高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河北省保定市部分高中2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期11月期中數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】方法一：因為，而，所以．故選：C．方法二：因為，將代入不等式，只有使不等式成立，所以．故選：C．2.已知是實數(shù)，是純虛數(shù)，則等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意可知：，為純虛數(shù)，則：，據(jù)此可知.本題選擇D選項.3.若圓錐的軸截面是面積為的等邊三角形，則該圓錐的表面積為（）A.2π B.3π C.23 D.【答案】B【解析】設(shè)圓錐的軸截面是邊長為（）的等邊三角形，則，則，∴圓錐底面半徑，母線長，∴.故選：B4.如圖，已知三棱錐的側(cè)棱長均為2，，，點D在線段上，點在線段上，則周長的最小值為（）A. B.4 C. D.6【答案】C【解析】如圖，將三棱錐的側(cè)面展開，則周長的最小值與展開圖中的線段相等.在中，，在中，根據(jù)余弦定理可得：，所以，即周長的最小值為.故選：C.5.如圖，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的向量為，且|z-i|=5，則向量在向量上的投影向量的坐標為（）A. B. C.(6.5) D.【答案】D【解析】由題圖可知，，則，解得（舍去），所以，，則向量在向量上的投影向量為，所以其坐標為．故選：D6.設(shè)平面向量，，且，則=（）A.1 B.14 C. D.【答案】B【解析】因為，所以又，則所以，則，故選：7.如圖，在中，為的中點，，與交于點，若，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)，，則，而與不共線，∴，解得，∴.故選：A.8.若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，，，，解得，，.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知向量則（）A. B.與向量共線的單位向量是C. D.向量在向量上的投影向量是【答案】CD【解析】因為，，所以，則，故A錯誤；又，則與向量共線的單位向量為，即或，故B錯誤；因為，所以，故C正確；因為，，所以向量在向量上投影向量是，故D正確.故選：CD10.設(shè)，為復(fù)數(shù)，且，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C.若，則 D.【答案】ABD【解析】設(shè)，，對于選項A，因為，所以，且，所以，故A正確；對于選項B，因為，，，則，，所以，故B正確；對于選項C，若，例如，，滿足，但，，即，故C錯誤；對于選項D，因為，所以，，所以，故D正確.故選：ABD.11.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．則（）A.的圖象關(guān)于中心對稱B.在區(qū)間上單調(diào)遞增C.函數(shù)的圖象向右平移個單位長度可以得到函數(shù)的圖象D.將函數(shù)的圖象所有點的橫坐標縮小為原來的，得到函數(shù)的圖象【答案】ABD【解析】由圖象可知，，解得，又，所以，即，結(jié)合，可知，所以函數(shù)的表達式為，對于A，由于，即的圖象關(guān)于中心對稱，故A正確；對于B，當(dāng)時，，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知在區(qū)間上單調(diào)遞增，故B正確；對于C，函數(shù)的圖象向右平移個單位長度可以得到函數(shù)，故C錯誤；對于D，將函數(shù)的圖象所有點的橫坐標縮小為原來的，得到函數(shù)的圖象，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是___________.【答案】【解析】的定義域為，解得，或,求原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間,即求函數(shù)的減區(qū)間,,可知單調(diào)遞減區(qū)間為,綜上可得,函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為.令,由,得或,函數(shù)的定義域為,當(dāng)時,內(nèi)層函數(shù)為增函數(shù),而外層函數(shù)為減函數(shù),函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是.故答案為:.13.在中，，若該三角形有兩解，則x的取值范圍是_________．【答案】【解析】由可得因為，所以要使三角形有兩解，所以且所以，即，解得，故答案為：14.