/專題02冪的運(yùn)算【考點(diǎn)1：】同底數(shù)冪的乘法【考點(diǎn)2：】?jī)绲某朔脚c積的乘方【考點(diǎn)3：】同底數(shù)冪的除法一、同底數(shù)冪的乘法性質(zhì)（1）同底數(shù)冪是指底數(shù)相同的冪，底數(shù)可以是任意的實(shí)數(shù)，也可以是單項(xiàng)式、多項(xiàng)式.（2）三個(gè)或三個(gè)以上同底數(shù)冪相乘時(shí)，也具有這一性質(zhì)，即（都是正整數(shù)）.（3）逆用公式：把一個(gè)冪分解成兩個(gè)或多個(gè)同底數(shù)冪的積，其中它們的底數(shù)與原來(lái)的底數(shù)相同，它們的指數(shù)之和等于原來(lái)的冪的指數(shù)。即（都是正整數(shù)）.二、冪的乘方（1）公式的推廣：(，均為正整數(shù))（2）逆用公式：，根據(jù)題目的需要常常逆用冪的乘方運(yùn)算能將某些冪變形，從而解決問(wèn)題.三、積的乘方（1）公式的推廣：(為正整數(shù)).（2）逆用公式：逆用公式適當(dāng)?shù)淖冃慰珊?jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程，尤其是遇到底數(shù)互為倒數(shù)時(shí)，計(jì)算更簡(jiǎn)便.如：四、同底數(shù)冪的除法（1）同底數(shù)冪乘法與同底數(shù)冪的除法是互逆運(yùn)算.（2）被除式、除式的底數(shù)相同，被除式的指數(shù)大于除式指數(shù)，0不能作除式.（3）當(dāng)三個(gè)或三個(gè)以上同底數(shù)冪相除時(shí)，也具有這一性質(zhì).（4）底數(shù)可以是一個(gè)數(shù)，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式.（5）底數(shù)不能為0，無(wú)意義.任何一個(gè)常數(shù)都可以看作與字母0次方的積.因此常數(shù)項(xiàng)也叫0次單項(xiàng)式.（6）是的倒數(shù)，可以是不等于0的數(shù)，也可以是不等于0的代數(shù)式.例如（），（）.五、科學(xué)記數(shù)法，考點(diǎn)剖析【考點(diǎn)1：】同底數(shù)冪的乘法1．若，，則的值是（

）A．10 B．7 C．5 D．32．若，則（

）．A．8 B．7 C．6 D．53．若，則的結(jié)果是．4．下表是n與（其中n為自然數(shù)）的部分對(duì)應(yīng)值表：n510152025303532102432768104857633554432107374182434359738368根據(jù)表格提供的信息，計(jì)算的結(jié)果為．5．規(guī)定一種運(yùn)算“※”：．(1)求的值；(2)若，求x的值．6．觀察下列各式：，，，……(1)仔細(xì)觀察：______；(2)探究規(guī)律：根據(jù)以上的觀察、計(jì)算，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律，試寫出第個(gè)等式，并說(shuō)明第個(gè)等式成立；(3)實(shí)踐應(yīng)用：計(jì)算：；(4)深度思考：計(jì)算：．【考點(diǎn)2：】?jī)绲某朔脚c積的乘方1．計(jì)算：=（

）A． B． C． D．2．計(jì)算的結(jié)果是（

）A． B． C． D．3．若，則．4．若，則的值.5．我們知道，一般的數(shù)學(xué)公式，法則、定義可以正向運(yùn)用，也可以逆向運(yùn)用．例如，“同底數(shù)冪的乘法”“冪的乘方”“積的乘方”這幾個(gè)法則的逆向運(yùn)用表現(xiàn)為：；；；其中m，n為正整數(shù)．結(jié)合以上材料解決下列問(wèn)題．(1)已知，請(qǐng)把a(bǔ)，b，c用“”連接起來(lái)；(2)若，求的值；(3)化簡(jiǎn)：．6．若（且，是正整數(shù)），則．利用上面結(jié)論解決下面的問(wèn)題：(1)如果，則_______；(2)如果，求的值；(3)如果，求的值．【考點(diǎn)3：】同底數(shù)冪的除法1．2024年3月25日鵲橋二號(hào)中繼衛(wèi)星順利進(jìn)入環(huán)月軌道飛行，其搭載的天線由精細(xì)的鍍金鉬絲編織而成，這些鉬絲的直徑僅為米，用科學(xué)記數(shù)法表示該鉬絲的直徑是（

