/重難點(diǎn)01全等三角形中“一線(xiàn)三等角”模型1.識(shí)別幾何模型。2.利用“一線(xiàn)三等角”模型解決問(wèn)題圖一如圖一，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC。結(jié)論：Rt△BDC≌Rt△CEA圖二如圖二，∠D=∠BCA=∠E，BC=AC。結(jié)論：△BEC≌△CDA例題1．如圖，∠A＝∠B＝90°，E是線(xiàn)段AB上一點(diǎn)，且AE＝BC，∠1＝∠2．（1）求證：≌；（2）若CD＝10，求的面積．【變式1】．已知，如圖，AB⊥BD于點(diǎn)B，CD⊥BD于點(diǎn)D，P是BD上一點(diǎn)，且AP=PC，AP⊥PC．（1）求證:△ABP≌△PDC（2）若AB=3，CD=4，連接AC，求AC的長(zhǎng)．【變式2】如圖1，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥MN，BE⊥MN，垂足分別為D、E．（1）求證：△ADC≌△CEB；（2）猜想線(xiàn)段AD、BE、DE之間具有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）題設(shè)條件不變，根據(jù)圖2可得線(xiàn)段AD、BE、DE之間的數(shù)量關(guān)系是．【變式3】已知：D，A，E三點(diǎn)都在直線(xiàn)m上，在直線(xiàn)m的同一側(cè)作，使，連接BD，CE．（1）如圖①，若，，，求證；（2）如圖②，若，請(qǐng)判斷BD，CE，DE三條線(xiàn)段之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【變式4】已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是多點(diǎn)A的一條直線(xiàn)，且BD⊥AE于D，CE⊥AE于點(diǎn)E.當(dāng)直線(xiàn)AE處于如圖1的位置時(shí)，有BD=DE+CE,請(qǐng)說(shuō)明理由.當(dāng)直線(xiàn)AE處于如圖2的位置時(shí)，則BD、DE、CE的關(guān)系如何？請(qǐng)說(shuō)明理由.例2、如圖，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=∠C=40°，點(diǎn)D在線(xiàn)段BC上運(yùn)動(dòng)（D不與B,C重合），連接AD，作∠ADE=40°，DE交線(xiàn)段AC于點(diǎn)E.當(dāng)DC等于多少是，△ABD≌△DCE?請(qǐng)證明你的結(jié)論.一．選擇題（共5小題）1．（2021秋?蘭陵縣期末）如圖，AC＝CE，∠ACE＝90°，AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝6cm，DE＝2cm，則BD等于（）A．6cm B．8cm C．10cm D．4cm2．（2021秋?合肥期末）如圖，E為線(xiàn)段BC上一點(diǎn)，∠ABE＝∠AED＝∠ECD＝90°，AE＝ED，BC＝20，AB＝8，則BE的長(zhǎng)度為（）A．12 B．10 C．8 D．63．（2020秋?襄汾縣期末）如圖所示，已知△ABC和△DCE均是等邊三角形，點(diǎn)B、C、E在同一條直線(xiàn)上，連接AE、BD、FG，AE與BD交于點(diǎn)O，AE與CD交于點(diǎn)G，AC與BD交于點(diǎn)F，則下列結(jié)論中：①AE＝BD；②AG＝BF；③FG∥BE；④CF＝CG，以上結(jié)論正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)4．（2021秋?龍灣區(qū)期中）如圖，OA⊥OB，OB＝4，P是射線(xiàn)OA上一動(dòng)點(diǎn)，連接BP，以B為直角頂點(diǎn)向上作等腰直角三角形，在OA上取一點(diǎn)D，使∠CDO＝45°，當(dāng)P在射線(xiàn)OA上自O(shè)向A運(yùn)動(dòng)時(shí)，PD的長(zhǎng)度的變化（）A．一直增大 B．一直減小 C．先增大后減小 D．保持不變5．（2021秋?德州期中）如圖，A、C、E三點(diǎn)在向一直線(xiàn)上，△ABC、△CDE都是等邊三角形，連接AD，BE，OC，則有以下四個(gè)結(jié)論：①△ACD≌△BCE；②△CPQ是等邊三角形；③OC平分∠AOE；④△BPO≌△EDO．其中正確的是（）A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④二．填空題（共4小題）6．（2021秋?邗江區(qū)期末）如圖，小虎用10塊高度都是3cm的相同長(zhǎng)方體小木塊，壘了兩堵與地面垂直的木墻，木墻之間剛好可以放進(jìn)一個(gè)等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），點(diǎn)C在DE上，點(diǎn)A和B分別與木墻的頂端重合，則兩堵木墻之間的距離為cm．7．（2021秋?蘇州期末）勾股定理有著悠久的歷史，它曾引起很多人的興趣．1955年希臘發(fā)行了以勾股定理為背景的郵票．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝3，AB＝4．分別以AB，AC，BC為邊向外作正方形ABMN，正方形ACKL，正方形BCDE，并按如圖所示作長(zhǎng)方形HFPQ，延長(zhǎng)BC交PQ于G．則長(zhǎng)方形CDPG的面積為．8．（2022秋?靖江市月考）如圖，在△ABC中，∠ACB為鈍角，把邊AC繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得AD，把邊BC繞點(diǎn)B沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得BE，作DM⊥AB于點(diǎn)M，EN⊥AB于點(diǎn)N，若AB＝5，EN＝2，則DM＝．9．（2021秋?江陰市校級(jí)月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以A（2，0）、B（0，t）為頂點(diǎn)作等腰直角△ABC（其中∠ABC＝90°，且點(diǎn)C落在第一象限內(nèi)），則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（用t的代數(shù)式表示）．三．解答題（共15小題）10．（2022秋?大豐區(qū)月考）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，AD＝2.5cm，DE＝1.7cm，求BE的長(zhǎng)．11．（2022秋?沭陽(yáng)縣月考）已知：如圖，AB⊥BD，ED⊥BD，C是BD上的一點(diǎn)，AC⊥CE，AB＝CD，求證：BC＝DE．12．（2021秋?沭陽(yáng)縣校級(jí)月考）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線(xiàn)MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）當(dāng)直線(xiàn)MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，求證：△ADC≌△CEB；（2）當(dāng)直線(xiàn)MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，試問(wèn)DE、AD、BE的等量關(guān)系？并說(shuō)明理由．13．（2020秋?濱?？h月考）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BD⊥CE，AE⊥CE，垂足分別為D、E，猜想圖中線(xiàn)段DE、AE、DB之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由．14．（2022秋?嘉峪關(guān)期末）如圖所示，工人趙師傅用10塊高度都是1.5m的相同長(zhǎng)方體新型建筑材料，壘了兩堵與地面垂直的墻ABCD和EFGH，點(diǎn)P在BE上，已知AP＝PF，∠APF＝90°．（1）求證：△ABP≌△PEF；（2）求BE的長(zhǎng)．15．（2022秋?新鄉(xiāng)期末）已知在平面直角坐標(biāo)系中，A（4，0），B（0，3），以線(xiàn)段AB為直角邊在第一象限內(nèi)作等腰直角三角形ABC，AB＝AC，∠BAC＝90°．求點(diǎn)C坐標(biāo)．16．（2022秋?長(zhǎng)沙縣期末）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，過(guò)點(diǎn)C作直線(xiàn)MN，AM⊥MN于點(diǎn)M，BN⊥MN于點(diǎn)N．（1）若MN在△ABC外（如圖1），求證：MN＝AM+BN；（2）若MN與線(xiàn)段AB相交（如圖2），且AM＝2.6，BN＝1.1，則MN＝．17．（2022秋?秦淮區(qū)校級(jí)月考）已知，在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三點(diǎn)都在直線(xiàn)m上，且DE＝9cm，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC（1）如圖①，若AB⊥AC，則BD與AE的數(shù)量關(guān)系為，CE與AD的數(shù)量關(guān)系為；（2）如圖②，判斷并說(shuō)明線(xiàn)段BD，CE與DE的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖③，若只保持∠BDA＝∠AEC，BD＝EF＝7cm，點(diǎn)A在線(xiàn)段DE上以2cm/s的速度由點(diǎn)D向點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)C在線(xiàn)段EF上以xcm/s的速度由點(diǎn)E向點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)，它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）．是否存在x，使得△ABD與△EAC全等？若存在，求出相應(yīng)的t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．18．（2022秋?灌云縣月考）在直線(xiàn)m上依次取互不重合的三個(gè)點(diǎn)D，A，E，在直線(xiàn)m上方有AB＝AC，且滿(mǎn)足∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α．（1）如圖1，當(dāng)α＝90°時(shí)，猜想線(xiàn)段DE，BD，CE之間的數(shù)量關(guān)系是；（2）如圖2，當(dāng)0＜α＜180時(shí)，問(wèn)題（1）中結(jié)論是否仍然成立？如成立，請(qǐng)你給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）拓展與應(yīng)用：如圖3，當(dāng)α＝120°時(shí)，點(diǎn)F為∠BAC平分線(xiàn)上的一點(diǎn)，且AB＝AF，分別連接FB，F(xiàn)D，F(xiàn)E，F(xiàn)C，試判斷△DEF的形狀，并說(shuō)明理由．19．（2021秋?東臺(tái)市月考）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線(xiàn)MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且AD⊥MN，BE⊥MN，垂足分別為點(diǎn)D，E．求證：DE＝AD+BE．