第三章圓3.9

弧長及扇形面積

1.弧長公式2.扇形面積公式.（重點(diǎn)、難點(diǎn)）學(xué)習(xí)目標(biāo)新課導(dǎo)入我們?cè)谛W(xué)學(xué)習(xí)了圓的面積和扇形的面積，也學(xué)習(xí)了圓的周長，那么圓上一部分的長，也就是一條弧的長怎么去求呢？現(xiàn)在重新學(xué)習(xí)圓的面積和扇形面積，比以前是不是有了更深的要求呢？下面我們就來學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容.新課講解如圖，某傳送帶的一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)輪的半徑為10cm.(1)轉(zhuǎn)動(dòng)輪轉(zhuǎn)一周，傳送帶上的物品A

被傳送多少厘米？(2)轉(zhuǎn)動(dòng)輪轉(zhuǎn)1°,傳送帶上的物品A被

傳送多少厘米？(3)轉(zhuǎn)動(dòng)輪轉(zhuǎn)n°，傳送帶上的物品A被傳送多少厘米？新課講解

在半徑為R的圓中，n°的圓心角所對(duì)的弧長的計(jì)算公式為：l=__________________.新課講解（1）半徑為R的圓，周長是多少？（2）圓的周長可以看作是多少度的圓心角所對(duì)的??？（3）1°圓心角所對(duì)的弧長是多少？（4）n°圓心角所對(duì)的弧長是1°圓心角所對(duì)的弧長的多少倍？（5）n°圓心角所對(duì)的弧長是多少？（1）C=2πR（2）360°（3）（4）n倍（5）也可以用ABl表示AB的長.n°o⌒⌒新課講解1．弧、弧長、弧的度數(shù)間的關(guān)系：

弧相等表示弧長、弧的度數(shù)都相等；

度數(shù)相等的弧，弧長不一定相等；

弧長相等的弧，弧的度數(shù)不一定相等．2．易錯(cuò)警示：在弧長公式

l＝

中，n表示1°的n

倍，180表示1°的180倍，n，180不帶單位．新課講解1.在在半徑為6的⊙O中，60°圓心角所對(duì)的弧長是(

)A．πB．2πC．4πD．6πB新課講解

在一塊空曠的草地上有一根柱子，柱子上拴著一條長3m的繩子，繩子的另一端拴著一只狗.（1）這只狗的最大活動(dòng)區(qū)域有多大？（2）如果這只狗只能繞柱子轉(zhuǎn)過n°角，

那么它的最大活動(dòng)區(qū)域有多大？新課講解1.半徑為R的圓,面積是多少？2.圓面可以看作是多少度的圓心角所對(duì)的扇形？3.1°圓心角所對(duì)扇形面積是多少？1.S=πR22.360°3.若設(shè)⊙O半徑為R，n°的圓心角所對(duì)的扇形面積為S，則ABO思考1：新課講解思考2：扇形面積的大小與哪些因素有關(guān)系？

扇形面積的大小與扇形的半徑和圓心角有關(guān).

新課講解比較扇形面積公式與弧長公式，可以用弧長表示扇形面積：其中l(wèi)為扇形的弧長，R為半徑.新課講解練一練如圖，水平放置的一個(gè)油管的橫截面半徑為12cm，其中有油的部分油面高6cm，求截面上有油部分的面積(結(jié)果精確到0.1cm2).新課講解解：如圖，連接OA，OB.設(shè)OC⊥AB于點(diǎn)C，交圓O于點(diǎn)D.∵CD＝6cm，OD＝OA＝12cm，∴OC＝12－6＝6(cm).在Rt△AOC中，AC＝∴AB＝12cm，cos∠COA＝∴∠COA＝60°.∴∠AOB＝120°.∴截面上有油部分的面積為S扇形AOB－S△AOB

