九年級（上）月考數學試卷（12月份）

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個選

項中，只有一項是正確的，請把正確選項的字母代號填在下表中相應的題號下）

1.下列各式中，y是x的二次函數的是（）

A.y=ax2+bx+cB.x2+y-2=0C.y2-ax=-2D.x2-y2+l=0

2.在同一坐標系中，作y=2x\y=-2x?、y=0.5x2的圖象，它們共同特點是（）

A.都是關于x軸對稱，拋物線開口向上

B.都是關于原點對稱，頂點都是原點

C.都是關于y軸對稱，拋物線開口向下

D.都是關于y軸對稱，頂點都是原點

3.拋物線y=x2-m為（）

A.0R.1C.-1D±1

4.把二次函數y=x2-2x-l配方成頂點式為（）

A.y=（x-1）2B.y=（x+l）2-2C.y=（x+1）2+lD.y=（x-1）2-2

5.如圖所示，^ABC的頂點是正方形網格的格點，則sinA的值為（）

6.如圖，從熱氣球C處測得地面A、B兩點的俯角分別是30。、45。，如果此時

熱氣球C處的高度CD為100米，點A、D、B在同一直線上，則AB兩點的距離

是（）

C

A.200米B.200百米C.220正米D.100（a+1）米

7.如圖，在R3ABC中，ZC=90\AB=6,cosB=^,則BC的長為（）

8.已知二次函數y=ax2+bx+c,若a>0,cVO,那么它的圖象大致是（）

9.如圖，PA,PB切。。于A、B兩點，CD切。O于點E,交PA,PB于C,D.若

。。的半徑為r,Z\PCD的周長等于3r,則tan/APB的值是（）

3

10.己知拋物線y=a（x+1）（x-）與x軸交于點A,B,與y軸交于點C,則

a

能使4ABC為等腰三角形的a的值有（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

二、填空題：（本大題共8小題，每小題2分，共16分.不需寫出解答過程，請

將答案直接填寫在下面答題欄內的相應位置）

11.（2分）若銳角0滿足2sin__V2=0,則0=o.

12.（2分）函數y=（m-l.xm+1-2m=.

13.（2分）拋物線y=-x2-2x+3與x軸交點為.

14.（2分）拋物線y=x2-=.

15.（2分）拋物線y=x2+4x+3在x軸上截得的線段的長度是.

16.（2分）如圖，在由邊長相同的小正方形組成的網格中，點A、B、C、D都

在這些小正方形的頂點上，AB、CD相交于點P,則cos/APD=

17.（2分）如圖，某公園入口處原有三級臺階，每級臺階高為18cm,深為30cm,

為方便殘疾人士，擬將臺階改為斜坡，設臺階的起點為A,斜坡的起始點為C,

現設計斜坡BC的坡度i=l：5,則AC的長度是cm.

B

18.（2分）如圖，邊長為5的等邊三角形ABC中，M是高CH所在直線上的一

個動點，連接MB,將線段BM繞點B逆時針旋轉60。得到BN,連接HN.則在

點M運動過程中，線段HN長度的最小值是—.

三、解答題（本大題共有10小題，共84分.解答時應寫出文字說明、證明過

程或演算步驟）

19.(8分)解方程：

(1)x2-5x+6=0；

(2)x(x-6)=4.

20.(8分)求下列各式的值

(1)sin260o+cos600tan45°；

cos300,

(2-.々c+tan60.

l+sin30

21.（6分）如圖，豎立在點B處的標桿AB高2.4m,站立在點F處的觀察者從

點E處看到標桿頂A、樹頂C在一條直線上，設BD=8m,FB=2m,EF=1.6m,求

樹高CD.

22.（6分）根據條件求函數的關系式

（1）已知二次函數y=x2+bx+c經過（-2,5）和（2,-3）兩點，求該函數的

關系式；

（2）已知二次函數的圖象以A（-1,4）為頂點，且過點B（2,-5）,求該

函數的關系式.

23.（8分）如圖，小島A在港口P的南偏東45。方向，距離港口100海里處.甲

船從A出發(fā)，沿AP方向以10海里/小時的速度駛向港口，乙船從港口P出發(fā)，

沿北偏東30。方向，以20海里/小時的速度駛離港口.現兩船同時出發(fā)，出發(fā)后

兒小時乙船在甲船的正北方向？（結果精確到0.1小時）（參考數據^^1.41,

的比1.73）

西

24.（10分）由于霧霾天氣對人們健康的影響，市場上的空氣凈化器成了熱銷

產品.某公司經銷一種空氣凈化器，每臺凈化器的成本價為200元.經過一段時

間的銷售發(fā)現，每月的銷售量y（臺）與銷售單價X（元）的關系為y=-2X+1000.

