高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省珠海市2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期期中教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校、姓名、考生號、試室號和座位號填寫在答題卡上，用2B鉛筆將考生號填涂在答題卡相應(yīng)位置上.2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息號涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案.答案不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答無效.4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡交回.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知函數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由可得，則.故選：B.2.已知數(shù)列是等比數(shù)列，若，，則的值為（）A.16 B.4 C.-2 D.-4【答案】A【解析】設(shè)數(shù)列的公比為，由，解得，則故選：A.3.已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的最小項(xiàng)是第（）項(xiàng).A.5 B.6 C.7 D.8【答案】B【解析】數(shù)列中，由，得，由，得，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即，所以數(shù)列的最小項(xiàng)是第6項(xiàng).故選：B4.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，下列說法不正確的是（）A.函數(shù)在上單調(diào)遞減B.函數(shù)在上單調(diào)遞增C.函數(shù)在處取得極小值D.函數(shù)共有兩個(gè)極小值點(diǎn)【答案】B【解析】由圖知，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，即函數(shù)在和上單調(diào)遞減；在和上單調(diào)遞增.對于A，由上分析可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故A正確；對于B，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤；對于C，因函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)取得極小值，故C正確；對于D，因函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)取得極小值，結(jié)合C項(xiàng)結(jié)果可知，函數(shù)共有兩個(gè)極小值點(diǎn)，故D正確.故選：B.5.如圖，雪花形狀圖形的作法是：從一個(gè)正三角形開始，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊.反復(fù)進(jìn)行這一過程，就得到一條“雪花”狀的曲線.設(shè)原正三角形（圖①）的邊長為2，把圖①，圖②，圖③，圖④中圖形的面積依次記為，，，,面積的改變量,,則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由圖知，，，，故.故選：C.6.數(shù)列滿足，，其前項(xiàng)的積為，則（）A.1 B.-6 C.2 D.3【答案】C【解析】數(shù)列中，由，得，而，則，因此數(shù)列是周期數(shù)列，周期為4，且，所以.故選：C7.函數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒成立，則k的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，，令函數(shù)，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，則，所以k的取值范圍是.故選：D8.已知函數(shù)所有極小值點(diǎn)從小到大排列成數(shù)列,則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，則，由，即，可得，由，即，可得，所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，函數(shù)的極小值點(diǎn)為，將函數(shù)所有極小值點(diǎn)從小到大排列成數(shù)列，則，，易知數(shù)列為等差數(shù)列，且數(shù)列的公差為，則，因此，.故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列函數(shù)求導(dǎo)錯(cuò)誤的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】對于A：，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于B：，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于C：，C選項(xiàng)正確；對于D：，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABD.10.以下關(guān)于數(shù)列的結(jié)論正確的是（）A.若數(shù)列的前項(xiàng)的和，則數(shù)列為等差數(shù)列B.若數(shù)列的前項(xiàng)的和，則數(shù)列為等比數(shù)列C.若數(shù)列滿足，則數(shù)列為等差數(shù)列D.若數(shù)列滿足，則數(shù)列為等比數(shù)列【答案】AC【解析】對于A，由可得，當(dāng)時(shí)，，因時(shí)滿足上式，且，故數(shù)列為等差數(shù)列，A正確；對于B，由可得，當(dāng)時(shí)，，因時(shí)，，故數(shù)列不是等比數(shù)列，故B錯(cuò)誤；對于C，由可知，是和的等差中項(xiàng)，故數(shù)列為等差數(shù)列，故C正確；對于D，由可知，當(dāng)都不為0時(shí)，是的等比中項(xiàng)，此時(shí)數(shù)列為等比數(shù)列；但當(dāng)，且中至少一個(gè)為0時(shí)，等式成立，但數(shù)列不構(gòu)成等比數(shù)列，故D錯(cuò)誤.故選：AC.11.已知函數(shù)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.函數(shù)存在兩個(gè)不同的零點(diǎn)B.函數(shù)只有極大值沒有極小值C.當(dāng)時(shí)，方程有且只有兩個(gè)實(shí)根D.若時(shí)，，則t的最小值為2【答案】BD【解析】對于A中，由，可得，解得，所以A正確；對于B中，由，令時(shí)，可得，當(dāng)時(shí)，或，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是，所以是函數(shù)極小值，是函數(shù)的極大值，所以B錯(cuò)誤；對于C中，當(dāng)時(shí)，，根據(jù)B可知，函數(shù)的最小值是，可得函數(shù)的大致圖象，所以當(dāng)時(shí)，方程有且只有兩個(gè)實(shí)根，所以C正確；對于D中，由B知函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是，其中，當(dāng)時(shí)，即在區(qū)間時(shí)，可得，所以D錯(cuò)誤.故選：BD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數(shù)，則在處的導(dǎo)數(shù)是______．