/第12講正多邊形與圓模塊一思維導圖串知識模塊二基礎(chǔ)知識全梳理模塊三核心考點舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測1．了解正多邊形的概念及正多邊形與圓的關(guān)系，并進行有關(guān)計算；2．了解正多邊形的對稱性；3.會用量角器畫正多邊形，用直尺和圓規(guī)作一些特殊的正多邊形。1.之間所學到的正多邊形是？那什么叫正多邊形？正三角形（等邊三角形），正方形正多邊形：各邊相等、各角都相等的多邊形叫做正多邊形2.認識圓內(nèi)接正多邊形用量角器把一個圓分成n等分，依次連接各等分點所得的n邊形是這個圓的內(nèi)接正n邊形，這個圓是這個正n邊形的外接圓。正多邊形的外接圓的圓心叫做正多邊形的中心，外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑.3.與正多邊形的有關(guān)概念名稱名稱定義中心正多邊形的外接圓和內(nèi)切圓的公共圓心叫做正多邊形的中心（如圖圓O）。半徑正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑（如圖R）。邊心距正多邊形內(nèi)切圓的半徑叫做正多邊形的邊心距.（如圖r）。中心角正多邊形每一條邊所對的外接圓的圓心叫做正多邊形的中心角（如圖∠AOD）。4.正多邊形的計算名稱公式內(nèi)角正n變形的每個內(nèi)角都為中心角正n邊形的每個中心角都為外角正n邊形的每個外角都為邊心距正n邊形的邊心距周長正n邊形的周長C=na面積正n邊形的面積5.正多邊形的對稱性正多邊形都是軸對稱圖形，一個正n邊形共有n天對稱軸，每條對稱軸都經(jīng)過正n邊形的中心.一個正多邊形，如果有偶數(shù)條邊，那么它又是中心對稱圖形，對稱中心就是這個正多邊形的中心。6.正多邊形的畫法（1）量角器畫法在半徑為R的圓中，先用量角器畫一個度數(shù)為的圓心角，這個角所對的弧就是圓周的，然后在圓上依次截取這條弧的等弧，就得到圓的n等分點，順次連接各等分點即可作出半徑為R的正n邊形。（2）尺規(guī)作圖畫法①作正方形作法：1.在圓O中作兩條互相垂直的直徑AC、BD.2.依次連接A、B、C、D四個點，四邊形ABCD即可畫出。②作正六邊形作法：1.在圓O中畫出任意一條直徑AD；2.分別以點A、D為圓心，圓O的半徑為半徑作弧，與圓O相交與點B、F和點C、E；3.依次連接A、B、C、D、E、F六個點，即可畫出正六邊形?？键c一：正多邊形的中心角例1．已知正n邊形的內(nèi)角和是它的外角和的3倍，則這個正n邊形的中心角為（

）A． B． C． D．【變式1-1】如圖，圓內(nèi)接正九邊形兩條對角線相交，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【變式1-2】如果一個正多邊形的內(nèi)角和是720°，那么它的中心角是度．【變式1-3】如圖，正方形的外接圓為，點P在劣弧上（不與點C重合）．

(1)求的度數(shù)；(2)若的半徑為8，求正方形的邊長．考點二：由中心角求邊數(shù)例2．正多邊形的中心角為，則正多邊形的邊數(shù)是（

）A．4 B．6 C．8 D．12【變式2-1】如圖，、、、為一個正多邊形的頂點，為正多邊形的中心，若，則這個正多邊形的邊數(shù)為（）A． B． C． D．【變式2-2】如圖，是的內(nèi)接正六邊形的一邊，點在上．且是的內(nèi)接正十邊形的一邊，若是的內(nèi)接正邊形的一邊，則．

