/2.4圓周角【推本溯源】1.回顧一下圓心角的概念，那圓周角的概念是？圓心角：頂點(diǎn)在；圓周角：頂點(diǎn)在。圓周角的概念：叫做圓周角。圓周角兩個(gè)條件：（1）；（2）。圓心角圓周角區(qū)別聯(lián)系如圖，BC所對的圓周角有：AD所對的圓周角有：2.如圖，∠BOC=90°，那么∠BAC=.根據(jù)求出的角度，判斷∠BOC與∠BAC的數(shù)量關(guān)系。如右圖，∠AOB=2∠ACB嗎？因此，圓周角的度數(shù)等于它所對弧上的的一半。那∠ACB與∠AEB之間什么關(guān)系？因此，同弧或等弧所對的圓周角3.（1）如圖，BC是直徑，圓周角∠BAC為多少度？（2）如圖，圓心角∠BAC=90°，如果連接BC，，BC過圓心嗎？因此，直徑所對的圓周角是，90°的圓周角所對的弦是。4.一個(gè)三角形的3個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，這個(gè)三角形叫圓的內(nèi)接三角形；那一個(gè)四邊形的4個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，這個(gè)四邊形叫？圓的內(nèi)接四邊形定義：叫做圓的內(nèi)接四邊形。如右圖，四邊形ABCD是圓的內(nèi)接四邊形，圓O是四邊形ABCD的外接圓。那在右圖中，∠A與∠C，∠B與∠D之間的關(guān)系是？因此，圓內(nèi)接四邊形的對角。延長BC至點(diǎn)E，∠DCE與∠A之間的關(guān)系是？因此，圓內(nèi)接四邊形的任何一個(gè)外角都它的內(nèi)對角。【解惑】例1：如圖，是直徑，，則為（）A． B． C． D．例2：如圖，四邊形內(nèi)接于為對角線，經(jīng)過圓心．若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．例3：如圖，在菱形中，，P為上一動(dòng)點(diǎn)，于點(diǎn)Q，則的最小值為_______．例4：如圖，點(diǎn)A是中優(yōu)弧的中點(diǎn)，，C為劣弧上一點(diǎn)，則的度數(shù)為______．

例5：如圖，是的直徑，點(diǎn)C，D是上的點(diǎn)，且，分別與，相交于點(diǎn)E，F(xiàn)．(1)求證：點(diǎn)D為弧的中點(diǎn)；(2)若，，求的直徑．【摩拳擦掌】1．（2023·廣西·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)A、B、C在上，，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．2．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，若為直角三角形，則滿足條件的點(diǎn)共有（）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)3．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖，已知四邊形內(nèi)接于，，、的延長線相交于點(diǎn)，為直徑，連接．若，，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．4．（2023·黑龍江佳木斯·統(tǒng)考三模）如圖，是的內(nèi)接三角形，且，直徑是8，則______．5．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六十九中學(xué)校?？既＃┤鐖D，已知是的直徑，是弦，且，則___________．6．（2023春·廣東汕頭·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，，，是上的三點(diǎn)，若是等邊三角形，則的度數(shù)為__________．

7．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖，是的兩條直徑．

(1)判斷四邊形的形狀，并說明理由．(2)若的直徑為8，，求四邊形的周長和面積．8．（2023秋·廣東廣州·九年級?？计谀┤鐖D，A是上一點(diǎn)，是直徑，點(diǎn)D在上且平分．

(1)連接，求證：平分；(2)若，，求的長．9．（2023春·河北衡水·九年級校考階段練習(xí)）如圖，的直徑和弦相交于點(diǎn)E，且B是的中點(diǎn)，連接，.