20．（2021秋?沭陽(yáng)縣校級(jí)月考）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線(xiàn)MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）當(dāng)直線(xiàn)MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)①請(qǐng)說(shuō)明△ADC≌△CEB的理由；②請(qǐng)說(shuō)明DE＝AD+BE的理由；（2）當(dāng)直線(xiàn)MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)直接在橫線(xiàn)上寫(xiě)出這個(gè)等量關(guān)系：（3）當(dāng)直線(xiàn)MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)直接在橫線(xiàn)上寫(xiě)出這個(gè)等量關(guān)系：．21．（2020秋?灌南縣校級(jí)月考）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線(xiàn)MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）當(dāng)直線(xiàn)MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，求證：①△ADC≌△CEB；②DE＝AD+BE；（2）當(dāng)直線(xiàn)MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，直接寫(xiě)出DE、AD、BE的關(guān)系為：（3）當(dāng)直線(xiàn)MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，試問(wèn)DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出這個(gè)等量關(guān)系，并加以證明．22．（2022秋?東臺(tái)市月考）【一線(xiàn)三等角模型】如圖1：點(diǎn)A、B、C在一條直線(xiàn)上，∠A＝∠DBE＝∠C，當(dāng)BD＝BE時(shí)，有△ABD≌△CEB．理由：∵∠A＝∠DBE，∴∠D+∠DBA＝180°﹣∠A，∠DBA+∠CBE＝180°﹣∠DBE，∴∠D＝∠CBE﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣請(qǐng)將全等證明過(guò)程補(bǔ)充完整．【模型運(yùn)用】如圖2：∠ABC＝∠CAD＝90°，AB＝4，AC＝AD，求△BAD的面積；【能力提升】如圖3：在等邊△DEF中，A，C分別為DE、DF邊上的動(dòng)點(diǎn)，AE＝2CD，連接AC，以AC為邊在△DEF內(nèi)作等邊△ABC，連接BF，當(dāng)點(diǎn)A從點(diǎn)E向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)D重合）時(shí)，∠CFB的度數(shù)變化嗎？如不變請(qǐng)求出它的度數(shù)，如變化，請(qǐng)說(shuō)明它是怎樣變化的？23．（2022秋?烏魯木齊期末）如圖，平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)B（﹣2，0），點(diǎn)A（0，5），以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)在第二象限內(nèi)作等腰直角三角形ABC，過(guò)點(diǎn)C作CE垂直于y軸，垂足為點(diǎn)E，（1）證明：△ABO≌△CAE，并求點(diǎn)C的坐標(biāo)．（2）在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)P（不與點(diǎn)C重合），使△PAB與△ABC全等？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．24．（2022秋?榆樹(shù)市期末）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線(xiàn)MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）當(dāng)直線(xiàn)MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖（1）的位置時(shí)，求證：①△ADC≌△CEB；②DE＝AD+BE；（2）當(dāng)直線(xiàn)MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖（2）的位置時(shí)，求證：DE＝AD﹣BE；（3）當(dāng)直線(xiàn)MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖（3）的位置時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出DE，AD，BE之間的等量關(guān)系．一、單選題1．（2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝9，點(diǎn)E在邊AC上，AE的中垂線(xiàn)交BC于點(diǎn)D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，則CE等于（）A．3 B．2 C． D．2．（2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）一天課間，頑皮的小明同學(xué)拿著老師的等腰直角三角板玩，不小心將三角板掉到兩根柱子之間，如圖所示，這一幕恰巧被數(shù)學(xué)老師看見(jiàn)了，于是有了下面這道題：如果每塊磚的厚度a＝8cm，則DE的長(zhǎng)為（

）A．40cm B．48cm C．56cm D．64cm3．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，AC＝CE，∠ACE＝90°，AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝6cm，DE＝2cm，則BD等于（）A．6cm B．8cm C．10cm D．4cm4．（2023春·山東日照·八年級(jí)日照市新?tīng)I(yíng)中學(xué)?？计谥校┱n間，小聰拿著老師的等腰直角三角板玩，不小心掉到兩墻之間(如圖)，∠ACB＝90°，AC＝BC，從三角板的刻度可知AB＝20cm，小聰想知道砌墻磚塊的厚度(每塊磚的厚度相等)，下面為砌墻磚塊厚度的平方的是（

）．A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2二、填空題5．（2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD⊥DE于點(diǎn)D，BE⊥DE于點(diǎn)E，且點(diǎn)C在DE上，若AD＝5，BE＝8，則DE的長(zhǎng)為_(kāi)____．6．（2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，直線(xiàn)l1⊥l3，l2⊥l3，垂足分別為P、Q，一塊含有45°的直角三角板的頂點(diǎn)A、B、C分別在直線(xiàn)l1、l2、線(xiàn)段PQ上，點(diǎn)O是斜邊AB的中點(diǎn)，若PQ等于，則OQ的長(zhǎng)等于_____．7．（2022秋·貴州遵義·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，中，．直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)F．若，則__________．8．（2023春·上?！て吣昙?jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，，且，且，請(qǐng)按照?qǐng)D中所標(biāo)注的數(shù)據(jù)計(jì)算FH的長(zhǎng)為_(kāi)______．9．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，一個(gè)等腰直角三角形ABC物件斜靠在墻角處（∠O＝90°），若OA＝50cm，OB＝28cm，則點(diǎn)C離地面的距離是____cm．三、解答題10．（2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，∠B=∠C=∠FDE=80°，DF=DE，BF=1.5cm，CE=2cm，求BC的長(zhǎng)．11．（2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在中，．（1）如圖①所示，直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，且．求證：．（2）如圖②所示，直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，且，則是否成立？請(qǐng)說(shuō)明理由．12．（2022秋·江蘇·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）問(wèn)題背景：（1）如圖①，已知中，，，直線(xiàn)m經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，直線(xiàn)m，直線(xiàn)m，垂足分別為點(diǎn)D，E，易證：______+______．（2）拓展延伸：如圖②，將（1）中的條件改為：在中，，D，A，E三點(diǎn)都在直線(xiàn)m上，并且有，請(qǐng)求出DE，BD，CE三條線(xiàn)段的數(shù)量關(guān)系，并證明．（3）實(shí)際應(yīng)用：如圖③，在中，，，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，請(qǐng)直接寫(xiě)出B點(diǎn)的坐標(biāo)．13．（2022秋·河南駐馬店·八年級(jí)統(tǒng)考期末）一個(gè)等腰直角三角板如圖擱置在兩柜之間，且點(diǎn)D，C，E在同一直線(xiàn)上，已知稍高的柜高AD為80cm，兩柜距離DE為140cm.求稍矮的柜高BE．14．（2022秋·浙江寧波·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在中，，分別過(guò)點(diǎn)B，C作過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)的垂線(xiàn)BD，CE，垂足為D，E．若，求DE的長(zhǎng)．15．（2023春·上海·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，，于點(diǎn)A，D是線(xiàn)段AB上的點(diǎn)，，．(1)判斷與的數(shù)量關(guān)系為，位置關(guān)系為．(2)如圖2，若點(diǎn)D在線(xiàn)段的延長(zhǎng)線(xiàn)上，點(diǎn)F在點(diǎn)A的左側(cè)，其他條件不變，試說(shuō)明（1）中結(jié)論是否成立，并說(shuō)明理由．16．（2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）（1）嘗試探究：如圖①，在中，，ABAC，AF是過(guò)點(diǎn)A的一條直線(xiàn)，且B，C在AE的同側(cè)，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，則圖中與線(xiàn)段AD相等的線(xiàn)段是；DE與BD、CE的數(shù)量關(guān)系為．