物理、化學、生命科學、計算機與數(shù)學

2021.9.19

實驗班榮譽課程數(shù)學分析物理與數(shù)學——同宗同源的親哥倆各門科學中，物理與數(shù)學——同宗同源的親哥倆關(guān)系最親，可以說，數(shù)學是物理學最鐵的鐵哥們。其它科學，如：生物學、化學、醫(yī)學等等，如果沒有數(shù)學幫忙，還都能大差不差的過得去，唯獨物理學，如果沒有數(shù)學的話，那簡直一天日子都過不下去。當初，要不是牛頓發(fā)明了微積分，他的三大力學定律和萬有引力定律，就很難唱得出精彩的戲來。盡管，數(shù)學家不是一心想去物理學家去攀親戚，他們多半時間象是山里的隱士，讓自己的頭腦在邏輯天空中盡情翱翔，對凡塵的事置之度外。然而，物理學家的日子可沒有那樣瀟灑，他們必須在第一線打拼。有時實在沒轍，就去求教數(shù)學家，猶如當年三顧茅廬的劉玄德。你還別說，數(shù)學家家手頭還往往有現(xiàn)成的錦囊妙計。物理與數(shù)學——同宗同源的親哥倆當年，愛因斯坦一心想根據(jù)慣性質(zhì)量與引力質(zhì)量相等的原理，搞一個引力理論，然而，一連苦思冥想了好多年，都毫無進展。讓他苦惱的是，在引力作用下，空間會發(fā)生扭曲，而歐幾里得幾何學卻對此毫無辦法。后來，幸好他的好友格羅斯曼告訴他，法國數(shù)學家黎曼研究出的一套幾何學，應(yīng)該能幫他解決煩惱。果然，愛因斯坦有了黎曼幾何這一有力武器后，就順順當當?shù)慕⒘藦V義相對論。愛因斯坦物理與數(shù)學——同宗同源的親哥倆另一件有趣的事是發(fā)生在量子力學建立的初期。當時，德國青年科學家海森堡為了解決微觀問題，獨創(chuàng)了一種代數(shù)。在這門代數(shù)中，乘法交換律不再成立，也就是說，A乘B不等于B乘A。初看起來似乎有點匪夷所思。然而，數(shù)學家一眼就看出，不過是早已有之的矩陣代數(shù)而已。于是，海森堡把自己的力學稱為矩陣力學，與此同時，奧地利科學家薛定諤開發(fā)了一套波動力學。后來，薛定諤證明了，矩陣力學和波動力學數(shù)學上是同一回事。今天，就都被稱為量子力學了。海森堡薛定諤物理與數(shù)學——同宗同源的親哥倆而今天，物理學家們高度重視對稱性問題，而研究對稱性的群論，早就在數(shù)學家手中盤得滾瓜爛熟了。隨著物理學的進展，概念越來越抽象，一天天向數(shù)學靠攏。當年，拉格朗日出版了一本力學專著，從第一頁到最后一頁，沒有一張插圖，從頭到底都是數(shù)學公式。書中唱大戲的是一個被稱為“作用量”的量。任何第一次接觸到作用量的人都會滿臉疑惑，這作用量究竟是什么玩意兒：拉格朗日物理與數(shù)學——同宗同源的親哥倆能量嗎？——否也；質(zhì)量？——否也；力量？——否也。那究竟是什么？——動能減勢能也。依然疑問重重，動能減勢能又算是什么玩意兒？答曰，動能減勢能即為作用量。拉格朗日物理與數(shù)學——同宗同源的親哥倆總之，你休想用任何具體生動的概念去描畫它，作用量者，作用量也。盡管如此，它卻是一條再硬不過的死規(guī)定：任何物體在空間移動時，必定循著作用量改變最小的路徑走。這又是為什么？沒有道理可講，理解得執(zhí)行，不理解也得執(zhí)行，在執(zhí)行中理解，在執(zhí)行中增加感情。捧起數(shù)學書去啃吧，到時候，理解和感情自然會產(chǎn)生。熱力學同樣又是一門高度抽象的物理學分支。熱力學里的那些熵、焓、自由能等等玩意兒，要多抽象有多抽象。難怪一位熱力學的教授說，“女孩子學這門課，常常會哭鼻子?！睙崃W以三大定律為基礎(chǔ)，用狀態(tài)函數(shù)全微分、麥克斯韋爾偏微分關(guān)系，和可逆過程的路線積分等一連串數(shù)學，讓未來的工程師們頭暈?zāi)垦?，卻建立起一座宏偉的大廈，嚴謹程度不亞于歐幾里得幾何學。難怪，當初波爾茲曼企圖把分子統(tǒng)計理論引進熱力學時，遭到當時熱力學權(quán)威的頑固抵制。在他們眼里，波爾茲曼是在往美麗宏偉的熱力學宮殿里亂撒灰塵，這還了得！物理與數(shù)學——同宗同源的親哥倆波爾茲曼物理與數(shù)學——同宗同源的親哥倆