（1）該公司每月的利潤為w元，寫出利潤w與銷售單價x的函數關系式；

（2）若要使每月的利潤為40000元，銷售單價應定為多少元？

（3）公司要求銷售單價不低于250元，也不高于400元，求該公司每月的最高

利潤和最低利潤分別為多少？

25.（8分）有一座拋物線形拱橋，正常水位時橋下水面寬度為20m,拱頂距離

水面4m.

（1）在如圖所示的直角坐標系中，求出該拋物線的解析式；

（2）設正常水位時橋下的水深為2m,為保證過往船只順利航行，橋下水面的寬

度不得小于18m,求水深超過多少米時就會影響過往船只在橋下的順利航行.

26.（10分）如圖，已知直線I的函數表達式為x+3,它與x軸、y軸的交點

分別為A、B兩點.

（1）求點A、點B的坐標；

（2）設F是x軸上一動點，?P經過點B且與x軸相切于點F設。P的圓心坐標

為P（x,y）,求y與x的函數關系式；

（3）是否存在這樣的。P,既與x軸相切又與直線I相切于點B?若存在，求出

27.（10分）如圖1,在菱形ABCD中，AB=2/5,tanZABC=2,點E從點D出

發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿著射線DA的方向勻速運動，設運動時間為t

（秒），將線段CE繞點C順時針旋轉一個角a（a=NBCD）,得到對應線段CF.

（1）求證：BE=DF；

（2）當1=秒時，DF的長度有最小值，最小值等于；

(3)如圖2,連接BD、EF、BD交EC、EF于點P、Q,當t為何值時，Z\EPQ是

直角三角形？

(4)如圖3,將線段CD繞點C順時針旋轉一個角a(a=ZBCD),得到對應線

段CG.在點E的運動過程中，當它的對應點F位于直線AD上方時，直接寫出點

F到直線AD的距離y關于時間t的函數表達式.

28.(10分)如圖，在平面直角坐標系中，己知點0(0,0),A(5,0),B

(4,4).

(1)求過0、B、A三點的拋物線的解析式.

(2)在第一象限的拋物線上存在點M,使以0、A、B、M為頂點的四邊形面枳

最大，求點M的坐標.

(3)作直線的值.

?江蘇省無錫市東湖塘中學九年級（上）月考數學試卷（12

月份）

參考答案與試題解析

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個選

項中，只有一項是正確的，請把正確選項的字母代號填在下表中相應的題號下）

1.下列各式中，y是x的二次函數的是（）

A.y=ax2+bx+cB.x2+y-2=0C.y2-ax=-2D.x2-y2+l=0

【考點】二次函數的定義.

【分析】利用二次函數的定義：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常數，a

W0）的函數，叫做二次函數解答.

【解答】解：A、y=ax2+bx+c,應說明aWO,故此選項錯誤；

B、x2+y-2=0可變?yōu)閥=-x2+2,是二次函數，故此選項止確；

C、y2?ax=-2不是二次函數，故此選項錯誤；

D、x2-y2+l=0不是二次函數，故此選項錯誤;

故選：B.

【點評】本題考查二次函數的定義，關鍵是掌握二次區(qū)數定義.

2.在同一坐標系中，作y=2x2>y=-2x\v=05x2的圖象，它們共同特點是（）

A.都是關于x軸對稱，拋物線開口向上

B.都是關于原點對稱，頂點都是原點

C.都是關于y軸對稱，拋物線開口向下

D.都是關于y軸對稱，頂點都是原點

【考點】二次函數的性質.

【分析】根據拋物線y=ax?的特征進行判斷即可.

【解答】解：在二次函數尸ax?中，其圖象關于y軸對稱，頂點為原點，

Vy=2x2sy=-2x\y=0.5x?都是y=ax?類型的二次函數，

Ay=2x\y=-2x\y=O.5x2的圖象關于y軸對稱，且頂點都是原點.

故選D.

【點評】本題主要考查二次函數的性質，掌握y=ax?的圖象關于y軸對稱，頂點

為原點是解題的關鍵.

3.拋物線y=x2-m為()

A.0B.1C.-ID.±1

【考點】二次函數圖象上點的坐標特征.

【分析】把原點坐標代入拋物線2

y=x-m24.i=0,

所以m=±l.

故選D.

【點評】此題考查了點與函數的關系，點在圖象上，將點代入函數解析式即可求

得.

4.把二次函數y=x2-2x-l配方成頂點式為()

A.y=(x-1)2B.y=(x+1)2-2C.y=(x+1)2+lD.y=(x-1)2-2

【考點】二次函數的三種形式.

【分析】利用配方法把一般式配成頂點式即可.

【解答】解：y=x2-2x+l-2

=(x-1)2-2.

故選D.

