數(shù)學(xué)魔鬼階梯題目及答案一、選擇題1.魔鬼階梯問題中，如果每步可以上升1或2級(jí)臺(tái)階，那么到達(dá)第n級(jí)臺(tái)階有多少種不同的方法？A.2^nB.2^(n-1)C.n^2D.2n答案：B2.在魔鬼階梯問題中，如果每步可以上升1或3級(jí)臺(tái)階，到達(dá)第n級(jí)臺(tái)階的方法數(shù)與到達(dá)第(n-1)級(jí)臺(tái)階的方法數(shù)之間的關(guān)系是什么？A.到達(dá)第n級(jí)臺(tái)階的方法數(shù)是到達(dá)第(n-1)級(jí)臺(tái)階的方法數(shù)的3倍B.到達(dá)第n級(jí)臺(tái)階的方法數(shù)是到達(dá)第(n-1)級(jí)臺(tái)階的方法數(shù)的2倍C.到達(dá)第n級(jí)臺(tái)階的方法數(shù)等于到達(dá)第(n-1)級(jí)臺(tái)階的方法數(shù)加上到達(dá)第(n-3)級(jí)臺(tái)階的方法數(shù)D.到達(dá)第n級(jí)臺(tái)階的方法數(shù)等于到達(dá)第(n-1)級(jí)臺(tái)階的方法數(shù)減去到達(dá)第(n-3)級(jí)臺(tái)階的方法數(shù)答案：C3.魔鬼階梯問題中，如果每步可以上升1或2級(jí)臺(tái)階，到達(dá)第10級(jí)臺(tái)階有多少種不同的方法？A.144B.89C.55D.34答案：A二、填空題4.魔鬼階梯問題中，如果每步可以上升1或2級(jí)臺(tái)階，到達(dá)第5級(jí)臺(tái)階有____種不同的方法。答案：85.魔鬼階梯問題中，如果每步可以上升1或2級(jí)臺(tái)階，到達(dá)第6級(jí)臺(tái)階有____種不同的方法。答案：13三、解答題6.魔鬼階梯問題中，如果每步可以上升1或2級(jí)臺(tái)階，求到達(dá)第n級(jí)臺(tái)階的方法數(shù)的通項(xiàng)公式。答案：設(shè)到達(dá)第n級(jí)臺(tái)階的方法數(shù)為f(n)，則有：f(1)=1f(2)=2f(n)=f(n-1)+f(n-2)，對(duì)于n>2這是一個(gè)斐波那契數(shù)列，所以通項(xiàng)公式為：f(n)=F(n+1)，其中F(n)是第n個(gè)斐波那契數(shù)。7.魔鬼階梯問題中，如果每步可以上升1或3級(jí)臺(tái)階，求到達(dá)第n級(jí)臺(tái)階的方法數(shù)的通項(xiàng)公式。答案：設(shè)到達(dá)第n級(jí)臺(tái)階的方法數(shù)為g(n)，則有：g(1)=1g(2)=1g(3)=2g(n)=g(n-1)+g(n-3)，對(duì)于n>3這是一個(gè)類似斐波那契數(shù)列的遞推關(guān)系，可以通過遞推或矩陣快速冪的方法求解。8.魔鬼階梯問題中，如果每步可以上升1或2級(jí)臺(tái)階，求到達(dá)第20級(jí)臺(tái)階的方法數(shù)。答案：根據(jù)第6題的通項(xiàng)公式，我們可以計(jì)算出f(20)=F(21)，其中F(21)是第21個(gè)斐波那契數(shù)。通過計(jì)算，我們可以得到F(21)=10946，所以到達(dá)第20級(jí)臺(tái)階有10946種不同的方法。四、證明題9.證明魔鬼階梯問題中，如果每步可以上升1或2級(jí)臺(tái)階，到達(dá)第n級(jí)臺(tái)階的方法數(shù)是一個(gè)斐波那契數(shù)。答案：我們可以通過數(shù)學(xué)歸納法來證明這個(gè)結(jié)論。(1)當(dāng)n=1時(shí)，f(1)=1，F(xiàn)(2)=1，結(jié)論成立。(2)當(dāng)n=2時(shí)，f(2)=2，F(xiàn)(3)=2，結(jié)論成立。假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，結(jié)論成立，即f(k)=F(k+1)。當(dāng)n=k+1時(shí)，到達(dá)第(k+1)級(jí)臺(tái)階的最后一步可以是從第k級(jí)臺(tái)階走1步上來，也可以是從第(k-1)級(jí)臺(tái)階走2步上來。所以有：f(k+1)=f(k)+f(k-1)=F(k+1)+F(k-1)=F(k+2)所以當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立。綜上所述，對(duì)于任意正整數(shù)n，到達(dá)第n級(jí)臺(tái)階的方法數(shù)都是一個(gè)斐波那契數(shù)。10.證明魔鬼階梯問題中，如果每步可以上升1或3級(jí)臺(tái)階，到達(dá)第n級(jí)臺(tái)階的方法數(shù)滿足遞推關(guān)系g(n)=g(n-1)+g(n-3)。答案：我們可以通過數(shù)學(xué)歸納法來證明這個(gè)結(jié)論。(1)當(dāng)n=1時(shí)，g(1)=1，結(jié)論成立。(2)當(dāng)n=2時(shí)，g(2)=1，結(jié)論成立。(3)當(dāng)n=3時(shí)，g(3)=2，結(jié)論成立。假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，結(jié)論成立，即g(k)=g(k-1)+g(k-3)。當(dāng)n=k+1時(shí)，到達(dá)第(k+1)級(jí)臺(tái)階的最后一步可以是從第k級(jí)臺(tái)階走1步上來，也可以是從第(k-2)級(jí)臺(tái)階走3步上來。所以有：g(k+1)=g(k)+g(k-2)根據(jù)歸納假設(shè)，我們有：g(k)=g(k-1)+g(k-3)g(k-2)=g(k-3)+g(k-5)將上述兩個(gè)式子代入g(k+1)的表達(dá)式中，得到：g(k+1)=(g(k-1)+g(k-3))+(g(k-3)+g(k-5))=g(k-1)+2g(k-3)+g(k-5)由于g(k-5)=0（因?yàn)閗-5<0），所以：g(k