而電動力學里的電磁波，電場和磁場縱橫交錯波動，而且，在沒有載體的真空里照樣能興風作浪。王安石曾解釋漢字的“波”為“水之皮”。顯然，他眼里反過來的意思就是，水乃波之肉也。按此方式思考，電磁波成了不附肉之皮了。個中之玄機，除了用數(shù)學公式，很難把握得了。量子力學里，粒子既有微粒性又有波動性，更是日常生活難以想象的，也只有數(shù)學函數(shù)能說得清楚。所以，今天的許多基礎(chǔ)物理概念，常必須依靠數(shù)學來加以詮釋。或許，世界正如畢達哥拉斯所想象的那樣，是由數(shù)構(gòu)成的。王安石畢達哥拉斯物理與數(shù)學——同宗同源的親哥倆但是，也別以為，物理學家的一切苦惱，數(shù)學家都能幫忙解決，事實遠非如此。與物理學關(guān)系最密切的數(shù)學分支是微分方程，幾乎所有的物理學分支都與微分方程結(jié)下不解之緣。物理與數(shù)學——同宗同源的親哥倆同一個微分方程可以解答許多物理問題，也可以有無數(shù)多個解。有人會有疑問了，那么多的解，該選哪個好？其實，這倒不用擔心的，一旦把這個方程的初始條件和邊界條件拿準了，這個方程的解也就定了下來。然而，當今的數(shù)學家們往往只有在在十分理想的條件下，才能提供微分方程的嚴格解。對于邊界簡單的狀況，如：圓形、矩形等等，有時還能對付得過去。許多情況下，要用到數(shù)學中的“數(shù)值求解”方法，需要大型計算機，也就是通過計算機使用一種求近似解的方法：將無窮小的微分用有限小的差分，如：0.1，0.001或0.0001等來替代，然后一步步算過去。至于有限小差分到底選多小，就看你的計算耐心和每次計算的誤差了。今天，有了大型計算機，雖然都是近似值，但對于許多實際問題，精度完全是能做到的。許多其它科學和工程問題也同樣依靠這樣的方法來解決。物理與數(shù)學——同宗同源的親哥倆但是，也別以為有了計算機就萬事大吉了。有許多事，你即使把全世界巨型計算機都搬來都不頂用。比如，在研究高能物理的量子場論中，任何一個粒子都把自己的場一直延伸到無窮遠處。計算機神通再大，也沒法從無窮遠處一路算過來，再算過去。不過，數(shù)學家還有別的招術(shù)來求近似解，最常用的一種，是所謂的逐次迭代法。物理與數(shù)學——同宗同源的親哥倆這一套手法是研究量子場論的科學家最稱手的殺手锏，時時刻刻都拿在手里使用的，他們對每次迭代都作了相應(yīng)的物理解釋。物理學家費曼還畫出力的傳遞粒子的路線圖，來代表每次迭代過程，這些圖被稱為費曼圖。費曼物理與數(shù)學——同宗同源的親哥倆有時候，迭代會越來越大，一發(fā)不可收拾。可是，高能物理學家們對這個問題似乎不太放在心上，他們的場方程在第一次迭代后效果很好，可是，才進行第二次迭代，就出現(xiàn)了無窮大，于是，他們想方設(shè)法搞了個無窮大減無窮大，居然也能得到令人滿意的結(jié)果。他們把這個過程稱為重整化。數(shù)學家們看了只能直搖頭。可是，既然效果那么好，還管那么多干嗎呢。讓數(shù)學家最頭疼的是所謂的“非線性”問題。何謂非線性呢？簡而言之，如果變量X在方程里只以一次式出現(xiàn)，那就是線性的，反之，如出現(xiàn)X2或1/X等項目，那就是非線性的了。一旦遇到非線性問題，數(shù)學家在絕大多數(shù)情況下沒法可想，物理學家也只能絞盡腦汁提出一些簡化模型來對付。物理與數(shù)學——同宗同源的親哥倆其實，量子場論力的方程還只能算是半線性的，廣義相對論的引力方程是百分百的非線性。當初，愛因斯坦把它搞出來后，不由得愁上心頭，這樣一個非線性方程，何年哪月能找到它的一個嚴格解??？可是，前蘇聯(lián)的數(shù)學家弗里德曼沒讓愛因斯坦愁太久，就找到了一個解，以后，宇宙大爆炸、黑洞......等等一系列熱鬧問題登場了。弗里德曼物理與數(shù)學——同宗同源的親哥倆引力方程畢竟是研究宇宙的，與我們老百姓日常生活幾乎毫無關(guān)系。但是，有一個與我們天天密切相關(guān)的問題，卻也是百分百的非線性，這就是被稱為，奈維—斯托克斯方程的流體力學方程。非線性方程不僅難以求得嚴格解，另一個難纏的是，它往往有不止一個解，還會象泥鰍似的在不同解之間游來蕩去。我們?nèi)粘？吹降牟粩嘧兓牧魉y，或無風時的裊裊青煙，都反映了這種情況。物理與數(shù)學——同宗同源的親哥倆絕大多數(shù)流體力學問題，指望不上數(shù)學家，只能硬拼實驗。于是，一座座大規(guī)模風洞建立起來。可是，風洞再大也沒法把整架空客或波音這樣巨型客機塞進去。流體力學家們想到了一些經(jīng)驗放大的辦法。他們引入了一些被稱為“無因次數(shù)”的量，這些量都沒有任何計量單位。