設(shè)點在以為圓心，半徑為1的圓弧BC上運動(包含B，C兩個端點)，且，則的最大值為________.【答案】或【解析】建立如圖所示的直角坐標系，則，設(shè)，所以，因此有，因為，，所以有，于是有，其中，因為，即，當(dāng)時取得最大值，故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.記的內(nèi)角、、的對邊分別為、、.已知.（1）證明：；（2）若，，求的面積.（1）證明：因為，則，即，由正弦定理可得，因此，.（2）解：因為，由正弦定理可得，由平面向量數(shù)量積的定義可得，所以，，可得，即，所以，，則，，所以，，則為銳角，且，因此，.16.如圖，在正方體中，點、分別是、的中點．求證：（1）直線和同一平面上；（2）直線、和交于一點．（1）證明：如圖，連結(jié).∵點分別是的中點，∴.∵四邊形為平行四邊形，∴，∴，∴四點共面，即和共面．（2）證明：正方體中，∵點分別是的中點，∴且∵四邊形為平行四邊形，∴，且∴∥且∴與相交，設(shè)交點為P，∵，平面，∴平面；又∵，平面，∴平面，∵平面平面，∴，∴三線交于點P.17.已知定義在上的奇函數(shù)．在時，．（1）試求的表達式；（2）若對于上的每一個值，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）是定義在上的奇函數(shù)，，因為在時，，設(shè)，則，則，故.（2）由題意，可化為化簡可得，令，，因為在定義域上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，，故．18.已知向量，，且.（1）求的值；（2）求的取值范圍；（3）記函數(shù)，若的最小值為，求實數(shù)的值.解：（1）向量，，.（2），，，，，所以的取值范圍為.（3）由（1）（2）可知，函數(shù)，令，則，，其圖像拋物線開口向上，對稱軸方程為，當(dāng)，即時，最小值為，解得（舍去）；當(dāng)，即時，最小值為，解得或（舍去）；當(dāng)，即時，最小值為.綜上可知，.19.如圖，我們把由平面內(nèi)夾角成的兩條數(shù)軸Ox，Oy構(gòu)成的坐標系，稱為“完美坐標系”.設(shè)，分別為Ox，Oy正方向上的單位向量，若向量，則把實數(shù)對叫做向量的“完美坐標”.（1）若向量的“完美坐標”為，求；（2）已知，分別為向量，的“完美坐標”，證明：；（3）若向量，的“完美坐標”分別為，，設(shè)函數(shù)，x∈R，求的值域.（1）解：因為的“完美坐標”為，則，又因為，分別為Ox，Oy正方向上的單位向量，且夾角為，所以,，所以.（2）證明：由（1）知，所以，即.（3）解：因為向量，的“完美坐標”分別為，，由（2）得.令，則，因為x∈R，所以，即，令，因為的圖象是對稱軸為，開口向上的拋物線的一部分，所以當(dāng)時，取得最小值，當(dāng)時，取得最大值，所以的值域為.河北省保定市部分高中2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期11月期中數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】方法一：因為，而，所以．故選：C．方法二：因為，將代入不等式，只有使不等式成立，所以．故選：C．2.已知是實數(shù)，是純虛數(shù)，則等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意可知：，為純虛數(shù)，則：，據(jù)此可知.本題選擇D選項.3.若圓錐的軸截面是面積為的等邊三角形，則該圓錐的表面積為（）A.2π B.3π C.23 D.【答案】B【解析】設(shè)圓錐的軸截面是邊長為（）的等邊三角形，則，則，∴圓錐底面半徑，母線長，∴.故選：B4.如圖，已知三棱錐的側(cè)棱長均為2，，，點D在線段上，點在線段上，則周長的最小值為（）A. B.4 C. D.6【答案】C【解析】如圖，將三棱錐的側(cè)面展開，則周長的最小值與展開圖中的線段相等.在中，，在中，根據(jù)余弦定理可得：，所以，即周長的最小值為.故選：C.5.如圖，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的向量為，且|z-i|=5，則向量在向量上的投影向量的坐標為（）A. B. C.(6.5) D.【答案】D【解析】由題圖可知，，則，解得（舍去），所以，，則向量在向量上的投影向量為，所以其坐標為．故選：D6.設(shè)平面向量，，且，則=（）A.1 B.14 C. D.【答案】B【解析】因為，所以又，則所以，則，故選：7.如圖，在中，為的中點，，與交于點，若，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)，，則，而與不共線，∴，解得，∴.故選：A.8.若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，，，，解得，，.