【點評】本題考查了二次函數的三種形式：一般式：y=ax2+bx+c(a,b,c是常

數，aWO),該形式的優(yōu)勢是能直接根據解析式知道拋物線與y軸的交點坐標是

(0,c)；頂點式：y=a(x-h)2+k(a,h,k是常數，aWO),其中(h,k)

為頂點坐標，該形式的優(yōu)勢是能直接根據解析式得到拋物線的頂點坐標為(h,k)；

交點式：是常數，該形式的優(yōu)勢是能

y=a(x-xi)(x-x2)(a,b,ca^O),

直接根據解析式得到拋物線與軸的兩個交點坐標

x(X1,0),(x2,0).

5.如圖所示，^ABC的頂點是正方形網格的格點，則sinA的值為()

喑D-^

【考點】銳角三角函數的定義；勾股定理.

【分析】利用網格構造直角三角形，根據銳角三角函數的定義解答.

【解答】解：如圖：在B點正上方找一點D,使BD=BC,連接CD交AB于0,

根據網格的特點，CD1AB,

在RtAAOC中，

8唇？丸

Ac由四；

則sinAS看舍.

故選：B.

【點評】本題考查了銳角三角函數的定義和勾股定理，作出輔助線CD并利用網

格構造直角三角形是解題的關鍵.

6.如圖，從熱氣球C處測得地面A、B兩點的俯角分別是30。、45。，如果此時

熱氣球C處的高度CD為100米，點A、D、B在同一直線上，則AB兩點的距離

D.100伊1）米

【考點】解直角三角形的應用-仰角俯角問題.

【分析】圖中兩個直角三角形中，都是知道已知角和對邊，根據正切函數求出鄰

邊后，相加求和即可.

【解答】解：由己知,得/A=30°,ZB=45%CD=100,

???CD_LAB于點D.

,,CD

???在RtZAXACD中，ZCDA=90°,tanA而,

CD100V3

.-.ADtanA返=100

V

在Rt^BCD中，ZCDB=90°,ZB=45°

ADB=CD=1OO米，

.?.AB=AD+DB=IO/3+IOO=IOO/3+1）米.

故選D.

【點評】本題考杳了解直角三角形的應用，解決本題的關鍵是利用CD為直角△

ABC斜邊上的高，將三角形分成兩個三角形，然后求解.分別在兩三角形中求出

AD與RD的長.

2

7.如圖，在RtaABC中，ZC=90°,AB=6,cosBg,則BC的長為（）

【考點】銳角三角函數的定義.

【分析】根據cosB-f,可深j,再把AB的長代人可以計算出CB的長.

2

【解答】解：TcosB5,

CB2

AB~3，

VAD=6,

2

ACByX6=4,

故選：A.

【點評】此題主要考查了銳角三角函數的定義，關鍵是掌握余弦：銳角A的鄰邊

b與斜邊c的比叫做NA的余弦.

8.已知二次函數y=ax2+bx+c,若a>0,c<0,那么它的圖象大致是（）

【考點】二次函數圖象與系數的關系.

【分析】根據a的符號確定拋物線的開口方向，根據c的符號確定拋物線與y軸

的交點.

【解答】解：..,二次函數y=ax2+bx+c,a>0,c<0,

，拋物線開口向上，與y軸交點在x軸的下方，

故選A.

【點評】本題考查的是一次函數圖象與系數的關系，對于一次函數y=Ax2+hx+c

（a^O）來說，①二次項系數a決定拋物線的開口方向和大小.

當a>0時，拋物線向上開口；當aVO時，拋物線向下開口；|a|還可以決定開

口大小，|a|越大開口就越?。虎谝淮雾椣禂礲和二次項系數a共同決定對稱軸

的位置.

當a與b同號時（即ab>0）,對稱軸在y軸左；當a與b異號時（即ab<0）,

對稱軸在y軸右（簡稱：左同右異）；③常數項c決定勉物線與y軸交點.拋物

線與y軸交于（0,c）；④拋物線與X軸交點個數.△=b2-4ac>0時，拋物線

與x軸有2個交點；△=b2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；△ubZ-dacV

0時，拋物線與x軸沒有交點.

9.如圖，PA,PB切。。于A、B兩點，CD切。。于點E,交PA,PB于C,D.若

。。的半徑為r,Z\PCD的周長等于3r,則tan/APB的值是（）

A

c

?o

5V13123V132V13

A&B至C可叼

【考點】切線的性質；相似三角形的判定與性質；銳角三角函數的定義.

【分析】（1）連接OA、OB、0P,延長B0交PA的延長線于點F.利用切線求

32

得CA=CE,DB=DE,PA=PB再得出PA=PB5r.利用RtABFP^RTAOAF得出AFg

FB,在RTZkFBP中,利用勾股定理求出BF,再求tan/APB的值即可.