【變式2-3】古建中的數(shù)學：古亭探“優(yōu)”．【了解】“江山無限景，都聚一亭中．”八角亭是典型的中國八棱形樓閣式建筑，其結(jié)構(gòu)穩(wěn)固、勻稱，有利于減弱風力、抵御地震，如圖①，將八角亭頂部的輪廓抽象后得到的幾何圖形為正八邊形．【探索】先將正方形、完全重合，再將正方形繞其中心旋轉(zhuǎn)一定的角度，就得到了正八邊形，如圖②，這種構(gòu)造正八邊形的方法稱為“四轉(zhuǎn)八”法．（1）旋轉(zhuǎn)的角度最小為_______o；（2）若正八邊形的邊長為2，則正方形的邊長為______；（3）連接，則與之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由；【作圖】（4）如圖③，已知正方形請你利用無刻度直尺和圓規(guī)作一個正八邊形，并使其所有頂點均落在正方形的邊上．（保留作圖痕跡，并寫出必要的說明）考點三：正多邊形與圓綜合例3.半徑為2的圓的一個內(nèi)接正多邊形的內(nèi)角為，則這個內(nèi)接正多邊形的邊長為（

）A．1 B．2 C． D．【變式3-1】如圖，正五邊形內(nèi)接于，點是上的一個動點，當沿著的路徑在圓上運動的過程中（不包括，兩點），的度數(shù)是（

）A． B． C． D．不確定【變式3-2】如圖，正六邊形與正方形都內(nèi)接于，連接，則弦所對圓周角的度數(shù)為．【變式3-3】如圖，正方形內(nèi)接于，E是的中點，連接．

(1)求∠E的度數(shù)．(2)求證：．(3)若，則點E到的距離為．考點四：尺規(guī)作圖——正多邊形例4．如圖，已知，求作：內(nèi)接正六邊形，以下是甲、乙兩同學的作業(yè)：甲：①先作直徑；②作的垂直平分線交于點、；③作的垂直平分線交于點、；④依次連接，六邊形即為所求（如圖①）．乙：①上任取點，以點為圓心，為半徑畫弧，交于點；②以點為圓心，為半徑畫弧交于點；③同上述作圖方法逆時針作出點、、；④依次連接，多邊形即為正六邊形（如圖②）．對于兩人的作業(yè)，下列說法正確的是（

）A．兩人都不對 B．甲對，乙不對 C．兩人都對 D．甲不對，乙對【變式4-1】如圖，為直徑，作的內(nèi)接正六邊形，甲、乙兩人的作法分別如下：甲：1．作的中垂線，交圓于兩點；2．作的中垂線，交圓于兩點；3．順次連接六個點，六邊形即為所求；乙：1．以為圓心，長為半徑作弧，交圓于兩點；2．以為圓心，長為半徑作弧，交圓于兩點；3．順次連接六個點，六邊形即為所求；對于甲、乙兩人的作法，可判斷（

）A．甲對，乙不對 B．甲不對，乙對C．兩人都不對 D．兩人都對【變式4-2】如圖，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，O為格點，⊙經(jīng)過格點A．（1）⊙的周長等于；（2）請用無刻度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫出⊙的內(nèi)接等邊，并簡要說明點B，C的位置是如何找到的（不要求證明）．【變式4-3】如圖，由小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格中，每個小正方形的頂點叫做格點．僅用無刻度的直尺在給定的網(wǎng)格中按要求作圖（保留作圖痕跡）．(1)在圖1中過點作的切線；(2)在圖1中畫出一個圓內(nèi)接正方形；(3)在圖2中的圓上畫出線段的中點；(4)在圖3中作一個的圓周角．1．如圖，正八邊形內(nèi)接于，連接，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．2．每一片雪花各頂點連接其外形就是正六邊形．若繞這個正六邊形的中心旋轉(zhuǎn)至和原圖形重合，至少需要旋轉(zhuǎn)（

）A． B． C． D．3．如圖，將一張正六邊形紙片的陰影部分剪下，恰好拼成一個菱形，若拼成的菱形的面積為2，則原正六邊形紙片的面積為（

）A．4 B．6 C．8 D．104．如圖，正三角形和正六邊形都內(nèi)接于連接則（

）A． B． C． D．5．如圖，在中，點C為上的點，．若，且是的內(nèi)接正n邊形的一邊，則n的值為（

）A．8 B．9 C．10 D．126．如圖，正方形與等邊內(nèi)接于，，則等于（）A． B． C． D．7．如圖，多邊形為正六邊形，點P在邊上，過點P作交于點Q，連接，且滿足設(shè)四邊形、四邊形和的面積分別為、、，則正六邊形的面積為（

