高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省梅州市2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)、是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，則滿足的集合有（）種情況.A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】因?yàn)榧虾袃蓚€(gè)元素的子集有：，，共3個(gè)，所以集合有3中情況.故選：C.2.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】解不等式可得，且，因此，“”是“”的充分不必要條件.故選：A.3.函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.【答案】B【解析】由題意：，所以所求函數(shù)的定義域?yàn)椋?故選：B.4.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊在x軸的非負(fù)半軸上，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，所以.故選：D.5.圖1是杭州第19屆亞運(yùn)會(huì)會(huì)徽，名為“潮涌”，象征著新時(shí)代中國(guó)特色社會(huì)主義大潮的涌動(dòng)和發(fā)展．圖2是會(huì)徽的幾何圖形，設(shè)的長(zhǎng)為，的長(zhǎng)為，若，，且，則幾何圖形的面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，，由得?所以幾何圖形的面積為：.故選：B.6.函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因?yàn)闉樯系呐己瘮?shù)，且在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減.所以或，即或.所以所求不等式的解集為：.故選：C.7.已知，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由，令，易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，由，，則；由，令，易知函數(shù)在上單調(diào)遞增；由，，則.綜上可得.故選：D.8.每次去加油站，甲選擇加固定金額的油，乙選擇加固定體積的油．在油價(jià)的波動(dòng)情況下，哪種方式更經(jīng)濟(jì)呢？（）A.加固定金額的方式 B.加固定體積的方式C.兩種方案一樣 D.要視具體價(jià)格而定【答案】A【解析】設(shè)兩次加油的油價(jià)分別為，（，且），乙方案每次加油的量為；甲方案每次加油的錢(qián)數(shù)為，則乙方案的平均油價(jià)為：，甲方案的平均油價(jià)為：，因?yàn)椋?，即甲方案更?jīng)濟(jì)．故選：A.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列等式正確的有（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】對(duì)A：，故A正確；對(duì)B：，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：，故C正確；對(duì)D：，故D正確.故選：ACD.10.下列命題是真命題的是（）A.， B.，C.，使得 D.，且，使得【答案】AC【解析】，恒成立，故A正確；當(dāng)時(shí)，，故B顯然錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，故C正確；因在上單調(diào)遞增，由可得，故D錯(cuò)誤．故選：AC.11.高斯函數(shù)表示的是不超過(guò)實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)，，則下列結(jié)論正確的有（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】對(duì)A：根據(jù)高斯函數(shù)的概念，成立，所以A正確；對(duì)B：因?yàn)椋?，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：因?yàn)?，故C正確；對(duì)D：當(dāng)時(shí)，，所以；當(dāng)時(shí)，，所以；當(dāng)時(shí)，，所以；當(dāng)時(shí)，，所以；當(dāng)時(shí)，，所以.所以，故D錯(cuò)誤.故選：AC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，則______．【答案】4【解析】因?yàn)?，，所?13.放射性物質(zhì)原子核數(shù)的衰變規(guī)律是：，其中指初始時(shí)刻的原子核數(shù)，t為衰變時(shí)間，T為半衰期，N為衰變后剩余的原子核數(shù)．已知甲、乙兩種放射性物質(zhì)的半衰期分別為、（單位：天），若兩種物質(zhì)的初始原子核數(shù)相同，512天后發(fā)現(xiàn)甲的原子核數(shù)是乙的原子核數(shù)的4倍，則______．【答案】【解析】依題意，，整理得，則，所以.14.函數(shù)的定義域?yàn)镽，滿足，且當(dāng)時(shí)，，則______；時(shí)，______．【答案】16【解析】根據(jù)題意，，則；時(shí)，，則.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.計(jì)算：（1）；（2）．解：（1）原式．（2）原式．16.設(shè)函數(shù)，．（1）解方程：；（2）求的單調(diào)區(qū)間；（3）求在區(qū)間上的值域．