【解答】解：連接OA、OB、0P,延長B0交PA的延長線于點F.

VPA,PB切。0于A、B兩點，CD切。0于點E

AZOAF=ZPBF=90°,CA=CE,DB=DE,PA=PB,

VAPCD的周長=PC+CE+DE+PD=PC+AC+PD+DB=PA+PB=3r,

3

??.PA=PB萬］.

在RtAPBF和RtAOAFd1，

(ZFA0=ZFBP

IZOFA=ZPFB，

:.RtAPBF^RtAOAF.

AFAOr2

FBBP3-?,

2r

2

.?.AFgFB,

在RtAFBP中，

VPF2-PB2=FB2

:.(PA+AF)2-PB2=FB2

323

BF)2-yr)2=BF2,

IO

解得BF-丁r,

BF1812

PB5「5

AtanZAPB=?=,

Tr

故選：B.

【點評】本題主要考查了切線的性質，相似三角形及三角函數的定義，解決本題

的關鍵是切線與相似三角形相結合，找準線段及角的關系.

3

10.已知拋物線y=a(xi1)(x—)與x軸交于點A,B,與y軸交于點C,則

能使aABC為等腰三角形的a的值有()

A.2個B.3個C.4個D.5個

【考點】拋物線與x軸的交點；等腰三角形的判定.

【分析】整理拋物線解析式,確定出拋物線與x軸的一個交點A和y軸的交點C,

然后求出AC的長度，再分①a>0時，點B在x軸正半軸時，分AC=BC、AC=AB、

AB=BC三種情況求解；②aVO時，點B在x軸的負半軸時，點B只能在點A的

左邊，只有AC=AB一種情況列式計算即可.

3

【解答】解：解法1：y=a(x+1)(x-)=(x+1)(ax-3),

所以，拋物線經過點A(-1,0),C(0,-3),

222

ACV0A+0CV1+3貝，

3

點B坐標為二，0),

①k>0時，點B在x正半軸上，

若AC=BC,(-1)2+32=V1C?解得a=3,

_鳥2/1C膝徂府+1

彳1ACr-AABD?(t41，解用a3，

若AB=BC,m+1^(-1)2+32,解得；

②kVO時，點B在x軸的負半軸，點B只能在點A的左側，

只有AC=AB,則?1孑1丘，解得a=受—1,

a3

所以，能使^ABC為等腰三角形的a的值有4個.

解法2：易得拋物線一定過兩個定點：(-1,0),(0,-3),連接這兩個定

點，得到一條線段，以這條線段為底邊可以在橫軸上找一點構成等腰三角形，以

這條線段為腰，分別以兩個定點為頂點可以在橫軸上找到三個點構成等腰三角形,

所以共有四個點可以與定點構成等腰三角形，從而可以確定四個形狀不同的拋物

線，所以a有四個值.

【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點問題，根據拋物線的解析式確定出拋物

線經過的兩個定點是解題的關鍵，注意分情況討論，此題有一定的難度.

二、填空題：(本大題共8小題，每小題2分，共16分.不需寫出解答過程，請

將答案直接填寫在下面答題欄內的相應位置)

11.若銳角8滿足2sin「'&二C,則0=45

【考點】特殊角的三角函數值.

【分析】先根據題意得出sin。的值，再由特殊角的三角函數值即可得出結論.

【解答】解：..?2sin;&二0,

，2sine貝，

???e為銳角，

.,.e=45°.

故答案為：45.

【點評】本題考查的是特殊角的三角函數值，熟記各特殊角的三角函數值是解答

此題的關鍵.

2

12.函數y=(m-+1-2m=-1.

【考點】二次函數的定義.

【分析】根據二次函數的定義列出不等式求解即可.

2

【解答】解：由y=(m?+1-2mx+l是拋物線，得

ID^+1=2

m-17t0,

解得m=?l,m=l(不符合題意舍去)，

故答案為：?1.

【點評】本題考查二次函數的定義，二次函數的二次項系數不能為零是解題關鍵.

13.拋物線v=?x2?2x+3與x軸交點為(?3,0),(1,0).

【考點】拋物線與x軸的交點.

【分析】直接得出y=0時K的值，進而得出答案.

【解答】解：當y=0,則0=-X2?2X+3,

x2+2x-3=0,

則(x+3)(x-1)=0,

解得：Xi=-3,x2=l?

故拋物線y=?x2?2x+3與x軸交點為：(?3,0),(1,0).

故答案為：(-3,0),(1,0).

【點評】此題主要考查了拋物線與x軸交點求法，正確解方程是解題關鍵.

14.拋物線y=x2-="J__.

【考點】二次函數的性質.

【分析】把拋物線方程化為頂點式，令其縱坐標為。即可求得m.

