導(dǎo)數(shù)與微分結(jié)束三、左導(dǎo)數(shù)與右導(dǎo)數(shù)

左導(dǎo)數(shù):

右導(dǎo)數(shù):顯然可以用下面的形式來定義左、右導(dǎo)數(shù)定理3.1y=f(x)在x=x0可導(dǎo)的充分必要條件是y=f(x)在x=x0

的左、右導(dǎo)數(shù)存在且相等.三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義

當自變量從變化到時，曲線y=f(x)上的點由變到此時為割線兩端點M0，M的橫坐標之差，而則為M0，M的縱坐標之差，所以即為過M0，M兩點的割線的斜率.M0M

曲線y=f(x)在點M0處的切線即為割線M0M當M沿曲線y=f(x)無限接近時的極限位置M0P，因而當時，割線斜率的極限值就是切線的斜率.即：所以，導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線y=f(x)在點M0(x0,f(x0))處的切線斜率.M0M

設(shè)函數(shù)y=f(x)在點處可導(dǎo)，則曲線y=f(x)在點處的切線方程為：而當時,曲線在的切線方程為(即法線平行y軸).當時,曲線在的法線方程為而當時,曲線在的法線方程為例3求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解:(1)求增量:(2)算比值:(3)取極限:同理可得:特別地,.例4求曲線在點處的切線與法線方程.解:因為,由導(dǎo)數(shù)幾何意義,曲線在點的切線與法線的斜率分別為:

于是所求的切線方程為:即法線方程為:即2.1.4可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系定理2若函數(shù)y=f(x)在點x0處可導(dǎo)，則f(x)在點x0

處連續(xù).證

因為f(x)在點x0處可導(dǎo)，故有根據(jù)函數(shù)極限與無窮小的關(guān)系,可得:兩端乘以得:由此可見:即函數(shù)y=f(x)在點x0

處連續(xù).證畢.例5證明函數(shù)在x=0處連續(xù)但不可導(dǎo).證

因為所以在x=0連續(xù)而即函數(shù)在x=0處左右導(dǎo)數(shù)不相等,從而在x=0不可導(dǎo).由此可見，函數(shù)在某點連續(xù)是函數(shù)在該點可導(dǎo)的必要條件，但不是充分條件即可導(dǎo)定連續(xù),連續(xù)不一定可導(dǎo).

設(shè)函數(shù)u(x)與v(x)在點x處均可導(dǎo)，則:定理一2.2.1函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則2.2導(dǎo)數(shù)的運算特別地,如果可得公式注：法則（1）（2）均可推廣到有限多個可導(dǎo)函數(shù)的情形例：設(shè)u=u(x),v=v(x),w=w(x)在點x處均可導(dǎo)，則解：

例2設(shè)解：例1解：即

類似可得例3求y=tanx

的導(dǎo)數(shù)解：即類似可得例4求y=secx

的導(dǎo)數(shù)基本導(dǎo)數(shù)公式表2.2.2基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解：例5

定理二如果函數(shù)在x處可導(dǎo)，而函數(shù)y=f(u)在對應(yīng)的u處可導(dǎo)，那么復(fù)合函數(shù)在x處可導(dǎo)，且有或?qū)τ诙啻螐?fù)合的函數(shù)，其求導(dǎo)公式類似，此法則也稱鏈導(dǎo)法注：2.2.3復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例7解：解：例6定理三如果單調(diào)連續(xù)函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則它的反函數(shù)y=f(x)在對應(yīng)的區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且有或證因為的反函數(shù)上式兩邊對x求導(dǎo)得或或2.2.4反函數(shù)的求導(dǎo)法則解：y=arcsinx

是x=siny

的反函數(shù)因此在對應(yīng)的區(qū)間（-1，1）內(nèi)有即同理求函數(shù)y=arcsinx

的導(dǎo)數(shù)例8

1.隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例9求方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解：方程兩端對x求導(dǎo)得2.2.5隱函數(shù)和由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)即是由所確定的函數(shù)，其求導(dǎo)方法就是把y看成x的函數(shù)，方程兩端同時對x求導(dǎo)，然后解出。即例10解：兩邊對x求導(dǎo)得解一例11兩邊對x求導(dǎo)，由鏈導(dǎo)法有

