/6.3-6.4相似圖形與探索三角形相似的條件（一）【推本溯源】1.回顧一下全等圖形2.右圖是全等圖形嗎？因此，的圖形叫做相似形。3.觀察右圖兩個三角形，它們的邊角之間有怎樣的數量關系呢？再觀察右圖的兩個正方形，它們的邊角之間有怎樣的數量關系呢？因此，像這樣，的兩個多邊形，它們的形狀相同，稱為相似多邊形。比如：▲ABC與▲A′B′C′相似，我們記作為“”。相似多邊形的對應角對應邊，相似多邊形的對應邊的比叫做。4.如右圖，三條平行線被兩條直線所截，試著度量BC、CD和AD、DF的長度，并計算它們的比值，有什么發(fā)現？同樣地，通過實踐，我們得到一個基本事實，幾何語言：如右圖，畫出一個▲ABC，使得∠A=∠1，∠B=∠2，可以畫出多少個？6.已知在△ABC和△A′B′C′中?！螦=∠A′，∠B=∠B′。求證：△ABC∽△A′B′C′.【解惑】例1：下列說法正確的是（

）A．所有的正方形都相似 B．對應角相等的兩個多邊形相似C．所有的矩形都相似 D．對應邊成比例的兩個多邊形相似例2：如圖，四邊形四邊形，若，，則（

）

A． B． C． D．例3：如圖，在中，是斜邊上的高，，垂足為，則圖中與相似的三角形（不包括）共有（）

A．5個 B．4個 C．3個 D．2個例4：如圖，，點B，E分別在上，，則長為（

）

A．4 B．2 C． D．例5：如圖，在中，．請用尺規(guī)作圖法，在射線上求作一點D，使得．（保留作圖痕跡，不寫作法）【摩拳擦掌】1．任意下列兩個圖形不一定相似的是（

）A．正方形 B．等腰直角三角形 C．矩形 D．等邊三角形2．如圖，把一個矩形剪去一個正方形，剩下的矩形與原矩形相似，則原矩形的長與寬的比為（

）A． B． C． D．3．如圖所示，兩個等邊三角形，兩個矩形，兩個正方形，兩個菱形各成一組，每組中的一個圖形在另一個圖形的內部，對應邊平行，且對應邊之間的距離都相等，那么兩個圖形對應邊不成比例的一組是（

）A．

B．

C．

D．

4．如圖，是的斜邊上異于、的一點，過點作直線截，使截得的三角形與相似，則過點滿足這樣條件的直線最多有條（

）

A． B． C． D．5．下列給出的圖形中，不是相似形的是（）A．由同一張底片印出來大小不同的照片B．一張巨幅畫像和用照相機把它拍出來的照片C．小明在平面鏡和在哈哈鏡里看到的他自己的像D．五星紅旗上的大五角星和小五角星6．書籍和紙張的長與寬的比值都有固定的尺寸，即同一系列的紙張長與寬的比均相同．將如圖所示的紙張沿長邊對折裁剪，得到兩張A1型號紙張．若A1與原紙張屬同一系列紙張，則該系列紙張的長與寬（長大于寬）之比為______．7．如圖，已知直線，如果，，那么線段的長是________．