（2）類(lèi)比延伸：如圖②，，BA=BC，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是(-2，0)，(0，3)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．（3）拓展遷移：在（2）的條件下，在坐標(biāo)平面內(nèi)找一點(diǎn)P（不與點(diǎn)C重合），使與△ABC全等．直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)．17．（2023秋·廣東潮州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線(xiàn)MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．(1)當(dāng)直線(xiàn)MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，求證：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；(2)當(dāng)直線(xiàn)MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，AD=5，BE=2，求線(xiàn)段DE的長(zhǎng)．18．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）（1）如圖1，等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)在直線(xiàn)上．過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，求證：；（2）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)分別與軸，軸交于點(diǎn)A，B，將直線(xiàn)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，求的函數(shù)表達(dá)式；（3）如圖3，在平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，為線(xiàn)段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)位于第一象限．問(wèn)點(diǎn)能否構(gòu)成以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，若能，請(qǐng)求出的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．19．（2022秋·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)?？计谀┨骄浚喝鐖D①，在中，，，直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，求證：．應(yīng)用：如圖②，在中，，三點(diǎn)都在直線(xiàn)上，并且有．求出和的關(guān)系．拓展：如圖①中，若，梯形的面積______．20．（2022秋·廣東惠州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D1，，垂足分別為D，E．(1)若，求的長(zhǎng)．(2)在其它條件不變的前提下，將所在直線(xiàn)變換到的外部（如圖2），請(qǐng)你猜想三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(3)如圖3，將（1）中的條件改為：在中，，D，C，E三點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上，并且有，其中α為任意鈍角，那么（2）中你的猜想是否還成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．21．（2022秋·河北邯鄲·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在中，，，點(diǎn)D在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)（D不與B、C重合），連接，作，交線(xiàn)段于E．(1)當(dāng)時(shí)，_______，_______，_______；點(diǎn)D從B向C運(yùn)動(dòng)時(shí)，逐漸變_______（填“大”或“小”）；(2)當(dāng)DC等于多少時(shí)，，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，請(qǐng)直接寫(xiě)出的度數(shù)，若不可以，請(qǐng)說(shuō)明理由．22．（2023春·河南洛陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）綜合與實(shí)踐數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師讓同學(xué)們以“過(guò)等腰三角形頂點(diǎn)的直線(xiàn)”為主題開(kāi)展數(shù)學(xué)探究．(1)操作發(fā)現(xiàn)：如圖甲，在中，，且，直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A．小華分別過(guò)B、C兩點(diǎn)作直線(xiàn)l的垂線(xiàn)，垂足分別為點(diǎn)D、E．易證，此時(shí)，線(xiàn)段、、的數(shù)量關(guān)系為：_________；(2)拓展應(yīng)用：如圖乙，為等腰直角三角形，，已知點(diǎn)C的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為．請(qǐng)利用小華的發(fā)現(xiàn)直接寫(xiě)出點(diǎn)A的坐標(biāo)：_____；(3)遷移探究：①如圖丙，小華又作了一個(gè)等腰，，且，她在直線(xiàn)l上取兩點(diǎn)D、E，使得，請(qǐng)你幫助小華判斷（1）中線(xiàn)段、、的數(shù)量關(guān)系是否變化，若不變，請(qǐng)證明；若變化，寫(xiě)出它們的關(guān)系式并說(shuō)明理由；②如圖丁，中，，，點(diǎn)D、E在直線(xiàn)上，且，請(qǐng)直接寫(xiě)出線(xiàn)段、、的數(shù)量關(guān)系．

重難點(diǎn)01全等三角形中“一線(xiàn)三等角”模型1.識(shí)別幾何模型。2.利用“一線(xiàn)三等角”模型解決問(wèn)題圖一如圖一，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC。結(jié)論：Rt△BDC≌Rt△CEA圖二如圖二，∠D=∠BCA=∠E，BC=AC。結(jié)論：△BEC≌△CDA例題1．如圖，∠A＝∠B＝90°，E是線(xiàn)段AB上一點(diǎn)，且AE＝BC，∠1＝∠2．（1）求證：≌；（2）若CD＝10，求的面積．（1）證明見(jiàn)解析；（2）25【分析】（1）根據(jù)，∠A＝∠B＝90°，可得，和為直角三角形，利用“”即可證明≌；（2）根據(jù)（1）中≌，則，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)推出，則可得為直角，又因?yàn)椤?＝∠2，則可知為等腰直角三角形，進(jìn)而通過(guò)等腰直角三角形的性質(zhì)求出其面積．【詳解】（1）∵，∴，∵∠A＝∠B＝90°，在和中，，∴≌；（2）∵≌，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴為等腰直角三角形，∴其斜邊上的高為5，∴．【點(diǎn)撥】本題考查了直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問(wèn)題．【變式1】．已知，如圖，AB⊥BD于點(diǎn)B，CD⊥BD于點(diǎn)D，P是BD上一點(diǎn)，且AP=PC，AP⊥PC．（1）求證:△ABP≌△PDC（2）若AB=3，CD=4，連接AC，求AC的長(zhǎng)．（1）見(jiàn)解析；（2）.【分析】（1）根據(jù)等角的余角相等證明，繼而證明；（2）根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等性質(zhì)及勾股定理解題.【詳解】（1）證明：；（2）連接AC，在.【點(diǎn)撥】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵.【變式2】如圖1，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥MN，BE⊥MN，垂足分別為D、E．（1）求證：△ADC≌△CEB；（2）猜想線(xiàn)段AD、BE、DE之間具有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）題設(shè)條件不變，根據(jù)圖2可得線(xiàn)段AD、BE、DE之間的數(shù)量關(guān)系是．（1）見(jiàn)解析；（2）AD＝BE＋DE，見(jiàn)解析；（3）DE＝AD＋BE【分析】（1）由已知推出∠CDA=∠BEC=90°，因?yàn)椤螦CD+∠BCE=90°，∠ACD＋∠DAC＝90°，推出∠DAC=∠ECB，根據(jù)AAS即可得到△ADC≌△CEB；（2）由（1）得到AD=CE，CD=BE，即可求出答案；（3）與（1）證法類(lèi)似可證出∠ACD=∠CBE，能推出△ADC≌△CEB，得到AD=CE，CD=BE，即可得到DE、AD、BE之間的等量關(guān)系．（1）證明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠CDA＝∠BEC＝90°．∴∠ACD＋∠DAC＝90°．∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＋∠BCE＝90°．∴∠DAC＝∠ECB．在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB．（2）AD＝BE＋DE．理由如下：由（1）知△ADC≌△CEB．∴AD＝CE，CD＝BE．∴AD＝CE＝CD＋DE＝BE＋DE．（3）DE＝AD＋BE．理由：∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC=90°，∠BEC=90°，∴∠EBC+∠ECB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ECB+∠ACD=90°，∴∠ACD=∠CBE，又∵∠ADC=∠CEB，AC=CB，∴△ADC≌△CEB，∴AD=CE，CD=BE，∵CD+CE=DE，∴DE=AD+BE．【點(diǎn)撥】本題主要考查了余角的性質(zhì)，直角三角形的兩銳角互余，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，能根據(jù)已知證明△ADC≌△CEBE是解此題的關(guān)鍵，題型較好，綜合性比較強(qiáng)．【變式3】已知：D，A，E三點(diǎn)都在直線(xiàn)m上，在直線(xiàn)m的同一側(cè)作，使，連接BD，CE．（1）如圖①，若，，，求證；（2）如圖②，若，請(qǐng)判斷BD，CE，DE三條線(xiàn)段之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．（1）見(jiàn)詳解；（2）DE＝BD＋CE．