(1)判斷與是否全等，并說明理由；(2)連接.已知，，，求的長．10．（2023春·廣東惠州·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，弦平行于，交于，，求的度數(shù)．【知不足】1．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖，已知為圓O的直徑，過點(diǎn)D的弦平行于半徑，若角，則角C的度數(shù)是（）A． B． C． D．2．（2023·四川·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的直徑，點(diǎn)C，D在上，連接，若，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．3．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，半徑互相垂直，點(diǎn)在劣弧上．若，則（

）A． B． C． D．4．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖，在直徑為的中，點(diǎn)，在圓上，，若，則的度數(shù)為__．5．（2023·黑龍江·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，是的外接圓，，于點(diǎn)，，則的長為_______．

6．（2023·浙江衢州·三模）如圖，在中，，則的度數(shù)為________．7．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考一模）如圖，為的直徑，C，D是圓周上的兩點(diǎn)，若，則的度數(shù)為______．8．（2023·陜西西安·校考模擬預(yù)測）如圖，已知，請用尺規(guī)作圖法在直線上方確定一點(diǎn)P，連接，使．（不寫作法，保留作圖痕跡）

9．（2023·湖北武漢·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，為圓內(nèi)接四邊形的對角線，且點(diǎn)D為的中點(diǎn)；(1)如圖1，若、直接寫出與的數(shù)量關(guān)系；(2)如圖2、若、平分，，求的長度．10．（2023·安徽·統(tǒng)考中考真題）已知四邊形內(nèi)接于，對角線是的直徑．

(1)如圖1，連接，若，求證；平分；(2)如圖2，為內(nèi)一點(diǎn)，滿足，若，，求弦的長．11．（2023·河南周口·統(tǒng)考二模）如圖，為銳角三角形．

(1)實(shí)踐與操作：以為直徑作，分別交于點(diǎn)（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法，標(biāo)明字母）．(2)猜想與證明：在（1）的條件下，若，試猜想與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【一覽眾山小】1．（2023·湖南長沙·統(tǒng)考三模）如圖，是半圓O的直徑，點(diǎn)D，C是半圓上的三等分點(diǎn)，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．2．（2023·廣東·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的直徑，，則（

）A． B． C． D．3．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖，內(nèi)接于，是的中點(diǎn)，連接，，，若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．4．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖，E為正方形的邊上一點(diǎn)（不與重合），將沿直線翻折到，延長交于點(diǎn)G，點(diǎn)O是過B、E、G三點(diǎn)的圓劣弧上一點(diǎn)，則___________．5．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）已知M是的中點(diǎn)，垂直于弦于P，若弦的長度為x，線段的長度是，那么線段的長度是__．（用含有x的代數(shù)式表示）6.（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖，，，點(diǎn)、分別是線段、射線上的動(dòng)點(diǎn)，以為斜邊向上作等腰，，連接，則的最小值為__．

7．（2023·河南周口·統(tǒng)考二模）如圖①，為半圓的直徑，點(diǎn)在上從點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，將沿弦，翻折，翻折后的中點(diǎn)為，設(shè)點(diǎn)，間的距離為，點(diǎn)，間的距離為，圖②是點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)隨變化的關(guān)系圖象，則的長為______．

8．（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考三模）在正方形中，點(diǎn)分別在邊和上，連接平分．

(1)如圖1，求證：平分；(2)如圖2，連接分別交于，連接，在不添加任何輔助線的情況下，直接寫出圖2中所有的直角三角形（等腰直角三角形除外）．9．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考一模）如圖，點(diǎn)A、、、是上的四個(gè)點(diǎn)，．

(1)判斷的形狀，并證明；(2)若，求．10．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖所示，四邊形是半徑為R的的內(nèi)接四邊形，是的直徑，，直線l與三條線段、、的延長線分別交于點(diǎn)E、F、G．且滿足．