8．如圖，，那么圖中相似的三角形有哪幾對？

9．如圖，在中，平分，點E在上，且．

(1)求證：；(2)若，，求的值．10．如圖，在中，，，請用尺規(guī)作圖法在邊上求作一點D，使得．（保留作圖痕跡，不寫作法）

【知不足】1．如圖，在平行四邊形中，E是上一點，連接并延長交的延長線于點F，則下列結論錯誤的是（）

A． B． C． D．2．下列各組中的兩個圖形一定相似的有（）（1）兩個等腰三角形；

（2）兩個直角三角形；

（3）兩個等腰直角三角形；（4）兩個等邊三角形；

（5）兩個矩形；

（6）兩個菱形；（7）兩個正方形；

（8）兩個等腰梯形；

（9）兩個圓．A．3組 B．4組 C．5組 D．6組3．如圖，在中，.則圖中相似三角形共有（）

A．2對 B．3對 C．4對 D．5對4．如圖，中，為邊上一點，過作交于，為的中點，作交于，則下列結論錯誤的是（

）A． B． C． D．5．某同學的眼睛到黑板的距離是，課本上的文字大小為．要使這名同學看黑板上的字時，與他看相距的課本上的字的感覺相同，老師在黑板上寫的文字大小應約為________（答案請按同一形式書寫）．6．已知五邊形五邊形，，，，，則_______．7．如圖，在平行四邊形中，點E為邊上的點（不與點B，點C重合），連接并延長，交的延長線于點F．求證：．

8．如圖，已知，在上確定一點D，使得．（保留作圖痕跡，不寫作法）．

9．已知四邊形和四邊形是相似的圖形，并且點與點、點與點、點與點、點與點分別是對應頂點，已知，，，，，，，求，的長和的度數．10．如圖，在中，．請用尺規(guī)作圖法，在邊上求作一點，使．（保留作圖痕跡，不寫作法）11．如圖，為平行四邊形的對角線上一點，，的延長線交的延長線于點，交于點，求的值．

【一覽眾山小】1．如圖，在平行四邊形中，是上一點，連接并延長交的延長線于點，則下列結論中錯誤的是（

）

A． B．C． D．2．如圖，在中，，，則下列比例式中正確的是（

）A． B． C． D．3．如圖1是古希臘時期的巴臺農神廟（ParthenomTemple），把圖1中用虛線表示的矩形畫成圖2矩形，當以矩形的寬為邊作正方形時，驚奇地發(fā)現矩形與矩形相似，則等于（

）A． B． C． D．4．將一張（）紙片，以它的一邊為邊長剪去一個菱形，將余下的平行四邊形中，再以它的一邊為邊長剪去一個菱形，若剪去兩個菱形后所剩下的平行四邊形與原來相似，則的相鄰兩邊與的比值是（

）A． B．C．或 D．或或5．剪紙是我國傳統(tǒng)的民間藝術，在創(chuàng)作時，將紙片進行一系列操作，剪出圖樣后再展開，即可得到一由湖光倒影的美景．這體現了數學中的()A．圖形的軸對稱 B．圖形的平移C．圖形的旋轉 D．圖形的相似6．如圖，已知菱形的邊長為4，，E為的中點，F為的中點，與相交于點G，則的長等于__________．7．在中，點、分別在邊、上，根據下列條件，試判斷與是否平行．(1)，，，；(2)，，，；(3)，，，；(4)，．8．如圖，、是的邊上的兩點，滿足．聯結，過點作，交邊于點，聯結．求證：．

9．如圖，四邊形四邊形．(1)，它們的相似比是；(2)求邊，的長度．10．圖①、圖②、圖③均是5×5的正方形網格，每個小正方形的邊長均為1，其頂點稱為格點，△ABC的頂點均在格點上．只用無刻度的直尺，在給定的網格中，按下列要求作圖，保留作圖痕跡．

(1)網格中的形狀是；(2)在圖①中確定一點D．連結、，使與全等；(3)在圖②中的邊上確定一點E，連結，使．11．如圖，為菱形的對角線，點E在的延長線上，且．求證：．

