高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)四市2023屆高三下學(xué)期3月教學(xué)情況調(diào)研(一)數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，得，∴，又，∴故選：A．2.兩個(gè)粒子A，B從同一發(fā)射源發(fā)射出來，在某一時(shí)刻，它們的位移分別為，，則在上的投影向量的長(zhǎng)度為（）A.10 B. C. D.2【答案】D【解析】設(shè)與的夾角為，則，所以在上的投影向量為，所以在上的投影向量的長(zhǎng)度為，故選:D.3.“綠水青山，就是金山銀山”，隨著我國(guó)的生態(tài)環(huán)境越來越好，外出旅游的人越來越多.現(xiàn)有兩位游客慕名來江蘇旅游，他們分別從“太湖黿頭渚、蘇州拙政園、鎮(zhèn)江金山寺、常州恐龍園、南京夫子廟、揚(yáng)州瘦西湖”這6個(gè)景點(diǎn)中隨機(jī)選擇1個(gè)景點(diǎn)游玩.記事件A為“兩位游客中至少有一人選擇太湖黿頭渚”，事件B為“兩位游客選擇的景點(diǎn)不同”，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題可得，,所以.故選：D.4.已知正四面體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)O為底面的中心，球О與該正四面體的其余三個(gè)面都有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，且公共點(diǎn)非該正四面體的頂點(diǎn)，則球O的半徑為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)檎拿骟w的棱長(zhǎng)為1，則正四面體的高為，由題可知球O與該正四面體的其余三個(gè)面都相切，設(shè)球O的半徑為，則，所以，所以.故選：B5.已知是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋院愠闪?，所以在單調(diào)遞增，又因?yàn)槭嵌x在R上的偶函數(shù)，所以在單調(diào)遞減，所以，所以由可得，解得，故選:D.6.在中，，的角平分線交于點(diǎn)D，的面積是面積的3倍，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?，即，在中，作邊上高，垂足為，則，故選:A.7.已知橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)P，Q在直線上，，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則該橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】依題意，設(shè)，，則，又，兩式做差可得即，所以.故選；B8.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，若對(duì)任意正整數(shù)n，，，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，則，即，又，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，則，又，所以為首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列，則，則，所以，又，則，又，所以，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，而，則，解得；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，而，則；綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：C二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分.部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.某校1000名學(xué)生在高三一模測(cè)試中數(shù)學(xué)成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）.分?jǐn)?shù)不低于X即為優(yōu)秀，已知優(yōu)秀學(xué)生有80人，則（）A.B.C.70分以下的人數(shù)約為6人D.本次考試的平均分約為93.6【答案】AD【解析】對(duì)于A，，A正確；對(duì)于B，因?yàn)榈诹M有40人，第五組有160人，所以，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，70分以下的人數(shù)為人，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，平均成績(jī)，D正確，故選:AD.10.已知正數(shù)a，b滿足，則（）A.的最小值為 B.的最小值為C.的最小值為 D.的最小值為【答案】AC【解析】對(duì)于A，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，A正確；對(duì)于B，，即，可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，C正確；對(duì)于D，由，當(dāng)且僅當(dāng)，即，等號(hào)成立，所以，此時(shí)，不能同時(shí)取等號(hào)，所以D錯(cuò)誤.故選：AC.11.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的有（）A.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，總能得到的圖象B.若，則當(dāng)時(shí)，的取值范圍為C.若在區(qū)間上恰有3個(gè)極大值點(diǎn)，則D.