理由見(jiàn)詳解【分析】（1）根據(jù)BD⊥直線(xiàn)m，CE⊥直線(xiàn)m得∠BDA＝∠CEA＝90°，而∠BAC＝90°，根據(jù)等角的余角相等，得∠CAE＝∠ABD，然后根據(jù)“AAS”可判斷△ABD≌△CAE；（2）由∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，就可以求出∠BAD＝∠ACE，進(jìn)而由ASA就可以得出△ABD≌△CAE，就可以得出BD＝AE，DA＝CE，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：如圖①，∵D，A，E三點(diǎn)都在直線(xiàn)m上，∠BAC＝90°，∴∠BAD＋∠CAE＝90°，∵BD⊥m，CE⊥m，∴∠ADB＝∠CEA＝90°，∴∠BAD＋∠ABD＝90°，∴∠ABD＝∠CAE，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS）；（2）DE＝BD＋CE．理由如下：如圖②，∵∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，∴由三角形內(nèi)角和及平角性質(zhì)，得：∠BAD＋∠ABD＝∠BAD＋∠CAE＝∠CAE＋∠ACE，∴∠ABD＝∠CAE，∠BAD＝∠ACE，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（ASA），∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝AD＋AE＝BD＋CE．【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定方法，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．【變式4】已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是多點(diǎn)A的一條直線(xiàn)，且BD⊥AE于D，CE⊥AE于點(diǎn)E.當(dāng)直線(xiàn)AE處于如圖1的位置時(shí)，有BD=DE+CE,請(qǐng)說(shuō)明理由.當(dāng)直線(xiàn)AE處于如圖2的位置時(shí)，則BD、DE、CE的關(guān)系如何？請(qǐng)說(shuō)明理由.解析：（1）∵BD⊥AE,CE⊥AE∴∠BDA=∠AEC=90°∴∠ABD+∠BAD=90°∵∠BAC=90°∴∠BAD+∠EAC=90°∴∠ABD=∠EAC在△ABD和△CAE中∠ADB=∠CEA=90°∠ABD=∠EACAB=CA∴△ABD≌△CAE(AAS)AD=CE,BD=AE∵AE=AD+DE∴BD=DE+CE（2）在△ABD和△CAE中∠ADB=∠CEA=90°AB=CA∴△ABD≌△CAE（AAS）∴AD=CE,BD=AE∵AE=DE-AD∴BD=DE-CE.例2、如圖，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=∠C=40°，點(diǎn)D在線(xiàn)段BC上運(yùn)動(dòng)（D不與B,C重合），連接AD，作∠ADE=40°，DE交線(xiàn)段AC于點(diǎn)E.當(dāng)DC等于多少是，△ABD≌△DCE?請(qǐng)證明你的結(jié)論.解析：∵∠B=40°∴∠BAD+∠BDA=140°∵∠ADE=40°∴∠CDE+∠BDA=140°∴∠BAD=∠CDE在△ABD和△DCE中∠B=∠C∠BAD=∠CDEAB=DC∴△ABD≌△DCE一．選擇題（共5小題）1．（2021秋?蘭陵縣期末）如圖，AC＝CE，∠ACE＝90°，AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝6cm，DE＝2cm，則BD等于（）A．6cm B．8cm C．10cm D．4cm【分析】由題中條件求出∠BAC＝∠DCE，可得直角三角形ABC與CDE全等，進(jìn)而得出對(duì)應(yīng)邊相等，即可得出結(jié)論．【解答】解：∵AB⊥BD，ED⊥BD，∴∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，∴∠BAC+∠ACB＝90°，∠ACB+∠ECD＝90°，∴∠BAC＝∠ECD，∵在Rt△ABC與Rt△CDE中，，∴Rt△ABC≌Rt△CDE（AAS），∴BC＝DE＝2cm，CD＝AB＝6cm，∴BD＝BC+CD＝2+6＝8cm，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，應(yīng)熟練掌握．2．（2021秋?合肥期末）如圖，E為線(xiàn)段BC上一點(diǎn)，∠ABE＝∠AED＝∠ECD＝90°，AE＝ED，BC＝20，AB＝8，則BE的長(zhǎng)度為（）A．12 B．10 C．8 D．6【分析】根據(jù)一線(xiàn)三等角模型證明△ABE≌△ECD，可得AB＝EC，即可解答．【解答】解：∵∠ABE＝∠AED＝90°，∴∠A+∠AEB＝90°，∠AEB+∠DEC＝90°，∴∠A＝∠DEC，∵∠ABE＝∠ECD＝90°，AE＝ED，∴△ABE≌△ECD（AAS），∴AB＝CE＝8∵BC＝20，∴BE＝BC﹣CE＝20﹣8＝12，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰直角三角形，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握一線(xiàn)三等角模型是解題的關(guān)鍵．3．（2020秋?襄汾縣期末）如圖所示，已知△ABC和△DCE均是等邊三角形，點(diǎn)B、C、E在同一條直線(xiàn)上，連接AE、BD、FG，AE與BD交于點(diǎn)O，AE與CD交于點(diǎn)G，AC與BD交于點(diǎn)F，則下列結(jié)論中：①AE＝BD；②AG＝BF；③FG∥BE；④CF＝CG，以上結(jié)論正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】首先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，得到BC＝AC，CD＝CE，∠ACB＝∠BCD＝60°，然后由SAS判定△BCD≌△ACE，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可證得①正確；又由全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，得到∠CBD＝∠CAE，根據(jù)ASA，證得△BCF≌△ACG，即可得到②正確，同理證得CF＝CG，得到△CFG是等邊三角形，易得③正確；證出△CFG是等邊三角形，得出FG＝CG．【解答】解：∵△ABC和△DCE均是等邊三角形，∴BC＝AC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝60°，∴∠ACB+∠ACD＝∠ACD+∠ECD，∠ACD＝60°，∴∠BCD＝∠ACE，在△BCD與△ACE中，，∴△BCD≌△ACE（SAS），∴AE＝BD，（①正確）∠CBD＝∠CAE，∵∠BCA＝∠ACG＝60°，在△BCF與△ACG中，，∴△BCF≌△ACG（ASA），∴AG＝BF，（②正確）；同理：△DFC≌△EGC（ASA），∴CF＝CG，∴△CFG是等邊三角形，∴∠CFG＝∠FCB＝60°，∴FG∥BE，（③正確）．∵∠ACG＝60°，∴△CFG是等邊三角形，∴FG＝CG，故④正確；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)與全等三角形的判定與性質(zhì)．此題圖形比較復(fù)雜，解題的關(guān)鍵是仔細(xì)識(shí)圖，合理應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想．4．（2021秋?龍灣區(qū)期中）如圖，OA⊥OB，OB＝4，P是射線(xiàn)OA上一動(dòng)點(diǎn)，連接BP，以B為直角頂點(diǎn)向上作等腰直角三角形，在OA上取一點(diǎn)D，使∠CDO＝45°，當(dāng)P在射線(xiàn)OA上自O(shè)向A運(yùn)動(dòng)時(shí)，PD的長(zhǎng)度的變化（）A．一直增大 B．一直減小 C．先增大后減小 D．保持不變【分析】過(guò)點(diǎn)C作CH⊥OB于H，CG⊥OA于G，利用SAS證明△OBP≌△HCB，得OB＝CH＝4，OP＝HB，即可解決問(wèn)題．【解答】解：過(guò)點(diǎn)C作CH⊥OB于H，CG⊥OA于G，∵△CBP是等腰直角三角形，∴BC＝BP，∠CBP＝90°，∴∠HBC+∠OBP＝90°，∵∠CBH+∠HCB＝90°，∴∠OBP＝∠HCB，在△OBP和△HCB中，，∴△OBP≌△HCB（AAS），∴OB＝CH＝4，OP＝HB，∵∠ODC＝45°，CG⊥OD，∴△GCD是等腰直角三角形，∴CG＝DG，∴PD＝GD﹣PG＝CG﹣（OP﹣4）＝4+OP﹣（OP﹣4）＝8，∴PD的長(zhǎng)度保持不變，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．5．（2021秋?德州期中）如圖，A、C、E三點(diǎn)在向一直線(xiàn)上，△ABC、△CDE都是等邊三角形，連接AD，BE，OC，則有以下四個(gè)結(jié)論：①△ACD≌△BCE；②△CPQ是等邊三角形；③OC平分∠AOE；④△BPO≌△EDO．其中正確的是（）A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④【分析】通過(guò)全等三角形的性質(zhì)和判定求解．【解答】解：∵△ABC、△CDE都是等邊三角形．∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°．∴∠ACD＝∠BCE＝120°．∠BCQ＝60°．∴△ACD≌△BCE．故①正確．由①知△ACD≌△BCE．∴∠CAP＝∠CBQ．∵∠ACP＝∠BCQ＝60°，AC＝BC．∴△ACP≌△BCQ．∴CP＝CQ．∵∠BCQ＝60°．∴△BCQ是等邊三角形．故②正確．由①知△ACD≌△BCE．∴∠CAP＝∠CBQ．∵∠BOE是△AOB的外角．∴∠BOE＝∠BAP+∠ABO＝∠BAP+∠ABC+∠CBQ＝∠BAP+∠ABC+∠CAP＝∠BAC+∠BAC＝120°．∵∠PCQ＝60°．∴∠POQ+∠PCQ＝180°．∴點(diǎn)P，O，Q，C四點(diǎn)共圓．∵CP＝CQ．∴∠POC＝∠COQ．∴CO平分∠AOE．故③正確．△BPO與△EDO中無(wú)法確定邊相等，故不能確定它們?nèi)?，故④錯(cuò)誤．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等邊三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，觀察圖形，充分利用等邊三角形的性質(zhì)證明三角形全等是求解本題的關(guān)鍵．二．填空題（共4小題）6．（2021秋?邗江區(qū)期末）如圖，小虎用10塊高度都是3cm的相同長(zhǎng)方體小木塊，壘了兩堵與地面垂直的木墻，木墻之間剛好可以放進(jìn)一個(gè)等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），點(diǎn)C在DE上，點(diǎn)A和B分別與木墻的頂端重合，則兩堵木墻之間的距離為30cm．【分析】根據(jù)題意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，進(jìn)而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根據(jù)等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再證明△ADC≌△CEB即可，利用全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行解答．