湘教版數(shù)學(xué)必修第二冊第4章立體幾何初步4.4.2平面與平面垂直4.4平面與平面的位置關(guān)系（平面與平面垂直的判定）問題引入問題1：在平面中，角是如何定義的呢？問題2：在空間中，我們已經(jīng)學(xué)了哪些角？問題3：空間中，平面與平面是否能形成夾角嗎？二面角

從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角。這條直線叫作二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫作二面角的面。

二面角α-AB-β、二面角P-AB-Q、二面角α-l-β、二面角P-l-Q.

在二面角α-l-β的棱l上任取一點(diǎn)O,以點(diǎn)O為垂足，在半平面α和β內(nèi)分別作垂直于棱l的射線OA和OB,則射線OA和OB構(gòu)成的∠AOB叫作二面角的平面角。1.定義：2.表示方法：3.二面角的平面角：二面角舉例我們常說的黃赤交角是23°26′實(shí)質(zhì)上是說黃道平面與赤道平面所成二面角的平面角是23°26′。一物體從一斜坡下滑至貨車車廂上的示意圖，則∠α可看作是斜坡與水平面所成二面角的平面角?；A(chǔ)訓(xùn)練--二面角1.如圖所示的二面角可記為（

B

）A.α－β－lB.M－l－NC.l－M－ND.l－β－α解析：根據(jù)二面角的記法規(guī)則可知B正確.故選B.2.在正方體

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1中，二面角

A

－

BC

－

A

1的平面角的大小為

?.45°

解析：由圖可知，

AB

⊥

BC

，

A

1

B

⊥

BC

，根據(jù)二面角平面角的定義可知，∠

ABA

1即為二面角

A

－

BC

－

A

1的平面角.

又

AB

＝

AA

1，且

AB

⊥

AA

1，所以∠

ABA

1＝45°.B一般地，兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個(gè)平面互相垂直。若平面α,β互相垂直，則記作α⊥β.平面與平面垂直平面角是直角的二面角叫作直二面角。1.直二面角：2.平面垂直：3.畫法：畫兩個(gè)垂直的平面時(shí)，通常把表示直立平面的平行四邊形的豎邊畫成與表示水平平面的平行四邊形的橫邊垂直。活動(dòng)探究——面面垂直的判定定理問題2：觀察圖中的長方體，可以發(fā)現(xiàn)什么？問題1：除了面面垂直的定義，是不是也可以通過平面α內(nèi)的直線垂直于平面β來判定α⊥β?活動(dòng)：記書本所在平面為α，桌面所在平面為β，讓書本的側(cè)邊垂直于桌面并繞側(cè)邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，觀察旋轉(zhuǎn)過程中平面α與平面β的位置關(guān)系。歸納總結(jié)——面面垂直的判定定理如果一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面垂直。面面垂直的判定定理：圖形語言符號語言αβa若a

α，a⊥β，則α⊥β.∩定理的生活應(yīng)用鉛垂線曲尺知識總結(jié)1.剖析平面與平面垂直（1）兩個(gè)平面垂直是兩個(gè)平面相交的特殊情況.例如正方體中任意相鄰的兩個(gè)面都

是互相垂直的.（2）兩個(gè)平面垂直和兩條直線互相垂直的共同點(diǎn)：都是通過所成的角是直角

定義的.2.詳解平面與平面垂直的判定定理（1）本質(zhì)：通過直線與平面垂直來證明平面與平面垂直，即（2）證題思路：線面垂直?面面垂直面面垂直問題線面垂直問題線線垂直問題典例精析[典例1]在四棱柱ABCD-A'B'C'D'中，四個(gè)側(cè)面都是矩形.求證：平面BB'C'C⊥平面ABCD.典例精析[典例2]已知△ABC中，AD是邊BC上的高，以AD為折痕折疊△ABC，使∠BDC為直角。求證：平面ABD丄平面BDC，平面ADC丄平面ABD.練習(xí)鞏固[練習(xí)1]在邊長為

a

的菱形

ABCD

中，∠

ABC

＝60°，

PC

⊥平面

ABCD

，求證：平面

PDB

⊥平面

PAC

.