計算機與數(shù)學——科技發(fā)展的左膀右臂計算機科學和數(shù)學的關(guān)系有點奇怪。二三十年以前，計算機科學基本上還是數(shù)學的一個分支。而現(xiàn)在，計算機科學擁有廣泛的研究領(lǐng)域和眾多的研究人員，在很多方面反過來推動數(shù)學發(fā)展，從某種意義上可以說是孩子長得比媽媽還高了。但不管怎么樣，這個孩子身上始終流著母親的血液。這血液是themathematicalunderpinningofcomputerscience(計算機科學的數(shù)學基礎(chǔ))，--也就是理論計算機科學?，F(xiàn)代計算機科學和數(shù)學的另一個交叉是計算數(shù)學/數(shù)值分析/科學計算，傳統(tǒng)上不包含在理論計算機科學以內(nèi)。所以本文對計算數(shù)學全部予以忽略。最常和理論計算機科學放在一起的一個詞是什么？答：離散數(shù)學。這兩者的關(guān)系是如此密切，以至于它們在不少場合下成為同義詞。

計算機與數(shù)學——科技發(fā)展的左膀右臂最常和理論計算機科學放在一起的一個詞是什么？答：離散數(shù)學。這兩者的關(guān)系是如此密切，以至于它們在不少場合下成為同義詞。傳統(tǒng)上，數(shù)學是以分析為中心的。數(shù)學系的同學要學習三四個學期的數(shù)學分析，然后是復(fù)變，實變，泛函等等。實變和泛函被很多人認為是現(xiàn)代數(shù)學的入門。在物理，化學，工程上應(yīng)用的，也以分析為主。計算機與數(shù)學——科技發(fā)展的左膀右臂隨著計算機科學的出現(xiàn)，一些以前不太受到重視的數(shù)學分支突然重要起來。人們發(fā)現(xiàn)，這些分支處理的數(shù)學對象與傳統(tǒng)的分析有明顯的區(qū)別：分析研究的對象是連續(xù)的，因而微分，積分成為基本的運算；而這些分支研究的對象是離散的，因而很少有機會進行此類的計算。人們從而稱這些分支為“離散數(shù)學”?！半x散數(shù)學”的名字越來越響亮，最后導(dǎo)致以分析為中心的傳統(tǒng)數(shù)學分支被相對稱為“連續(xù)數(shù)學”。計算機與數(shù)學——科技發(fā)展的左膀右臂離散數(shù)學經(jīng)過幾十年發(fā)展，基本上穩(wěn)定下來。一般認為，離散數(shù)學包含以下學科：1)集合論，數(shù)理邏輯與元數(shù)學。這是整個數(shù)學的基礎(chǔ)，也是計算機科學的基礎(chǔ)。2)圖論，算法圖論；組合數(shù)學，組合算法。計算機科學，尤其是理論計算機科學的核心是算法，而大量的算法建立在圖和組合的基礎(chǔ)上。3)抽象代數(shù)。代數(shù)是無所不在的，本來在數(shù)學中就非常重要。在計算機科學中，人們驚訝地發(fā)現(xiàn)代數(shù)竟然有如此之多的應(yīng)用。計算機與數(shù)學——科技發(fā)展的左膀右臂但是，理論計算機科學僅僅就是在數(shù)學的上面加上“離散”的帽子這么簡單嗎？一直到大約十幾年前，終于有一位大師告訴我們：不是。D.E.Knuth在Stanford開設(shè)了一門全新的課程ConcreteMathematics。D.E.Knuth計算機與數(shù)學——科技發(fā)展的左膀右臂Concrete這個詞在這里有兩層含義：第一，針對abstract而言。Knuth認為，傳統(tǒng)數(shù)學研究的對象過于抽象，導(dǎo)致對具體的問題關(guān)心不夠。他抱怨說，在研究中他需要的數(shù)學往往并不存在，所以他只能自己去創(chuàng)造一些數(shù)學。為了直接面向應(yīng)用的需要，他要提倡“具體”的數(shù)學。在這里我做一點簡單的解釋。例如在集合論中，數(shù)學家關(guān)心的都是最根本的問題--公理系統(tǒng)的各種性質(zhì)之類。而一些具體集合的性質(zhì)，各種常見集合，關(guān)系，映射都是什么樣的，數(shù)學家覺得并不重要。然而，在計算機科學中應(yīng)用的，恰恰就是這些具體的東西。Knuth能夠首先看到這一點，不愧為當世計算機第一人。