【解答】解：由題意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，∴∠BCE＝∠DAC，在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS）；由題意得：AD＝EC＝9cm，DC＝BE＝21cm，∴DE＝DC+CE＝30（cm），答：兩堵木墻之間的距離為30cm．故答案為：30．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了全等三角形的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確找出證明三角形全等的條件．7．（2021秋?蘇州期末）勾股定理有著悠久的歷史，它曾引起很多人的興趣．1955年希臘發(fā)行了以勾股定理為背景的郵票．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝3，AB＝4．分別以AB，AC，BC為邊向外作正方形ABMN，正方形ACKL，正方形BCDE，并按如圖所示作長(zhǎng)方形HFPQ，延長(zhǎng)BC交PQ于G．則長(zhǎng)方形CDPG的面積為12．【分析】如圖，過(guò)點(diǎn)A作AA'⊥BC于A'，先根據(jù)面積法可得AA'的長(zhǎng)，證明△AA'C≌△CGK（AAS），可得CG＝AA'＝，最后根據(jù)長(zhǎng)方形的面積公式可計(jì)算其答案．【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AA'⊥BC于A'，∵∠BAC＝90°，AC＝3，AB＝4，∴BC＝5，∵S△ABC＝AB?AC＝BC?AA'，∴＝，∴AA'＝，∵四邊形ACKL是正方形，∴AC＝CK，∠ACK＝90°，∴∠ACA'+∠KCG＝∠ACA'+∠CAA'＝90°，∴∠KCG＝∠CAA'，在△AA'C和△CGK中，，∴△AA'C≌△CGK（AAS），∴CG＝AA'＝，∴長(zhǎng)方形CDPG的面積＝CD?CG＝5×＝12．故答案為：12．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理和三角形全等的性質(zhì)和判定，正確作輔助線(xiàn)構(gòu)建三角形全等是本題的關(guān)鍵．8．（2022秋?靖江市月考）如圖，在△ABC中，∠ACB為鈍角，把邊AC繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得AD，把邊BC繞點(diǎn)B沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得BE，作DM⊥AB于點(diǎn)M，EN⊥AB于點(diǎn)N，若AB＝5，EN＝2，則DM＝3．【分析】過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AB于點(diǎn)F，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AD＝AC，BE＝BC，利用“一線(xiàn)三等角“證得∠D＝∠CAF，從而可判定△DAM≌△ACF（AAS），則DM＝AF．同理可證，△BFC≌△ENB（AAS），則BF＝EN＝2，再由AB＝5，可得AF，即DM的值．【解答】解：過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AB于點(diǎn)F，如圖所示：∵旋轉(zhuǎn)，∴AD＝AC，BE＝BC，∵DM⊥AB于點(diǎn)M，EN⊥AB于點(diǎn)N，CF⊥AB于點(diǎn)F，∴∠AMD＝∠AFC＝∠BFC＝∠BNE＝90°，∴∠D+∠DAM＝90°，∵∠CAD＝90°，∴∠CAF+∠DAM＝90°，∴∠D＝∠CAF，∴在△DAM和△ACF中，，∴△DAM≌△ACF（AAS），∴DM＝AF．同理可證，△BFC≌△ENB（AAS），∴BF＝EN＝2，∵AB＝5，∴AF＝3，∴DM＝3．故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，正確作出輔助線(xiàn)構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．9．（2021秋?江陰市校級(jí)月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以A（2，0）、B（0，t）為頂點(diǎn)作等腰直角△ABC（其中∠ABC＝90°，且點(diǎn)C落在第一象限內(nèi)），則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（t，2+t）（用t的代數(shù)式表示）．【分析】過(guò)點(diǎn)C作CE⊥y軸，垂足為E，根據(jù)垂直定義可得∠CEB＝90°，從而可得∠ECB+∠EBC＝90°，再根據(jù)平角定義可得∠EBC+∠ABO＝90°，從而可得∠ECB＝∠ABO，然后利用AAS證明△CEB≌△BOA，從而可得CE＝BO＝t，EB＝AO＝2，進(jìn)而可得OE＝2+t，即可解答．【解答】解：過(guò)點(diǎn)C作CE⊥y軸，垂足為E，∴∠CEB＝90°，∴∠ECB+∠EBC＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠EBC+∠ABO＝180°﹣∠ABC＝90°，∴∠ECB＝∠ABO，∵A（2，0）、B（0，t），∴OA＝2，BO＝t，∵∠CEB＝∠AOB＝90°，AB＝BC，∴△CEB≌△BOA（AAS），∴CE＝BO＝t，EB＝AO＝2，∴OE＝EB+OB＝2+t，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（t，2+t），故答案為：（t，2+t）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握一線(xiàn)三等角構(gòu)造全等模型是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共15小題）10．（2022秋?大豐區(qū)月考）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，AD＝2.5cm，DE＝1.7cm，求BE的長(zhǎng)．【分析】先證明△ACD≌△CBE，再求出EC的長(zhǎng)，解決問(wèn)題．【解答】解：∵BE⊥CE于E，AD⊥CE于D∴∠E＝∠ADC＝90°∵∠BCE+∠ACE＝∠DAC+∠ACE＝90°∴∠BCE＝∠DAC∵AC＝BC∴△ACD≌△CBE∴CE＝AD，BE＝CD＝2.5﹣1.7＝0.8（cm）．【點(diǎn)評(píng)】三角形全等的判定是中考的熱點(diǎn)，一般以考查三角形全等的方法為主，判定兩個(gè)三角形全等，先根據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定三角形，然后再根據(jù)三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件．再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題．11．（2022秋?沭陽(yáng)縣月考）已知：如圖，AB⊥BD，ED⊥BD，C是BD上的一點(diǎn)，AC⊥CE，AB＝CD，求證：BC＝DE．【分析】根據(jù)直角三角形全等的判定方法，ASA即可判定三角形全等．【解答】證明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE（已知）∴∠ACE＝∠B＝∠D＝90°（垂直的意義）∵∠BCA+∠DCE+∠ACE＝180°（平角的意義）∠ACE＝90°（已證）∴∠BCA+∠DCE＝90°（等式性質(zhì)）∵∠BCA+∠A+∠B＝180°（三角形內(nèi)角和等于180°）∠B＝90°（已證）∴∠BCA+∠A＝90°（等式性質(zhì)）∴∠DCE＝∠A（同角的余角相等）在△ABC和△CDE中，，∴△ABC≌△CDE（ASA）∴BC＝DE．（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)；熟練掌握三角形全等的判定定理是解題的關(guān)鍵．12．（2021秋?沭陽(yáng)縣校級(jí)月考）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線(xiàn)MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）當(dāng)直線(xiàn)MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，求證：△ADC≌△CEB；（2）當(dāng)直線(xiàn)MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，試問(wèn)DE、AD、BE的等量關(guān)系？并說(shuō)明理由．【分析】（1）根據(jù)同角的余角相等得到∠ACD＝∠BCE，由“AAS”可證△ADC≌△CEB；（2）由“AAS”可證△ADC≌△CEB，可得AD＝CE，CD＝BE，可得結(jié)論．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∵BE⊥MN，∴∠CBE+∠BCE＝90°，∴∠ACD＝∠CBE，在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS）；（3）DE＝AD﹣BE，理由如下：∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∵AD⊥MN，∴∠ACD+∠DAC＝90°，∴∠DAC＝∠BCE，在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS），∴AD＝CE，CD＝BE，∴DE＝CE﹣CD＝AD﹣BE．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，靈活運(yùn)用全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵，解答時(shí)，注意類(lèi)比思想的應(yīng)用．13．（2020秋?濱?？h月考）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BD⊥CE，AE⊥CE，垂足分別為D、E，猜想圖中線(xiàn)段DE、AE、DB之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由．【分析】通過(guò)證明Rt△AEC≌Rt△CDB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，結(jié)合邊與邊的關(guān)系即可得到圖中線(xiàn)段DE、AE、DB之間的關(guān)系．【解答】解：DE+AE＝DB（2分）說(shuō)理（7分）∵∠ACB＝90°，BD⊥CE∴∠ACE+∠ECB＝90°，∠ECB+∠CBD＝90°∴∠ACE＝∠CBD（1分）又∵AE⊥CE∴∠AEC＝90°在Rt△AEC和Rt△CDB中AC＝BC，∠AEC＝∠CDB＝90°，∠ACE＝∠CBD（2分）∴Rt△AEC≌Rt△CDB（3分）∴AE＝CD，EC＝DB（5分）又∵DE+DC＝EC∴DE+AE＝DB．（7分）【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是證明Rt△AEC≌Rt△CDB．14．（2022秋?嘉峪關(guān)期末）如圖所示，工人趙師傅用10塊高度都是1.5m的相同長(zhǎng)方體新型建筑材料，壘了兩堵與地面垂直的墻ABCD和EFGH，點(diǎn)P在BE上，已知AP＝PF，∠APF＝90°．（1）求證：△ABP≌△PEF；（2）求BE的長(zhǎng)．【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定定理AAS證得結(jié)論；（2）利用（1）中全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到：BP＝EF＝10.5m，AB＝PE＝4.5m，則BE＝BO+PE．