12．如圖，已知正方形中，平分且交邊于點，將繞點順時針旋轉到的位置，并延長交于點．求證：

(1)；(2)．13．如圖，點、分別在的邊、上，，求證：．

14．如圖，是的中線，為上任意一點，連接并延長，交于，連接并延長，交于，連接求證：．

6.3-6.4相似圖形與探索三角形相似的條件（一）【推本溯源】1.回顧一下全等圖形完全重合的兩個圖形是全等圖形。2.右圖是全等圖形嗎？不是，右圖形狀相同，大小不相同。因此，形狀相同的圖形叫做相似形。3.觀察右圖兩個三角形，它們的邊角之間有怎樣的數量關系呢？這兩個三角形各角相等，各邊成比例；再觀察右圖的兩個正方形，它們的邊角之間有怎樣的數量關系呢？這兩個正方形各角相等，各邊成比例；因此，像這樣，各角分別相等，各邊成比例的兩個多邊形，它們的形狀相同，稱為相似多邊形。比如：▲ABC與▲A′B′C′相似，我們記作為“”。相似多邊形的對應角相等對應邊成比例，相似多邊形的對應邊的比叫做相似比。4.如右圖，三條平行線被兩條直線所截，試著度量BC、CD和AD、DF的長度，并計算它們的比值，有什么發(fā)現？同樣地，,.通過實踐，我們得到一個基本事實，兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例。幾何語言：∴如右圖，畫出一個▲ABC，使得∠A=∠1，∠B=∠2，可以畫出多少個？一個。已知在△ABC和△A′B′C′中?！螦=∠A′，∠B=∠B′。求證：△ABC∽△A′B′C′證明：在△ABC的邊AB（或延長線）上截取AD=A′B′.過點D作DE∥BC.交AC于點E.則有△ADE∽△ABC∵∠ADE=∠B∠B=∠B′∴∠ADE=∠B′又∵∠A=∠A′AD=A′B′∴△ADE≌△A′B′C′（ASA）∴△A′B′C′∽△ABC【解惑】例1：下列說法正確的是（

）A．所有的正方形都相似 B．對應角相等的兩個多邊形相似C．所有的矩形都相似 D．對應邊成比例的兩個多邊形相似【答案】A【分析】直接利用相似多邊形的定義判定逐項判定即可【詳解】A.所有的正方形都相似,滿足對應角相等，對應邊成比例，說法正確；B.對應角相等的兩個多邊形相似，不一定滿足對應邊成比例，說法不正確；C.所有的矩形都相似，不一定滿足對應邊成比例，說法不正確；D.對應邊成比例的兩個多邊形相似,不一定滿足對應角相等，說法不正確；故選擇：A【點睛】本題主要考查相似多邊形的概念，對應角相等，對應邊成比例的多邊形相似，缺一不可；例2：如圖，四邊形四邊形，若，，則（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】利用相似多邊形的性質得到，然后根據四邊形的內角和計算的度數即可．【詳解】解：四邊形四邊形，，，故選：B．【點睛】本題主要考查了相似多邊形的性質：相似多邊形的對應角相等，對應邊成比例，也考查了四邊形的內角和．例3：如圖，在中，是斜邊上的高，，垂足為，則圖中與相似的三角形（不包括）共有（）

A．5個 B．4個 C．3個 D．2個【答案】B【分析】根據是斜邊上的高，于點，得，，再根據相似三角形的判定，即可．【詳解】∵是斜邊上的高，于點，∴，，在和中，∵，∴；在和中，∵，∴；∵，∴，∴；∵，，∴，在和中，，∴；∴圖中與相似的三角形有個．故選：B．【點睛】本題考查相似三角形的判定，解題的關鍵是掌握相似三角形的判定定理．例4：如圖，，點B，E分別在上，，則長為（

）

A．4 B．2 C． D．【答案】D【分析】根據平行線間分線段成比例得到，解出答案．【詳解】，，，即，解得．故選：D．【點睛】本題考查了平行線間分線段成比例，熟練掌握平行線的性質是解題的關鍵．例5：如圖，在中，．請用尺規(guī)作圖法，在射線上求作一點D，使得．（保留作圖痕跡，不寫作法）