DonaldErvinKnuth，1938年1月10日－），出生于密爾沃基，美國著名計算機科學家，斯坦福大學計算機系榮休教授。高德納教授被譽為現(xiàn)代計算機科學的鼻祖，在計算機科學及數(shù)學領(lǐng)域發(fā)表了多部具廣泛影響的論文和著作。高德納最為人知的事跡是，他是《計算機程序設(shè)計藝術(shù)》（TheArtofComputerProgramming）的作者。此書是計算機科學界最受高度敬重的參考書籍之一。他創(chuàng)造了算法分析的領(lǐng)域，在數(shù)個理論計算機科學的分支做出初步貢獻，此外還是排版軟件TEX和字體設(shè)計系統(tǒng)Metafont的發(fā)明人。計算機與數(shù)學——科技發(fā)展的左膀右臂第二，密碼學的基本課題。例如，比以前更好的單向函數(shù)，簽名協(xié)議等。第三，密碼學的高級問題。例如，零知識證明的長度，秘密分享的方法。第四，密碼學的新應(yīng)用。例如，數(shù)字現(xiàn)金，叛徒追蹤等。計算機與數(shù)學——科技發(fā)展的左膀右臂在吉林大學數(shù)學系和計算機科學系的建設(shè)和發(fā)展上，王湘浩做出了關(guān)鍵性的貢獻。王湘浩1952年到吉林大學后，即將主要精力投入到建立數(shù)學系的工作中。在建系過程中，王湘浩做為系主任，不是將注意力放在自己從事的代數(shù)方向上，而是從大局著眼，采取了有遠見的措施，在較短時間內(nèi)得到了國內(nèi)的承認和重視。王湘浩在建系過程中，重視教學，重視實際，重視人才，重視青年。50年代他就在數(shù)學系建起了微分方程，計算數(shù)學，計算機科學這三個方向；到60年代初期，吉林大學數(shù)學系已在國內(nèi)占有重要地位。王湘浩院士計算機與數(shù)學——科技發(fā)展的左膀右臂1976年，吉林大學計算機科學系成立，這是國內(nèi)最早的幾個計算機系之一。在王湘浩的領(lǐng)導(dǎo)下，10年內(nèi)，計算機系的軟件專業(yè)就成為國內(nèi)第一批被批準的有博士學位授予權(quán)、有博士后科研流動站的專業(yè)，以及屬于國家重點學科的專業(yè)。王湘浩在建設(shè)兩個系的過程中，能容納各種不同意見，發(fā)揮各種人才的作用，能看到各人的優(yōu)點，包括當時一些不得意的人的優(yōu)點。他不存私心，每屆畢業(yè)生留校時，都把學習最好的學生安排到最重要的方向上。吉林大學數(shù)學系和計算機科學系，能很快成長為方向較齊全、在國內(nèi)有影響的系，這是和王湘浩的人品與見識分不開的。王湘浩院士化學與數(shù)學：一對理解我們的世界的搭檔現(xiàn)在，我們用一些來自化學領(lǐng)域中的例子。不足為奇的是，在數(shù)學給化學家提供了許多工具的同時，化學家也自創(chuàng)了一些數(shù)學工具。例如，化學家用群論來研究其領(lǐng)域中的一些問題。但與使得化學更加“數(shù)學”的第一項工作相比，群論作為數(shù)學工具卻是很晚的事情了。無疑，在化學中，發(fā)展試驗方法是一場革命：在受控環(huán)境下，多次開展一定程序的實驗，看是否可以得到可重復(fù)的結(jié)果。受控實驗為應(yīng)用來自統(tǒng)計學和實驗設(shè)計的數(shù)學工具敲開了大門?；瘜W與數(shù)學：一對理解我們的世界的搭檔化學領(lǐng)域涉及分子如何從自然界中存在的元素生成。自然界中一共有92種元素，它們有復(fù)雜的性質(zhì)：有的是氣態(tài)，有的是液態(tài)，有的在“室”溫下為固態(tài)（雖然對自然界中存在的基本元素的數(shù)目有些爭議，但92是最常被引用的數(shù)目）。在化學的最初發(fā)展時期，數(shù)學就已被用于形成定量和定性的模型，以便理解基本元素是如何形成分子，從而認識化學世界。化學與數(shù)學：一對理解我們的世界的搭檔對化學有貢獻者自然接受過化學訓練，但他們也可能將學到的數(shù)學用于化學研究。另一方面，開始主修數(shù)學，最終成為杰出的化學研究者也是可能的。一位著名的代表是赫伯特·豪普特曼（HerbertHauptman，1917－2011），他最先在紐約的城市學院主修數(shù)學，后來獲得諾貝爾化學獎。HerbertHauptman化學與數(shù)學：一對理解我們的世界的搭檔化學反應(yīng)發(fā)生時某些量平衡或保持的方式用到數(shù)學與化學。