【解答】解：*/y=x2-x+m=(x-^)2+m^,

,其頂點坐標為￡,nr|),

???頂點在x軸上，

??.m]=0,解得其.

故答案為言.

【點評】本題主要考杏二次函數的頂點坐標，掌握二次函數的頂點式是解題的關

鍵.

15.拋物線y=x2+4x+3在x軸上截得的線段的長度是2.

【考點】拋物線與x軸的交點.

【分析】先設出拋物線與X軸的交點，再根據根與系數的關系求出X1+X2及XJX2

的值，再由完全平方公式求解即可.

【解答】解：設拋物線與x軸的交點為：(xi,0),(x2,0),

*.*X1+X2=-4,XI”2=3,

:.Xi-X211+x2)_2_4』i_x23=2,

???拋物線V=X2+4X+3在x粕上截得的線段的長度是2.

故答案為:2.

【點評】本題考杳的是拋物線與X軸的交點問題，能由根與系數的關系得到X1+X2

及X1?X2的值是解答此題的關鍵.

16.如圖，在由邊長相同的小正方形組成的網格中，點A、B、C、D都在這些小

正方形的頂點上，AB、CD相交于點P,則COS/APD=Y轡.

If

【考點】相似三角形的判定與性質；銳角三角函數的定義.

【分析】作AE1CD于E,由DB：AC=1：3,求出4APC的面積，線段AP、PC

的長,在RTZXAPE中可以求出cos/APD.

【解答】解：如圖作AE_LCD交CD的延長線于E,

DBPBPD_1

ACPAPC?,

2Z

7DCV1+1或，AB，％”浜SAABC^-3-l=1

.SAp上a13^2W2/森亞

??ASPC428，^^4人q，分產4人4

19

2eCPeAE8，

,3衣

??AE-^~,

22

APE7AP-AE等

.____罵71^

..cosZAPD-^p

故答案嘴

【點評】本題考查了勾股定理、平行線性質、三角形的面積的計算、三角函數等

知識，構造直角三角形是解三角函數問題的常用方法，用面積法求高是解題的關

鍵.

17.如圖，某公園入口處原有三級臺階，每級臺階高為18cm,深為30cm,為方

便殘疾人士，擬將臺階改為斜坡，設臺階的起點為A,斜坡的起始點為C,現設

計斜坡BC的坡度i=l：5,則AC的長度是210cm.

B

【考點】解直角三角形的應用-坡度坡角問題.

【分析】首先過點B作BD_LAC于D,根據題意即可求得AD與BD的長，然后由

斜坡BC的坡度i=l：5,求得CD的長，繼而求得答案.

【解答】解：過點B作BD_LAC于D,

根據題意得：AD=2X30=60(cm),BD=18X3=54(cm),

,?,斜坡BC的坡度i=l：5,

ABD：CD=1：5,

ACD=5BD=5X54=270(cm),

AAC=CD-AD=270-60=210(cm).

AAC的長度是210cm.

故答案為：210.

B

一d一:一

【點評】此題考杳/解直角三角形的應用：坡度問題.此題難度適中，注意掌握

坡度的定義，注意數形結合思想的應用與輔助線的作法.

18.如圖，邊長為5的等邊三角形ABC中，M是高CH所在直線上的一個動點,

連接MB,將線段BM繞點B逆時針旋轉60。得到BN,連接HN.則在點M運動

過程中，線段HN長度的最小值是1.25.

【考點】全等三角形的判定與性質；垂線段最短；等邊三角形的性質.

【分析】取CB的中點G,連接MG,根據等邊三角形的性質可得BD=BG,再求

出NHBN=NMBG,根據旋轉的性質可得MB=NB,然后利用“邊角邊〃證明，△MBG

名△NBH,再根據全等三角形對應邊相等可得HN=MG,然后根據垂線段最短可

得MG_LCH時最短，再根據NBCH=30。求解即可.

【解答】解：如圖，取BC的中點G,連接MG,

???旋轉角為60。,

???/MBH+NHBN=60°,

XVZMBH+ZMBC=ZABC=60°,

.*.ZHBN=ZGBM,

VCH是等邊AABC的對稱軸，

1

:.m-2AB,

.'.HB=BG,

又〈MB旋轉到BN,

ABM=BN,

在△MBG和△NBH中,

BG二BH

<NMBG=NNBH,

MB-NB

AAMBG^ANBH(SAS),

，MG=NH,

根據垂線段最短，MGJ_CH時，MG最短，即HN最短,

…111

此時?.?NBCH方X60°=30°,CG方AB^X5=2.5,

11

AMG-2CG~2X2.5=1.25,

/.HN=1.25,

故答案為：1.25.

/檢

A

“白3

V

【點評】本題考查了旋轉的性質，等邊三角形的性質，全等三角形的判定與性質，

垂線段最短的性質，作輔助線構造出全等三角形是解題的關鍵，也是本題的難點.