【答案】見詳解【分析】作，交于點D，點D即為所求．【詳解】如圖所示，作，交于點D，點D即為所求，

∵，∴，∵，∴．【點睛】本題考查了相似三角形的判定，作一個角等于已知角，掌握以上知識是解題的關鍵．【摩拳擦掌】1．任意下列兩個圖形不一定相似的是（

）A．正方形 B．等腰直角三角形 C．矩形 D．等邊三角形【答案】C【分析】相似圖形的定義：形狀相同的兩個圖形是相似形；如果各角分別相等、各邊對應成比例的兩個多邊形是相似多邊形；根據這兩個定義即可判斷得解．【詳解】解：A、因為任意兩個正方形的對應邊成比例，對應角相等，是相似圖形，所以A不符合題意B、因為任意兩個等腰直角三角形的對應邊成比例，對應角相等，是相似圖形，所以B不符合題意；C、因為任意兩個矩形的對應邊不一定成比例，對應角相等，不是相似圖形，所以C符合題意；D、因為任意兩個等邊三角形的對應邊成比例，對應角相等，是相似圖形，所以A不符合題意；故選C．【點睛】此題考查了相似圖形的概念，熟練掌握相似形與相似多邊形的概念是解答此題的關鍵．2．如圖，把一個矩形剪去一個正方形，剩下的矩形與原矩形相似，則原矩形的長與寬的比為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設原來矩形的長為，寬為，則減去的正方形的邊長為，剩下的矩形的長為，寬為，剩下的矩形與原矩形相似，利用對應邊成比例得，然后計算求得原矩形的長與寬的比即可．【詳解】解：設：原來矩形的長為，寬為，則減去的正方形的邊長為，剩下的矩形的長為，寬為，∵剩下的矩形與原矩形相似，∴，整理得：，各項同時除以得：，令，則，解得：，（舍），∴原矩形的長與寬的比，故選：A．【點睛】本題考查了相似多邊形的性質，根據相似多邊形的性質列出方程，并舍去不合題意的解是解答本題的關鍵．3．如圖所示，兩個等邊三角形，兩個矩形，兩個正方形，兩個菱形各成一組，每組中的一個圖形在另一個圖形的內部，對應邊平行，且對應邊之間的距離都相等，那么兩個圖形對應邊不成比例的一組是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】根據相似多邊形的性質及判定：對應角相等，對應邊成比例，即可判斷．【詳解】解：A.兩個三角形相似，三角形對應角相等，對應邊成比例，故A不符合題意；B.兩個正方形相似，四條邊均相等，對應邊成比例，故B不符合題意；C.兩個菱形相似，四條邊均相等，對應邊成比例，故C不符合題意；D.矩形四個角相等，但對應邊不一定成比例，故D符合題意；故選：D．【點睛】本題主要考查了相似多邊形的性質及判定，熟練掌握相似多邊形的性質及判定：對應角相等，對應邊成比例，是解題的關鍵．4．如圖，是的斜邊上異于、的一點，過點作直線截，使截得的三角形與相似，則過點滿足這樣條件的直線最多有條（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】過點作直線與另一邊相交，使所得的三角形與原三角形有一個公共角，只要再作一個直角就可以．【詳解】解：由于是直角三角形，過點作直線截，則截得的三角形與有一公共角，所以只要再作一個直角即可使截得的三角形與相似，如圖，過點可作的垂線、的垂線、的垂線，共條直線．

故選：C．【點睛】本題主要考查三角形相似判定定理及其運用，運用兩角法(有兩組角對應相等的兩個三角形相似)來判定兩個三角形相似是解題關鍵．5．下列給出的圖形中，不是相似形的是（）A．由同一張底片印出來大小不同的照片B．一張巨幅畫像和用照相機把它拍出來的照片C．小明在平面鏡和在哈哈鏡里看到的他自己的像D．五星紅旗上的大五角星和小五角星【答案】C【分析】利用相似圖形的定義分別分析得出符合題意的圖形即可．【詳解】解：A、同一張底片沖洗出來的兩張大小不同的照片，是相似圖形，不合題意；B、一張巨幅畫像和用照相機把它拍出來的照片，是相似圖形，不合題意；C、小明在平面鏡和在哈哈鏡里看到的他自己的像，不是相似圖形，符合題意；D、五星紅旗上的大五角星和小五角星，相似圖形，不合題意；故選：C．【點睛】此題主要考查了相似三角形的應用，相似圖形的定義，正確把握定義是解題關鍵．6．書籍和紙張的長與寬的比值都有固定的尺寸，即同一系列的紙張長與寬的比均相同．將如圖所示的紙張沿長邊對折裁剪，得到兩張A1型號紙張．若A1與原紙張屬同一系列紙張，則該系列紙張的長與寬（長大于寬）之比為______．