線性代數(shù)化學與數(shù)學：一對理解我們的世界的搭檔可視化工具很長時間以前，化學家就已經(jīng)開始使用示意圖來輔助思考與分子有關(guān)的問題。例如，下面是甲烷分子可能被畫出來的圖：這兩個圖有相同的特征：都只有碳和氫原子。因此，這樣的分子被稱為碳氫化合物?；瘜W家知道圖8不能表示任何碳氫化合物的結(jié)構(gòu)圖圖論可以用C和H來標號圖9，使得該結(jié)構(gòu)為“合法”的碳氫化合物——兩個碳原子和四個氫原子的化合物?；瘜W與數(shù)學：一對理解我們的世界的搭檔化學與數(shù)學：一對理解我們的世界的搭檔圖論（graphtheory）這門學科研究由點和線段組成的示意圖的性質(zhì)。圖中的點叫做頂點（vertex），而線段則被稱為邊（edge）?；瘜W家使用這樣的圖的時候，常常將之稱為分子圖（moleculargraphs）或結(jié)構(gòu)公式。定理：任意一個圖的度數(shù)之和等于邊數(shù)的2倍。推論：奇數(shù)價頂點的個數(shù)為偶數(shù)定理1：若樹T的頂點數(shù)為$n$，則T的邊數(shù)為$n-1$。“圖論”中的數(shù)學結(jié)果和思想的應(yīng)用，為探索分子化學打開了許多新的思路。具有環(huán)和多重邊的圖化學與數(shù)學：一對理解我們的世界的搭檔圖論對化學的重要性在19世紀時開始明顯起來。兩位英國數(shù)學家，阿瑟·凱萊（ArthurCayley，1821－1895）和詹姆斯·約瑟夫·西爾維斯特（JamesJosephSylvester，1814－1897）的工作奠定了圖論思想在化學中成功地應(yīng)用的長久傳統(tǒng)。圖論的應(yīng)用使得我們知道物資的化學結(jié)構(gòu)有哪些可能和哪些不可能！阿瑟·凱萊詹姆斯·約瑟夫·西爾維斯特化學與數(shù)學：一對理解我們的世界的搭檔數(shù)學在化學中的許多重要應(yīng)用涉及譜。其中的想法是，當分子從從一個能量狀態(tài)遷至另一個狀態(tài)，分子的某些“"記號（signature）”可以被確定。例如，因為能量改變是某些分子的特性，所以不同的分子能被識別。這項工作與矩陣特征值的想法以及線性代數(shù)和算子理論中的一些主題有關(guān)。量子力學已被證明在理解物理世界方面非常成功。化學，如同物理學一樣，也在量子力學的指導(dǎo)下獲益，而數(shù)學，則在量子力學中起重要作用。化學與數(shù)學：一對理解我們的世界的搭檔數(shù)學中最技術(shù)性的部分是充滿活力，健康的。但數(shù)學中也有最近發(fā)展、易于理解的部分。不奇怪的是，由于數(shù)學工具已經(jīng)成長，它服務(wù)于其他學科——化學、物理、工程、藝術(shù)等——的能力也得到了發(fā)展。雖然很長時間以來都知道，平面上只有17種對稱群，但直到新近，威廉·瑟斯頓（WilliamThurston，1946－2012）和約翰·康威（JohnConway，1937－）才找到一個比之前的證明更簡單的方式來“解釋”17來自哪里。某種意義上，這個發(fā)現(xiàn)也源于圖論，因為其核心是，對任意一個平面連通圖，有歐拉公式V(頂點數(shù))+F(面數(shù))-E(邊數(shù))=2歐拉化學與數(shù)學：一對理解我們的世界的搭檔數(shù)學在化學中的許多重要應(yīng)用涉及譜。其中的想法是，當分子從從一個能量狀態(tài)遷至另一個狀態(tài)，分子的某些“記號（signature）”可以被確定。例如，因為能量改變是某些分子的特性，所以不同的分子能被識別。這項工作與矩陣特征值的想法以及線性代數(shù)和算子理論中的一些主題有關(guān)。量子力學已被證明在理解物理世界方面非常成功。化學，如同物理學一樣，也在量子力學的指導(dǎo)下獲益，而數(shù)學，則在量子力學中起重要作用。