【解答】（1）證明：∵∠ABP＝∠FEP＝90°，∠APF＝90°，∴∠APB＝∠PFE（同角的余角相等）．在△ABP與△PEF中，，∴△ABP≌△PEF；（2）由題意知，AB＝1.5×3＝4.5（m），EF＝7×1.5＝10.5（m）．由（1）知，△ABP≌△PEF，∴BP＝EF＝10.5m，AB＝PE＝4.5m，∴BE＝BP+PE＝15m．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了全等三角形的應(yīng)用，用全等尋找下一個(gè)全等三角形的條件，全等的性質(zhì)和判定往往是綜合在一起應(yīng)用的，這需要認(rèn)真分析題目的已知和求證，分清問(wèn)題中已知的線(xiàn)段和角與所證明的線(xiàn)段或角之間的聯(lián)系．15．（2022秋?新鄉(xiāng)期末）已知在平面直角坐標(biāo)系中，A（4，0），B（0，3），以線(xiàn)段AB為直角邊在第一象限內(nèi)作等腰直角三角形ABC，AB＝AC，∠BAC＝90°．求點(diǎn)C坐標(biāo)．【分析】由∠AOB＝90°，AB＝AC，∠BAC＝90°，想到作CD⊥x軸于點(diǎn)D，構(gòu)造“一線(xiàn)三直角”模型，證明△CDA≌△AOB，得DC＝OA＝4，DA＝OB＝3，則OD＝7，即可求得C（7，4）．【解答】解：作CD⊥x軸于點(diǎn)D，則∠CDA＝∠AOB＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠DAC＝∠OBA＝90°﹣∠OAB，在△CDA和△AOB中，，∴△CDA≌△AOB（AAS），∵A（4，0），B（0，3），∴DC＝OA＝4，DA＝OB＝3，∴OD＝OA+DA＝4+3＝7，∴C（7，4）．【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查圖形與坐標(biāo)、同角的余角相等、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，證明△CDA≌△AOB是解題的關(guān)鍵．16．（2022秋?長(zhǎng)沙縣期末）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，過(guò)點(diǎn)C作直線(xiàn)MN，AM⊥MN于點(diǎn)M，BN⊥MN于點(diǎn)N．（1）若MN在△ABC外（如圖1），求證：MN＝AM+BN；（2）若MN與線(xiàn)段AB相交（如圖2），且AM＝2.6，BN＝1.1，則MN＝1.5．【分析】（1）利用互余關(guān)系證∠MAC＝∠NCB，再證△AMC≌△CNB（AAS），得到AM＝CN，MC＝BN，即可得出結(jié)論；（2）類(lèi)似于（1）可證△ACM≌△CBN（AAS），得AM＝CN＝2.6，CM＝BN＝1.1，即可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：∵AM⊥MN，BN⊥MN，∴∠AMC＝∠CNB＝90°．∵∠ACB＝90°，∠AMC＝90°，∴∠MAC+∠ACM＝90°，∠NCB+∠ACM＝90°，∴∠MAC＝∠NCB．在△AMC和△CNB中，，∴△AMC≌△CNB（AAS），∴AM＝CN，MC＝NB．∵M(jìn)N＝NC+CM，∴MN＝AM+BN．（2）解：∵AM⊥MN于M，BN⊥MN，∴∠AMC＝∠CNB＝90°，∴∠MAC+∠ACM＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACM+∠NCB＝90°，∴∠MAC＝∠NCB，在△ACM和△CBN中，，∴△ACM≌△CBN（AAS），∴AM＝CN＝2.6，CM＝BN＝1.1，∴MN＝CN﹣CM＝2.6﹣1.1＝1.5，故答案為：1.5．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．17．（2022秋?秦淮區(qū)校級(jí)月考）已知，在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三點(diǎn)都在直線(xiàn)m上，且DE＝9cm，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC（1）如圖①，若AB⊥AC，則BD與AE的數(shù)量關(guān)系為BD＝AE，CE與AD的數(shù)量關(guān)系為CE＝AD；（2）如圖②，判斷并說(shuō)明線(xiàn)段BD，CE與DE的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖③，若只保持∠BDA＝∠AEC，BD＝EF＝7cm，點(diǎn)A在線(xiàn)段DE上以2cm/s的速度由點(diǎn)D向點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)C在線(xiàn)段EF上以xcm/s的速度由點(diǎn)E向點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)，它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）．是否存在x，使得△ABD與△EAC全等？若存在，求出相應(yīng)的t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）利用平角的定義和三角形內(nèi)角和定理得∠CAE＝∠ABD，再利用AAS證明△ABD≌△CAE，得BD＝AE，CE＝AD；（2）由（1）同理可得△ABD≌△CAE，得BD＝AE，CE＝AD，可得答案；（3）分△DAB≌△ECA或△DAB≌△EAC兩種情形，分別根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可解決問(wèn)題．【解答】解：（1）∵∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，∴∠BAD+∠CAE＝∠BAD+∠ABD，∴∠CAE＝∠ABD，∵∠BDA＝∠AEC，BA＝CA，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴BD＝AE，CE＝AD，故答案為：BD＝AE，CE＝AD；（2）DE＝BD+CE，由（1）同理可得△ABD≌△CAE（AAS），∴BD＝AE，CE＝AD，∴DE＝BD+CE；（3）存在，當(dāng)△DAB≌△ECA時(shí)，∴AD＝CE＝2cm，BD＝AE＝7cm，∴t＝1，此時(shí)x＝2；當(dāng)△DAB≌△EAC時(shí)，∴AD＝AE＝4.5cm，DB＝EC＝7cm，∴t＝，x＝7÷＝，綜上：t＝1，x＝2或t＝，x＝．【點(diǎn)評(píng)】本題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握一線(xiàn)三等角基本模型是解題的關(guān)鍵，同時(shí)滲透了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想．18．（2022秋?灌云縣月考）在直線(xiàn)m上依次取互不重合的三個(gè)點(diǎn)D，A，E，在直線(xiàn)m上方有AB＝AC，且滿(mǎn)足∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α．（1）如圖1，當(dāng)α＝90°時(shí)，猜想線(xiàn)段DE，BD，CE之間的數(shù)量關(guān)系是DE＝BD+CE；（2）如圖2，當(dāng)0＜α＜180時(shí)，問(wèn)題（1）中結(jié)論是否仍然成立？如成立，請(qǐng)你給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）拓展與應(yīng)用：如圖3，當(dāng)α＝120°時(shí)，點(diǎn)F為∠BAC平分線(xiàn)上的一點(diǎn)，且AB＝AF，分別連接FB，F(xiàn)D，F(xiàn)E，F(xiàn)C，試判斷△DEF的形狀，并說(shuō)明理由．【分析】（1）由∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°得到∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝90°，進(jìn)而得到∠DBA＝∠EAC，然后結(jié)合AB＝AC得證△DBA≌△EAC，最后得到DE＝BD+CE；（2）由∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝α得到∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝180°﹣α，進(jìn)而得到∠DBA＝∠EAC，然后結(jié)合AB＝AC得證△DBA≌△EAC，最后得到DE＝BD+CE；（3）先由α＝120°和AF平分∠BAC得到∠BAF＝∠CAF＝60°，然后結(jié)合AB＝AF＝AC得到△ABF和△ACF是等邊三角形，然后得到FA＝FC、∠FCA＝∠FAB＝60°，然后結(jié)合△BDA≌△EAC得到∠BAD＝∠ACE、AD＝CE，從而得到∠FAD＝∠FCE，故可證△FAD≌△FCE，從而得到DF＝EF、∠DFA＝∠EFC，最后得到∠DFE＝∠DFA+∠AFE＝∠EFC+∠AFE＝60°，即可得證△DEF是等邊三角形．【解答】解：（1）DE＝BD+CE，理由如下，∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°，∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝90°，∴∠DBA＝∠EAC，∵AB＝AC，∴△DBA≌△EAC（AAS），∴AD＝CE，BD＝AE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE，故答案為：DE＝BD+CE．（2）DE＝BD+CE仍然成立，理由如下，∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝α，∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝180°﹣α，∴∠DBA＝∠EAC，∵AB＝AC，∴△DBA≌△EAC（AAS），∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE；（3）△DEF是等邊三角形，理由如下，∵α＝120°，AF平分∠BAC，∴∠BAF＝∠CAF＝60°，∵AB＝AF＝AC，∴△ABF和△ACF是等邊三角形，∴FA＝FC，∠FCA＝∠FAB＝∠AFC＝60°，同（2）可得，△BDA≌△AEC，∴∠BAD＝∠ACE，AD＝CE，∴∠FAD＝∠FCE，∴△FAD≌△FCE（SAS），∴DF＝EF，∠DFA＝∠EFC，∴∠DFE＝∠DFA+∠AFE＝∠EFC+∠AFE＝∠AFC＝60°，∴△DEF是等邊三角形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用一線(xiàn)三等角模型證明三角形全等．19．（2021秋?東臺(tái)市月考）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線(xiàn)MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且AD⊥MN，BE⊥MN，垂足分別為點(diǎn)D，E．求證：DE＝AD+BE．【分析】根據(jù)垂直定義求出∠BEC＝∠ACB＝∠ADC，根據(jù)等式性質(zhì)求出∠ACD＝∠CBE，根據(jù)AAS證出△ADC和△CEB全等，可推出CD＝BE，AD＝CE，進(jìn)而可證明DE＝AD+BE．