若在區(qū)間上單調(diào)遞減，則【答案】BC【解析】由題可得對(duì)于A，向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度為，故不一定能得到的圖象，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，，則，，所以，B正確；對(duì)C，由可得，由在區(qū)間上恰有3個(gè)極大值點(diǎn)可得，C正確；對(duì)于D，，則，因?yàn)閱握{(diào)遞減，所以，，且即，解得，，且，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，D錯(cuò)誤.故選：BC.12.正方體的棱長(zhǎng)為3，E，F(xiàn)分別是棱，上的動(dòng)點(diǎn)，滿足，則（）A.與垂直B.與一定是異面直線C.存在點(diǎn)E，F(xiàn)，使得三棱錐的體積為D.當(dāng)E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)時(shí)，平面截正方體所得截面的周長(zhǎng)為【答案】ACD【解析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，A：由題可得，所以,所以，即，故A正確；B：當(dāng)E，F(xiàn)為中點(diǎn)時(shí)，，所以，B，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面，此時(shí)與不是異面直線，故B錯(cuò)誤；C：由，可得，則，由于，故C正確；D：直線與分別交于，連接分別交，于點(diǎn)M，N，則五邊形為平面截正方體所得的截面，因?yàn)镋，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，所以易得，故可得，因?yàn)?，所以，可得，同理可得，所以五邊形的周長(zhǎng)為，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共4小題.每小題5分，共20分.請(qǐng)將答案填寫在答題卡相應(yīng)的位置上.13.的展開式中的系數(shù)為________.【答案】【解析】因?yàn)榈恼归_式中的項(xiàng)為，所以的展開式中的系數(shù)為，故答案為：.14.在中，已知，，與交于點(diǎn)O.若，則________.【答案】【解析】因?yàn)椋?，所以，，又，所以，，又與交于點(diǎn)O，所以，所以，即，故答案為：.15.已知圓，過點(diǎn)的直線l交圓C于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在圓C上，若，，則________【答案】【解析】易知圓心，半徑，取中點(diǎn)D，則，因?yàn)椋?，所以，則，又，所以即，故.故答案為:.16.已知函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)為，，函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)為，，則________【答案】2【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的兩個(gè)零點(diǎn)為，，則，即，又，則，即，所以.故答案為：2.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列滿足，求的前n項(xiàng)和.解：（1）設(shè)數(shù)列的公比為，則，，解得，所以，即的通項(xiàng)公式為；（2）方法一：由題可知，則，，所以，.方法二：，所以18.在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，.（1）若，求的值；（2）若，，求的面積.解：（1）若，則，因?yàn)椋?，所以，所以，解得或，因?yàn)?，所以；?）若，由，可得，整理可得，即，因?yàn)?，所以，，所以，所以是以C為頂角的等腰三角形，，所以的面積為.19.在三棱柱中，平面平面，側(cè)面為菱形，，，，是的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）點(diǎn)在線段上（異于點(diǎn)，），與平面所成角為，求的值.（1）證明：因?yàn)閭?cè)面為菱形，，，所以為邊長(zhǎng)為的等邊三角形，作交于點(diǎn)，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫妫矫?，所以平面，平面，可得，又，，平面，可得平面，因?yàn)槠矫妫?，因?yàn)閭?cè)面為菱形，所以，，平面，所以平面；（2）解：由（1）知，平面，，取做的中點(diǎn)，連接，則，所以平面，以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，可得，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，可得，可得，解得舍去，或，所以.20.某小區(qū)有居民2000人，想通過驗(yàn)血的方法篩查出乙肝病毒攜帶者，為此需對(duì)小區(qū)全體居民進(jìn)行血液化驗(yàn)，假設(shè)攜帶病毒的居民占a%，若逐個(gè)化驗(yàn)需化驗(yàn)2000次.為減輕化驗(yàn)工作量，隨機(jī)按n人一組進(jìn)行分組，將各組n個(gè)人的血液混合在一起化驗(yàn)，若混合血樣呈陰性，則這n個(gè)人的血樣全部陰性；若混合血樣呈陽性，說明其中至少有一人的血樣呈陽性，就需對(duì)每個(gè)人再分別單獨(dú)化驗(yàn)一次.假設(shè)每位居民的化驗(yàn)結(jié)果呈陰性還是陽性相互獨(dú)立.（1）若，，試估算該小區(qū)化驗(yàn)的總次數(shù)；（2）若，每人單獨(dú)化驗(yàn)一次花費(fèi)10元，n個(gè)人混合化驗(yàn)一次花費(fèi)元.求每位居民化驗(yàn)費(fèi)用的數(shù)學(xué)期望.（注：當(dāng)時(shí)，）解：（1）設(shè)每位居民需化驗(yàn)的次數(shù)為X，若混合血樣為陰性，則，若混合血樣呈陽性，則，所以，，，所以2000名居民總化驗(yàn)次數(shù)約次；（2）設(shè)每組n人總費(fèi)用為Y元，若混合血樣呈陰性則，若混合血樣為陽性，則，所以，，所以，每位居民的化驗(yàn)費(fèi)用的數(shù)學(xué)期望為：.21.已知直線與拋物線交于兩點(diǎn)，，與拋物線交于兩點(diǎn)，，其中A，C在第一象限，B，D在第四象限.