【答案】【分析】先根據條件找出已知長和寬，再根據已知找出等量關系的兩種紙張長寬比例相等列出比例式子即可求解．【詳解】解：設A1紙的長和寬分別為m，n，則原紙張的長和寬分別為2n，m，根據題意可得，，即該系列紙張的長與寬之比為．故答案為：．【點睛】本題考查的是矩形的折疊問題．解題的關鍵在于是否能根據題意列出等量關系式．7．如圖，已知直線，如果，，那么線段的長是________．

【答案】6【分析】由平行線所截線段對應成比例可知，然后代入求解即可．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，故答案為：6．【點睛】本題主要考查平行線所截線段對應成比例，熟練掌握比例線段的計算是解決本題的關鍵．8．如圖，，那么圖中相似的三角形有哪幾對？

【答案】，，，．【分析】根據有兩組角對應相等的兩個三角形相似可以判斷，，，．【詳解】解：根據，同時有公共角必相等，根據相似三角形判定定理，可得，，；同時由，可得：，得：，又，根據相似三角形判定定理，得：．【點睛】題目主要考查相似三角形判定定理，同時要注意根據題目條件推出一些其它角相等的條件，注意不要遺漏．9．如圖，在中，平分，點E在上，且．

(1)求證：；(2)若，，求的值．【答案】(1)見解析(2)．【分析】（1）已知平分，可得，再由，可得，即可得，從而得；（2）作于點F，于點G，利用角平分線的性質得到，再利用三角形面積公式求得，據此即可求解．【詳解】（1）證明：∵平分，∴，∵，∴，∴，∴；（2）解：作于點F，于點G，

∵平分，∴，∴，∵，∴．【點睛】本題考查了相似三角形的判定、平行線的判定和性質、角平分線的性質，掌握“角平分線上點到角兩邊的距離相等”是解題的關鍵．10．如圖，在中，，，請用尺規(guī)作圖法在邊上求作一點D，使得．（保留作圖痕跡，不寫作法）

【答案】見解析【分析】作的平分線交于點，點即為所求，【詳解】解：如圖所示，作的平分線交于點，點即為所求，

理由如下，∵在中，，，∴∵是的平分線，∴，∴，又∵，∴．【點睛】本題考查了作角平分線，三角形內角和定理，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是解題的關鍵．【知不足】1．如圖，在平行四邊形中，E是上一點，連接并延長交的延長線于點F，則下列結論錯誤的是（）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據平行四邊形的性質得出，，，，利用平行線分線段成比例定理逐項進行判斷即可．【詳解】解：A．∵四邊形為平行四邊形，∴，，，，∵，∴，∵，∴，故A正確，不符合題意；B．∵，∴，∵，∴，故B正確，不符合題意；C．∵，∴，故C正確，不符合題意；D．∵，∴，即，∵，∴，∴，故D錯誤，符合題意．故選：D．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質，平行線分線段成比例定理，解題的關鍵是靈活運用平行線分線段成比例定理．2．下列各組中的兩個圖形一定相似的有（）（1）兩個等腰三角形；