解：（1）由，即得，從而或者，解得或者，所以方程的解集為或．（2）因?yàn)殛P(guān)于在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，關(guān)于在上單調(diào)遞增．令，得．所以的單調(diào)增區(qū)間為．令，得．所以的單調(diào)減區(qū)間為．綜上的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為．（3）由，得．由函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)，即時(shí)，，當(dāng)，即時(shí)，，因此，在區(qū)間的值域?yàn)椋?7.已知函數(shù)．（1）若關(guān)于x的不等式的解集為，求實(shí)數(shù)k，b的值；（2）對(duì)于參數(shù)，解關(guān)于x的不等式．解：（1）因?yàn)殛P(guān)于的不等式的解集為，可知方程的兩根為，．由韋達(dá)定理，可知，解得．（2）令，①當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)圖像與軸至多只有1個(gè)交點(diǎn)，且開(kāi)口向上．因此，不等式的解集為．②當(dāng)，即或時(shí)，函數(shù)圖像與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，且開(kāi)口向上．令，則方程有兩個(gè)不等實(shí)根，為：，.可知，不等式的解集為：或.綜上所述，①當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；②當(dāng)或時(shí)，不等式的解集為或.18.已知函數(shù)（），且，其中為奇函數(shù)，為偶函數(shù)．（1）求在上的最值；（2）求和的解析式；（3）若函數(shù)在上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）依題意，，的圖象是開(kāi)口向上，以為對(duì)稱(chēng)軸的拋物線，則當(dāng)時(shí)，取得最小值，又函數(shù)單調(diào)遞增，從而的最小值為，當(dāng)時(shí)，取得最大值2，從而的最大值為，即4．（2）因?yàn)棰?，以代入，可得，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，有：，為偶函數(shù)，有：，于是有②，聯(lián)立①和②，解得：，．（3）依題意，.當(dāng)，由在上單調(diào)遞增可知，，要使在上存在零點(diǎn)，即要在存在零點(diǎn)，又是開(kāi)口向下的拋物線且，則需或，解得，所以滿足題意的實(shí)數(shù)的取值范圍為．19.已知集合具有性質(zhì)對(duì)任意、，與至少有一個(gè)屬于集合．（1）判斷集合和是否具有性質(zhì)，并說(shuō)明理由；（2）已知具有性質(zhì)，當(dāng)時(shí)，求集合；（3）已知具有性質(zhì)，求證：．解：（1）集合中，因?yàn)?，，，，，，，所以集合具有性質(zhì)；集合中，因?yàn)?，，所以集合不具有性質(zhì)．（2）因?yàn)椋揖哂行再|(zhì)，所以，，則，又因?yàn)椋?，則，由集合的互異性知，而，所以，故．（3）因具有性質(zhì)，所以，則，則．又因?yàn)椋?，又因?yàn)椋裕瑒t，所以，，，，，所以，即，因此，．廣東省梅州市2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)、是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，則滿足的集合有（）種情況.A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】因?yàn)榧虾袃蓚€(gè)元素的子集有：，，共3個(gè)，所以集合有3中情況.故選：C.2.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】解不等式可得，且，因此，“”是“”的充分不必要條件.故選：A.3.函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.【答案】B【解析】由題意：，所以所求函數(shù)的定義域?yàn)椋?故選：B.4.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊在x軸的非負(fù)半軸上，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，所以.故選：D.5.圖1是杭州第19屆亞運(yùn)會(huì)會(huì)徽，名為“潮涌”，象征著新時(shí)代中國(guó)特色社會(huì)主義大潮的涌動(dòng)和發(fā)展．圖2是會(huì)徽的幾何圖形，設(shè)的長(zhǎng)為，的長(zhǎng)為，若，，且，則幾何圖形的面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，，由得?所以幾何圖形的面積為：.故選：B.6.函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因?yàn)闉樯系呐己瘮?shù)，且在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減.所以或，即或.所以所求不等式的解集為：.故選：C.7.已知，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由，令，易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，由，，則；由，令，易知函數(shù)在上單調(diào)遞增；由，，則.綜上可得.故選：D.8.每次去加油站，甲選擇加固定金額的油，乙選擇加固定體積的油．在油價(jià)的波動(dòng)情況下，哪種方式更經(jīng)濟(jì)呢？