2025年遂寧市初中學(xué)業(yè)水平考試暨高中階段學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)試卷

試卷滿(mǎn)分150分考試時(shí)間120分鐘

注意事項(xiàng)：

1．答題前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校、姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米的黑色墨跡簽字筆填寫(xiě)在答

題卡上，并檢查條形碼粘貼是否正確．

2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如

需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)；回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，

寫(xiě)在本試卷上無(wú)效．

3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．

一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題4分，共40分．在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，

只有一項(xiàng)是符合題目要求的）

1.小明在一條東西向的跑道上進(jìn)行往返跑訓(xùn)練，如果向東跑20米記為“20米”，那么向西跑20米記為

（）

A.20米B.20米C.40米D.40米

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查正負(fù)數(shù)表示相反意義的量；根據(jù)題意，向東記為“+”，則向西應(yīng)記為“?”，且數(shù)值與

方向無(wú)關(guān)，僅符號(hào)相反，即可解答．

【詳解】解：根據(jù)題意，向東跑20米記為“20米”，說(shuō)明向東為正方向，向西則為負(fù)方向，向西跑的距

離與向東跑的距離絕對(duì)值相同，方向相反，因此向西跑20米應(yīng)記為“20米”；選項(xiàng)中B符合這一規(guī)則；

故答案為：B．

2.漢字作為中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的根脈和重要載體，在發(fā)展過(guò)程中演變出多種字體，給人以美的享受．下面

是“遂寧之美”四個(gè)字的篆書(shū)，能看作是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（）

A.B.C.D.

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查了軸對(duì)稱(chēng)圖形的定義，熟知軸對(duì)稱(chēng)圖形的概念是關(guān)鍵；

1

根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)圖形的定義：如果將一個(gè)圖形沿著某條直線(xiàn)折疊，直線(xiàn)兩旁的部分能夠互相重合，那么這個(gè)圖

形叫做軸對(duì)稱(chēng)圖形，逐項(xiàng)判定即可得解.

【詳解】解：A、不能看作是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；

B、不能看作是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；

C、不能看作是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；

D、能看作是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故本選項(xiàng)符合題意；

故選：D．

3.統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示，截止2025年3月15日電影《哪吒2》全球票房（含預(yù)售及海外）超150億元，位列全

球影史票房榜第五位．將數(shù)據(jù)150億用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.150108B.15109C.1.51010D.1.51011

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查了科學(xué)記數(shù)法，科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a10n，其中1a10，n為整數(shù)，正確確定

a與n的值是關(guān)鍵．

【詳解】解：150億用科學(xué)記數(shù)法表示為1.51010；

故選：C．

4.如圖，圓柱的底面直徑為AB，高為AC，一只螞蟻在點(diǎn)C處，沿圓柱的側(cè)面爬到點(diǎn)B處，現(xiàn)將圓柱側(cè)

面沿AC剪開(kāi)，在側(cè)面展開(kāi)圖上畫(huà)出螞蟻爬行的最短路線(xiàn)，正確的是（）

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查了圓柱的側(cè)面展開(kāi)和最短路徑問(wèn)題，掌握求解的方法是關(guān)鍵；

根據(jù)圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是長(zhǎng)方形結(jié)合兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短解答即可．

【詳解】解：現(xiàn)將圓柱側(cè)面沿AC剪開(kāi)，在側(cè)面展開(kāi)圖上畫(huà)出螞蟻爬行的最短路線(xiàn)應(yīng)該是：

2

，

故選：B．

5.下列運(yùn)算中，計(jì)算正確的是（）

A.2x23x2x2B.(2x)36x3

C.x2×x3=x5D.(x1)2x21

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查整式的運(yùn)算，涉及合并同類(lèi)項(xiàng)、積的乘方、同底數(shù)冪相乘及完全平方公式；

根據(jù)合并同類(lèi)項(xiàng)法則、積的乘方運(yùn)算法則、同底數(shù)冪相乘的法則及完全平方公式逐項(xiàng)判斷即得答案.

【詳解】解：A、2x23x2x2，故本選項(xiàng)運(yùn)算錯(cuò)誤；

3

B、2x8x3，故本選項(xiàng)運(yùn)算錯(cuò)誤；

C、x2×x3=x5，故本選項(xiàng)運(yùn)算正確；

D、(x1)2x22x1，故本選項(xiàng)運(yùn)算錯(cuò)誤；

故選：C.