（2）兩個直角三角形；

（3）兩個等腰直角三角形；（4）兩個等邊三角形；

（5）兩個矩形；

（6）兩個菱形；（7）兩個正方形；

（8）兩個等腰梯形；

（9）兩個圓．A．3組 B．4組 C．5組 D．6組【答案】B【分析】根據相似三角形及多邊形的判定依次判斷即可【詳解】解：（1）兩個等腰三角形不能確定其每個內角的度數，所以不一定相似；（2）兩個直角三角形只有一個相同的角是直角，其他兩個角都不確定，所以不一定相似；（3）兩個等腰直角三角形三個內角都確定且對應的三個角都相等，所以一定相似；（4）兩個等邊三角形三個內角都確定且對應的三個角都相等，所以一定相似；（5）兩個矩形四個角都為90度，但是對應邊不一定成比例，所以不一定相似；（6）兩個菱形，對應邊成比例，對應角不一定相等，所以不一定相似；（7）兩個正方形對應邊成比例，對應角一定相等，所以一定相似；（8）兩個等腰梯形對應邊和對應角都不確定，所以不一定相似；（9）兩個圓一定相似；∴相似的是（3）（4）（7）（9），故選：B【點睛】考查相似圖形的特征，形狀完全相同，對于三角形來說，三個角大小相等即可，對于其它多邊形來說，除了考慮角的大小，還要考慮邊的大小對應．3．如圖，在中，.則圖中相似三角形共有（）

A．2對 B．3對 C．4對 D．5對【答案】C【分析】首先算出三角形中角的度數，即可得到答案．【詳解】解：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．故相似的三角形對數為4對：故選：C．【點睛】本題主要考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解題的關鍵．4．如圖，中，為邊上一點，過作交于，為的中點，作交于，則下列結論錯誤的是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據平行線分線段成比例定理、中點定義及相似三角形對應邊成比例逐項判斷即可得到答案．【詳解】解：A、，由平行線分線段成比例定理可得，，，，，，即，，，由平行四邊形的判定定理得到四邊形為平行四邊形，即，，故該選項正確，不符合題意；B、，，，，，為的中點，，，故該選項正確，不符合題意；C、，由平行線分線段成比例定理可得，，，由平行四邊形的判定定理得到四邊形為平行四邊形，即，，故該選項正確，不符合題意；D、，由平行線分線段成比例定理可得，，由平行線分線段成比例定理可得，只有當為中點時，即時，由于題中并未給出相關條件，故該選項錯誤，符合題意；故選：D．【點睛】本題考查線段成比例，涉及平行線分線段成比例定理、平行四邊形的判定與性質、中點的定義等知識，熟記相關幾何性質是解決問題的關鍵．5．某同學的眼睛到黑板的距離是，課本上的文字大小為．要使這名同學看黑板上的字時，與他看相距的課本上的字的感覺相同，老師在黑板上寫的文字大小應約為________（答案請按同一形式書寫）．【答案】【分析】設，則老師在黑板上寫的文字大小為，根據比例線段和相似圖形的性質，列出方程求解即可．【詳解】解：如圖：，，令，設，則老師在黑板上寫的文字大小為，∵，∴，解得：，∴老師在黑板上寫的文字大小為，故答案為：．【點睛】本題主要考查了成比例線段和相似圖形的性質，解題的關鍵是根據題意得出教科書上的字與黑板上的字相似，根據相似圖形對應邊成比例求解．6．已知五邊形五邊形，，，，，則_______．【答案】【分析】首先根據相似多邊形的性質得到，，然后根據五邊形的內角和為即可解答．【詳解】解：∵五邊形五邊形，∴，，又∵五邊形的內角和為，∴，故答案為：．【點睛】本題考查相似多邊形的性質，解題關鍵是掌握相似多邊形的對應角相等．7．如圖，在平行四邊形中，點E為邊上的點（不與點B，點C重合），連接并延長，交的延長線于點F．求證：．

【答案】見解析【分析】根據平行四邊形的性質和平行線的性質證明，，即可證得結論．【詳解】證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，∴．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質和平行線的性質以及相似三角形的判定，熟練掌握上述知識是解題的關鍵．8．如圖，已知，在上確定一點D，使得．（保留作圖痕跡，不寫作法）．