(1)求證：直線直線；(2)若；①求證：；②若，求四邊形的周長．11．（2023·內(nèi)蒙古包頭·?？既＃╅喿x下面材料，完成相應(yīng)的任務(wù)：阿基米德（，公元前287-公元前212年，古希臘）是有史以來最偉大的數(shù)學(xué)家之一，他與牛頓、高斯并稱為三大數(shù)學(xué)王子：《阿基米德全集》收集了已發(fā)現(xiàn)的阿基米德著作，它對于了解古希臘數(shù)學(xué)，研究古希臘數(shù)學(xué)思想以及整個(gè)科技史都是十分寶貴的．其中論述了阿基米德折折弦定理：一個(gè)圓中一條由兩長度不同的弦組成的折弦所對的兩段弧的中點(diǎn)在較長弦上的射影，就是折弦的中點(diǎn)．

(1)定理認(rèn)識：如圖所示，，是圓O的兩條弦（折弦），M是的中點(diǎn)，，垂足為D，求證：____________________．(2)定理證明：“截長補(bǔ)短”是證明線段和差倍分的常用辦法，下面有三位同學(xué)提出了不同的輔助線作法以達(dá)到“截長補(bǔ)短”效果．同學(xué)1：在上截取，同學(xué)2：過點(diǎn)M作的垂線交的延長線于點(diǎn)E，同學(xué)3：利用平行弦夾等弧的正確結(jié)論（本題可直接使用）過點(diǎn)M作的平行弦交于點(diǎn)N．請你參考上述三位同學(xué)輔助線作法并用兩種方法完成證明．12．（2023·浙江·一模）如圖，在中，，以為直徑的圓分別交，于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．若．

(1)求證：．(2)求的長．13．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考二模）在同一個(gè)圓中兩條互相垂直且相等的弦定義為“等垂弦”，如圖①，、是的弦，如果，，垂足為，則、是等垂弦．

(1)如圖②，是的弦，作、，分別交于點(diǎn)、，連接．求證：、是的等垂弦．(2)在圖①中，的半徑為5，為等垂弦、的分割點(diǎn)，．求的長度．14．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六十九中學(xué)校?？寄M預(yù)測）如圖，內(nèi)接于，連接，．

(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，點(diǎn)在上，連接，點(diǎn)是上一點(diǎn)，連接，若，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，延長交于點(diǎn)，連接，若，，，求的長．

2.4圓周角教材知識總結(jié)教材知識總結(jié)圓周角

1.圓周角定義：

像圖中∠AEB、∠ADB、∠ACB這樣的角，它們的頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．2.圓周角定理：

在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．

3.圓周角定理的推論：

半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．

【點(diǎn)撥】（1）圓周角必須滿足兩個(gè)條件：①頂點(diǎn)在圓上；②角的兩邊都和圓相交.

（2）圓周角定理成立的前提條件是在同圓或等圓中.（3）圓心與圓周角存在三種位置關(guān)系：圓心在圓周角的一邊上；圓心在圓周角的內(nèi)部；圓心在圓周角的外部．