）A． B．C． D．8．已知四個正六邊形如圖擺放在圖中，頂點A，B，C，D，E，F(xiàn)在圓上．若兩個大正六邊形的邊長均為2，則小正六邊形的邊長是（

）

A． B． C． D．9．若多邊形的一個內(nèi)角等于144°，且每個內(nèi)角的度數(shù)相等，則這個多邊形的邊數(shù)是．10．如圖，個相同的正六邊形恰好可以圍成一個環(huán)狀，的值為＝．11．魏晉時期數(shù)學家劉徽首創(chuàng)割圓術(shù)，為計算圓周率建立了嚴密的理論和完善的算法．所謂割圓術(shù)，即通過圓內(nèi)接正多邊形細割圓，并使正多邊形的周長無限接近圓的周長，進而求得較為精確的圓周率．劉徽形容“割圓術(shù)”為：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣．”已知的半徑為1，運用“割圓術(shù)”，以圓內(nèi)接正十二邊形近似估計的面積，可得的近似值為．12．已知是的內(nèi)接正十邊形的一條邊，是的內(nèi)接正十五邊形的一條邊，則以為一邊的的內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)是．13．雪花是一種美麗的結(jié)晶體，其形狀我們可近似看作一個正六邊形（如圖所示），連接，若是邊上的中點，連接，則的值為．14．將7個邊長均為1的正六邊形不重疊、無縫隙地按如圖所示擺放．（1）；（2）已知點在邊上，則的最大值為．15．如圖，已知，請用尺規(guī)作圖法求作的內(nèi)接正方形．（保留作圖痕跡，不寫作法）16．已知正五邊形，請僅用無刻度的直尺分別按下列要求畫圖（保留畫圖痕跡）(1)在圖①中，畫一個菱形；(2)在圖②中，畫出正五邊形的中心點．17．閱讀下面材料：小巖遇到這樣一個問題：如圖1，在正三角形ABC內(nèi)有一點P，且PA＝1，，PC＝2，求∠APB的度數(shù)；小巖是這樣思考的：如圖2，利用旋轉(zhuǎn)和全等的知識構(gòu)造，連接，得到兩個特殊的三角形，從而將問題解決．(1)請你回答：圖1中∠APB的度數(shù)等于____；（直接寫答案）參考小巖同學思考問題的方法，解決下列問題：(2)如圖3，在正方形ABCD內(nèi)有一點P，且，，．求∠APB的度數(shù)；(3)如圖4，在正六邊形ABCDEF內(nèi)有一點P，若∠APB＝，直接寫出PA，PB和PF的數(shù)量關(guān)系．18．如圖①，，分別是半圓的直徑上的點，點，在上，且四邊形是正方形．

(1)若，則正方形的面積為；(2)如圖②，點，，分別在，，上，連接，，四邊形是正方形，且其面積為16①求的值；②如圖③，點，，分別在，，上，連接，，四邊形是正方形．直接寫出正方形與正方形的面積比．