化學與數(shù)學：參考文獻Cayley,A.,Onthemathematicaltheoryofisomers,Phil.Mag.,67(1874),444–446.Crilly,T.ArthurCayley:MathematicianLaureateoftheVictorianWorld,JohnsHopkinsUniversityPress,Baltimore,2006.Dias,JerryR.,MolecularOrbitalCalculationsUsingChemicalGraphTheory,Springer1993Flapan,E.,WhenTopologyMeetsChemistry,CambridgeU.Press,NewYork2000.Gutman,I.andL.Popovi,Graphrepresentationoforganicmolecules,Cayley'splerogramsvs.hiskenograms,J.ofChem.Soc.,FaradayTransactions,94(1998)857-860.Gutman,I.andM.Essalth,M.ElMarraki,B.Furtula,Whyplerogramsarenotusedinchemicalgraphtheory?Thecaseofterminal-Wienerindex,ChemicalPhysicsLetters,568-56(2013)195-197.Hansen,P.,andP.Fowler,M.Zheng,(eds.),DiscreteMathematicalChemistry,DIMACSVolume51,AmericanMathematicalSociety,Providence,1998.Klein,DouglasJ.,MathematicalChemistry!IsIt?Andifso,WhatIsIt?,HYLE–InternationalJournalforPhilosophyofChemistry,Vol.19(2013),No.1,35-85.Parshall,K.,JamesJosephSylvester:JewishMathematicianinaVictorianWorld.,JohnsHopkinsUniversityPress,Baltimore,2006.phTheory,AcademicPress,NewYork,1979.化學與數(shù)學：參考文獻Mohar,B.andT.Pisanski,HowtocomputetheWienerindexofagraph.JournalofMathematicalChemistry,2(1988)267-277.Rouvray,D.,TherichlegacyofhalfacenturyoftheWienerindex,inRouvray,DennisH.;King,RobertBruce,TopologyinChemistry:DiscreteMathematicsofMolecules,2002,HorwoodPublishing,pp.16–37.Wang,H.andG.Yu,Allbut49numbersareWienerindicesoftrees,ActaApplicandaeMathematicae92(2006):15–20.Wiener,H.InfluenceofInteratomicForcesonParaffinProperties.J.Chem.Phys.,15(1947)766.Wiener,H.Structuraldeterminationofparaffinboilingpoints,JournaloftheAmericanChemicalSociety69(1947):17-20.Wilson,R.andL.Beineke,(eds.),ApplicationsofGraphTheory,AcademicPress,NewYork,1979.生命科學與數(shù)學：抽象的價值20世紀中期，隨著蛋白質(zhì)空間結(jié)構(gòu)的解析和DNA雙螺旋的發(fā)現(xiàn)，形成了以遺傳信息載體核酸和生命功能執(zhí)行者蛋白質(zhì)為主要研究對象的分子生物學時代。分子生物學的誕生使傳統(tǒng)的生物學研究轉(zhuǎn)變?yōu)楝F(xiàn)代實驗科學。但是，在生命科學領(lǐng)域的實驗科學與其它實驗科學如實驗物理學相比，更多地是注重經(jīng)驗，而非抽象的理論或概念。此外，這些生物學家們大多關(guān)注定性的研究，以發(fā)現(xiàn)新基因或新蛋白質(zhì)為主要目標，對于定量的研究，如分子動力學過程等沒有給予足夠的重視。生命科學與數(shù)學：抽象的價值盡管如此，現(xiàn)代生命科學在20世紀的下半葉還是取得了豐盛的成果。