圓內(nèi)接四邊形

如果一個(gè)四邊形的各個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)圓上，那么這個(gè)四邊形叫做圓的內(nèi)接四邊形，這個(gè)圓叫做四邊形的外接圓.圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ).圓內(nèi)接四邊形的任意一個(gè)外角等于它的內(nèi)對角（就是和它相鄰的內(nèi)角的對角）.【點(diǎn)撥】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是溝通角相等關(guān)系的重要依據(jù)，在應(yīng)用此性質(zhì)時(shí)，要注意與圓周角定理結(jié)合起來．在應(yīng)用時(shí)要注意是對角，而不是鄰角互補(bǔ)．看例題，漲知識看例題，漲知識【例題1】如圖，，是上的兩點(diǎn)，點(diǎn)在內(nèi)，點(diǎn)在外，，分別交于點(diǎn)，．求證．【答案】見解析【分析】延長BC交于點(diǎn)G，連接AG，BE，根據(jù)圓周角定理以及三角形外角性質(zhì)可得∠ACB=∠CAG+∠AEB，從而得到∠ACB=∠ADB+∠CAG+∠DBE，即可求證．【解析】證明∶如圖，延長BC交于點(diǎn)G，連接AG，BE，∵∠AGB=∠AEB，∠ACB=∠AGB+∠CAG，∴∠ACB=∠CAG+∠AEB，∵∠AEB=∠ADB+∠DBE，∴∠ACB=∠ADB+∠CAG+∠DBE，∵點(diǎn)在內(nèi)，點(diǎn)在外，∴∠CAG＞0°，∠DBE＞0°，∴．【例題2】如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，，∠ABD＝33°，∠ACB＝44°．(1)求∠BAC的度數(shù)．(2)求∠BAD的度數(shù)．【答案】(1)70°；(2)103°【分析】（1）由同圓中，相等的弧所對的圓周角相等，可得∠CBD=∠ABD=33°，從而求得∠ABC=∠CBD+∠ABD=66°，最后在中，運(yùn)用內(nèi)角和定理，可求得∠BAC的度數(shù)．（2）由同圓中，同弧所對的圓周角相等，可得∠DAC＝∠DBC＝33°，結(jié)合（1）的結(jié)論，可求得∠BAD的度數(shù)．【解析】(1)解：∵，∴∠CBD=∠ABD=33°，∴∠ABC=∠CBD+∠ABD=66°，∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-66°-44°=70°；(2)解：∵∠DAC＝∠DBC＝33°，∴∠BAD＝∠BAC+∠DAC＝70°+33°＝103°．【例題3】如圖，在中，，以AC為直徑作⊙O分別交AB、BC于點(diǎn)D、E，連接EO并延長交⊙O于點(diǎn)F，連接AF．(1)求證：；(2)若，求AF的長．【答案】(1)見解析；(2)【分析】（1）根據(jù)，，根據(jù)等邊對等角即可得證；（2）證明四邊形是平行四邊形，連接，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可求得的長．【解析】(1)，，，，，(2)，，，，，，，四邊形是平行四邊形，，連接，是直徑，，，，，．【例題4】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=8，點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)，E為BC上一動(dòng)點(diǎn)，過P點(diǎn)作FP⊥PE交AC于F點(diǎn)，經(jīng)過P、E、F三點(diǎn)確定⊙O．(1)試說明：點(diǎn)C也一定在⊙O上．(2)點(diǎn)E在運(yùn)動(dòng)過程中，∠PFE的度數(shù)是否變化？若不變，求出∠PFE的度數(shù)；若變化，說明理由．(3)求線段EF的取值范圍，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)∠PFE的度數(shù)不變，是45°(3)≤EF≤8．【分析】（1）先根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，先證得EF是直徑，然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，證得點(diǎn)C在圓上即可；（2）根據(jù)線段的垂直平分線的判定，可證得PE=PF，得到∠PCB=45°，進(jìn)而根據(jù)∠PCB=45°以及等弧所對的圓周角相等即可解決問題；（3）根據(jù)E點(diǎn)的移動(dòng)，可知當(dāng)E與C重合時(shí)，EF最長，而當(dāng)EF為△ABC的中位線時(shí)，EF最短，即可求出線段EF的取值范圍.【解析】(1)如圖，連接，∵FP⊥PE，∴∠FPE=90°，∴EF為直徑，∴OP=OE=OF，∵∠C=90°，∴OC=OE=OF，∴點(diǎn)C在⊙O上，(2)連接PC∵AC=BC，∴△ABC是等腰直角三角形，∵點(diǎn)P是AB的中點(diǎn)，∴CP平分∠ACB，∴∠ACP=45°，∵，∴∠BCP=∠PFE=45°，由于∠BCP的度數(shù)不變，∴∠PFE的度數(shù)不會發(fā)生變化,為45°．(3)當(dāng)E與C重合時(shí)，EF最長，此時(shí)EF=AC=8；當(dāng)EF為△ABC的中位線時(shí)，EF最短，根據(jù)勾股定理可得AB=8，根據(jù)三角形的中位線可得EF=4，所以≤EF≤8．課后習(xí)題鞏固一下課后習(xí)題鞏固一下一、單選題1．已知圓內(nèi)接四邊形ABCD中，∠A：∠C＝1：2，則∠A＝（）A．50° B．60° C．100° D．120°【答案】B【分析】設(shè)∠A＝x，則∠C＝2x，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得∠A+∠C＝180°，進(jìn)而問題可求解．【解析】解：設(shè)∠A＝x，則∠C＝2x，∵四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，∴∠A+∠C＝180°，∴x+2x＝180°，解得，x＝60°，即∠A＝60°，故選：B．2．如圖，是的兩條半徑，點(diǎn)C在上，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)圓周角定理即可求解．【解析】∵是的兩條半徑，點(diǎn)C在上，∴∠C==40°故選：B3．如圖，AB是⊙O的直徑，C、D是⊙O上的兩點(diǎn)，若∠CAB＝65°，則∠ADC的度數(shù)為（）A．25° B．35° C．45° D．65°【答案】A【分析】首先利用直徑所對的圓周角是直角確定∠ACB=90°，然后根據(jù)∠CAB=65°求得∠ABC的度數(shù)，利用同弧所對的圓周角相等確定答案即可．【解析】解：∵AB是直徑，∴∠ACB=90°，∵∠CAB=65°，∴∠ABC=90°-∠CAB=25°，∴∠ADC=∠ABC=25°，故選：A．4．如圖，AB為△ADC的外接圓⊙O的直徑，若∠BAD=50°，則∠ACD的度數(shù)為（

