高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1福建省南平市2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)、是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由，則.故選：C.2.若，則“”是“”（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由于，所以或，其中，則“”是“”的必要不充分條件.故選：B.3.折扇是我國傳統(tǒng)文化的延續(xù)，它常以字畫的形式體現(xiàn)我國的傳統(tǒng)文化，如圖1，圖2是某折扇的結(jié)構(gòu)簡化圖，已知，，若之間的弧長為，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，，所以，在中，，所以，得?故選：D.4.若，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】易知，而，，即可得，所以.故選：A.5.函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意知，函數(shù)連續(xù)，因?yàn)橹挥幸粋€(gè)交點(diǎn)，則只有一個(gè)根，函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)椋琭(3)=lg3所以，所以函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn).故選：C.6.若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)椋?，即，兩邊同時(shí)平方，由平方關(guān)系可得，所以.故選：D.7.已知函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，又是R上的單調(diào)函數(shù)，所以，解得.所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：B.8.已知，，（，且；，且；，且；），則的值為（）A. B.3 C. D.30【答案】B【解析】由，可得，同理，可得，，，所以.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)的最小正周期為B.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱C.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)D.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度得到函數(shù)的圖象【答案】ABD【解析】對于A，由周期公式計(jì)算可得函數(shù)的最小正周期為，即A正確；對于B，將代入檢驗(yàn)可得，因此函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，即B正確；對于C，當(dāng)時(shí)，；易知在上不單調(diào)，所以C錯(cuò)誤；對于D，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度得到，即D正確.故選：ABD.10.已知正實(shí)數(shù)，滿足，則下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)滿足，即，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，對于A，因?yàn)椋?，故A正確；對于B，因?yàn)?，所以，故B錯(cuò)誤；對于C，因?yàn)?，所以，即，故C錯(cuò)誤；對于D，因?yàn)?，所以，故D正確.故選：AD.11.對任意的，，函數(shù)滿足，且，，則（）A. B.是奇函數(shù)C.4為函數(shù)的一個(gè)周期 D.【答案】ACD【解析】由，令，則，又，所以，故A正確；因?yàn)闀r(shí)，則不成立，所以不是奇函數(shù)，故B錯(cuò)誤；令可得，所以，令，則，令，則，所以的周期為4，故C正確；由，得，所以，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.命題“，”的否定是____________.【答案】，【解析】命題“”的否定為“”.13.若函數(shù)的圖象經(jīng)過第一象限的點(diǎn)，則的最小值為____________.【答案】【解析】由題可得，且，則.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立.所以的最小值為.14.已知函數(shù)在區(qū)間上有4個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______________.【答案】【解析】，，∵函數(shù)在區(qū)間上有且僅有4個(gè)零點(diǎn)，，解得，即的取值范圍是.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.（1）計(jì)算的值；（2）已知，求的值.解：（1）.（2）解法一：，則原式.解法二：，，即，則原式.解法三：，為第一象限角或第三象限角，①當(dāng)為第一象限角時(shí)，，，則原式.②當(dāng)?shù)谌笙藿菚r(shí)，，，則原式.16.已知集合，.（1）當(dāng)時(shí)，求和；（2）若，求實(shí)數(shù)取值范圍.解：（1）由，得，，當(dāng)時(shí)，，或，.（2）由得，①當(dāng)時(shí)，，可得即，，②當(dāng)時(shí)，，可得，即，，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.17.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，銳角和鈍角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊分別與單位圓交于，兩點(diǎn)，且.（1）若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求的值；（2）求的取值范圍.解：（1）因?yàn)閱挝粓A上點(diǎn)的橫坐標(biāo)，且點(diǎn)在第一象限，所以點(diǎn)，即有，，因?yàn)榍覟殇J角，為鈍角，所以，所以.（2）由（1）知，，則，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，則，所以，因?yàn)椋?，所以，，所以的取值范圍?18.某湖泊2024年2月底測得水草覆蓋面積為48，2024年3月底測得水草覆蓋面積為64，水草覆蓋面積與月份的關(guān)系有以下兩個(gè)函數(shù)模型可供選擇：①；②.（1）求兩個(gè)函數(shù)模型的解析式；（2）若2024年1月底測得水草覆蓋面積為36，從上述兩個(gè)函數(shù)模型中選擇更合適的一個(gè)模型，請說明理由，并估算至少到哪一年的幾月底水草覆蓋面積能達(dá)到1080？（參考數(shù)據(jù)：，，）解：（1）若選擇模型①，則，解得，，所以函數(shù)模型①的解析式為；若選擇模型②，則，解得，，所以函數(shù)模型②的解析式為.（2）把代入函數(shù)模型①，得，再把代入函數(shù)模型②，得，因此選擇模型②更合適，由，得，兩邊取對數(shù)得，即，所以至少到2025年2月底水草覆蓋面積能達(dá)到1080.19.已知函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù).（1）求的值；（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性，并根據(jù)定義證明；（3）是否存在實(shí)數(shù)，對任意有.若存在，求的取值范圍；若不存在，請說明理由.解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，則即，所以，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，所以為奇函數(shù)，符合題意，故.