【答案】見詳解【分析】以為角的一邊，作，即可．【詳解】如圖，

點D即為所求；證明：根據作圖可知：，又∵，∴，即點D滿足要求．【點睛】本題考查了作一個角等于已知角的尺規(guī)作圖以及相似三角形的判定等知識，作出是解答本題的關鍵．9．已知四邊形和四邊形是相似的圖形，并且點與點、點與點、點與點、點與點分別是對應頂點，已知，，，，，，，求，的長和的度數．【答案】．【分析】根據四邊形內角和定理以及相似多邊形的性質即可解決問題．【詳解】解：由四邊形和四邊形是相似的圖形，有，將代入，求得：，根據四邊形內角和，可求得：，相似圖形對應角相等可知．【點睛】本題考查相似圖形，解題的關鍵是熟練掌握相似多邊形的性質，相似形形狀完全相同，由此相似形各內角對應相等，各邊對應成比例．10．如圖，在中，．請用尺規(guī)作圖法，在邊上求作一點，使．（保留作圖痕跡，不寫作法）【答案】見解析【分析】作的平分線，交邊于點，此時．【詳解】解：點即為所作，∵平分，∴，∵，∴，∵，∴．【點睛】本題考查了作角平分線，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是解題的關鍵．11．如圖，為平行四邊形的對角線上一點，，的延長線交的延長線于點，交于點，求的值．

【答案】【分析】由，可得，即，得出，由，可得：．【詳解】解：∵四邊形為平行四邊形，∴，，，，∵，∴，即，∴，∵，∴．【點睛】本題主要考查了平行線四邊形的性質，平行線分線段成比例定理，解題的關鍵是熟練掌握平行線分線段成比例定理，求出．【一覽眾山小】1．如圖，在平行四邊形中，是上一點，連接并延長交的延長線于點，則下列結論中錯誤的是（

）

A． B．C． D．【答案】B【分析】根據已知及平行線分線段成比例定理進行分析，可得，依據平行線成比例的性質即可得到答案．【詳解】解：A、根據對頂角相等，此結論正確；B、根據相似三角形的性質定理，得，所以此結論錯誤；C、根據平行線分線段成比例定理得，此項正確；D、根據平行四邊形的對邊相等，所以此項正確．故選：B．【點睛】此題綜合運用了平行四邊形的性質以及平行線分線段成比例定理，解決本題的關鍵是熟練掌握平行線分線段成比例定理．2．如圖，在中，，，則下列比例式中正確的是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據平行線分線段成比例定理及平行四邊形的判定與性質逐項驗證即可得到答案．【詳解】解：A、，，四邊形是平行四邊形，，，，與的關系不確定，不正確，不符合題意；B、，，四邊形是平行四邊形，，，，，不正確，不符合題意；C、，，，，，正確，符合題意；D、，由可得，與的關系不確定，不正確，不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查平行線分線段成比例定理及平行四邊形的判定性質，熟練掌握平行線分線段成比例定理及平行四邊形的判定與性質是解決問題的關鍵．3．如圖1是古希臘時期的巴臺農神廟（ParthenomTemple），把圖1中用虛線表示的矩形畫成圖2矩形，當以矩形的寬為邊作正方形時，驚奇地發(fā)現矩形與矩形相似，則等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據相似圖形的性質，列出比例式，進行求解即可．【詳解】解：∵矩形與矩形相似，∴，∵四邊形為正方形，∴，∵，∴，∴，∴，即：，設，則：，解得：（負值已舍去）；∴；故選D．【點睛】本題考查相似多邊形的性質，正方形的性質，解一元二次方程．熟練掌握相似多邊形的對應邊對應成比例，是解題的關鍵．4．將一張（）紙片，以它的一邊為邊長剪去一個菱形，將余下的平行四邊形中，再以它的一邊為邊長剪去一個菱形，若剪去兩個菱形后所剩下的平行四邊形與原來相似，則的相鄰兩邊與的比值是（