6.已知關(guān)于x的一元二次方程x23xm10有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）

5555

A.mB.mC.mD.m

4444

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查了一元二次方程的根的判別式，熟知方程有實(shí)數(shù)根對(duì)應(yīng)方程的判別式非負(fù)是解題的關(guān)鍵；

根據(jù)一元二次方程有實(shí)數(shù)根的條件，判別式非負(fù)，代入方程系數(shù)計(jì)算判別式，解不等式即可確定m的取值

范圍．

2

【詳解】解：對(duì)于方程x23xm10，其判別式為：Δ341m194m154m，

方程有實(shí)數(shù)根需滿(mǎn)足0，即：54m0，

5

解得m；

4

故選：D．

7.已知一個(gè)凸多邊形的內(nèi)角和是外角和的4倍，則該多邊形的邊數(shù)為（）

3

A.10B.11C.12D.13

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查了多邊形的內(nèi)角和與外角和，熟知多邊形的內(nèi)角和與外角和公式是解題的關(guān)鍵，

根據(jù)多邊形內(nèi)角和與外角和公式，建立方程求解邊數(shù)即可．

【詳解】解：設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n，根據(jù)題意可得：n21804360

解方程，得n10

因此，該多邊形的邊數(shù)為10，

故選：A．

3axa

8.若關(guān)于x的分式方程1無(wú)解，則a的值為（）

2xx2

A.2B.3C.0或2D.1或3

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查了分式方程無(wú)解問(wèn)題，掌握求解的方法是解題的關(guān)鍵；

將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，分析無(wú)解的兩種情況：整式方程無(wú)解或解為增根（使分母為零），分別求解即

可．

【詳解】解：原方程兩邊同乘x2，得：3axax2

化簡(jiǎn)得：ax3ax2，

即a1xa5；

當(dāng)整式方程無(wú)解時(shí)：即當(dāng)a10且a50時(shí)，即a1，此時(shí)方程無(wú)解；

a5

當(dāng)解為增根時(shí)：即當(dāng)解x2時(shí)，

a1

解得a3，此時(shí)x2使原方程分母為零，無(wú)意義；

綜上，a的值為1或3；

故選：D．

9.在Rt△ABC中，C90,AB13,BC5，結(jié)合尺規(guī)作圖痕跡提供的信息，求出線(xiàn)段AQ的長(zhǎng)為

（）

4

120

A.213B.215C.6D.

13

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查了角平分線(xiàn)和垂線(xiàn)的尺規(guī)作圖、角平分線(xiàn)的性質(zhì)、勾股定理以及相似三角形的判定和性

質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)與判定是關(guān)鍵；

先根據(jù)勾股定理求出AC，設(shè)BG,AC交于點(diǎn)M，作MNAB于點(diǎn)N，如圖，利用角平分線(xiàn)的性質(zhì)可得

CMMN，利用等積法求出CM，進(jìn)而可得BM，證明ABQ∽MBC，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解

即可.

【詳解】解：∵在Rt△ABC中，C90,AB13,BC5，

∴AC1325212,

由題意可得：BG平分ABC，即CBGABG，

設(shè)BG,AC交于點(diǎn)M，作MNAB于點(diǎn)N，如圖，

則CMMN，

設(shè)CMMNx，

∵，

SABCSMBCSABM

111

∴BCACBCCMABMN，

222

即5125x13x，

1010

解得：x，即CM，

33

2

2105

則BM513，

33

由作圖痕跡可知：AQBH，

5

∴AQBC90，

∵CBGABG，

∴ABQ∽MBC，

AQ13

AQAB

∴，即105，

CMBM13

33

解得：AQ213；

故選：A.

10.如圖，已知拋物線(xiàn)yax2bxc（a、b、c為常數(shù)，且a0）的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x1，且拋物線(xiàn)與x

軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)是4,0，與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)是0,m且2m3．有下列結(jié)論：①abc0；

9272

②9a3bc0；③y最大值；④關(guān)于x的一元二次方程axb1xc20必有兩個(gè)不相

48

2

等實(shí)根；⑤若點(diǎn)Ax1,y1,Bx2,y2,Cx3,y3在拋物線(xiàn)yaxbxc上，且

3

nxn1xn2xn3，當(dāng)yyy時(shí)，則n的取值范圍為n0．其中正確的

1231322

有（）

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，一元二次方程根的判別式，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)

鍵．根據(jù)函數(shù)圖象結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，先判斷a，b，c的符號(hào)即可判斷①；進(jìn)而根據(jù)對(duì)稱(chēng)性得出另一個(gè)

交點(diǎn)坐標(biāo)為2,0，則當(dāng)x3時(shí)，y9a3bc0，即可判斷②；根據(jù)b2a，2c3，結(jié)合

6

拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可判斷③；求得a的范圍進(jìn)而根據(jù)一元二次方程根的判別式判斷一元二次方程的解

1

情況即可判斷④；根據(jù)yyy，結(jié)合函數(shù)圖象分析，即可得出n0，進(jìn)而判斷⑤，即可求解．

1322

b

【詳解】解：根據(jù)函數(shù)圖象可得拋物線(xiàn)開(kāi)口向下，則a0，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x1，則1

2a

∴b2a0，

又∵拋物線(xiàn)與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)是0,m，即cm，

∵2m3，即c0，

∴abc0，故①正確；

∵拋物線(xiàn)與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)是4,0，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x1，

