答案第=page11頁，共=sectionpages22頁2.5直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系第二章直線和圓的方程2.5直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系2.5.1直線與圓的位置關(guān)系例1已知直線和圓心為C的圓，判斷直線l與圓C的位置關(guān)系；如果相交，求直線l被圓C所截得的弦長分析：思路1：將判斷直線l與圓C的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為判斷由它們的方程組成的方程組有無實數(shù)解、有幾個實數(shù)解；若相交，可以由方程組解得兩交點的坐標，利用兩點間的距離公式求得弦長．思路2：依據(jù)圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系，判斷直線與圓的位置關(guān)系；若相交，則可利用勾股定理求得弦長．解法1：聯(lián)立直線l與圓C的方程，得消去y，得，解得，．所以，直線l與圓C相交，有兩個公共點．把，分別代入方程①，得，．所以，直線l與圓C的兩個交點是，．因此．解法2：圓C的方程可化為，因此圓心C的坐標為，半徑為，圓心到直線l的距離．所以，直線l與圓C相交，有兩個公共點．如圖2.5-1，由垂徑定理，得．圖2.5-1例2過點作圓的切線l，求切線l的方程．分析：如圖2.5-2，容易知道，點位于圓外，經(jīng)過圓外一點有兩條直線與這個圓相切．我們設(shè)切線方程為，k為斜率．由直線與圓相切可求出k的值．圖2.5-2解法1：設(shè)切線l的斜率為k，則切線l的方程為，即．由圓心到切線l的距離等于圓的半徑1，得，解得或．因此，所求切線l的方程為，或．解法2：設(shè)切線l的斜率為k，則切線l的方程為．因為直線l與圓相切，所以方程組只有一組解．消元，得．①因為方程①只有一個解，所以，解得或．所以，所求切線l的方程為，或．練習1．判斷下列各組直線l與圓C的位置關(guān)系：（1），