三、解答題（本大題共有10小題，共84分.解答時應寫出文字說明、證明過

程或演算步驟）

19.解方程：

（1）x2-5x+6=0；

（2）x（x-6）=4.

【考點】解一元二次方程?因式分解法；解一元二次方程?配方法.

【分析】（1）利用因式分解法解方程；

（2）先利用配方法把方程變形為（x-3）2=13,然后利用直接開平方法解方程.

【解答】解：（1）（x-3）（x-2）=0,

x-3=0或x-2=0,

所以Xi=3,X2=2；

（2）x2-6x=4,

x2-6x+9=13,

（x-3）2=13,

x-3=?^,

所以Xi=3^^,X2=3^^.

【點評】本題考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右邊化為0,再

把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形式，那么這兩個因式的值就都有

可能為0,這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把原方程進行了降次,

把解一元二次方程轉化為解一元一次方程的問題了（數學轉化思想）.也考查了

配方法解一元二次方程.

20.求下列各式的值

(1)sin2600+cos60otan45°：

cos300

+tan60°

(2l+sin30

【考點】特殊角的三角函數值.

【分析】（1）、（2）直接把各特殊角的二角函數值代入進行計算即可.

【解答】解：（1）原式=空）XI

31

7-2

5

4；

V3Vs

2

(2)原式一r-+

當

【點評】本題考查的是特殊角的三角函數值，熟記各特殊角的三角函數值是解答

此題的關鍵.

21.如圖，豎立在點B處的標桿AB高2.4m,站立在點F處的觀察者從點E處

看到標桿頂A、樹頂C在一條直線上，設BD=8m,FB=2m,EF=1.6m,求樹高CD.

C

【考點】相似三角形的應用.

【分析】延長CE交DF的延長線于點G,可證明△GFES^GBA,得GF的長；可

證明△GDCs/\GBA,樹高CD的長即可知.

【解答】解：延長CE交DF的延長線于點G,設GF為xm,

VEF//AB,

/.△GFE^AGBA,

GF二跌x1.6

解得x=4,

VCD/7AB,

AAGDC^AGBA,

GD^CD14二CD

解得CD=5.6,

答：樹高CD為5.6m.

【點評】本題考查了相似三角形在實際問題中的運用，解題的關鍵是正確作出輔

助線構造相似三角形.

22.根據條件求函數的關系式

（1）已知二次函數y=x2+bx+c經過（?2,5）和（2,?3）兩點，求該函數的

關系式；

（2）已知二次函數的圖象以A（-1,4）為頂點，且過點B（2,-5）,求該

函數的關系式.

【考點】待定系數法求二次函數解析式.

【分析】（1）直接把（?2,5）和（2,-3）代入y=x2+bx+c得到關于b、c的

方程組，然后解方程組求出b、c即可；

（2）已知拋物線的頂點坐標，設頂點式，將點B（2,-5）代入求a,即可確定

函數關系式.

r4-2b+c=5

【解答】解：根據題意（4+2b+c=-3，

V-2

解c二-3?

所以該二次函數的解析式為y=x2-2x-3；

（2）由A（?1,4）為拋物線頂點，設拋物線解析式為y=a（x+1）2+4,

將點B（2,-5）代入，得9a+4=-5,解得-1,

所以該函數的關系式為y=?（x+1）2+4,即y=?x2?2x+3.

【點評】本題考查了待定系數法求二次函數的解析式：在利用待定系數法求二次

函數關系式時，要根據題目給定的條件，選擇恰當的方法設出關系式，從而代入

數值求解.一般地，當已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數法列三

元一次方程組來求解；當已知拋物線的頂點或對稱軸時，常設其解析式為頂點式

來求解；當已知拋物線與X軸有兩個交點時，可選擇設其解析式為交點式來求解.

23.如圖，小島A在港口P的南偏東45。方向，距離港口100海里處.甲船從A

出發(fā)，沿AP方向以10海里/小時的速度駛向港口，乙船從港口P出發(fā)，沿北偏

東30。方向，以20海里/小時的速度駛離港U.現兩船同時出發(fā)，出發(fā)后幾小時

乙船在甲船的正北方向？（結果精確到0.1小時）（參考數據^^1.4173%

【考點】解直角三角形的應用-方向角問題.

【分析】根據題意畫出圖形，過點P作PEJ_CD,根據余弦的定義分別表示出PE,

列出方程，解方程即可.

【解答】解：設出發(fā)后x小時乙船在甲船的正北方向.

此時甲、乙兩船的位置分別在點C、D處.

連接CD,過點P作PE_LCD,垂足為E.則點E在點P的正東方向.

