第十八章平行四邊形18.2.2

菱形第1課時

2探索并證明菱形的性質(zhì)定理.（重點）1應(yīng)用菱形的性質(zhì)定理解決相關(guān)計算或證明問題．（難點）學習目標知識講解思考:如果從邊的角度,將平行四邊形特殊化,內(nèi)角大小保持不變僅改變邊的長度讓它有一組鄰邊相等,這個特殊的平行四邊形叫什么呢?

平行四邊形定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.菱形鄰邊相等菱形是特殊的平行四邊形.平行四邊形不一定是菱形.歸納總結(jié)將一張長方形的紙對折、再對折，然后沿圖中的虛線剪下，打開即可得到一個菱形.1.菱形的性質(zhì)知識講解畫出菱形的兩條折痕,并通過折疊手中的圖形回答以下問題：１.菱形是軸對稱圖形嗎？2.菱形有幾條對稱軸？3.對稱軸之間有什么關(guān)系？4.你能看出圖中哪些線段和角相等？知識講解相等的線段：相等的角：等腰三角形有：直角三角形有：全等三角形有：菱形ABCD中，AB=CD=AD=BCOA=OC,OB=OD∠DAB=∠BCD,∠ABC=∠CDA∠AOB=∠DOC=∠AOD=∠BOC=90°∠1=∠2=∠3=∠4,∠5=∠6=∠7=∠8△ABC,△DBC,△ACD,△ABDRt△AOB,Rt△BOC,Rt△COD,Rt△DOARt△AOB

≌Rt△BOC≌Rt△COD

≌Rt△DOA△ABD≌△CBD,△ABC≌△ADC知識講解菱形是特殊的平行四邊形，具有平行四邊形的所有性質(zhì).由此我們可以得到菱形的性質(zhì)：菱形是軸對稱圖形,對稱軸有兩條,是菱形兩條對角線所在的直線.問題:猜想菱形的四條邊在數(shù)量上有什么關(guān)系?菱形的兩條對角線有什么關(guān)系?猜想1菱形的四條邊都相等.

猜想2菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角.

知識講解已知：如圖，四邊形ABCD是菱形.

求證:(1)AB=BC=CD=AD；

(2)AC⊥BD；

∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA，

∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.證明：（1）∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=AD.

又∵AB=CD，AD

=BC,∴AB

=

BC

=

CD

=AD.ABCOD證一證知識講解（2）∵AB=AD,

∴△ABD是等腰三角形.又∵四邊形ABCD是菱形,∴OB=OD.在等腰三角形ABD中,∵OB=OD，

∴AO⊥BD，AO平分∠BAD，即AC⊥BD，∠DAC=∠BAC.

同理可證∠DCA=∠BCA，

∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.知識講解例1如圖，在菱形ABCD中，CE⊥AB于點E，CF⊥AD于點F，求證：AE＝AF.證明：連接AC.∵四邊形ABCD是菱形，∴AC平分∠BAD，即∠BAC＝∠DAC.∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴∠AEC＝∠AFC＝90°.又∵AC＝AC，∴△ACE≌△ACF.∴AE＝AF.新知應(yīng)用問題1

菱形是特殊的平行四邊形,那么能否利用平行四邊形面積公式計算菱形ABCD的面積嗎?ABCD思考

前面我們已經(jīng)學習了菱形的對角線互相垂直,那么能否利用對角線來計算菱形ABCD的面積呢?能.過點A作AE⊥BC于點E,則S菱形ABCD=底×高

=BC·AE.E2.菱形的面積知識講解問題2如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC，BD交于點O,試用對角線表示出菱形ABCD的面積.ABCDO解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD,∴S菱形ABCD=S△ABC

+S△ADC=AC·BO+AC·DO=AC(BO+DO)=AC·BD.你有什么發(fā)現(xiàn)？菱形的面積=底×高=對角線乘積的一半知識講解例2如圖，在菱形ABCD中，點O為對角線AC與BD的交點，且在△AOB中，OA＝5，OB＝12.求菱形ABCD兩對邊的距離h.解：在Rt△AOB中，OA＝5，OB＝12，∴S△AOB＝OA·OB＝×5×12＝30，∴S菱形ABCD＝4S△AOB＝4×30＝120.∵又∵菱形兩組對邊的距離相等，∴S菱形ABCD＝AB·h＝13h，∴13h＝120，得h＝.新知應(yīng)用1.如圖，在菱形ABCD中，已知∠A＝60°，AB＝

5，則△ABD的周長是(

)A.10B.12C.15D.20C2.如圖，菱形ABCD的周長為48cm，對角線AC、BD相交于O點，E是AD的中點，連接OE，則線段OE的長為_______.第1題圖第2題圖6cm隨堂訓練3.如圖，已知菱形的兩條對角線長分別為6cm和8cm，則這個菱形的高DE為（）A.2.4cmB.4.8cmC.5cmD.9.6cmB隨堂訓練4.如圖,四邊形ABCD是邊長為13cm的菱形,其中對角線BD長10cm.求:(1)對角線AC的長度;(2)菱形ABCD的面積.解:(1)∵四邊形ABCD是菱形,∴∠AED=90°,(2)菱形ABCD的面積∴AC=2AE=2×12=24(cm).DBCAE隨堂訓練5.如圖，O是菱形ABCD對角線AC與BD的交點，CD＝5cm，OD＝3cm；過點C作CE∥DB，過點B作BE∥AC，CE與BE相交于點E.(1)求OC的長；(2)求四邊形OBEC的面積．解：(1)∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD.在RT△OCD中，由勾股定理得OC＝4cm.(2)∵CE∥DB，BE∥AC，∴四邊形OBEC為平行四邊形.又∵AC⊥BD，即∠COB＝90°，∴平行四邊形OBEC為矩形.∵OB＝OD＝3cm，∴S矩形OB