（）A.加固定金額的方式 B.加固定體積的方式C.兩種方案一樣 D.要視具體價(jià)格而定【答案】A【解析】設(shè)兩次加油的油價(jià)分別為，（，且），乙方案每次加油的量為；甲方案每次加油的錢(qián)數(shù)為，則乙方案的平均油價(jià)為：，甲方案的平均油價(jià)為：，因?yàn)椋?，即甲方案更?jīng)濟(jì)．故選：A.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列等式正確的有（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】對(duì)A：，故A正確；對(duì)B：，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：，故C正確；對(duì)D：，故D正確.故選：ACD.10.下列命題是真命題的是（）A.， B.，C.，使得 D.，且，使得【答案】AC【解析】，恒成立，故A正確；當(dāng)時(shí)，，故B顯然錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，故C正確；因在上單調(diào)遞增，由可得，故D錯(cuò)誤．故選：AC.11.高斯函數(shù)表示的是不超過(guò)實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)，，則下列結(jié)論正確的有（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】對(duì)A：根據(jù)高斯函數(shù)的概念，成立，所以A正確；對(duì)B：因?yàn)椋?，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：因?yàn)?，故C正確；對(duì)D：當(dāng)時(shí)，，所以；當(dāng)時(shí)，，所以；當(dāng)時(shí)，，所以；當(dāng)時(shí)，，所以；當(dāng)時(shí)，，所以.所以，故D錯(cuò)誤.故選：AC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，則______．【答案】4【解析】因?yàn)?，，所?13.放射性物質(zhì)原子核數(shù)的衰變規(guī)律是：，其中指初始時(shí)刻的原子核數(shù)，t為衰變時(shí)間，T為半衰期，N為衰變后剩余的原子核數(shù)．已知甲、乙兩種放射性物質(zhì)的半衰期分別為、（單位：天），若兩種物質(zhì)的初始原子核數(shù)相同，512天后發(fā)現(xiàn)甲的原子核數(shù)是乙的原子核數(shù)的4倍，則______．【答案】【解析】依題意，，整理得，則，所以.14.函數(shù)的定義域?yàn)镽，滿足，且當(dāng)時(shí)，，則______；時(shí)，______．【答案】16【解析】根據(jù)題意，，則；時(shí)，，則.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.計(jì)算：（1）；（2）．解：（1）原式．（2）原式．16.設(shè)函數(shù)，．（1）解方程：；（2）求的單調(diào)區(qū)間；（3）求在區(qū)間上的值域．解：（1）由，即得，從而或者，解得或者，所以方程的解集為或．（2）因?yàn)殛P(guān)于在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，關(guān)于在上單調(diào)遞增．令，得．所以的單調(diào)增區(qū)間為．令，得．所以的單調(diào)減區(qū)間為．綜上的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為．（3）由，得．由函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)，即時(shí)，，當(dāng)，即時(shí)，，因此，在區(qū)間的值域?yàn)椋?7.已知函數(shù)．（1）若關(guān)于x的不等式的解集為，求實(shí)數(shù)k，b的值；（2）對(duì)于參數(shù)，解關(guān)于x的不等式．解：（1）因?yàn)殛P(guān)于的不等式的解集為，可知方程的兩根為，．由韋達(dá)定理，可知，解得．（2）令，①當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)圖像與軸至多只有1個(gè)交點(diǎn)，且開(kāi)口向上．因此，不等式的解集為．②當(dāng)，即或時(shí)，函數(shù)圖像與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，且開(kāi)口向上．令，則方程有兩個(gè)不等實(shí)根，為：，.可知，不等式的解集為：或.綜上所述，①當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；②當(dāng)或時(shí)，不等式的解集為或.18.已知函數(shù)（），且，其中為奇函數(shù)，為偶函數(shù)．（1）求在上的最值；（2）求和的解析式；（3）若函數(shù)在上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）依題意，，的圖象是開(kāi)口向上，以為對(duì)稱(chēng)軸的拋物線，則當(dāng)時(shí)，取得最小值，又函數(shù)單調(diào)遞增，從而的最小值為，當(dāng)時(shí)，取得最大值2，從而的最大值為，即4．（2）因?yàn)棰?，以代入，可得，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，有：，為偶函數(shù)，有：，于是有②，聯(lián)立①和②，解得：，．（3）依題意，.當(dāng)，由在上單調(diào)遞增可知，，要使在上