在RtZXCEP中,ZCPE=45°,

，PE=PC?cos450,

在RtAPED'|1,ZCPD=60\

.,.PE=PD?cos600,

:.PC?cos45°=PD?cos60°,

:.(100-lOx)?cos45°=20x?cos600.

解這個方程，得XQ4.1,

答：出發(fā)后約4.1小時乙船在甲船的正東方向.

【點評】本題考查的是解直角三角形的應用-方向角問題，正確標注方向角、靈

活運用銳角三角函數的概念是解題的關鍵.

?4.（10分）（秋?無錫盟末）由于霧霾天氣對人們健康的影響，市場上的空氣

凈化器成了熱銷產品.某公司經銷一種空氣凈化器，每臺凈化器的成本價為200

元.經過一段時間的銷售發(fā)現，每月的銷售量y（臺）與銷售單價X（元）的關

系為y=?2X+1000.

（1）該公司每月的利潤為W元，寫出利潤W與銷售單價X的函數關系式；

（2）若要使每月的利潤為40000元，銷售單價應定為多少元？

（3）公司要求銷售單價不低于250元，也不高于400元，求該公司每月的最高

利潤和最低利潤分別為多少？

【考點】二次函數的應用.

【分析】（1）根據銷售利潤=每天的銷售量X（銷售單價-成本價），即可列出

函數關系式；

（2）令y=40000代入解析式，求出滿足條件的x的值即可;

（3）根據（1）得到銷售利潤的關系式，利用配方法可求最大值.

【解答】解；（1）由題意得；w=（x200）y=（x200）（2x+1000）=2x2+1400x

-00；

(2)令w=-2x2+1400x-00=40000,

解得：x=300或x=400,

故要使每月的利潤為40000元，銷售單價應定為300或400元;

（3）y=-2x2+1400x-00=-2（x-350）2+45000,

當x=250時y=-2X2502+1400X250-00=25000；

故最高利潤為45000元，最低利潤為25000元.

【點評】本題考查了二次函數的實際應用，難度適中，解答本題的關鍵是熟練學

握利用配方法求二次函數的最大值.

25.有一座拋物線形拱橋，正常水位時橋卜冰面寬度為20m,拱頂距離水面4m.

（1）在如圖所示的直角坐標系中，求出該拋物線的解析式；

（2）設正常水位時橋下的水深為2m,為保證過往船只順利航行，橋下水面的寬

度不得小于18m,求水深超過多少米時就會影響過往船只在橋下的順利航行.

【考點】二次函數的應用.

【分析】（1）設該拋物線的解析式是y=”2,結合圖象，只需把（10,-4）代

入求解；

（2）根據（1）中求得的函數解析式，把x=9代入求得y的值，再進一步求得水

深超過多少米時就會影響過往船只在橋下的順利航行.

【解答】解：（1）設該拋物線的解析式是y=ax2,

結合圖象，把（10,-4）代入，得

100a=-4,

1

a=25，

則該拋物線的解析式是戶表X2.

（2）當x=9時，則有丫=專X81=-3.24,

4+2-3.24=2.76（米）.

所以水深超過2.76米時就會影響過往船只在橋下的順利航行.

【點評】此題考查了二次函數在實際問題中的應用，能夠熟練運用待定系數法求

得二次函數的解析式.

3

26.（10分）（秋?無錫期末）如圖，已知直線I的函數表達式為x+3,它與

x軸、y軸的交點分別為A、B兩點.

（1）求點A、點B的坐標；

（2）設F是x軸上一動點，0P經過點B且與x軸相切于點F設。P的圓心坐標

為P（x,y）,求y與x的函數關系式；

（3）是否存在這樣的。P,既與x軸相切乂與直線I相切于點B?若存在，求出

圓心P的坐標；若不存在，請說明埋山.

【考點】圓的綜合題.

【分析】（1）根據坐標軸上點的坐標特征易得以A點坐標為（-4,0）,B點

坐標為（0,3）；

（2）過點P作PD_Ly軸于D,則PD=|x|,BD=|3?y|,根據切線的性質得PF=y,

則PB=y,在RtZ\BDP中，根據勾股定理得到y?=x2+（3-y）?,然后整理得到

A：

（3）由于。P與x軸相切于點F,且與直線I相切于點B,根據切線長定理得到

AB=AF,而AB=5,所以AF=|x+4|=5,解得x=l或x=-9,再把x=l和x=-9分別

13

代入qX2,計算出對應的函數值，即可確定P點坐標.

3

【解答】解：（1）當x=0時，yzx+3=3；

3

當y=0時彳x+3=0,解得x=-4,

所以A點坐標為（?4,0）,B點坐標為（0,3）；

（2）過點P作PDJ_y軸于D,如圖1,則PD=|x|,BD=|3-y|,

V0P經過點B且與x軸相切于點F

.\PB=PF=y,

在RtABDP中，

.?.PB2=PD2+BD2,

y2=x2+（3-y）2,

（3）存在.