解二稱為對數(shù)求導(dǎo)法，可用來求冪指函數(shù)和多個因子連乘積函數(shù)、開方及其它適用于對數(shù)化簡的函數(shù)的求導(dǎo)注：解二解：將函數(shù)取自然對數(shù)得兩邊對x求導(dǎo)得例12且設(shè)均可導(dǎo),具有單值連續(xù)反函數(shù)，則參數(shù)方程確定的函數(shù)可看成與復(fù)合而成的函數(shù)，根據(jù)求導(dǎo)法則有：求得y對x的導(dǎo)數(shù)對參數(shù)方程所確定的函數(shù)y=f(x),可利用參數(shù)方程直接此即參數(shù)方程所確定函數(shù)的求導(dǎo)公式2.參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)變量y與x之間的函數(shù)關(guān)系有時是由參數(shù)方程確定的，其中t稱為參數(shù)

解：曲線上對應(yīng)t=1的點（x,y)為（0,0）,曲線t=1在處的切線斜率為于是所求的切線方程為y=－x求曲線在t=1處的切線方程例13即或記作或二階導(dǎo)數(shù)：如果函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)仍是x的可導(dǎo)函數(shù)，就稱的導(dǎo)數(shù)為f(x)的二階導(dǎo)數(shù)，n階導(dǎo)數(shù)：二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)的計算：運用導(dǎo)數(shù)運算法則與基本公式將函數(shù)逐次求導(dǎo)2.2.6高階導(dǎo)數(shù)解：特別地例15解：……即同理例14解如圖，正方形金屬片的面積A與邊長x的函數(shù)關(guān)系為A=x2,受熱后當邊長由x0伸長到x0+時,面積A相應(yīng)的增量為2.3.1微分的概念例1

設(shè)有一個邊長為x0的正方形金屬片，受熱后它的邊長伸長了，問其面積增加了多少？2.3微分的線性函數(shù)從上式可以看出，這表明這部分就是面積的增量的主要部分（線性主部）所以上式可寫成

可以表示為定義設(shè)函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有定義，處的增量在點如果函數(shù)于是,（2.3.1)式可寫成處的微分，可微，稱為在點處在點高階的無窮小，則稱函數(shù)時其中A是與無關(guān)的常數(shù)，是當比記為由微分定義，函數(shù)f(x)在點x0處可微與可導(dǎo)等價，且,因而在點x0處的微分可寫成于是函數(shù)通常把記為，稱自變量的微分，上式兩端同除以自變量的微分，得因此導(dǎo)數(shù)也稱為微商．可微函數(shù)：如果函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)每一點都可微，則稱該函數(shù)在(a,b)內(nèi)可微。f(x)在點x0處的微分又可寫成dxf(x)在(a,b)內(nèi)任一點x處的微分記為解：例2求函數(shù)y=x2

在x=1,時的改變量和微分。于是

面積的微分為

解：面積的增量面積的增量與微分．當半徑增大例3半徑為r的圓的面積時，求在點處，2.3.2微分的幾何意義當自變量x有增量時，切線MT的縱坐標相應(yīng)地有增量因此，微分幾何上表示當x有增量時，曲線

在對應(yīng)點處的切線的縱坐標的增量．用近似代替就是用QP近似代替QN，并且設(shè)函數(shù)y=f(x)的圖形如下圖所示.過曲線y=f(x)上一點M(x,y)處作切線MT,設(shè)MT的傾角為2.3.3微分的運算法則1.微分的基本公式：續(xù)前表2.微分的四則運算法則設(shè)u=u(x)，v=v(x)均可微，則

（C

為常數(shù)）；3．復(fù)合函數(shù)的微分法則都是可導(dǎo)函數(shù)，則設(shè)函數(shù)的微分為復(fù)合函數(shù)

利用微分形式不變性，可以計算復(fù)合函數(shù)和隱函數(shù)的微分.這就是一階微分形式不變性.可見，若y=f(u)可微，不論u是自變量還是中間變量，總有而解：

解：對方程兩邊求導(dǎo)，得的導(dǎo)數(shù)與微分例5

求由方程所確定的隱函數(shù)即導(dǎo)數(shù)為

微分為

例4

由以上討論可以看出，微分與導(dǎo)數(shù)雖是兩個不同的概念，但卻緊密相關(guān)，求出了導(dǎo)數(shù)便立即可得微分，求出了微分亦可得導(dǎo)數(shù)，因此，通常把函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分的運算統(tǒng)稱為微分法．在高等數(shù)學(xué)中，把研究導(dǎo)數(shù)和微分的有關(guān)內(nèi)容稱為微分學(xué)．2.3.4微分在近似計算中的應(yīng)用或?qū)懗桑?）上式中令（2），則特別地,當x0=0，很小時,有（3）公式(1)