正如美國科學院院長分子生物學家阿爾伯特(B.Albert)所說，“在一個基因克隆占主要地位的時代，當今許多優(yōu)秀的科學家在不具備任何定量研究的能力下仍然取得了巨大的成績”。但是，隨著后基因組時代的到來，生物學研究者的定量研究能力和知識已不再是可有可無的了。生命科學與數(shù)學：抽象的價值大勢所趨英國生物學家保羅?納斯(PaulNurse)因細胞周期方面的卓越研究成為了2001年度諾貝爾生理學或醫(yī)學獎的得主。他曾在一篇回顧20世紀細胞周期研究的綜述文章中以這樣的文字結(jié)束：“我們需要進入一個更為抽象的陌生世界，一個不同于我們?nèi)粘Ｋ胂蟮募毎顒拥摹⒛芨鶕?jù)數(shù)學有效地進行分析的世界?！鄙茖W與數(shù)學：抽象的價值也許基于同樣的考慮，2000年10月美國國家科學基金會（NSF）的主任科勒威爾(R.Colwell)在向國會提交的報告中，稱數(shù)學是當前所有新興學科和研究領(lǐng)域的基礎(chǔ)，要求下一年度對數(shù)學的資助要增加3倍以上，達到1.21億元美金。在這些增加的預(yù)算中，有很大的一部分被用來支持數(shù)學與其它學科的交叉研究，尤其是數(shù)學與生物學的交叉研究項目。生命科學與數(shù)學：抽象的價值也許基于同樣的考慮，2000年10月美國國家科學基金會（NSF）的主任科勒威爾(R.Colwell)在向國會提交的報告中，稱數(shù)學是當前所有新興學科和研究領(lǐng)域的基礎(chǔ)，要求下一年度對數(shù)學的資助要增加3倍以上，達到1.21億元美金。在這些增加的預(yù)算中，有很大的一部分被用來支持數(shù)學與其它學科的交叉研究，尤其是數(shù)學與生物學的交叉研究項目。生命科學與數(shù)學：抽象的價值盡管數(shù)學一直在現(xiàn)代生命科學中扮演著一定的角色，如數(shù)量遺傳學、生物數(shù)學等。但真正體會到數(shù)學重要性的還是20世紀90年代生物學家?；蚪M學是這種趨勢的主要催化劑。隨著DNA序列測定技術(shù)的快速發(fā)展，20世紀90年代后期每年測定的DNA堿基序列以驚人的速度迅速增長。以美國的基因數(shù)據(jù)庫（GenBank）為例，1997年擁有的堿基序列為1x109，次年就翻了一番，為2x109；到2000年GenBank已擁有近8x109個堿基序列。同樣，在蛋白質(zhì)組研究和轉(zhuǎn)錄組研究等快速推進的過程中，各種數(shù)據(jù)也在迅猛的增加。生命科學與數(shù)學：抽象的價值據(jù)估計，現(xiàn)在生物數(shù)據(jù)量可以達到每年1015字節(jié)。如何管理這些“海量”數(shù)據(jù)，以及如何從它們中提取有用的知識成為了對當前生物學家、數(shù)學家、計算機專家等的巨大挑戰(zhàn)。由此引出了一門新興學科：生物信息學(Bioinformatics)。此外，對細胞和神經(jīng)等復(fù)雜系統(tǒng)和網(wǎng)絡(luò)的研究導(dǎo)致了數(shù)學生物學(MathematicalBiology)的誕生。美國國家科學基金委員會為此專門啟動了一項“定量的環(huán)境與整合生物學”的項目，以鼓勵生物學家把數(shù)學應(yīng)用到生物學研究中去。幾乎在同一個時間，美國國立衛(wèi)生研究院也設(shè)立了一項“計算生物學”的重大項目。生命科學與數(shù)學：抽象的價值理解生命的新工具：模型上面的論述也許會造成這樣一種印象，數(shù)學在現(xiàn)代生命科學中的應(yīng)用主要是在“海量”數(shù)據(jù)的處理方面。可以這樣說，今天的確是有許多生物學家是從“計算”的角度來看待數(shù)學對生命科學的作用。然而，對于理解生命現(xiàn)象來說，計算是遠遠不夠的。當我們把通過基因芯片獲得的成千上萬的實驗數(shù)據(jù)喂進一臺計算機，讓計算機根據(jù)一定的運行程序吐出一堆堆的結(jié)論時，我們是否可以認為，我們已經(jīng)理解了所要研究的生物學問題？不僅如此，我們也許還需要警惕，不要讓計算機代替我們的思考。學不僅僅能夠提升生命科學研究，使生命科學成為抽象的和定量的科學，而且是揭示生命奧秘的必由之路。生命科學與數(shù)學：抽象的價值對于今天的生命科學工作者，數(shù)學的價值應(yīng)該體現(xiàn)在“模型化”(Modelling)方面。