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知向量則（）A. B.與向量共線的單位向量是C. D.向量在向量上的投影向量是【答案】CD【解析】因為，，所以，則，故A錯誤；又，則與向量共線的單位向量為，即或，故B錯誤；因為，所以，故C正確；因為，，所以向量在向量上投影向量是，故D正確.故選：CD10.設(shè)，為復(fù)數(shù)，且，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C.若，則 D.【答案】ABD【解析】設(shè)，，對于選項A，因為，所以，且，所以，故A正確；對于選項B，因為，，，則，，所以，故B正確；對于選項C，若，例如，，滿足，但，，即，故C錯誤；對于選項D，因為，所以，，所以，故D正確.故選：ABD.11.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．則（）A.的圖象關(guān)于中心對稱B.在區(qū)間上單調(diào)遞增C.函數(shù)的圖象向右平移個單位長度可以得到函數(shù)的圖象D.將函數(shù)的圖象所有點的橫坐標縮小為原來的，得到函數(shù)的圖象【答案】ABD【解析】由圖象可知，，解得，又，所以，即，結(jié)合，可知，所以函數(shù)的表達式為，對于A，由于，即的圖象關(guān)于中心對稱，故A正確；對于B，當(dāng)時，，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知在區(qū)間上單調(diào)遞增，故B正確；對于C，函數(shù)的圖象向右平移個單位長度可以得到函數(shù)，故C錯誤；對于D，將函數(shù)的圖象所有點的橫坐標縮小為原來的，得到函數(shù)的圖象，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是___________.【答案】【解析】的定義域為，解得，或,求原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間,即求函數(shù)的減區(qū)間,,可知單調(diào)遞減區(qū)間為,綜上可得,函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為.令,由,得或,函數(shù)的定義域為,當(dāng)時,內(nèi)層函數(shù)為增函數(shù),而外層函數(shù)為減函數(shù),函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是.故答案為:.13.在中，，若該三角形有兩解，則x的取值范圍是_________．【答案】【解析】由可得因為，所以要使三角形有兩解，所以且所以，即，解得，故答案為：14.設(shè)點在以為圓心，半徑為1的圓弧BC上運動(包含B，C兩個端點)，且，則的最大值為________.【答案】或【解析】建立如圖所示的直角坐標系，則，設(shè)，所以，因此有，因為，，所以有，于是有，其中，因為，即，當(dāng)時取得最大值，故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.記的內(nèi)角、、的對邊分別為、、.已知.（1）證明：；（2）若，，求的面積.（1）證明：因為，則，即，由正弦定理可得，因此，.（2）解：因為，由正弦定理可得，由平面向量數(shù)量積的定義可得，所以，，可得，即，所以，，則，，所以，，則為銳角，且，因此，.16.如圖，在正方體中，點、分別是、的中點．求證：（1）直線和同一平面上；（2）直線、和交于一點．（1）證明：如圖，連結(jié).∵點分別是的中點，∴.∵四邊形為平行四邊形，∴，∴，∴四點共面，即和共面．（2）證明：正方體中，∵點分別是的中點，∴且∵四邊形為平行四邊形，∴，且∴∥且∴與相交，設(shè)交點為P，∵，平面，∴平面；又∵，平面，∴平面，∵平面平面，∴，∴三線交于點P.17.已知定義在上的奇函數(shù)．在時，．（1）試求的表達式；（2）若對于上的每一個值，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）是定義在上的奇函數(shù)，，因為在時，，設(shè)，則，則，故.（2）由題意，可化為化簡可得，令，，因為在定義域上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，，故．18.已知向量，，且.（1）求的值；（2）求的取值范圍；（3）記函數(shù)，若的最小值為，求實數(shù)的值.解：（1）向量，，.（2），，，，，所以的取值范圍為.（3）由（1）（2）可知，函數(shù)，令，則，，其圖像拋物線開口向上，對稱軸方程為，當(dāng)，即時，最小值為，解得（舍去）；當(dāng)，即時，最小值為，解得或（舍去）；當(dāng)，即時，最小值為.綜上可知，.19.如圖，我們把由平面內(nèi)夾角成的兩條數(shù)軸Ox，Oy構(gòu)成的坐標系，稱為“完美