∴另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為2,0，

∴當(dāng)x3時(shí)，y9a3bc0，故②錯(cuò)誤；

∵2,0，4,0在拋物線(xiàn)yax2bxc的圖象上，

∴4a2bc0，

又∵b2a，

∴4a4ac0，

∴8ac0即c8a，

∵2m3，即2c3，

∴28a3，

999927

∴28a3即9a，

88848

當(dāng)x1時(shí)，y取得最大值，最大值為abca2a8a9a，

∴y最大值9a，

927

∴y最大值，故③正確；

48

∵ax2b1xc20，b2a，c8a，

即ax22a1x8a20，

2

∵Δ2a148a24a236a9

7

3699

對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)a，當(dāng)a時(shí)，的值隨a的增大而增大，

2422

又∵28a3，

31

∴a，

84

2

383431

∴當(dāng)a時(shí)，Δ43690，

83818

31

∴當(dāng)a時(shí)，Δ0恒成立，即ax2b1xc20必有兩個(gè)不相等實(shí)根，故④正確；

84

，，2

∵若點(diǎn)Ax1,y1Bx2,y2Cx3,y3在拋物線(xiàn)yaxbxc上，且

nx1n1x2n2x3n3，

，

∴2n1x1x22n32n3x2x32n5，2n2x1x32n4，

∵y1y3y2，

xxxxxx

∴121，231，131，

222

2n3

即1，n11，

2

1

解得：n且n0，

2

1

∴n0，故⑤錯(cuò)誤；

2

故正確的有①③④，共3個(gè)．

故選：B．

二、填空題（本大題共5個(gè)小題，每小題4分，共20分）

11.實(shí)數(shù)m在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，則m1______0．（填“>”“=”或“<”）

【答案】<

【解析】

【分析】本題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，先結(jié)合數(shù)軸的信息，得m1，且m0，故m10，即可作答．

【詳解】解：觀(guān)察數(shù)軸，得m1，且m0，

∴m1

8

即m10，

故答案為：<．

12.已知x2是方程3a2x2的解，則a______．

【答案】2

【解析】

【分析】本題考查了一元一次方程的解，以及解一元一次方程，理解題意，把x2代入3a2x2，解

得a2，即可作答．

【詳解】解：∵x2是方程3a2x2的解，

∴把x2代入3a2x2，得3a222，

∴3a6，

∴a2，

故答案為：2

13.某公司要招聘一名職員，根據(jù)實(shí)際需要，從學(xué)歷、經(jīng)驗(yàn)、能力和態(tài)度四個(gè)方面對(duì)甲、乙、丙三名應(yīng)聘者

進(jìn)行了測(cè)試，測(cè)試成績(jī)?nèi)缦卤恚?/p>

應(yīng)聘者

項(xiàng)

目

甲乙丙

學(xué)

988

歷

經(jīng)

869

驗(yàn)

能

788

力

態(tài)

575

度

公司將學(xué)歷、經(jīng)驗(yàn)、能力和態(tài)度得分按2:1:3:2的比例確定每人的最終得分，并以此為依據(jù)確定錄用者，

則______將被擇優(yōu)錄用．（請(qǐng)選擇填寫(xiě)甲、乙或丙）

【答案】乙

【解析】

9

【分析】本題考查了加權(quán)平均數(shù)，根據(jù)加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算公式，分別求出甲、乙、丙的最終得分，即可得

出答案，掌握加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．

92817352

【詳解】解：甲的最終得分是7.125分，

2132

82618372

乙的最終得分是7.5分，

2132

82918352

丙的最終得分是7.375分，

2132

∵7.1257.3757.5，

∴乙將被擇優(yōu)錄用，

故答案為：乙．

14.綜合與實(shí)踐——硬幣滾動(dòng)中的數(shù)學(xué)．將兩枚半徑為r的硬幣放在桌面上，固定白色硬幣，深色硬幣沿其

邊緣滾動(dòng)一周，深色硬幣的圓心移動(dòng)的路徑如圖1；將三枚半徑均為r的硬幣連貫的放在桌面上，固定兩枚

白色硬幣，深色硬幣沿其邊緣滾動(dòng)一周，深色硬幣的圓心移動(dòng)的路徑如圖2；現(xiàn)將四枚半徑均為r的硬幣按

圖3、圖4擺放在桌面上，固定三枚白色硬幣，深色硬幣沿其邊緣滾動(dòng)一周，則在圖3與圖4這兩種情形中

深色硬幣的圓心移動(dòng)路徑長(zhǎng)的比值為_(kāi)_____．

10

【答案】

9

【解析】

【分析】本題考查了弧長(zhǎng)公式，等邊三角形的判定與性質(zhì)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．先理解