）A．米 B．米 C．米 D．米2．如果，，那么a、b、c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．3．若，則．4．小明學(xué)習(xí)了“第八章冪的運(yùn)算”后做這樣一道題：若，求x的值．他解出來(lái)的結(jié)果為，老師說(shuō)小明考慮問(wèn)題不全面，那么正確的結(jié)果應(yīng)該是．5．計(jì)算：(1)；(2)．6．已知，；(1)當(dāng)時(shí)，求a的值；(2)求的值．過(guò)關(guān)檢測(cè)1．下列運(yùn)算正確的是（

）A． B． C． D．2．某種芯片每個(gè)探針單元的面積為0.0000164cm2，數(shù)據(jù)0.0000164用科學(xué)記數(shù)法表示為（

）A． B． C． D．3．已知，，則可以表示成（

）A． B． C． D．4．已知，則滿足的關(guān)系是（

）A． B． C． D．5．新定義：（均為正整數(shù)），例如：．若，，則的值為（）A．18 B．24 C．36 D．636．已知，，，，則a、b、c、d的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．7．若，，則．8．已知，則．9．，，則．10．已知正整數(shù)m、、、都是質(zhì)數(shù)，并且，則.11．計(jì)算或化簡(jiǎn)(1)；(2)．12．（1）已知．①求和的值．②求的值．（2）若．請(qǐng)用含x的代數(shù)式表示y．13．閱讀材料：的末尾數(shù)字是3，的末尾數(shù)字是9，的末尾數(shù)字是7，的末尾數(shù)字是1，的末尾數(shù)字是3，……，觀察規(guī)律：，的末尾數(shù)字是1，的末尾數(shù)字是1，的末尾數(shù)字是3，同理可知，的末尾數(shù)字是9，的末尾數(shù)字是7．解答下列問(wèn)題：(1)的末尾數(shù)字是_______，的末尾數(shù)字是_______；(2)求的末尾數(shù)字；(3)求證：能被5整除．

專題02冪的運(yùn)算【考點(diǎn)1：】同底數(shù)冪的乘法【考點(diǎn)2：】?jī)绲某朔脚c積的乘方【考點(diǎn)3：】同底數(shù)冪的除法一、同底數(shù)冪的乘法性質(zhì)（1）同底數(shù)冪是指底數(shù)相同的冪，底數(shù)可以是任意的實(shí)數(shù)，也可以是單項(xiàng)式、多項(xiàng)式.（2）三個(gè)或三個(gè)以上同底數(shù)冪相乘時(shí)，也具有這一性質(zhì)，即（都是正整數(shù)）.（3）逆用公式：把一個(gè)冪分解成兩個(gè)或多個(gè)同底數(shù)冪的積，其中它們的底數(shù)與原來(lái)的底數(shù)相同，它們的指數(shù)之和等于原來(lái)的冪的指數(shù)。即（都是正整數(shù)）.二、冪的乘方（1）公式的推廣：(，均為正整數(shù))（2）逆用公式：，根據(jù)題目的需要常常逆用冪的乘方運(yùn)算能將某些冪變形，從而解決問(wèn)題.三、積的乘方（1）公式的推廣：(為正整數(shù)).（2）逆用公式：逆用公式適當(dāng)?shù)淖冃慰珊?jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程，尤其是遇到底數(shù)互為倒數(shù)時(shí)，計(jì)算更簡(jiǎn)便.如：四、同底數(shù)冪的除法（1）同底數(shù)冪乘法與同底數(shù)冪的除法是互逆運(yùn)算.（2）被除式、除式的底數(shù)相同，被除式的指數(shù)大于除式指數(shù)，0不能作除式.（3）當(dāng)三個(gè)或三個(gè)以上同底數(shù)冪相除時(shí)，也具有這一性質(zhì).（4）底數(shù)可以是一個(gè)數(shù)，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式.（5）底數(shù)不能為0，無(wú)意義.任何一個(gè)常數(shù)都可以看作與字母0次方的積.因此常數(shù)項(xiàng)也叫0次單項(xiàng)式.（6）是的倒數(shù)，可以是不等于0的數(shù)，也可以是不等于0的代數(shù)式.例如（），（）.五、科學(xué)記數(shù)法，考點(diǎn)剖析【考點(diǎn)1：】同底數(shù)冪的乘法1．若，，則的值是（

