(guān)系可知，tan02=9=",故粒子在區(qū)域/運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角為60。，所以

n?3

12=S?竿=翳，所以粒子從進(jìn)入?yún)^(qū)域II到離開區(qū)域/運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為，=力+/2=翳=：、10

2ITqB3Bq