【答案】【解析】由題意知，，令，得，解得，所以在的導(dǎo)數(shù)為.故答案為：13.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，.則數(shù)列的通項(xiàng)公式______.【答案】【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由可得，即①，由可得，即②，由①，②聯(lián)立，解得，，故.故答案為：.14.人們很早以前就開始探索高次方程的數(shù)值求解問題.牛頓在《流數(shù)法》一書中給出了高次代數(shù)方程的一種數(shù)值求法——牛頓法，用“作切線”的方法求方程的近似解.如圖，方程的根就是函數(shù)的零點(diǎn)，取初始值，在處的切線與軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，在處的切線與軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，一直繼續(xù)下去，得到、、、、，它們越來越接近.若，取，則用牛頓法得到的的近似值______，______.【答案】；【解析】因?yàn)?，，則，且，則，所以，曲線在處的切線方程為，即，由題意可得，解得，，，所以，曲線在處的切線方程為，即，由題意可得，解得.故答案：；.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足.（1）求證：是等比數(shù)列，并求出的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.所以，所以.（2）因?yàn)?，所有，，，作差可得，所?16.設(shè)，，，兩個(gè)函數(shù)的圖象如圖所示.（1）判斷，的圖象與，之間的對應(yīng)關(guān)系；（2）根據(jù)，的位置關(guān)系，寫出一個(gè)關(guān)于和的不等式，并證明.解：（1）函數(shù)，，求導(dǎo)得，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)，在上都是增函數(shù)，在區(qū)間上，的圖象比的圖象要“陡峭”；在區(qū)間上，的圖象比的圖象要“平緩”，所以函數(shù)，的圖象依次是圖中的，.（2）由（1）及圖象知，，設(shè)，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，所以.17.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）設(shè)，若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2），函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，即方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，也即方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，令，則，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，，當(dāng)時(shí)，，且，所以，函數(shù)的圖象大致如圖，則的取值范圍是.18.已知函數(shù).（1）若，且是增函數(shù)，求a的最小值；（2）證明：曲線是中心對稱圖形；（3）若當(dāng)且僅當(dāng)成立，求b的取值范圍.解：（1）若時(shí)，，可知的定義域?yàn)?，且，若是增函?shù)，即在內(nèi)恒成立，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，即，則，解得，所以的最小值為.（2）因?yàn)榈亩x域?yàn)?，且，所以圖象為中心對稱圖形，且對稱中心為.（3）因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)成立，結(jié)合（2）所得對稱中心，知為的一個(gè)解，即，可得，關(guān)于點(diǎn)對稱，根據(jù)對稱性可知：原題意等價(jià)于在內(nèi)恒成立，即為在上恒成立，設(shè)，則，得在上恒成立，設(shè)，可知在上恒成立，則，因?yàn)椋瑒t，可得，當(dāng)，，故恒成立，可知在上為增函數(shù)，則，符合題意；當(dāng)，當(dāng)時(shí)，，可知在內(nèi)單調(diào)遞減，故，不合題意；綜上所述：b的取值范圍為.19.若，都存在唯一的實(shí)數(shù)，使得，則稱函數(shù)存在“源數(shù)列”.已知.（1）證明：存在源數(shù)列；（2）（i）若恒成立，求的取值范圍；（ii）記的源數(shù)列為，證明：的前項(xiàng)和.解：（1）由，得，則在區(qū)間上單調(diào)遞減.又，當(dāng)且，，所以的值域?yàn)?，所以，令可知其在區(qū)間上存在唯一解，不妨設(shè)解為，即，都存在唯一的實(shí)數(shù)，使得，即存在源數(shù)列.（2）（i）恒成立，即恒成立.令，即恒成立.令，則，令，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，即，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，可得，故.（ii）由（i）得，故，則（且），當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.綜上，的前項(xiàng)和.廣東省珠海市2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期期中教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校、姓名、考生號、試室號和座位號填寫在答題卡上，用2B鉛筆將考生號填涂在答題卡相應(yīng)位置上.2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息號涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案.答案不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答無效.4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡交回.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知函數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由可得，則.故選：B.2.已知數(shù)列是等比數(shù)列，若，，則的值為（）A.16 B.4 C.-2 D.-4【答案】A【解析】設(shè)數(shù)列的公比為，由，解得，則故選：A.3.已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的最小項(xiàng)是第（）項(xiàng).A.5 B.6 C.7 D.8【答案】B【解析】數(shù)列中，由，得，由，得，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即，所以數(shù)列的最小項(xiàng)是第6項(xiàng).故選：B4.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，下列說法不正確的是（）A.函數(shù)在上單調(diào)遞減B.函數(shù)在上單調(diào)遞增C.函數(shù)在處取得極小值D.函數(shù)共有兩個(gè)極小值點(diǎn)【答案】B【解析】由圖知，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，即函數(shù)在和上單調(diào)遞減；在和上單調(diào)遞增.