）A．10 B．7 C．5 D．3【答案】A【分析】本題考查了同底數(shù)冪乘法的逆用，將變形為，代入數(shù)值計(jì)算即可，掌握同底數(shù)冪乘法的逆用是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，，∴，故選：A．2．若，則（

）．A．8 B．7 C．6 D．5【答案】D【分析】本題主要考查了同底數(shù)冪乘法的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)題意利用同底數(shù)冪乘法法則運(yùn)算即可得解，熟練掌握同底數(shù)冪乘法法則是解決此題的關(guān)鍵．【詳解】由題意知：，∴，∴，∴，∴，故選：D．3．若，則的結(jié)果是．【答案】16【分析】本題考查了同底數(shù)冪的乘法，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．先對(duì)方程變形得到，再根據(jù)同底數(shù)冪的乘法計(jì)算即可．【詳解】解：由得：，∴，故答案為：16．4．下表是n與（其中n為自然數(shù)）的部分對(duì)應(yīng)值表：n510152025303532102432768104857633554432107374182434359738368根據(jù)表格提供的信息，計(jì)算的結(jié)果為．【答案】【分析】本題考查了同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算，掌握其運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．根據(jù)表格信息分別找出對(duì)應(yīng)的中的n的值，根據(jù)同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算法則即可求解．【詳解】解：根據(jù)表格信息可得，，，∴，∵，∴，故答案為：．5．規(guī)定一種運(yùn)算“※”：．(1)求的值；(2)若，求x的值．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查同底數(shù)冪的乘法，有理數(shù)的混合運(yùn)算；（1）根據(jù)所規(guī)定的運(yùn)算進(jìn)行作答即可；（2）根據(jù)所規(guī)定的運(yùn)算進(jìn)行作答即可．【詳解】（1）原式；（2）∵，∴，∴，解得．6．觀察下列各式：，，，……(1)仔細(xì)觀察：______；(2)探究規(guī)律：根據(jù)以上的觀察、計(jì)算，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律，試寫出第個(gè)等式，并說(shuō)明第個(gè)等式成立；(3)實(shí)踐應(yīng)用：計(jì)算：；(4)深度思考：計(jì)算：．【答案】(1)(2)，見(jiàn)解析(3)(4)【分析】本題考查了整式的規(guī)律探究，同底數(shù)冪的乘法．理解題意，推導(dǎo)一般性規(guī)律解題的關(guān)鍵．（1）由題意知，；（2）由題意知，第個(gè)等式為，然后利用同底數(shù)冪的乘法的逆運(yùn)算求解證明即可；（3）由題意知，，則；（4）令，則，根據(jù)，計(jì)算求解，然后作答即可．【詳解】（1）解：由題意知，，故答案為：；（2）解：由題意知，第個(gè)等式為，由題意知，；∴第個(gè)等式成立；（3）解：由題意知，，∴，∴；（4）解：令，則，∴，解得，，∴．【考點(diǎn)2：】?jī)绲某朔脚c積的乘方1．計(jì)算：=（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查積的乘方，掌握積的乘方等于積的每一個(gè)因式分別乘方，再把冪相乘是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：，故選D．2．計(jì)算的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了積的乘方及同底數(shù)冪的乘法，先算積的乘方，再算同底數(shù)冪相乘即可求解，熟練掌握其運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：，故選B．3．若，則．【答案】1【分析】本題考查了整式的運(yùn)算，掌握冪的乘方法則、同底數(shù)冪的乘法法則、一元一次方程的解法等知識(shí)點(diǎn)是解決本題的關(guān)鍵．先逆用冪的乘方法則把、9化為底數(shù)為3的冪的形式，再利用同底數(shù)冪的乘法法則計(jì)算得方程，求解即可．【詳解】解：，，即故答案為：1．4．若，則的值.【答案】2【分析】本題考查了同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算以及冪的乘方運(yùn)算，掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．【詳解】解：∵，∴，∴，故答案為：2.5．我們知道，一般的數(shù)學(xué)公式，法則、定義可以正向運(yùn)用，也可以逆向運(yùn)用．例如，“同底數(shù)冪的乘法”“冪的乘方”“積的乘方”這幾個(gè)法則的逆向運(yùn)用表現(xiàn)為：；；；其中m，n為正整數(shù)．結(jié)合以上材料解決下列問(wèn)題．(1)已知，請(qǐng)把a(bǔ)，b，c用“”連接起來(lái)；(2)若，求的值；(3)化簡(jiǎn)：．【答案】(1)(2)200(3)【分析】本題主要考查了同底數(shù)冪乘方，冪的乘方和積的乘方，解題的關(guān)鍵是熟練掌握運(yùn)算法則．