）A． B．C．或 D．或或【答案】C【分析】分兩種情況進行討論進而根據相似多邊形的性質進行求解即可．【詳解】如圖，設．根據題意，，∴，∵，∴，∵剩下的平行四邊形與原來相似，∴對應邊成比例，分兩種情況討論：①，∴，設，分子分母同時除以，得：，解得：；②，∴，設，則：，解得：，兩個答案都滿足，綜上：的相鄰兩邊與的比值是或；故選C．【點睛】本題考查平行四邊形的性質，菱形的性質，相似多邊形的性質．根據題意，正確的畫出圖形，利用數形結合和分類討論的思想進行求解，是解題的關鍵．5．剪紙是我國傳統(tǒng)的民間藝術，在創(chuàng)作時，將紙片進行一系列操作，剪出圖樣后再展開，即可得到一由湖光倒影的美景．這體現了數學中的()A．圖形的軸對稱 B．圖形的平移C．圖形的旋轉 D．圖形的相似【答案】A【分析】根據軸對稱，平移，旋轉，相似的特征來判斷即可．軸對稱的特點是一個圖形繞著一條直線對折，直線兩旁的圖形能夠完全重合；平移是將一個圖形沿某一直線方向移動，得到的新圖形與原圖形的形狀、大小和方向完全相同；旋轉是指將一個圖形繞著一點轉動一個角度的變換；相似可以改變圖形的大小，但不改變形狀．【詳解】解：根據圖形可知，將這個圖形上下對折，兩邊的部分能夠完全重合，因此這體現了數學中圖形的軸對稱，故選：A．【點睛】本題考查圖形的對稱、平移、旋轉、相似等知識，掌握四者的特征是解題的關鍵．觀察時要緊扣圖形變換特點，認真判斷．6．如圖，已知菱形的邊長為4，，E為的中點，F為的中點，與相交于點G，則的長等于__________．【答案】/【分析】過點F作，交DE于H，過點C作，交的延長線于M，連接，先證明是的中位線，得，再證明，得，在中計算和的長，再證明是中位線，可得的長，由勾股定理可得的長，從而得結論．【詳解】如圖，過點F作，交于H，過點C作，交的延長線于M，連接，∵四邊形是菱形，∴，，∴，∴，∵，∴，∵F是的中點，∴H是的中點，∴是的中位線，∴，∵E是的中點，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，中，，∴，，∴，∵F是的中點，∴是的中位線，∴，，∴，中，由勾股定理得：，∴．故答案為：．【點睛】此題考查的是菱形的性質，三角形中位線定理，全等三角形的判定與性質，勾股定理，平行線分線段成比例定理，掌握其性質定理是解決此題的關鍵．7．在中，點、分別在邊、上，根據下列條件，試判斷與是否平行．(1)，，，；(2)，，，；(3)，，，；(4)，．【答案】(1)平行(2)平行(3)不平行(4)平行【分析】（1）根據平行線分線段成比例判斷即可；（2）同（1）圖，根據平行線分線段成比例判斷即可；（3）同（1）圖，根據平行線分線段成比例判斷即可；（4）根據題意得出，，根據平行線分線段成比例判斷即可．【詳解】（1）解：如圖所示：

∵，∴；（2），，∴；（3），，∴不相等，不平行；（4）∵，，∴，，∴，∴．【點睛】考查三角形一邊平行線判定定理的內容，根據比例性質進行相關變形應用是解題關鍵．8．如圖，、是的邊上的兩點，滿足．聯結，過點作，交邊于點，聯結．求證：．

【答案】見解析【分析】由平行線分線段成比例定理得出，由得出，得出，即可得出．【詳解】證明：∵，∴．又，即，∴，∴．【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理以及平行線的判定等知識；熟練掌握平行線分線段成比例定理是解題關鍵．9．如圖，四邊形四邊形．(1)，它們的相似比是；(2)求邊，的長度．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據相似多邊形的性質進行求解即可；（2）根據相