對于A，由上分析可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故A正確；對于B，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤；對于C，因函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)取得極小值，故C正確；對于D，因函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)取得極小值，結(jié)合C項(xiàng)結(jié)果可知，函數(shù)共有兩個(gè)極小值點(diǎn)，故D正確.故選：B.5.如圖，雪花形狀圖形的作法是：從一個(gè)正三角形開始，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊.反復(fù)進(jìn)行這一過程，就得到一條“雪花”狀的曲線.設(shè)原正三角形（圖①）的邊長為2，把圖①，圖②，圖③，圖④中圖形的面積依次記為，，，,面積的改變量,,則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由圖知，，，，故.故選：C.6.數(shù)列滿足，，其前項(xiàng)的積為，則（）A.1 B.-6 C.2 D.3【答案】C【解析】數(shù)列中，由，得，而，則，因此數(shù)列是周期數(shù)列，周期為4，且，所以.故選：C7.函數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒成立，則k的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，，令函數(shù)，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，則，所以k的取值范圍是.故選：D8.已知函數(shù)所有極小值點(diǎn)從小到大排列成數(shù)列,則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，則，由，即，可得，由，即，可得，所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，函數(shù)的極小值點(diǎn)為，將函數(shù)所有極小值點(diǎn)從小到大排列成數(shù)列，則，，易知數(shù)列為等差數(shù)列，且數(shù)列的公差為，則，因此，.故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列函數(shù)求導(dǎo)錯(cuò)誤的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】對于A：，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于B：，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于C：，C選項(xiàng)正確；對于D：，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABD.10.以下關(guān)于數(shù)列的結(jié)論正確的是（）A.若數(shù)列的前項(xiàng)的和，則數(shù)列為等差數(shù)列B.若數(shù)列的前項(xiàng)的和，則數(shù)列為等比數(shù)列C.若數(shù)列滿足，則數(shù)列為等差數(shù)列D.若數(shù)列滿足，則數(shù)列為等比數(shù)列【答案】AC【解析】對于A，由可得，當(dāng)時(shí)，，因時(shí)滿足上式，且，故數(shù)列為等差數(shù)列，A正確；對于B，由可得，當(dāng)時(shí)，，因時(shí)，，故數(shù)列不是等比數(shù)列，故B錯(cuò)誤；對于C，由可知，是和的等差中項(xiàng)，故數(shù)列為等差數(shù)列，故C正確；對于D，由可知，當(dāng)都不為0時(shí)，是的等比中項(xiàng)，此時(shí)數(shù)列為等比數(shù)列；但當(dāng)，且中至少一個(gè)為0時(shí)，等式成立，但數(shù)列不構(gòu)成等比數(shù)列，故D錯(cuò)誤.故選：AC.11.已知函數(shù)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.函數(shù)存在兩個(gè)不同的零點(diǎn)B.函數(shù)只有極大值沒有極小值C.當(dāng)時(shí)，方程有且只有兩個(gè)實(shí)根D.若時(shí)，，則t的最小值為2【答案】BD【解析】對于A中，由，可得，解得，所以A正確；對于B中，由，令時(shí)，可得，當(dāng)時(shí)，或，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是，所以是函數(shù)極小值，是函數(shù)的極大值，所以B錯(cuò)誤；對于C中，當(dāng)時(shí)，，根據(jù)B可知，函數(shù)的最小值是，可得函數(shù)的大致圖象，所以當(dāng)時(shí)，方程有且只有兩個(gè)實(shí)根，所以C正確；對于D中，由B知函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是，其中，當(dāng)時(shí)，即在區(qū)間時(shí)，可得，所以D錯(cuò)誤.故選：BD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數(shù)，則在處的導(dǎo)數(shù)是______．【答案】【解析】由題意知，，令，得，解得，所以在的導(dǎo)數(shù)為.故答案為：13.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，.則數(shù)列的通項(xiàng)公式______.【答案】【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由可得，即①，由可得，即②，由①，②聯(lián)立，解得，，故.故答案為：.14.人們很早以前就開始探索高次方程的數(shù)值求解問題.牛頓在《流數(shù)法》一書中給出了高次代數(shù)方程的一種數(shù)值求法——牛頓法，用“作切線”的方法求方程的近似解.如圖，方程的根就是函數(shù)的零點(diǎn)，取初始值，在處的切線與軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，在處的切線與軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，一直繼續(xù)下去，得到、、、、，它們越來越接近.若，取，則用牛頓法得到的的近似值______，______.【答案】；【解析】因?yàn)椋?，則，且，則，所以，曲線在處的切線方程為，即，由題意可得，解得，，，所以，曲線在處的切線方程為，即，由題意可得，解得.故答案：；.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足.（1）求證：是等比數(shù)列，并求出的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.所以，所以.（2）因?yàn)椋?，，，作差可得，所?16.設(shè)，，，兩個(gè)函數(shù)的圖象如圖所示.（1）判斷，的圖象與，之間的對應(yīng)關(guān)系；（2）根據(jù)，的位置關(guān)系，寫出一個(gè)關(guān)于和的不等式，并證明.解：（1）函數(shù)，，求導(dǎo)得，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)，在上都是增函數(shù)，在區(qū)間上，的圖象比的圖象要“陡峭”；在區(qū)間上，的圖象比的圖象要“平緩”，所以函數(shù)，的圖象依次是圖中的，.（2）由（1）及圖象知，，設(shè)，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，所以.17.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）設(shè)，若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；綜