題意，把深色硬幣的圓心移動(dòng)路徑都畫(huà)出來(lái)，根據(jù)三邊都等于2r，證明△AEF是等邊三角形，同理得出

其他三角形都是等邊三角形，再求出每條弧長(zhǎng)，再加起來(lái)得出圖3與圖4這兩種情形中深色硬幣的圓心移

動(dòng)路徑長(zhǎng)，再進(jìn)行求解，即可作答．

【詳解】解：依題意，AEEFAF2r，

10

則△AEF是等邊三角形；

則AEFAFE60，

同理得△CEF、BFG、DFG是等邊三角形，

則BFGBGFFGDGFDCEFEFC60

∴AFB1806060CFD

36060602r8r36060602r8r

∴AC，BD

18031803

18060602r2r18060602r2r

∴AB，CD

18031803

2r8r4r16r20r

∴22；

33333

依題意，AEEFAF2r，

∴△AEF是等邊三角形；

則AEFAFEFAE60，

同理得△CAB、AEB、DEB是等邊三角形，

3606060602r

則FD2r

180

3606060602r

CD2r

180

3606060602r

CF2r

180

則2r36r，

11

20r

則20r10

6r3

36r9

10

故答案為：．

9

15.如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD的對(duì)角線(xiàn)BD上取一點(diǎn)E，使BAE15，連結(jié)CE并延長(zhǎng)至點(diǎn)F，

連結(jié)BF，使BFBC，CF與AB相交于點(diǎn)H．有下列結(jié)論：①AECE；②BEAEEF；

AH

③231；④點(diǎn)M是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)HM，將△BHM沿HM翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)P處，

HB

732

連結(jié)BP交HM于點(diǎn)Q，連結(jié)DQ，則DQ的最小值為．其中正確的結(jié)論有______．（填序號(hào)）

2

【答案】①②④

【解析】

【分析】證明ADE≌CDESAS即可判斷①，在FC上取一點(diǎn)G，使得BGBE，證明

FBG≌CBESAS，進(jìn)而判斷②；過(guò)點(diǎn)A,B分別作FC的垂線(xiàn)，垂足分別為K,N，則AHK∽BHN，

根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可判斷③，取HB的中點(diǎn)T，連接TD，根據(jù)題意得出Q在以HB為直徑的圓上運(yùn)

動(dòng)，進(jìn)而得出當(dāng)Q在TD上時(shí)，DQ取得最小值，最小值為DT的長(zhǎng)，勾股定理求得TD的長(zhǎng)，即可求解．

【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是正方形ABCD的對(duì)角線(xiàn)BD上的點(diǎn)，

∴ADECDE,ADCD,DEDE，

∴ADE≌CDESAS，

∴AEEC，故①正確；

如圖，在FC上取一點(diǎn)G，使得BGBE，

12

∵四邊形ABCD是正方形，BD是對(duì)角線(xiàn)，

∴ADE45，BAD90，ADCD，

∵BAE15，

∴DAE901575，

∴AED180457560，

∵△ADE≌△CDE，

∴AEDCED60，DAEDCE75，

∴HEBCED60，BCEBAE15，

∴GEB是等邊三角形，

∴EBG60，EGBE，

又∵BFBC，

∴FBCF15，

∴FBC1801515150，

∵DBC45，

∴FBGFBCGBECBE150604545CBE，

∴FBG≌CBESAS，

∴FGCE，

∴EFEGFGECBEAEBE，

即BEAEEF，故②正確；

如圖，連接AC交BD于點(diǎn)O，則DAO45，過(guò)點(diǎn)A,B分別作FC的垂線(xiàn)，垂足分別為K,N，

13

∵AB1，

22

∴AOBOAB，AC2AB2，

22

∵DAE75,DAO45，

∴EAO30，

∵在正方形ABCD中，ACBD，

326

∴EOAOtanEAO

326

26

∴BEOBOE

26

∵BCE15,ACB45

∴ACK30

12

∴AKAC

22

32662

在Rt△BEN中，BNsinNEBBEsin60BE

2264

∵AKFC,BNFC

∴KA∥BN

∴AHK∽BHN

2

AHAK

∴231，故③錯(cuò)誤

HBBN62

4

如圖

∵ABAHHB1,AH31HB

14

∴31HBHB1

1

即HB23

32

∵點(diǎn)M是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)HM，將△BHM沿HM翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)P處，

∴PQHM

∴HQB90

∴Q在以HB為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)

取HB的中點(diǎn)T，連接TD，

∴當(dāng)Q在TD上時(shí)，DQ取得最小值，最小值為DT的長(zhǎng)，

113

∴BTHB231

222

3

∴ATABBT

2

2

∴2237

TDADAT1

22

171732

∴DTHB23，故④正確

2222

故答案為：①②④．

【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，解直角三角形，全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形

的性質(zhì)與判定，求一點(diǎn)到圓上的距離的最值問(wèn)題，勾股定理，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．