圓；（2），

圓；（3），

圓．2．已知直線與圓心在原點的圓C相切，求圓C的方程．3．判斷直線與圓的位置關(guān)系；如果相交，求直線被圓截得的弦長．例3圖2.5-3是某圓拱形橋一孔圓拱的示意圖．圓拱跨度：，拱高，建造時每間隔4m需要用一根支柱支撐，求支柱的高度（精確到0.01m）．圖2.5-3圖2.5-4分析：建立如圖2.5-4所示直角坐標系，要得到支柱的高度，只需求出點的縱坐標．解：建立如圖2.5-4所示的直角坐標系，使線段所在直線為x軸，O為坐標原點，圓心在y軸上，由題意，點P，B的坐標分別為，．設(shè)圓心坐標是，圓的半徑是r，那么圓的方程是．下面確定b和r的值．因為P，B兩點都在圓上，所以它們的坐標，都滿足方程．于是，得到方程組解得，．所以，圓的方程是．把點的橫坐標代入圓的方程，得，即（的縱坐標，平方根取正值）．所以（m）．答：支柱的高度約為3.86m．例4一個小島的周圍有環(huán)島暗礁，暗礁分布在以小島中心為圓心，半徑為的圓形區(qū)域內(nèi)．已知小島中心位于輪船正西處，港口位于小島中心正北處．如果輪船沿直線返港，那么它是否會有觸礁危險？分析：先畫出示意圖，了解小島中心、輪船、港口的方位和距離．如圖2.5-5，根據(jù)題意，建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，求出暗礁所在區(qū)域的邊緣圓的方程，以及輪船返港直線的方程，利用方程判斷直線與圓的位置關(guān)系，進而確定輪船是否有觸礁危險．圖2.5-5解：以小島的中心為原點O，東西方向為x軸，建立如圖2.5-5所示的直角坐標系．為了運算的簡便，我們?nèi)閱挝婚L度，則港口所在位置的坐標為，輪船所在位置的坐標為．這樣，受暗礁影響的圓形區(qū)域的邊緣所對應(yīng)的圓的方程為；輪船航線所在直線l的方程為，即．聯(lián)立直線l與圓O的方程，得消去y，得．由，可知方程組無解．所以直線l與圓O相離，輪船沿直線返港不會有觸礁危險．練習4．趙州橋的跨度是m，圓拱高約為m．求這座圓拱橋的拱圓的方程．5．某圓拱橋的水面跨度20m，拱高4m，現(xiàn)有一船，寬10m，水面以上高3m，這條船能否從橋下通過？6．在一個平面上，機器人從與點的距離為9的地方繞點C順時針而行，在行進過程中保持與點C的距離不變．它在行進過程中到過點與的直線的最近距離和最遠距離分別是多少？2.5.2圓與圓的位置關(guān)系例5已知圓，圓，試判斷圓與圓的位置關(guān)系．分析：思路1：圓與圓的位置關(guān)系由它們有幾個公共點確定，而它們有幾個公共點又由它們的方程所組成的方程組有幾組實數(shù)解確定；思路2：借助圖形，可以依據(jù)連心線的長與兩半徑的和或兩半徑的差的絕對值的大小關(guān)系，判斷兩圓的位置關(guān)系．解法1：將圓與圓的方程聯(lián)立，得到方程組，得，③由③，得．把上式代入①，并整理，得．④方程④的根的判別式，所以，方程④有兩個不相等的實數(shù)根，．把，分別代入方程③，得到，．因此圓與圓有兩個公共點，，這兩個圓相交．解法2：把圓的方程化成標準方程，得，圓的圓心是，半徑．把圓的方程化成標準方程，得，圓的圓心是，半徑．圓與圓的連心線的長為．圓與圓的兩半徑之和，兩半徑長之差．因為，即，所以圓與圓相交（圖2.5-6），它們有兩個公共點A，B．圖2.5-6例6已知圓O的直徑，動點M與點A的距離是它與點B的距離的倍．試探究點M的軌跡，并判斷該軌跡與圓O的位置關(guān)系．分析：我們可以通過建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担蟮脻M足條件的動點M的軌跡方程，從而得到點M的軌跡；通過研究它的軌跡方程與圓O方程的關(guān)系，判斷這個軌跡與圓O的位置關(guān)系．解：如圖2.5-7，以線段的中點O為原點，所在直線為x軸，線段的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系．由，得，．設(shè)點M的坐標為，，得，化簡，得，即．所以點M的軌跡是以為圓心，半徑為的一個圓（圖2.5-7）．因為兩圓的圓心距為，兩圓的半徑分別為，，又，所以點M的軌跡與圓O相交．圖2.5-7練習7．已知圓，圓，判斷圓與圓的位置關(guān)系．8．已知圓，圓，證明圓與圓相交，并求圓與圓的公共弦所在直線的方程．習題2.5復(fù)習鞏固9．判斷直線與圓的位置關(guān)系．如果有公共點，求出公共點的坐標．10．求下列條件確定的圓的方程，并畫出它們的圖形：（1）圓心為，且與直線相切；（2）圓心在直線上，半徑為2，且與直線相切；（3）半徑為，且與直線相切于點．11．求直線被圓截得的弦的長．12．求圓心在直線上，與x軸相切，且被直線截得的弦長為的圓的方程．13．求與圓關(guān)于直線對稱的圓的方程．14．正方形ABCD的邊長為a，在邊BC上取線段，在邊DC的延長線上取．試證明：直線AE與BF的交點M位于正方形ABCD的外接圓上．15．求經(jīng)過點M（2，﹣2）以及圓x2+y2﹣6x=0與圓x2+y2=4交點的圓的方程．綜合運用16．求圓心在直線上，并且經(jīng)過圓與圓的交點的圓的方程．17．求圓與圓的公共弦的長．18．求經(jīng)過點M（3，﹣1）且與圓C：x2+y2+2x﹣6y+5=0相切于點N（1，2）的圓的方程．19．如圖，某臺機器的三個齒輪，A與B嚙合，C與B也嚙合．若A輪的直徑為200cm，B輪的直徑為120cm，C輪的直徑為250cm，且．試建立適當?shù)淖鴺讼?，用坐標法求出A，C兩齒輪的中心距離（精確到1cm）．20．已知，，三點，點P在圓上運動，求的最大值和最小值．拓廣探索21．已知圓，直線，b為何值時，圓上恰有三個點到直線l的距離都等于1？22．如圖，圓內(nèi)有