【解答】證明：如圖，∵∠ACB＝90°，AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠BEC＝∠ACB＝∠ADC＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，∴∠ACD＝∠CBE，在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS）；∴BE＝CD，AD＝CE，∵CD+CE＝DE，∴DE＝AD+BE．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，垂線(xiàn)的定義等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是推出證明△ADC和△CEB全等的三個(gè)條件．20．（2021秋?沭陽(yáng)縣校級(jí)月考）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線(xiàn)MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）當(dāng)直線(xiàn)MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)①請(qǐng)說(shuō)明△ADC≌△CEB的理由；②請(qǐng)說(shuō)明DE＝AD+BE的理由；（2）當(dāng)直線(xiàn)MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)直接在橫線(xiàn)上寫(xiě)出這個(gè)等量關(guān)系：DE＝AD﹣BE（3）當(dāng)直線(xiàn)MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)直接在橫線(xiàn)上寫(xiě)出這個(gè)等量關(guān)系：DE＝BE﹣AD．【分析】（1）①由已知推出∠ADC＝∠BEC＝90°，因?yàn)椤螦CD+∠BCE＝90°，∠DAC+∠ACD＝90°，推出∠DAC＝∠BCE，根據(jù)AAS即可得到答案；②由①得到AD＝CE，CD＝BE，即可求出答案；（2）結(jié)論：DE＝AD﹣BE．與（1）證法類(lèi)似可證出∠ACD＝∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD＝CE，CD＝BE，代入已知即可得到答案．（3）結(jié)論：DE＝BE﹣AD．證明方法類(lèi)似．【解答】解：（1）①證明：如圖1中，∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC＝∠BEC＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠DAC+∠ACD＝90°，∴∠DAC＝∠BCE，在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS）．②證明：由（1）知：△ADC≌△CEB，∴AD＝CE，CD＝BE，∵DC+CE＝DE，∴AD+BE＝DE．（2）結(jié)論：DE＝AD﹣BE．理由：如圖2中，∵BE⊥EC，AD⊥CE，∴∠ADC＝∠BEC＝90°，∴∠EBC+∠ECB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ECB+∠ACE＝90°，∴∠ACD＝∠EBC，在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS），∴AD＝CE，CD＝BE，∴DE＝EC﹣CD＝AD﹣BE．（3）結(jié)論：DE＝BE﹣AD．理由如下：如圖3中，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC＝∠CED＝90°，∴∠ACD+∠DAC＝90°，∴∠DAC＝∠ECB，在△ACD和△CBE中，，∴△ACD≌△CBE（AAS），∴AD＝CE，CD＝BE，∴DE＝CD﹣CE＝BE﹣AD．故答案為DE＝AD﹣BE，DE＝BE﹣AD．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了鄰補(bǔ)角的意義，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)，能根據(jù)已知證出符合全等的條件是解此題的關(guān)鍵，題型較好，綜合性比較強(qiáng)．21．（2020秋?灌南縣校級(jí)月考）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線(xiàn)MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）當(dāng)直線(xiàn)MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，求證：①△ADC≌△CEB；②DE＝AD+BE；（2）當(dāng)直線(xiàn)MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，直接寫(xiě)出DE、AD、BE的關(guān)系為：DE＝AD﹣BE（3）當(dāng)直線(xiàn)MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，試問(wèn)DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出這個(gè)等量關(guān)系，并加以證明．【分析】（1）由∠ACB＝90°，得∠ACD+∠BCE＝90°，而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，則∠ADC＝∠CEB＝90°，根據(jù)等角的余角相等得到∠ACD＝∠CBE，易得Rt△ADC≌Rt△CEB，所以AD＝CE，DC＝BE，即可得到DE＝DC+CE＝BE+AD．（2）根據(jù)等角的余角相等得到∠ACD＝∠CBE，易得△ADC≌△CEB，得到AD＝CE，DC＝BE，所以DE＝CE﹣CD＝AD﹣BE．（3）DE、AD、BE具有的等量關(guān)系為：DE＝BE﹣AD．證明的方法與（2）相同．【解答】（1）證明：∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，∴∠ACD＝∠CBE．在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB，∴AD＝CE，DC＝BE，∴DE＝DC+CE＝BE+AD；（2）DE＝AD﹣BE，在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB，∴AD＝CE，DC＝BE，∴DE＝CE﹣CD＝AD﹣BE；故答案為：DE＝AD﹣BE（3）DE＝BE﹣AD．易證得△ADC≌△CEB，∴AD＝CE，DC＝BE，∴DE＝CD﹣CE＝BE﹣AD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線(xiàn)段所夾的角等于旋轉(zhuǎn)角．也考查了直角三角形全等的判定與性質(zhì)．22．（2022秋?東臺(tái)市月考）【一線(xiàn)三等角模型】如圖1：點(diǎn)A、B、C在一條直線(xiàn)上，∠A＝∠DBE＝∠C，當(dāng)BD＝BE時(shí)，有△ABD≌△CEB．理由：∵∠A＝∠DBE，∴∠D+∠DBA＝180°﹣∠A，∠DBA+∠CBE＝180°﹣∠DBE，∴∠D＝∠CBE﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣請(qǐng)將全等證明過(guò)程補(bǔ)充完整．【模型運(yùn)用】如圖2：∠ABC＝∠CAD＝90°，AB＝4，AC＝AD，求△BAD的面積；【能力提升】如圖3：在等邊△DEF中，A，C分別為DE、DF邊上的動(dòng)點(diǎn)，AE＝2CD，連接AC，以AC為邊在△DEF內(nèi)作等邊△ABC，連接BF，當(dāng)點(diǎn)A從點(diǎn)E向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)D重合）時(shí)，∠CFB的度數(shù)變化嗎？如不變請(qǐng)求出它的度數(shù)，如變化，請(qǐng)說(shuō)明它是怎樣變化的？【分析】【一線(xiàn)三等角模型】如圖1：根據(jù)AAS證明三角形全等即可；【模型運(yùn)用】如圖2：過(guò)點(diǎn)D作DT⊥BA交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)T．構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題即可；【能力提升】∠CFB＝30°不變．如圖3中，在CF上取一點(diǎn)N，使得FN＝DC．證明△ADC≌△CNB（SAS），推出BN＝CD，∠D＝∠BNC＝60°，可得結(jié)論．【解答】【一線(xiàn)三等角模型】證明：如圖1：∵∠A＝∠DBE，∴∠D+∠DBA＝180°﹣∠A，∠DBA+∠CBE＝180°﹣∠DBE，∴∠D＝∠CBE，在△ABD和△CEB中，，∴△ABD≌△CEB（AAS）；【模型運(yùn)用】解：如圖2：過(guò)點(diǎn)D作DT⊥BA交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)T．同法可證△ATD≌△CBA（AAS），∴DT＝AB＝4，∴S△ABD＝×AB×DT＝×4×4＝8；【能力提升】解：∠CFB＝30°不變．理由：如圖3中，在CF上取一點(diǎn)N，使得FN＝DC．∵△ABC，△DEF都是等邊三角形，∴∠D＝∠ACB＝60°，DA＝DF，CA＝CB，∵AE＝2CD，CD＝FN，∴DA＝CN，∵∠ACN＝∠ACB+∠BCN＝∠D+∠CAD，∴∠BCN＝∠DAC，在△ADC和△CNB中，，∴△ADC≌△CNB（SAS），∴BN＝CD，∠D＝∠BNC＝60°，∵NF＝CD，∴NB＝NF，∴∠NBF＝∠NFB，∵∠BNC＝∠NBF+∠NFB＝60°，∴∠NFB＝∠NBF＝30°，∴∠CFB＝30°．【點(diǎn)評(píng)】本題屬于三角形綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線(xiàn)，構(gòu)造一線(xiàn)三等角模型，利用全等三角形解決問(wèn)題．23．（2022秋?烏魯木齊期末）如圖，平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)B（﹣2，0），點(diǎn)A（0，5），以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)在第二象限內(nèi)作等腰直角三角形ABC，過(guò)點(diǎn)C作CE垂直于y軸，垂足為點(diǎn)E，（1）證明：△ABO≌△CAE，并求點(diǎn)C的坐標(biāo)．（2）在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)P（不與點(diǎn)C重合），使△PAB與△ABC全等？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）證明△ABO≌△CAE（AAS），可得AO＝CE＝5，OB＝AE＝2，進(jìn)而可得點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）分3種情況畫(huà)圖，根據(jù)等腰直角三角形和全等三角形的判定與性質(zhì)可得點(diǎn)P的坐標(biāo)．