證明：∵

PC

⊥平面

ABCD

，

BD

?平面

ABCD

，∴

PC

⊥

BD

.

∵四邊形

ABCD

為菱形，∴

AC

⊥

BD

，又

PC

∩

AC

＝

C

，

PC

，

AC

?平面

PAC

，∴

BD

⊥平面

PAC

.

∵

BD

?平面

PDB

，∴平面

PDB

⊥平面

PAC

.

練習(xí)鞏固1.下列命題中正確的是（

C

）A.平面α和β分別過兩條互相垂直的直線，則α⊥βB.若平面α內(nèi)的一條直線垂直于平面β內(nèi)的兩條平行直線，則α⊥βC.若平面α內(nèi)的一條直線垂直于平面β內(nèi)的兩條相交直線，則α⊥βD.若平面α內(nèi)的一條直線垂直于平面β內(nèi)的無數(shù)條直線，則α⊥βC解析：當(dāng)平面α和β分別過兩條互相垂直且異面的直線時(shí)，平面α和β有可能平行，故

A錯(cuò)誤；由直線與平面垂直的判定定理知，B，D錯(cuò)誤，C正確.2.經(jīng)過平面α外一點(diǎn)和平面α內(nèi)一點(diǎn)與平面α垂直的平面有（

D

）A.0個(gè)B.1個(gè)C.無數(shù)個(gè)D.1個(gè)或無數(shù)個(gè)D解析：當(dāng)兩點(diǎn)連線與平面α垂直時(shí)，可作無數(shù)個(gè)垂面，否則，只有1個(gè).故選D.練習(xí)鞏固解析：當(dāng)兩點(diǎn)連線與平面α垂直時(shí)，可作無數(shù)個(gè)垂面，否則，只有1個(gè).故選D.3.已知直線

a

，

b

與平面α，β，γ，下列能使α⊥β成立的條件是（

D

）A.α⊥γ，β⊥γB.α∩β＝a，b⊥a，b?βC.a∥β，a∥αD.a∥α，a⊥βD解析：由

a

∥α，知α內(nèi)必有直線

l

與

a

平行.又

a

⊥β，∴

l

⊥β，∴α⊥β.練習(xí)鞏固4.自二面角內(nèi)任意一點(diǎn)分別向兩個(gè)面引垂線，則兩垂線所成的角與二面角的平面角的

關(guān)系是（

D

）A.相等B.互補(bǔ)C.互余D.相等或互補(bǔ)D解析：如圖，

BD

，

CD

為

AB

，

AC

所在平面與α，β的交線，則∠

BDC

為二面角

α－

l

－β的平面角，且∠

ABD

＝∠

ACD

＝90°，所以∠

A

＋∠

BDC

＝180°.此時(shí)兩角

互補(bǔ)；當(dāng)∠

BDC

＝90°時(shí)，此時(shí)∠

A

＝∠

BDC

，兩角相等.故選D.練習(xí)鞏固5.（多選）已知在四棱錐

P

－

ABCD

中，

PA

⊥底面

ABCD

，且底面

ABCD

為矩形，則

下列結(jié)論中正確的是（

ABD

）A.平面PAB⊥平面PADB.平面PAB⊥平面PBCC.平面PBC⊥平面PCDD.平面PCD⊥平面PADABD解析：由面面垂直的判定定理知，平面

PAB

⊥平面

PAD

，平面

PAB

⊥平面

PBC

，

平面

PCD

⊥平面

PAD

，故A，B，D正確.練習(xí)鞏固6.如圖，在長方體

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1中，

AD

＝

AA

1＝2，

AB

＝4，

E

為

AB

的中點(diǎn).求證：平面

DD

1

E

⊥平面

CD

1

E

.

證明：在矩形

ABCD

中，

E

為

AB

的中點(diǎn)，

AD

＝2，

AB

＝4，

因?yàn)?/p>

D

1

D

⊥平面

ABCD

，

CE

?平面

ABCD

，所以

D

1

D

⊥

CE

，課堂小結(jié)本節(jié)課學(xué)習(xí)了什么？1.二面角2.二面角的平面角3.直二面角、面面垂直定義4.