三、解答題（本大題共10個(gè)小題，共90分．解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算

步驟）

2

1

16.計(jì)算：9232sin60．

2

【答案】3

【解析】

【分析】本題考查了含特殊角的三角函數(shù)的混合運(yùn)算，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，化簡(jiǎn)絕對(duì)值，先化簡(jiǎn)特殊角的三角

函數(shù)，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，以及化簡(jiǎn)絕對(duì)值，再運(yùn)算乘法，最后運(yùn)算加減，即可作答．

15

2

1

【詳解】解：9232sin60

2

3

43232

2

43233

3

1a32a2

17.先化簡(jiǎn)，再求值：a1，其中a滿(mǎn)足a240．

a1a24a4

a24

【答案】，

a13

【解析】

【分析】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握分式的混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵；

先根據(jù)分式的混合運(yùn)算法則化簡(jiǎn)原分式，然后結(jié)合分式有意義的條件代值求解即可．

1a32a2

【詳解】解：a1

a1a24a4

a211a2a2

2

a1a2

2

a2a2

a1a2a2

a2

，

a1

∵a滿(mǎn)足a240，即a2但a20，

∴a2，

224

∴當(dāng)a2時(shí)，原式．

213

18.如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，點(diǎn)E，F(xiàn)在對(duì)角線(xiàn)BD上，BEEFFD，且AFAB，

CECD．

（1）求證：△ABF≌△CDE；

16

（2）連接AE，CF，若ABD30，請(qǐng)判斷四邊形AECF的形狀，并說(shuō)明理由．

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）四邊形AECF是菱形，理由見(jiàn)解析

【解析】

【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、菱形和平行四邊形的判定等知識(shí)；

（1）根據(jù)垂直的定義可得BAFDCE90，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)可得ABFCDE，根據(jù)已知條

件可得BFDE，即可證明結(jié)論；

（2）根據(jù)△ABF≌△CDE可得AFCE，AFBCED，即得AF∥CE，進(jìn)而可得四邊形AECF

是平行四邊形，然后根據(jù)30度角的直角三角形的性質(zhì)和直角三角形斜邊上的中線(xiàn)的性質(zhì)證得AFCF，

即可得到結(jié)論.

【小問(wèn)1詳解】

證明：∵AFAB，CECD，

∴BAFDCE90，

∵AB∥CD，

∴ABFCDE，

∵BEEFFD，

∴BFDE，

∴ABF≌CDEAAS；

【小問(wèn)2詳解】

解：四邊形AECF是菱形，理由如下：

∵△ABF≌△CDE，

∴AFCE，AFBCED，

∴AF∥CE，

∴四邊形AECF是平行四邊形，

在直角三角形ABF中，∵ABD30，

1

∴AFBF，

2

在直角三角形DCE中，∵EFDF，

1

∴CFDE，

2

∵BFDE，

∴AFCF，

17

∴四邊形AECF是菱形.

19.在綜合實(shí)踐活動(dòng)中，為了測(cè)得摩天輪的高度CF，在A(yíng)處用高為1.6米的測(cè)角儀AD測(cè)得摩天輪頂端C

的仰角37，再向摩天輪方向前進(jìn)30米至B處，又測(cè)得摩天輪頂端C的仰角50．求摩天輪CF的

高度．（結(jié)果精確到0.1米）

（參考數(shù)據(jù)：sin370.60，cos370.80，tan370.75，sin500.77，cos500.64，

tan501.19）

【答案】62.5m

【解析】

【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，矩形的判定與性質(zhì)，先根據(jù)三個(gè)角都是直角的四邊形是矩形得

四邊形DEBA,DAFH都是矩形，則EDAB30m，HFAD1.6m，然后分別在Rt△CDH中，

CHCHr4

tanCDH，在Rt△CDH中，tanCDH，代入數(shù)值化簡(jiǎn)得r30，解得

DHDH1.193

r60.85，即可作答．

【詳解】解：延長(zhǎng)DE交CF于H，則有EHCF，

∵EHFEBABFC90，

18

∴四邊形EBFH是矩形，

同理得四邊形DEBA,DAFH都是矩形，

∴EDAB30m，HFAD1.6m，

設(shè)CHrm，

∴DHEHEDEH30，

CH

在Rt△CDH中，tanCDH，

DH

r

即tan37，

30EH

∴30EH0.75r，

4

整理得EHr30，

3

CH

在Rt△CEH中，tanCEH，

EH

r

即tan50，

EH

∴1.19EHr

r

整理得EH，

1.19

r4

∴r30，

1.193

解得r60.85，

則CFCHHF60.851.662.5m．

20.我們知道，如果一個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)圓上，那么這個(gè)四邊形叫這個(gè)圓的內(nèi)接四邊形．我們規(guī)