）A．30° B．40° C．50° D．60°【答案】B【分析】根據(jù)直徑所對圓周角是直角和同弧所對圓周角相等即可求出∠ACD的度數(shù)．【解析】解：如圖，連接BD，∵AB為△ADC的外接圓⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，∵∠BAD=50°，∴∠ABD=90°-50°=40°，∴∠ACD=∠ABD=40°．故選：B．5．在數(shù)學(xué)探究課上，小明在探究圓周角和圓心角之間的數(shù)量關(guān)系時(shí)，按照圓周角與圓心的不同位置關(guān)系作出了如下圖所示三個(gè)圖進(jìn)行探究小明的上述探究．過程體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是（

）A．公理化思想 B．分類討論思想 C．轉(zhuǎn)化思想 D．建模思想【答案】B【分析】根據(jù)分類討論思想的含義進(jìn)行判斷即可．【解析】解：在探究圓周角與圓心角的數(shù)量關(guān)系時(shí)，因不確定圓周角與圓心角的位置關(guān)系是否會影響結(jié)論，故對每種位置關(guān)系分別進(jìn)行研究，這種數(shù)學(xué)思想是分類討論思想．故選：B．6．如圖，半圓的半徑為6，將三角板的30角頂點(diǎn)放在半圓上，這個(gè)角的兩邊分別與半圓相交于點(diǎn)A，B，則AB的長度為（

）A．3 B．12 C． D．6【答案】D【分析】如圖，半圓的圓心為O，連接OA，OB，根據(jù)圓周角定理可知，，根據(jù)OA=OB，為等邊三角形，可求解．【解析】解：如圖，連接OA，OB，根據(jù)圓周角定理可知，∵OA=OB，∴為等邊三角形，∴AB=OA=6．故選：D．7．如圖，四邊形內(nèi)接于，點(diǎn)為邊上任意一點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)，重合），連接．若，則的度數(shù)不可能為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得∠D度數(shù)為60°，再由∠APC為△PCD的外角求解．【解析】解：∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠B+∠D＝180°，∵∠B＝150°，∴∠D＝180°﹣∠B＝30°，∵∠APC為△PCD的外角，∴∠APC＞∠D，只有A滿足題意．故選：A．8．如圖，AB為直徑，，則的度數(shù)為（