【解答】（1）證明：根據(jù)題意可得：OA＝5，OB＝2，∵△ABC為等腰直角三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠OAB+∠CAE＝90°，∵CE⊥y軸，∴∠CEA＝90°，即∠CEA+∠ECA＝90°，∴∠OAB＝∠ECA，在△ABO和△CAE中，，∴△ABO≌△CAE（AAS），∴AO＝CE＝5，OB＝AE＝2，∴OE＝OA+AE＝7，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣5，7）；（2）解：①如圖1所示，延長(zhǎng)CA至點(diǎn)P，使AP＝AC，連接BP，根據(jù)題意可得，∠BAC＝∠BAP＝90°，在△PAB和△CAB中，，∴△PAB≌△CAB（SAS），此時(shí)點(diǎn)A為CP的中點(diǎn)，且A（0，5），C（﹣5，7），∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5，3）；②如圖2，∵△ABC是等腰直角三角形，△PAB≌△CAB，∴點(diǎn)A關(guān)于BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P，如圖2，連接CP，∴四邊形ABPC是正方形，∴AP與BC互相垂直平分，∵B（﹣2，0），C（﹣5，7），∴Q（﹣，），∵A（0，5），∴P（﹣7，2）；如圖2，當(dāng)△P′AB≌△PAB≌△CAB時(shí)，P′B＝PB，∵P（﹣7，2），B（﹣2，0），∴P′（3，﹣2），綜上所述：點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5，3）或（﹣7，2）或（3，﹣2）．【點(diǎn)評(píng)】本題是幾何變換綜合題，考查了正方形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，中點(diǎn)公式，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．24．（2022秋?榆樹(shù)市期末）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線(xiàn)MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）當(dāng)直線(xiàn)MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖（1）的位置時(shí)，求證：①△ADC≌△CEB；②DE＝AD+BE；（2）當(dāng)直線(xiàn)MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖（2）的位置時(shí)，求證：DE＝AD﹣BE；（3）當(dāng)直線(xiàn)MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖（3）的位置時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出DE，AD，BE之間的等量關(guān)系．【分析】（1）①根據(jù)AD⊥MN，BE⊥MN，∠ACB＝90°，得出∠CAD＝∠BCE，再根據(jù)AAS即可判定△ADC≌△CEB；②根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，即可得出CE＝AD，CD＝BE，進(jìn)而得到DE＝CE+CD＝AD+BE；（2）先根據(jù)AD⊥MN，BE⊥MN，得到∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°，進(jìn)而得出∠CAD＝∠BCE，再根據(jù)AAS即可判定△ADC≌△CEB，進(jìn)而得到CE＝AD，CD＝BE，最后得出DE＝CE﹣CD＝AD﹣BE；（3）運(yùn)用（2）中的方法即可得出DE，AD，BE之間的等量關(guān)系是：DE＝BE﹣AD．【解答】解：（1）①∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC＝∠ACB＝90°＝∠CEB，∴∠CAD+∠ACD＝90°，∠BCE+∠ACD＝90°，∴∠CAD＝∠BCE，∵在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS）；②∵△ADC≌△CEB，∴CE＝AD，CD＝BE，∴DE＝CE+CD＝AD+BE；（2）證明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°，∴∠CAD＝∠BCE，∵在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS）；∴CE＝AD，CD＝BE，∴DE＝CE﹣CD＝AD﹣BE；（3）當(dāng)MN旋轉(zhuǎn)到題圖（3）的位置時(shí)，AD，DE，BE所滿(mǎn)足的等量關(guān)系是：DE＝BE﹣AD．理由如下：∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°，∴∠CAD＝∠BCE，∵在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS），∴CE＝AD，CD＝BE，∴DE＝CD﹣CE＝BE﹣AD．【點(diǎn)評(píng)】本題屬于三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解題時(shí)注意：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，同角的余角相等，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)線(xiàn)段的和差關(guān)系進(jìn)行推導(dǎo)，得出結(jié)論．一、單選題1．（2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝9，點(diǎn)E在邊AC上，AE的中垂線(xiàn)交BC于點(diǎn)D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，則CE等于（）A．3 B．2 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠B＝∠C，推出∠BAD＝∠CDE，根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)得到AD＝ED，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CD＝AB＝9，BD＝CE，即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵AB＝AC＝9，∴∠B＝∠C，∵∠ADE＝∠B，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB，∴∠BAD＝∠CDE，∵AE的中垂線(xiàn)交BC于點(diǎn)D，∴AD＝ED，在△ABD與△DCE中，，∴△ABD≌△DCE（AAS），∴CD＝AB＝9，BD＝CE，∵CD＝3BD，∴CE＝BD＝3故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．2．（2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）一天課間，頑皮的小明同學(xué)拿著老師的等腰直角三角板玩，不小心將三角板掉到兩根柱子之間，如圖所示，這一幕恰巧被數(shù)學(xué)老師看見(jiàn)了，于是有了下面這道題：如果每塊磚的厚度a＝8cm，則DE的長(zhǎng)為（

）A．40cm B．48cm C．56cm D．64cm【答案】C【詳解】由等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠ACB＝90°，AC＝CB，因此可以考慮證明△ACD和△CBE全等，可以證明DE的長(zhǎng)為7塊磚的厚度的和．【分析】解：由題意得∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°，AC＝CB，∴∠ACD＝90°﹣∠BCE＝∠CBE，在△ACD和△CBE中，，∴△ACD≌△CBE（AAS），∴CD＝BE＝3a，AD＝CE＝4a，∴DE＝CD+CE＝3a+4a＝7a，∵a＝8cm，∴7a＝56cm，∴DE＝56cm，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定條件．3．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，AC＝CE，∠ACE＝90°，AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝6cm，DE＝2cm，則BD等于（）A．6cm B．8cm C．10cm D．4cm【答案】B【分析】根據(jù)題意證明即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵AB⊥BD，ED⊥BD，∴，∵∠ACE＝90°，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定定理以及性質(zhì)定理是解本題的關(guān)鍵．4．（2023春·山東日照·八年級(jí)日照市新?tīng)I(yíng)中學(xué)?？计谥校┱n間，小聰拿著老師的等腰直角三角板玩，不小心掉到兩墻之間(如圖)，∠ACB＝90°，AC＝BC，從三角板的刻度可知AB＝20cm，小聰想知道砌墻磚塊的厚度(每塊磚的厚度相等)，下面為砌墻磚塊厚度的平方的是（

）．A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2【答案】A【分析】設(shè)每塊磚的厚度為xcm，則AD=3xcm，BE=2xcm，然后證明△DAC≌△ECB得到CD=BE=2xcm，再利用勾股定理求解即可．【詳解】解：設(shè)每塊磚的厚度為xcm，則AD=3xcm，BE=2xcm，由題意得：∠ACB=∠ADC=∠BEC=90°，∴∠ACD+∠DAC=∠ACD+∠BCE=90°，∴∠DAC=∠ECB，又∵AC=CB，∴△DAC≌△ECB（AAS），∴CD=BE=2xcm，∵，，∴，∴，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定條件．二、填空題5．（2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD⊥DE于點(diǎn)D，BE⊥DE于點(diǎn)E，且點(diǎn)C在DE上，若AD＝5，BE＝8，則DE的長(zhǎng)為_(kāi)____．【答案】13【分析】先根據(jù)AD⊥DE，BE⊥DE，∠ADC=∠CEB=90°，則∠DAC+∠DCA=90°，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，可得AC=CB，推出∠DAC=∠ECB，即可證明△DAC≌△ECB得到CE=AD=5，CD=BE=8，由此求解即可．【詳解】解：∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC=∠CEB=90°，∴∠DAC+∠DCA=90°，∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，∴∠DCA+∠BCE=90°，AC=CB∴∠DAC=∠ECB，∴△DAC≌△ECB（AAS），∴CE=AD=5，CD=BE=8，∴DE=CD+CE=13，故答案為：13．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，垂線(xiàn)的定義，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定條件．6．（2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，直線(xiàn)l1⊥l3，l2⊥l3，垂足分別為P、Q，一塊含有45°的直角三角板的頂點(diǎn)A、B、C分別在直線(xiàn)l1、l2、線(xiàn)段PQ上，點(diǎn)O是斜邊AB的中點(diǎn)，若PQ等于，則OQ的長(zhǎng)等于_____．【答案】【分析】由“AAS”