通過模型的構(gòu)建，那些看上去雜亂無章的實驗數(shù)據(jù)將被整理成有序可循的數(shù)學問題；通過模型的構(gòu)建，所要研究的問題的本質(zhì)將被清晰地抽象出來；通過模型的構(gòu)建，研究者們的實驗不再是一種隨意的探索，而是通過“假設(shè)驅(qū)動”（Hypothesis-drivenapproach）的理性實驗，就如同物理學家們的工作一樣。生命科學與數(shù)學：抽象的價值上個世紀的實驗生物學家把生命視為一個線性的系統(tǒng)，力圖以一種簡單的因果關(guān)系來解釋生命活動。通常在那些尋找新基因的研究者的內(nèi)心深處，大多擁有一個“基因決定論”的愿望：一旦找到了某一種基因，就能解答一個生物學問題。癌癥有“癌基因”，長壽有“長壽基因”，聰明有“聰明基因”，甚至犯罪都是由一種“犯罪基因”所造成。但是，幾十年的研究軌跡，劃出的卻是一幅幅越來越復(fù)雜的圖案。以人類發(fā)現(xiàn)的第一個腫瘤抑制基因p53來說，自1979年發(fā)現(xiàn)至今，已有近2萬5千篇文章涉及到它；直接與p53相互作用的蛋白質(zhì)多達數(shù)十種，新的還在發(fā)現(xiàn)之中?，F(xiàn)在人們看到的p53已經(jīng)是一個相當復(fù)雜的調(diào)控網(wǎng)絡(luò)。顯然，沒有數(shù)學模型的幫助，要理解和分析p53的功能將不是一件容易的事。不久前，發(fā)現(xiàn)p53的生物學家之一萊文爾(A.J.Levine)和數(shù)學家一起，建立了一個解釋p53調(diào)控線路的數(shù)學模型[1]。生命科學與數(shù)學：抽象的價值數(shù)學不僅能幫助我們從已有的生物學實驗和數(shù)據(jù)中抽象出模型和進行解釋，它還可以用于設(shè)計和建造生物學模型，也許這些生物學模型在自然的狀態(tài)下是不存在的。在這種意義上說，基于數(shù)學模型和假設(shè)進行的生物學實驗將更接近我們所熟知的物理學和化學實驗，更多的依賴于抽象和理性，不再是一門經(jīng)驗科學。生命科學與數(shù)學：抽象的價值新世紀伊始，數(shù)學指導(dǎo)實驗已成為了現(xiàn)實。不久前，美國的科學家在《自然》（Nature）雜志上報道了他們?nèi)斯ぴO(shè)計的生物模型。普林斯頓大學科學家設(shè)計了一個自然界不存在的控制基因表達的網(wǎng)絡(luò)。這個網(wǎng)絡(luò)可以周期性的調(diào)控大腸桿菌內(nèi)一個外源基因的表達[2]。在同一期雜志上，波士頓大學的生物學家也報告了他們相類似的工作[3]。這兩個工作的共同特點是，首先應(yīng)用某種微分方程（兩個實驗室采用了不同的微分方程）進行推導(dǎo)和設(shè)計，然后再根據(jù)其設(shè)計去進行生物科學實驗，如構(gòu)造基因表達質(zhì)粒，進行檢測基因表達情況等。這些科學家認為：“這種‘網(wǎng)絡(luò)的理性設(shè)計’可以導(dǎo)致新型的細胞工程和促進人們對自然界存在的調(diào)控網(wǎng)絡(luò)的理解?！盵2]

生命科學與數(shù)學：抽象的價值“萬物皆數(shù)也”數(shù)學常常被人視為工具。它的確也是非常有用的工具。但是，只要是作為工具，就具有可替換性。“條條道路通羅馬”。工具就是道路，可以選擇途徑A，也可以選擇途徑B，只要能達到目的地就行。當然，有的可能是捷徑，有的可能是彎路。但它們畢竟都不是唯一的。就如同過去的生命科學研究，沒有數(shù)學也取得了不錯的成績。數(shù)學的應(yīng)用顯然會對現(xiàn)在和今后的生物學研究有幫助，但生物學家不用數(shù)學行不行呢？

生命科學與數(shù)學：抽象的價值人類對自然和生命的關(guān)注，通常體現(xiàn)在兩個方面的問題：構(gòu)成世間萬物的本質(zhì)是什么以及如何去認識和探尋這種本質(zhì)。前一類問題是屬于本體論，后一類問題則屬于認識論。如果采用這樣假設(shè)：生命的本質(zhì)最終是體現(xiàn)在數(shù)學規(guī)律的構(gòu)成上。那么，沒有數(shù)學顯然我們就不能真正和徹底地揭示出生命的本質(zhì)。生命科學與數(shù)學：抽象的價值DNA和蛋白質(zhì)是兩類最重要