（1）逆用冪的乘方公式，將冪變?yōu)橹笖?shù)相同的冪，然后比較大小即可；（2）逆用同底數(shù)冪和冪的乘方運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可；（3）逆用積的乘方運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）解：∵∴（2）解：，∵，∴原式；（3）解：．6．若（且，是正整數(shù)），則．利用上面結(jié)論解決下面的問(wèn)題：(1)如果，則_______；(2)如果，求的值；(3)如果，求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（）根據(jù)（且，是正整數(shù)），則即可求解；（）根據(jù)冪的乘方法則計(jì)算即可；（）根據(jù)同底數(shù)冪的乘法逆用以及冪的乘方與積的乘方法則計(jì)算即可；本題主要考查了同底數(shù)冪的乘法逆用以及冪的乘方與積的乘方，解題的關(guān)鍵是熟練利用冪的乘方與積的乘方對(duì)式子進(jìn)行變形．【詳解】（1）解：∵，∴，故答案為：；（2）∵，∴，∴，∴，解得：；（3）∵，∴，，∴，∴，解得：．【考點(diǎn)3：】同底數(shù)冪的除法1．2024年3月25日鵲橋二號(hào)中繼衛(wèi)星順利進(jìn)入環(huán)月軌道飛行，其搭載的天線由精細(xì)的鍍金鉬絲編織而成，這些鉬絲的直徑僅為米，用科學(xué)記數(shù)法表示該鉬絲的直徑是（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】D【分析】本題考查科學(xué)記數(shù)法，解題的關(guān)鍵是熟記科學(xué)記數(shù)法的定義：將一個(gè)數(shù)表示成的形式，其中，為整數(shù)．確定的值時(shí)，要看把原數(shù)變成時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值大于或等于時(shí)，是正整數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值小于時(shí)，是負(fù)整數(shù)．【詳解】解：用科學(xué)記數(shù)法表示該鉬絲的直徑是．故選：D．2．如果，，那么a、b、c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了零指數(shù)冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算，先求出，，，然后進(jìn)行大小比較即可．【詳解】解：，，，∵，∴，故選：D．3．若，則．【答案】9【分析】本題考查求代數(shù)式的值，解題的關(guān)鍵是將已知式子兩邊化為同底數(shù)的冪．將已知式子兩邊化為同底數(shù)的冪，即可列出關(guān)于、的方程，從而求解．【詳解】解：，，，故答案為：9．4．小明學(xué)習(xí)了“第八章冪的運(yùn)算”后做這樣一道題：若，求x的值．他解出來(lái)的結(jié)果為，老師說(shuō)小明考慮問(wèn)題不全面，那么正確的結(jié)果應(yīng)該是．【答案】或或1．【分析】分別從底數(shù)等于1，底數(shù)等于且指數(shù)為偶數(shù)，指數(shù)等于0且底數(shù)不等于0去分析求解即可求得答案．此題考查了零指數(shù)冪的性質(zhì)與有理數(shù)的乘方．此題難度適中，注意掌握分類討論思想的應(yīng)用．【詳解】解：①的任何次冪為1，所以，．且，，；②的任何偶次冪也都是1，，且為偶數(shù)，，當(dāng)時(shí)，是偶數(shù)，；③任何不是0的數(shù)的0次冪也是1，，，解的：，綜上：或或1．故答案為：或或1．5．計(jì)算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，冪的混合運(yùn)算，零指數(shù)冪和負(fù)整指數(shù)冪，掌握相關(guān)的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．（1）先算乘方、零指數(shù)冪和負(fù)整指數(shù)冪，再算加減法；（2）先算同底數(shù)冪的乘法和除法、積的乘方，再合并同類項(xiàng)．【詳解】（1）原式．（2）原式．6．已知，；(1)當(dāng)時(shí)，求a的值；(2)求的值．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了同底數(shù)冪的除法及其逆用、冪的乘方及其逆用，熟練掌握運(yùn)算法則、正確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．（1）逆用同底數(shù)冪相除法則計(jì)算即可；（2）根據(jù)同底數(shù)冪的除法及其逆用、冪的乘方及其逆用，推出，把轉(zhuǎn)化為，計(jì)算即可．【詳解】（1）解：∵，，∴，又∵，∴；（2）解：∵，，∴，∴，∴．過(guò)關(guān)檢測(cè)1．下列運(yùn)算正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了同底數(shù)冪乘除法，冪的乘方和合并同類項(xiàng)等計(jì)算，根據(jù)以上運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：A.，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；