（1）若直線過點(diǎn)，且，求直線的方程；（2）①證明：；②設(shè)，的面積分別為，，（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），若，求.解：（1）設(shè)，，，，其中，，設(shè)，聯(lián)立，整理得，則，，，解得，則.（2）設(shè)，①聯(lián)立，整理得，則，，聯(lián)立，整理得，則，，則，即證.②，則，，其中，，解得，則，，，則.22.已知定義在上的兩個(gè)函數(shù)，.（1）求函數(shù)的最小值；（2）設(shè)直線與曲線，分別交于A，B兩點(diǎn)，求的最小值.解：（1）因?yàn)?，，所以，，則，令，解得，由，可得，由，可得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的最小值為；（2）由，可得，作出函數(shù)與的大致圖象，則直線與兩函數(shù)圖象有交點(diǎn)，設(shè)，則題設(shè)等價(jià)于恒成立，求實(shí)數(shù)k的最大值，且，所以，由，可得，且，由，可得，由，可得，所以函數(shù)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，設(shè)，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，則，解得，則，即，所以.江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)四市2023屆高三下學(xué)期3月教學(xué)情況調(diào)研(一)數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，得，∴，又，∴故選：A．2.兩個(gè)粒子A，B從同一發(fā)射源發(fā)射出來，在某一時(shí)刻，它們的位移分別為，，則在上的投影向量的長(zhǎng)度為（）A.10 B. C. D.2【答案】D【解析】設(shè)與的夾角為，則，所以在上的投影向量為，所以在上的投影向量的長(zhǎng)度為，故選:D.3.“綠水青山，就是金山銀山”，隨著我國(guó)的生態(tài)環(huán)境越來越好，外出旅游的人越來越多.現(xiàn)有兩位游客慕名來江蘇旅游，他們分別從“太湖黿頭渚、蘇州拙政園、鎮(zhèn)江金山寺、常州恐龍園、南京夫子廟、揚(yáng)州瘦西湖”這6個(gè)景點(diǎn)中隨機(jī)選擇1個(gè)景點(diǎn)游玩.記事件A為“兩位游客中至少有一人選擇太湖黿頭渚”，事件B為“兩位游客選擇的景點(diǎn)不同”，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題可得，,所以.故選：D.4.已知正四面體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)O為底面的中心，球О與該正四面體的其余三個(gè)面都有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，且公共點(diǎn)非該正四面體的頂點(diǎn)，則球O的半徑為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)檎拿骟w的棱長(zhǎng)為1，則正四面體的高為，由題可知球O與該正四面體的其余三個(gè)面都相切，設(shè)球O的半徑為，則，所以，所以.故選：B5.已知是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以恒成立，所以在單調(diào)遞增，又因?yàn)槭嵌x在R上的偶函數(shù)，所以在單調(diào)遞減，所以，所以由可得，解得，故選:D.6.在中，，的角平分線交于點(diǎn)D，的面積是面積的3倍，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?，即，在中，作邊上高，垂足為，則，故選:A.7.已知橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)P，Q在直線上，，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則該橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】依題意，設(shè)，，則，又，兩式做差可得即，所以.故選；B8.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，若對(duì)任意正整數(shù)n，，，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，則，即，又，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，則，又，所以為首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列，則，則，所以，又，則，又，所以，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，而，則，解得；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，而，則；綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：C二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分.部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.某校1000名學(xué)生在高三一模測(cè)試中數(shù)學(xué)成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）.分?jǐn)?shù)不低于X即為優(yōu)秀，已知優(yōu)秀學(xué)生有80人，則（）A.B.C.70分以下的人數(shù)約為6人D.本次考試的平均分約為93.6【答案】AD【解析】對(duì)于A，，A正確；對(duì)于B，因?yàn)榈诹M有40人，第五組有160人，所以，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，70分以下的人數(shù)為人，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，平均成績(jī)，D正確，故選:AD.10.