定：若圓的內(nèi)接四邊形有一組鄰邊相等，則稱(chēng)這個(gè)四邊形是這個(gè)圓的“鄰等內(nèi)接四邊形”．

（1）請(qǐng)同學(xué)們判斷下列分別用含有30和45角的直角三角形紙板拼出如圖所示的4個(gè)四邊形．其中是鄰

等內(nèi)接四邊形的有______（填序號(hào)）．

（2）如圖，四邊形ABCD是鄰等內(nèi)接四邊形，且BAC90，AB3，AC4，ABAD，求四邊

形ABCD的面積．

19

【答案】（1）③（2）7.68

【解析】

【分析】（1）根據(jù)鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形的定義進(jìn)行逐個(gè)分析，即可作答．

5

（2）先根據(jù)勾股定理算出BCAB2AC25，設(shè)OHx，AHx，結(jié)合勾股定理整理得

2

BO2OH2AB2AH2，代入數(shù)值得x0.7，再證明OH是BDC的中位線(xiàn)，則DC2HO1.4，

分別算出S△BDC和S△BDA，即可作答．

【小問(wèn)1詳解】

解：依題意，圖①、圖②和圖④沒(méi)有對(duì)角互補(bǔ)，不是鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形，

圖③對(duì)角互補(bǔ)且有一組鄰邊相等，是鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形，

故答案為：③；

【小問(wèn)2詳解】

解：∵BAC90，AB3，AC4，

∴BCAB2AC25，

∵四邊形ABCD是鄰等內(nèi)接四邊形，BAC90

∴A,B,C,D四點(diǎn)共圓，且BC為直徑，

把BC的中點(diǎn)記為點(diǎn)O，即A,B,C,D四點(diǎn)在O上，

連接BD，AO，相交于點(diǎn)H，

∵BC5，

5

∴BOOA，

2

20

5

設(shè)OHx，AHx，

2

∵ABAD，

∴AOBD，BHDH

則在Rt△ABH中，BH2AB2AH2，

在RtBOH中，BH2BO2OH2，

∴BO2OH2AB2AH2，

22

5225

即x3x，

22

解得x0.7，

∴AH2.50.71.8

則BH321.822.4

即BD2.424.8，

∵BC是直徑，

∴BDC=90，

∵BHDH，BOOC，

∴OH是BDC的中位線(xiàn)，

∴DC2HO1.4，

11

則SBDDC4.81.43.36．

BDC22

11

SBDAH4.81.84.32，

BDA22

∴四邊形的面積．

ABCDSBDCSBDA3.364.327.68

【點(diǎn)睛】本題考查了新定義，勾股定理，垂徑定理，圓內(nèi)接四邊形，中位線(xiàn)的判定與性質(zhì)，正確掌握相關(guān)

性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．

21.為了建設(shè)美好家園，提高垃圾分類(lèi)意識(shí)，某社區(qū)決定購(gòu)買(mǎi)A、B兩種型號(hào)的新型垃圾桶．現(xiàn)有如下材料：

材料一：已知購(gòu)買(mǎi)3個(gè)A型號(hào)的新型垃圾桶和購(gòu)買(mǎi)2個(gè)B型號(hào)的新型垃圾桶共380元；購(gòu)買(mǎi)5個(gè)A型號(hào)的新

型垃圾桶和購(gòu)買(mǎi)4個(gè)B型號(hào)的新型垃圾桶共700元．

材料二：據(jù)統(tǒng)計(jì)該社區(qū)需購(gòu)買(mǎi)A、B兩種型號(hào)的新型垃圾桶共200個(gè)，但總費(fèi)用不超過(guò)15300元，且B型

2

號(hào)的新型垃圾桶數(shù)量不少于A(yíng)型號(hào)的新型垃圾桶數(shù)量的．

3

請(qǐng)根據(jù)以上材料，完成下列任務(wù)：

21

任務(wù)一：求A、B兩種型號(hào)的新型垃圾桶的單價(jià)？

任務(wù)二：有哪幾種購(gòu)買(mǎi)方案？

任務(wù)三：哪種方案更省錢(qián)，最低購(gòu)買(mǎi)費(fèi)用是多少元？

【答案】任務(wù)一：A種型號(hào)的新型垃圾桶的單價(jià)為60元，B種型號(hào)的新型垃圾桶的單價(jià)為100元；任務(wù)二：

有三種購(gòu)買(mǎi)方案：①購(gòu)買(mǎi)A種型號(hào)的新型垃圾桶118個(gè)，購(gòu)買(mǎi)B種型號(hào)的新型垃圾桶82個(gè)；②購(gòu)買(mǎi)A種型

號(hào)的新型垃圾桶119個(gè)，購(gòu)買(mǎi)B種型號(hào)的新型垃圾桶81個(gè)；③購(gòu)買(mǎi)A種型號(hào)的新型垃圾桶120個(gè)，購(gòu)買(mǎi)B種