（2）函數(shù)在上單調(diào)遞減.證明如下：設(shè)，且，則，因?yàn)椋?，所以，，，故即，所以在上單調(diào)遞減.（3）因?yàn)樵谏蠟槠婧瘮?shù)，由得，即，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以對任意的恒成立.①當(dāng)時(shí)，原不等式成立；②當(dāng)時(shí)，，令，，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，取最小值為，所以，的取值范圍是.福建省南平市2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)、是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由，則.故選：C.2.若，則“”是“”（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由于，所以或，其中，則“”是“”的必要不充分條件.故選：B.3.折扇是我國傳統(tǒng)文化的延續(xù)，它常以字畫的形式體現(xiàn)我國的傳統(tǒng)文化，如圖1，圖2是某折扇的結(jié)構(gòu)簡化圖，已知，，若之間的弧長為，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，，所以，在中，，所以，得?故選：D.4.若，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】易知，而，，即可得，所以.故選：A.5.函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意知，函數(shù)連續(xù)，因?yàn)橹挥幸粋€(gè)交點(diǎn)，則只有一個(gè)根，函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)?，f(3)=lg3所以，所以函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn).故選：C.6.若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，即，兩邊同時(shí)平方，由平方關(guān)系可得，所以.故選：D.7.已知函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，又是R上的單調(diào)函數(shù)，所以，解得.所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：B.8.已知，，（，且；，且；，且；），則的值為（）A. B.3 C. D.30【答案】B【解析】由，可得，同理，可得，，，所以.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)的最小正周期為B.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱C.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)D.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度得到函數(shù)的圖象【答案】ABD【解析】對于A，由周期公式計(jì)算可得函數(shù)的最小正周期為，即A正確；對于B，將代入檢驗(yàn)可得，因此函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，即B正確；對于C，當(dāng)時(shí)，；易知在上不單調(diào)，所以C錯(cuò)誤；對于D，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度得到，即D正確.故選：ABD.10.已知正實(shí)數(shù)，滿足，則下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)滿足，即，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，對于A，因?yàn)椋?，故A正確；對于B，因?yàn)椋?，故B錯(cuò)誤；對于C，因?yàn)?，所以，即，故C錯(cuò)誤；對于D，因?yàn)?，所以，故D正確.故選：AD.11.對任意的，，函數(shù)滿足，且，，則（）A. B.是奇函數(shù)C.4為函數(shù)的一個(gè)周期 D.【答案】ACD【解析】由，令，則，又，所以，故A正確；因?yàn)闀r(shí)，則不成立，所以不是奇函數(shù)，故B錯(cuò)誤；令可得，所以，令，則，令，則，所以的周期為4，故C正確；由，得，所以，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.命題“，”的否定是____________.【答案】，【解析】命題“”的否定為“”.13.若函數(shù)的圖象經(jīng)過第一象限的點(diǎn)，則的最小值為____________.【答案】【解析】由題可得，且，則.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立.所以的最小值為.14.已知函數(shù)在區(qū)間上有4個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______________.【答案】【解析】，，∵函數(shù)在區(qū)間上有且僅有4個(gè)零點(diǎn)，，解得，即的取值范圍是.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.（1）計(jì)算的值；（2）已知，求的值.解：（1）.（2）解法一：，則原式.解法二：，，即，則原式.解法三：，為第一象限角或第三象限角，①當(dāng)為第一象限角時(shí)，，，則原式.②當(dāng)?shù)谌笙藿菚r(shí)，，，則原式.16.已知集合，.（1）當(dāng)時(shí)，求和；（2）若，求實(shí)數(shù)取值范圍.解：（1）由，得，，當(dāng)時(shí)，，或，.（2）由得，①當(dāng)時(shí)，，可得即，，②當(dāng)時(shí)，，可得，即，，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.17.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，銳角和鈍角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊分別與單位圓交于，兩點(diǎn)，且.（1）若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求的值；（2）求的取值范圍.解：（1）因?yàn)閱挝粓A上點(diǎn)的橫坐標(biāo)，且點(diǎn)在第一象限，所以點(diǎn)，即有，，因?yàn)榍覟殇J角，為鈍角，所以，所以.（2）由（1）知，，則，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，則，所以，因?yàn)椋?，所以，，所以的取值范圍?18.某湖泊2024年2月底測得水草覆蓋面積為48，2024年3月底測得水草覆蓋面積為64，水草覆蓋面積與月份的關(guān)系有以下兩個(gè)函數(shù)模型可供選擇：①；②.（1）求兩個(gè)函數(shù)模型的解析式；（2）若2024年1月底測得水草覆蓋面積為36，從上述兩個(gè)函數(shù)模型中選擇更合適的一個(gè)模型，請說明理由，并估算至少到哪一年的幾月底水草覆蓋面積能達(dá)到1080？（參考數(shù)據(jù)：，，）解：（1）若選擇模型①，則，解得，，所以函數(shù)模型①的解析式為；若選擇模型②，則，解得，，所以函數(shù)模型②的解析式為.（2）把代入函數(shù)模型①，得，再把代入函數(shù)模型②，得，因此選擇模型②更合適，由，得，兩邊取對數(shù)得，即，所以至少到2025年2月底水草覆蓋面積能達(dá)到1080.19.已