已知正數(shù)a，b滿足，則（）A.的最小值為 B.的最小值為C.的最小值為 D.的最小值為【答案】AC【解析】對(duì)于A，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，A正確；對(duì)于B，，即，可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，C正確；對(duì)于D，由，當(dāng)且僅當(dāng)，即，等號(hào)成立，所以，此時(shí)，不能同時(shí)取等號(hào)，所以D錯(cuò)誤.故選：AC.11.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的有（）A.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，總能得到的圖象B.若，則當(dāng)時(shí)，的取值范圍為C.若在區(qū)間上恰有3個(gè)極大值點(diǎn)，則D.若在區(qū)間上單調(diào)遞減，則【答案】BC【解析】由題可得對(duì)于A，向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度為，故不一定能得到的圖象，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，，則，，所以，B正確；對(duì)C，由可得，由在區(qū)間上恰有3個(gè)極大值點(diǎn)可得，C正確；對(duì)于D，，則，因?yàn)閱握{(diào)遞減，所以，，且即，解得，，且，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，D錯(cuò)誤.故選：BC.12.正方體的棱長(zhǎng)為3，E，F(xiàn)分別是棱，上的動(dòng)點(diǎn)，滿足，則（）A.與垂直B.與一定是異面直線C.存在點(diǎn)E，F(xiàn)，使得三棱錐的體積為D.當(dāng)E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)時(shí)，平面截正方體所得截面的周長(zhǎng)為【答案】ACD【解析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，A：由題可得，所以,所以，即，故A正確；B：當(dāng)E，F(xiàn)為中點(diǎn)時(shí)，，所以，B，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面，此時(shí)與不是異面直線，故B錯(cuò)誤；C：由，可得，則，由于，故C正確；D：直線與分別交于，連接分別交，于點(diǎn)M，N，則五邊形為平面截正方體所得的截面，因?yàn)镋，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，所以易得，故可得，因?yàn)椋?，可得，同理可得，所以五邊形的周長(zhǎng)為，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共4小題.每小題5分，共20分.請(qǐng)將答案填寫在答題卡相應(yīng)的位置上.13.的展開式中的系數(shù)為________.【答案】【解析】因?yàn)榈恼归_式中的項(xiàng)為，所以的展開式中的系數(shù)為，故答案為：.14.在中，已知，，與交于點(diǎn)O.若，則________.【答案】【解析】因?yàn)?，，所以，，又，所以，，又與交于點(diǎn)O，所以，所以，即，故答案為：.15.已知圓，過點(diǎn)的直線l交圓C于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在圓C上，若，，則________【答案】【解析】易知圓心，半徑，取中點(diǎn)D，則，因?yàn)椋?，所以，則，又，所以即，故.故答案為:.16.已知函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)為，，函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)為，，則________【答案】2【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的兩個(gè)零點(diǎn)為，，則，即，又，則，即，所以.故答案為：2.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列滿足，求的前n項(xiàng)和.解：（1）設(shè)數(shù)列的公比為，則，，解得，所以，即的通項(xiàng)公式為；（2）方法一：由題可知，則，，所以，.方法二：，所以18.在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，.（1）若，求的值；（2）若，，求的面積.解：（1）若，則，因?yàn)?，，所以，所以，解得或，因?yàn)椋?；?）若，由，可得，整理可得，即，因?yàn)?，所以，，所以，所以是以C為頂角的等腰三角形，，所以的面積為.19.在三棱柱中，平面平面，側(cè)面為菱形，，，，是的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）點(diǎn)在線段上（異于點(diǎn)，），與平面所成角為，求的值.（1）證明：因?yàn)閭?cè)面為菱形，，，所以為邊長(zhǎng)為的等邊三角形，作交于點(diǎn)，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，平面，可得，又，，平面，可得平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)閭?cè)面為菱形，所以，，平面，所以平面；（2）解：由（1）知，平面，，取做的中點(diǎn)，連接，則，所以平面，以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，可得，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，可得，可得，解得舍去，或，所以.20.某小區(qū)有居民2000人，想通過驗(yàn)血的方法篩查出乙肝病毒攜帶者，為此需對(duì)小區(qū)全體居民進(jìn)行血液化驗(yàn)