型號(hào)的新型垃圾桶80個(gè)；任務(wù)三：購(gòu)買(mǎi)A種型號(hào)的新型垃圾桶120個(gè)，購(gòu)買(mǎi)B種型號(hào)的新型垃圾桶80個(gè)更

省錢(qián)，最低購(gòu)買(mǎi)費(fèi)用是15200元．

【解析】

【分析】任務(wù)一：設(shè)A種型號(hào)的新型垃圾桶的單價(jià)為x元，B種型號(hào)的新型垃圾桶的單價(jià)為x元，根據(jù)題意

列出方程組即可求解；

任務(wù)二：設(shè)購(gòu)買(mǎi)A種型號(hào)的新型垃圾桶a個(gè)，則購(gòu)買(mǎi)B種型號(hào)的新型垃圾桶200a個(gè)，根據(jù)題意列出不

等式組，解不等式組求出a的取值范圍即可求解；

任務(wù)三：由A種型號(hào)的新型垃圾桶價(jià)格更低，可知購(gòu)買(mǎi)A種型號(hào)的新型垃圾桶越多，購(gòu)買(mǎi)費(fèi)用越低，據(jù)此

解答即可求解；

本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，一元一次不等式組的應(yīng)用，有理數(shù)混合運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用，理解題意是

解題的關(guān)鍵．

【詳解】解：任務(wù)一：設(shè)A種型號(hào)的新型垃圾桶的單價(jià)為x元，B種型號(hào)的新型垃圾桶的單價(jià)為x元，

3x2y380

由題意得，，

5x4y700

x60

解得，

y100

答：A種型號(hào)的新型垃圾桶的單價(jià)為60元，B種型號(hào)的新型垃圾桶的單價(jià)為100元；

任務(wù)二：設(shè)購(gòu)買(mǎi)A種型號(hào)的新型垃圾桶a個(gè)，則購(gòu)買(mǎi)B種型號(hào)的新型垃圾桶200a個(gè)，

60a100200a15300

由題意得，2，

200aa

3

解得117.5a120，

∵a為整數(shù)，

∴a118或119或120，

22

∴有三種購(gòu)買(mǎi)方案：①購(gòu)買(mǎi)A種型號(hào)的新型垃圾桶118個(gè)，購(gòu)買(mǎi)B種型號(hào)的新型垃圾桶82個(gè)；

②購(gòu)買(mǎi)A種型號(hào)的新型垃圾桶119個(gè)，購(gòu)買(mǎi)B種型號(hào)的新型垃圾桶81個(gè)；

③購(gòu)買(mǎi)A種型號(hào)的新型垃圾桶120個(gè)，購(gòu)買(mǎi)B種型號(hào)的新型垃圾桶80個(gè)；

任務(wù)三：∵A種型號(hào)的新型垃圾桶價(jià)格更低，

∴購(gòu)買(mǎi)A種型號(hào)的新型垃圾桶越多，購(gòu)買(mǎi)費(fèi)用越低，

即購(gòu)買(mǎi)A種型號(hào)的新型垃圾桶120個(gè)，購(gòu)買(mǎi)B種型號(hào)的新型垃圾桶80個(gè)更省錢(qián)，

∴最低購(gòu)買(mǎi)費(fèi)用為601201008015200元，

答：購(gòu)買(mǎi)A種型號(hào)的新型垃圾桶120個(gè)，購(gòu)買(mǎi)B種型號(hào)的新型垃圾桶80個(gè)更省錢(qián)，最低購(gòu)買(mǎi)費(fèi)用是15200元．

22.DeepSeek橫空出世，猶如一聲驚雷劈開(kāi)壟斷，躋身世界最強(qiáng)大模型行列，開(kāi)啟中國(guó)人工智能嶄新的春

天．為激發(fā)青少年崇尚科學(xué)，探索未知的熱情，某校開(kāi)展了“逐夢(mèng)科技強(qiáng)國(guó)”為主題的活動(dòng)．下面是該校

某調(diào)查小組對(duì)活動(dòng)中模具設(shè)計(jì)水平的調(diào)查報(bào)告，請(qǐng)完成報(bào)告中相應(yīng)問(wèn)題．

模型設(shè)計(jì)水平調(diào)查報(bào)告

調(diào)

查

“逐夢(mèng)科技強(qiáng)國(guó)”活動(dòng)中模具設(shè)計(jì)水平

主

題

調(diào)

查通過(guò)數(shù)據(jù)分析，獲取信息，能在認(rèn)識(shí)及應(yīng)用統(tǒng)計(jì)圖表和百分?jǐn)?shù)的過(guò)程中，形成數(shù)據(jù)

目觀(guān)念，發(fā)展應(yīng)用意識(shí)．

的

調(diào)

查

某校學(xué)生模具設(shè)計(jì)成績(jī)調(diào)查方式抽樣調(diào)查

對(duì)