）A．56° B．52° C．60° D．62°【答案】D【分析】根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，直角三角形中兩個(gè)銳角互余求得，進(jìn)而根據(jù)同弧所對的圓周角相等即可求解．【解析】解：∵AB為直徑，∴，∵，∴，∵，∴，故選D．9．如圖，△ABC與△BCD是⊙O的內(nèi)接三角形，AB是⊙O的直徑，且∠ABC＝50°，則∠D的度數(shù)是（

）A．40° B．50° C．20° D．25°【答案】A【分析】先根據(jù)圓周角定理可得，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得，然后根據(jù)圓周角定理即可得．【解析】解：是的直徑，，，，由圓周角定理得：，故選：A．10．在銳角ABC中，，∠BAC、∠ABC的角平分線AD、BE交于點(diǎn)M，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．點(diǎn)M關(guān)于AC的對稱點(diǎn)一定在ABC的外接圓上【答案】D【分析】利用三角形內(nèi)角和定理以及角平分線的定義求出∠MAB+∠MBA=60°，推出∠AMB=120°，可判斷A，證明C，E，M，D四點(diǎn)共圓，利用圓周角定理可判斷B；在AB上取一點(diǎn)T，使得AT=AE，利用全等三角形的性質(zhì)證明BD=BT，可判斷C；無法判斷與∠ABC互補(bǔ)，可判斷D．【解析】解：如圖，∵∠ACB=60°，∴∠CAB+∠CBA=120°，∵AD，BE分別是∠CAB，∠CBA的角平分線，∴∠MAB+∠MBA=（∠CAB+∠CBA）=60°，∴∠AMB=180°-（∠MAB+∠MBA）=120°，故A符合題意，∵∠EMD=∠AMB=120°，∴∠EMD+∠ECD=180°，∴C，E，M，D四點(diǎn)共圓，∵∠MCE=∠MCD，∴，∴EM=DM，故B符合題意，四邊形是的內(nèi)接四邊形，在AB上取一點(diǎn)T，使得AT=AE，在△AME和△AMT中，，∴△AME≌△AMT（SAS），∴∠AME=∠AMT=60°，EM=MT，∴∠BMD=∠BMT=60°，MT=MD，在△BMD和△BMT中，，∴△BMD≌△BMT，∴BD=BT，∴AB=AT+TB=AE+BD，故C符合題意，∵M(jìn)，關(guān)于AC對稱，∴=∠AMC，∵=90°+∠ABC，∴與∠ABC不一定互補(bǔ)，∴點(diǎn)不一定在△ABC的外接圓上，故D不符合題意，故選D．二、填空題11．如圖，點(diǎn)、、在上，，則的大小為______．【答案】【分析】根據(jù)圓周角定理，設(shè)，則，構(gòu)建方程求解即可．【解析】∵點(diǎn)、、在上，∴．設(shè)，則，∵，∴，∴，∴，故答案為：．12．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB為⊙O的直徑，∠ADC=130°，連接AC，則∠BAC的度數(shù)為___________．【答案】40°【分析】首先利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和∠ADC的度數(shù)求得∠B的度數(shù)，然后利用直徑所對的圓周角是直角確定∠ACB=90°，然后利用直角三角形的兩個(gè)銳角互余求得答案即可．【解析】解：∵四邊形ABCD內(nèi)接與⊙O，∠ADC=130°，∴∠B=180°-∠ADC=180°-130°=50°，∵AB為直徑，∴∠ACB=90°，∴∠CAB=90°-∠B=90°-50°=40°，故答案為：40°．13．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4．BD為⊙O的直徑，則BD＝_____．【答案】8【分析】由等腰三角形的性質(zhì)解得∠C＝30°，由圓周角定理解得∠BOA＝60°，繼而證明△AOB是正三角形，最后由等邊三角形的性質(zhì)解答．【解析】解：∵∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，∴∠C＝30°，∴∠BOA＝60°又∵OA＝OB，∴△AOB是正三角形∴OB＝AB＝4，∴BD＝8故答案為：8．14．如圖，為的直徑，點(diǎn)，，在上，且，，則的度數(shù)為______．