＝≈88.4(cm2)．課堂小結(jié)通過本課時(shí)的學(xué)習(xí)，需要我們掌握：1.弧長的計(jì)算公式l＝并運(yùn)用公式進(jìn)行計(jì)算.2.扇形的面積公式S＝并運(yùn)用公式進(jìn)行計(jì)算.3.弧長l及扇形的面積S之間的關(guān)系，當(dāng)堂小練1.如圖，在?ABCD中，∠B＝70°，BC＝6，以AD為直徑的⊙O交CD于點(diǎn)E，則DE的長為(

)A.πB.πC.πD.π︵B當(dāng)堂小練2.如圖，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝2，將Rt△AOB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得Rt△FOE，將線段EF繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得線段ED，分別以O(shè)，E為圓心，OA，ED長為半徑畫弧AF和弧DF，連接AD，則圖中陰影部分的面積是(

)A．πB.C．3＋πD．8－πD拓展與延伸已知AB所對(duì)的圓周角為30°，AB所在圓的半徑為30cm，求AB的長．∵AB所對(duì)的圓周角為30°，∴AB所對(duì)的圓心角為60°，∴AB的長l＝＝10π(cm)．解：︵︵︵1.扇形的半徑為1.5cm，圓心角為120°，則該扇形的弧長為

cm.

2.(北師9下P102、人教9上P113)如圖，劣弧AB的長為6π，圓心角∠AOB＝90°，求此弧所在圓的半徑.

π

課后練習(xí)4.(2023新疆)如圖，在☉O中，若∠ACB＝30°，OA＝6，則扇形OAB(陰影部分)的面積為

.

3.(北師9下P101改編、人教9上P115改編)(2022廣東)扇形的半徑為2，圓心角為90°，則該扇形的面積為

(結(jié)果保留π).

6π

π

6

cm2

6.(2024廣東)如圖，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝4.分別以點(diǎn)B、點(diǎn)C為圓心，線段BC長的一半為半徑作圓弧，交AB，BC，AC于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，則圖中陰影部分的面積為

.

4－π

7.【例1】如圖，已知AB是☉O的直徑，C，D是☉O上的點(diǎn)，OC∥BD，交AD于點(diǎn)E，連接BC.(1)求證：AE＝ED；(2)若AB＝10，∠CBD＝36°，求弧AC的長.

8.(北師9下P100改編、人教9上P111)制造彎形管道時(shí)，經(jīng)常要先按中心線計(jì)算“展直長度”，再下料，請(qǐng)計(jì)算如圖所示的管道的展直長度L(π取3.14).

小結(jié)：“展直長度”即各部分的圓弧長+線段長.

小結(jié)：分析清楚運(yùn)動(dòng)的軌跡是解題關(guān)鍵.

10.【例4】(北師9下P107、人教9上P116)(2023雅安)如圖，扇形紙扇完全打開后，外側(cè)兩竹條AB，AC夾角為120°，AB長為30cm，扇面BD的長為20cm.求扇面的面積.

小結(jié)：利用“補(bǔ)形法”求不規(guī)則圖形的面積.

答案圖12.【例6】(2024涼山州模擬)如圖，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△A'B'C，已知AC＝3，BC＝2，則線段AB掃過的圖形(陰影部分)的面積為

.

小結(jié)：利用旋轉(zhuǎn)或平移的性質(zhì)求不規(guī)則圖形的面積.

13.(人教9上P115)如圖是一段管道，其中直管道部分AB的長為3000mm，彎形管道部分弧BC，弧CD的半徑都是1000mm，∠O＝∠O'＝90°，計(jì)算圖中中心虛線的長度(π取3.14).

★14. 0.50(創(chuàng)新題)如圖，將邊長為8cm的正方形ABCD的四邊沿BC所在的直線向右滾動(dòng)(不滑動(dòng))，當(dāng)正方形滾動(dòng)兩周時(shí)，正方形的頂點(diǎn)A所經(jīng)過的路線的長是

cm.

15.(北師9下P101、人教9上P112)如圖，水平放置的圓柱形水管道的截面半徑是0.6m，其中水面高0.3m，求截面上有水部分的面積(結(jié)果保