二'（DP與x軸相切于點F,且與直線I相切于點B,

AAB=AF

VAB2=OA2+OB2=52,

AAF=5,

VAF=|X+4|,

/.|x+4|=5,

x=l或x=-9,

,「13135

當X=1時，;

1313

當x=-9時，y1x2-^^*X（-9）2]=15,

5

???點P的坐標為（ly）或（-9,15）.

【點評】本題考查了圓的綜合題：熟練掌握切線的性質和切線長定理、一次函數

的性質；會利用坐標表示線段和運用勾股定理進行幾何計算.

27.（10分）（?鎮(zhèn)江）如圖1,在菱形ABCD中，AB垂,tan/ABC=2,點E

從點D出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿著射線DA的方向勻速運動，設運動

時間為t（秒），將線段CE繞點C順時針旋轉一個角a（a=ZBCD）,得到對應

線段CF.

（1）求證：BE=DF：

（2）當1=或+6秒時,DF的長度有最小值，最小值等于12；

（3）如圖2,連接BD、EF、BD交EC、EF于點P、Q,當t為何值時，Z\EPQ是

直角三角形？

（4）如圖3,將線段CD繞點C順時針旋轉一個角a（a=ZBCD）,得到對應線

段CG.在點E的運動過程中，當它的對應點F位于直線AD上方時，直接寫出點

【考點】四邊形綜合題.

【分析】（1）由NECF=/BCD得/DCF=/BCE,結合DC=BC、CE=CF證ADCF經

△BCE即可得；

（2）當點E運動至點E時，由DF=BE知此時DF最小，求得BE2AE，即可得答案;

(3)①NEQP=90°時,由NECF=NBCD、BC=DC>EC=FC得NBCP=NEQP=90°,根

據AB=CD=4,tan/ABC=tan/ADC=2即可求得DE；

②NEPQ=90。時，由菱形ABCD的對角線AC1BD知EC與AC重合，可得DE="；

(4)連接GF分別交直線AD、BC于點M、N,過點F作FH_LAD于點H,W:A

DCE絲Z\GCF可得N3=/4=Nl=/2,即GF〃CD,從而知四邊形CDMN是平行四

邊形，由平行四邊形得MN=CD=4；再由/CGN=ZDCN=ZCNG知

CN=CG=CD=y^,根據tanZABC=tanZCGN=2可得GM=V^+12,由GF=DE=t得

FM=t--12,

利用tanZFMH=tanZABC=2即可得FH.

【解答】解：(1)VZECF=ZBCD,即NBCE+NDCE=NDCF+NDCE,

AZDCF=ZBCE,

???四邊形ABCD是菱形，

ADC=BC,

在4DCF和4BCE中，

rCF=CE

<NDCF=NBCE,

CD=CB

AADCF^ABCE(SAS),

ADF=BE：

(2)如圖1,

當點E運動至點E，時，DF=BE\此時DF最小,

在RtaABE'中，AB=4,tan/ABC=tanNBAE'=2,

，設AE'=x,則BE'=2x,

，AB犯x#,

則AE'=6

ADEz=y^46,DF=BE/=12,

故答案為：擊+6,12；

(3)VCE=CF,

??./CEQ<90°,

①當NEQP=90。時，如圖2①,

VZECF=ZBCD,BC=DC,EC=FC,

AZCBD=ZCEF,

VZBPC=ZEPQ,

.*.ZBCP=ZEQP=90°,

VAB=CD=^,

tanZABC=tanZADC=2,

ADE=6,

???t=6秒;

②當NEPQ=90。時,如圖2②,

圖2②

???菱形ABCD的對角線AC1BD,

，EC與AC重合，

??.DE=4,

：.t#秒;

,、2a24A/5

(4)y—t-12—

如圖3,連接GF分別交直線AD、BC于點M、N,過點F作FH_LAD于點H,

由(1)知N1=N2,

XVZ1+ZDCE=Z2+ZGCF,

AZDCE=ZGCF,

在ADCEfllAGCF中，

'EC二FC

<ZDCE=ZGCF,

DC=GC

AADCE^AGCF(SAS),

AZ3=Z4,

VZ1=Z3,Z1=Z2,

AZ2=Z4,

，GF〃CD,

又丁AH〃BN,

???四邊形CDMN是平行四邊形，

.?.MN=CD=^,

VZBCD=ZDCG,

AZCGN=ZDCN=ZCNG,

.?.CN=CG=CD=^,

VtanZABC=tanZCGN=2,

AGN=12,

；?GM#+12,

VGF=DE=t,

AFM=t-^-12,

VtanZFMH=tanZABC=2,

?,.FH（t-聲-12）,

5

2V5.-2隊年

即b