【答案】【分析】連接、，由圓周角定理得出，進(jìn)而結(jié)合題意得出，由圓心角、弧、弦的關(guān)系定理，即可求出的度數(shù)．【解析】解：如圖，連接、，為的直徑，，，，，，，故答案為：．15．如圖，在菱形ABCD中，，，點(diǎn)E是射線CD上一點(diǎn)，連接BE，點(diǎn)P在BE上，連接AP，若，則面積的最大值為__________．【答案】【分析】若要使的面積最大，底AB固定，故只要AB邊上的高最大時(shí)，即三角形面積最大；可證，故可知點(diǎn)P在△APB的外接圓的劣弧上，當(dāng)點(diǎn)P在劣弧的中點(diǎn)處，△APB的面積最大，求出AB邊上的高即可求解．【解析】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC=6，AB//CD，∴∵，∴即，∵，∴，∵，∴點(diǎn)P在在△APB的外接圓上，若要使的面積最大，底AB固定，，故只要AB邊上的高最大時(shí)，即三角形面積最大；此時(shí)點(diǎn)P在劣弧的中點(diǎn)處，如圖，設(shè)點(diǎn)O為△APB的外接圓的圓心，OP⊥AB于點(diǎn)F，∴，,∴∴由勾股定理得，∴∴PF=∴即面積的最大值為．故答案為：．16．如圖，半圓的直徑，弦，把沿直線對折，且恰好落在上，則的長為__________．【答案】cm【分析】連接OD，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F，運(yùn)用圓周角定理，可證得∠DOB=∠OAC，即證△AOF≌△ODE，所以O(shè)E=AF=cm，根據(jù)勾股定理，得DE=4cm，在直角三角形ADE中，根據(jù)勾股定理，可求AD的長．【解析】連接OD，AD，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F．根據(jù)題意知，∠CAD=∠BAD，∴，∴點(diǎn)D是弧BC的中點(diǎn)．∴∠DOB=∠OAC=2∠BAD，∴△AOF≌△ODE，∴OE=AF=cm，∴DE=2cm，又∵AE==4cm，∴AD=cm．三、解答題17．如圖，四邊形內(nèi)接于，求證：是等邊三角形．【答案】見解析【分析】由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到，再由，得到，根據(jù)等邊三角形的判定可得到結(jié)論．【解析】證明：∵四邊形內(nèi)接于，∴，又∵，∴，∵，∴，∴是等邊三角形．18．已知：如圖，中，以AB為直徑的⊙O分別交BC，AC于點(diǎn)D，E，連接DE，若．求證：．【答案】見解析【分析】連接，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，可得，根據(jù)弦與圓周角的關(guān)系可得，進(jìn)而證明，可得，根據(jù)已知條件，等量代換即可得證．【解析】連接，如圖，AB為直徑的⊙O，，，，，，又，，，，．19．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB=AC，BD交AC于點(diǎn)E，延長AD，BC交于點(diǎn)F，且CF=AC．(1)求證∶CD=AD；(2)若AD=，AB=，求FD的長．【答案】(1)見解析；；(2)【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠CAF=∠F，再由圓周角定理即可證明；（2）過點(diǎn)C作CG⊥AF于點(diǎn)G，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得AG=FG，然后根據(jù)勾股定理列出方程求解即可．【解析】(1)證明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵CF=AC，∴∠CAF=∠F，∴∠ACB=∠CAF+∠F=2∠CAD，∵∠ABC=∠ABD+∠CBD=∠ACD+∠CAD，∴2∠CAD=∠ACD+∠CAD，∴∠CAD=∠ACD，∴CD=AD；(2)如圖，過點(diǎn)C作CG⊥AF于點(diǎn)G，∵AC=CF=AB=2，∴AG=FG，在Rt?ACG中，根據(jù)勾股定理可得：，在Rt?DCG中，根據(jù)勾股定理可得：，∴，由（1）知：C