象

數(shù)隨機(jī)抽取全校部分學(xué)生的模具設(shè)計(jì)成績(jī)（成績(jī)?yōu)榘俜种?，用x表示），并整理，將其

據(jù)分成如下四組：

收A：60x70，B：70x80，C：80x90，D：90x100．

集下面給出了部分信息：

23

與其中C組的成績(jī)?yōu)椋?0，81，82，82，83，84，84，84，85，85，86，86，

表86，87，87，88，88，89，89，89．

示

數(shù)根據(jù)以上信息解決下列問(wèn)題：

據(jù)（1）本次共抽取了______名學(xué)生的模具設(shè)計(jì)成績(jī)，成績(jī)的中位數(shù)是_____分，在扇

分形統(tǒng)計(jì)圖中，C組對(duì)應(yīng)圓心角的度數(shù)為_(kāi)_____；

析（2）請(qǐng)補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；

與（3）請(qǐng)估計(jì)全校1200名學(xué)生的模具設(shè)計(jì)成績(jī)不低于80分的人數(shù)；

應(yīng)（4）學(xué)校決定從模具設(shè)計(jì)優(yōu)秀的甲、乙、丙、丁四位同學(xué)中隨機(jī)選擇兩名同學(xué)作

用經(jīng)驗(yàn)交流，請(qǐng)用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表的方法求出所選的兩位同學(xué)恰為甲和丙的概率．

1

【答案】（1）50，83.5，144；（2）補(bǔ)圖見(jiàn)解析；（3）720人；（4）

6

【解析】

【分析】（1）由D組學(xué)生人數(shù)除以其百分比可求出抽取的學(xué)生人數(shù)，進(jìn)而可求出B組學(xué)生人數(shù)，再根據(jù)中

位數(shù)的定義和頻數(shù)直方圖即可求解；

（2）根據(jù)（1）所得B組學(xué)生人數(shù)補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖即可；

（3）用1200乘以成績(jī)不低于80分的人數(shù)占比即可；

（4）畫(huà)出樹(shù)狀圖，根據(jù)樹(shù)狀圖解答即可；

本題考查了頻數(shù)直方圖，扇形統(tǒng)計(jì)圖，中位數(shù)，樣本估計(jì)總體，用樹(shù)狀圖或列表法求概率，看懂統(tǒng)計(jì)圖是

解題的關(guān)鍵．

【詳解】解：（1）∵1020%50，

∴本次共抽取了50名學(xué)生的模具設(shè)計(jì)成績(jī)，

∴B組學(xué)生人數(shù)為5030%15人，

∵成績(jī)由低到高排列，中位數(shù)為第25和第26個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，

24

8384

∴中位數(shù)83.5分，

2

20

C組對(duì)應(yīng)圓心角的度數(shù)為360144，

50

故答案為：50，83.5，144；

（2）補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖如下：

2010

（3）1200720，

50

答：估計(jì)全校1200名學(xué)生的模具設(shè)計(jì)成績(jī)不低于80分的人數(shù)為720人；

（4）畫(huà)樹(shù)狀圖如下：

由樹(shù)狀圖可知，共有12種等結(jié)果，其中所選兩位同學(xué)恰為甲和丙的結(jié)果有2種，

21

∴所選的兩位同學(xué)恰為甲和丙的概率為．

126

k

23.如圖，一次函數(shù)ymxn（m，n為常數(shù)，m0）的圖象與反比例函數(shù)yk0的圖象交于

x

A2,2、Ba,1兩點(diǎn)．

（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的關(guān)系式．

k

（2）結(jié)合圖形，請(qǐng)直接寫(xiě)出不等式x0的解集．

x

（3）點(diǎn)P0,b是y軸上的一點(diǎn)，若ABP是以AB為直角邊的直角三角形，求b的值．

25

41

【答案】（1）反比例函數(shù)的關(guān)系式為y，一次函數(shù)的關(guān)系式為yx1

x2

（2）2x0或x2

（3）6或9

【解析】

【分析】（1）利用待定系數(shù)法解答即可；

4

（2）求出直線(xiàn)yx與反比例函數(shù)y的交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)圖象解答即可；

x

（3）分BAP90和ABP90兩種情況，利用勾股定理列出方程解答即可；

本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，反比例函數(shù)的幾何應(yīng)用，掌握

數(shù)形結(jié)合和分類(lèi)討論思想是解題的關(guān)鍵．

【小問(wèn)1詳解】

kk

解：把A2,2代入y，得2，

x2

∴k4，

4

∴反比例函數(shù)的關(guān)系式為y，

x

44

把Ba,1代入y，得1，

xa

∴a4，

∴B4,1，

把A2,2，B4,1代入一次函數(shù)ymxn得，

22mn

，

14mn

1

m

解得2，

n1

1

∴一次函數(shù)的關(guān)系式為yx1；

2

【小問(wèn)2詳解】