B.，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；

C.，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；

D.，故該選項(xiàng)正確，符合題意；故選：D．2．某種芯片每個(gè)探針單元的面積為0.0000164cm2，數(shù)據(jù)0.0000164用科學(xué)記數(shù)法表示為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了科學(xué)記數(shù)法，科學(xué)記數(shù)法的表現(xiàn)形式為的形式，其中，n為整數(shù)，確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同，當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值大于等于10時(shí)，n是正數(shù)，當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值小于1時(shí)n是負(fù)數(shù)；由此進(jìn)行求解即可得到答案．【詳解】解：，故選：C．3．已知，，則可以表示成（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】此題主要考查了同底數(shù)冪的乘法以及冪的乘方，掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．先逆用同底數(shù)冪的乘法和冪的乘方法則把變形，然后把，代入計(jì)算即可．【詳解】解：∵，，∴．故選D．4．已知，則滿足的關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查冪的乘方的逆用．將轉(zhuǎn)化為，即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵，∴；故選A5．新定義：（均為正整數(shù)），例如：．若，，則的值為（）A．18 B．24 C．36 D．63【答案】D【分析】本題主要考查新定義運(yùn)算，冪的乘方和積的乘方逆運(yùn)算，根據(jù)新運(yùn)算法則求出，再把變形為，再代入計(jì)算即可【詳解】解：∵（均為正整數(shù)），∴∴∴，故選：D6．已知，，，，則a、b、c、d的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先變形化簡(jiǎn)，，，，比較11次冪的底數(shù)大小即可．【詳解】因?yàn)?，，，，因?yàn)?，所以，所以，故即；同理可證所以，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了冪的乘方的逆運(yùn)算，熟練掌握冪的乘方及其逆運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．7．若，，則．【答案】20【分析】此題考查同底數(shù)冪的乘法，逆用同底數(shù)冪的乘法變形后代入計(jì)算即可．【詳解】解：∵，，∴．故答案為：20．8．已知，則．【答案】【分析】本題考查冪的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握，，即可．【詳解】∵，∴，∴，解得：，∴．故答案為：．9．，，則．【答案】/【分析】本題考查冪的乘方及同底數(shù)冪的乘法，熟練掌握冪的乘方法則、同底數(shù)冪的乘法法則以及整體代入思想是解題的關(guān)鍵．將變形為，利用同底數(shù)冪的乘法得，得出，將作為整體代入即可求解．【詳解】解：∵，，∴，∴，∴，故答案為：．10．已知正整數(shù)m、、、都是質(zhì)數(shù)，并且，則.【答案】793【分析】本題考查了冪的乘方，質(zhì)數(shù)的意義；從是質(zhì)數(shù)入手是解題的關(guān)鍵；質(zhì)數(shù)中唯一的偶數(shù)是2，其余的質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)，根據(jù)兩個(gè)奇數(shù)的和為偶數(shù)，則可斷定中必為偶數(shù)，由此分析即可求解．【詳解】因?yàn)閙、n、都是質(zhì)數(shù)，所以必為偶數(shù)，所以m、n至少有一個(gè)為2．當(dāng)時(shí)，，不相等且都不是質(zhì)數(shù)，矛盾；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，符合題意，所以；當(dāng)時(shí)，，不滿足條件．綜上，．11．計(jì)算或化簡(jiǎn)(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，零指數(shù)冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪：（1）先計(jì)算零指數(shù)冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪和乘方，再計(jì)算加減法即可；（2）根據(jù)多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的計(jì)算法則求解即可．【詳解】（1）解：；（2）解：．12．（1）已知．①求和的值．②求