第12講正多邊形與圓模塊一思維導圖串知識模塊二基礎(chǔ)知識全梳理模塊三核心考點舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測1．了解正多邊形的概念及正多邊形與圓的關(guān)系，并進行有關(guān)計算；2．了解正多邊形的對稱性；3.會用量角器畫正多邊形，用直尺和圓規(guī)作一些特殊的正多邊形。1.之間所學到的正多邊形是？那什么叫正多邊形？正三角形（等邊三角形），正方形正多邊形：各邊相等、各角都相等的多邊形叫做正多邊形2.認識圓內(nèi)接正多邊形用量角器把一個圓分成n等分，依次連接各等分點所得的n邊形是這個圓的內(nèi)接正n邊形，這個圓是這個正n邊形的外接圓。正多邊形的外接圓的圓心叫做正多邊形的中心，外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑.3.與正多邊形的有關(guān)概念名稱名稱定義中心正多邊形的外接圓和內(nèi)切圓的公共圓心叫做正多邊形的中心（如圖圓O）。半徑正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑（如圖R）。邊心距正多邊形內(nèi)切圓的半徑叫做正多邊形的邊心距.（如圖r）。中心角正多邊形每一條邊所對的外接圓的圓心叫做正多邊形的中心角（如圖∠AOD）。4.正多邊形的計算名稱公式內(nèi)角正n變形的每個內(nèi)角都為中心角正n邊形的每個中心角都為外角正n邊形的每個外角都為邊心距正n邊形的邊心距周長正n邊形的周長C=na面積正n邊形的面積5.正多邊形的對稱性正多邊形都是軸對稱圖形，一個正n邊形共有n天對稱軸，每條對稱軸都經(jīng)過正n邊形的中心.一個正多邊形，如果有偶數(shù)條邊，那么它又是中心對稱圖形，對稱中心就是這個正多邊形的中心。6.正多邊形的畫法（1）量角器畫法在半徑為R的圓中，先用量角器畫一個度數(shù)為的圓心角，這個角所對的弧就是圓周的，然后在圓上依次截取這條弧的等弧，就得到圓的n等分點，順次連接各等分點即可作出半徑為R的正n邊形。（2）尺規(guī)作圖畫法①作正方形作法：1.在圓O中作兩條互相垂直的直徑AC、BD.2.依次連接A、B、C、D四個點，四邊形ABCD即可畫出。②作正六邊形作法：1.在圓O中畫出任意一條直徑AD；2.分別以點A、D為圓心，圓O的半徑為半徑作弧，與圓O相交與點B、F和點C、E；3.依次連接A、B、C、D、E、F六個點，即可畫出正六邊形?？键c一：正多邊形的中心角例1．已知正n邊形的內(nèi)角和是它的外角和的3倍，則這個正n邊形的中心角為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了正多邊形的內(nèi)角和和外角和，正多邊形的中心角，根據(jù)題意列出方程求得邊數(shù)，即可求得中心角的度數(shù)．【詳解】解：根據(jù)題意，得，解得，∴這個正n邊形的中心角為，故選：D．【變式1-1】如圖，圓內(nèi)接正九邊形兩條對角線相交，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了正多邊形與圓，圓周角定理，三角形外角的性質(zhì)，添加輔助線是解題的關(guān)鍵．根據(jù)正多邊形與圓求出相應的圓心角度數(shù)，再根據(jù)圓周角定理和三角形外角的性質(zhì)可得答案．【詳解】解：如圖，設(shè)這個正九邊形的外接圓為，則，∴，∴，故選：C．【變式1-2】如果一個正多邊形的內(nèi)角和是720°，那么它的中心角是度．【答案】【分析】本題考查了正多邊形的內(nèi)角和、邊數(shù)、中心角，先根據(jù)正多邊形的內(nèi)角和求出邊數(shù)，再求其中心角的度數(shù)即可．【詳解】解：設(shè)這個正多邊形的邊數(shù)為，由題意得，，解得，正六邊形的中心角是，故答案為：．【變式1-3】如圖，正方形的外接圓為，點P在劣弧上（不與點C重合）．

(1)求的度數(shù)；(2)若的半徑為8，求正方形的邊長．【答案】(1)(2)【分析】本題考查圓與正多邊形，圓周角定理：（1）連接，根據(jù)中心角的計算公式求出的度數(shù)，圓周角定理，求出的度數(shù)即可；（2）勾股定理求出的長即可．【詳解】（1）解：連接，

由題意得：，∴；（2）由（1）知：，又∵，∴，即正方形的邊長為：．考點二：由中心角求邊數(shù)例2．正多邊形的中心角為，則正多邊形的邊數(shù)是（

）A．4 B．6 C．8 D．12【答案】C【分析】本題考查正多邊形與圓，根據(jù)中心角的度數(shù)等于除以邊數(shù)，進行求解即可．【詳解】解：∵正多邊形的中心角為，∴這個多邊形的邊數(shù)是，∴正多邊形的邊數(shù)是8．故選：C．【變式2-1】如圖，、、、為一個正多邊形的頂點，為正多邊形的中心，若，則這個正多邊形的邊數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了正多邊形與圓，圓周角定理，連接，，根據(jù)圓周角定理得到，即可得到結(jié)論，熟練掌握圓周角定理的應用及正確理解正多邊形與圓的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：連接，，∵、、、為一個正多邊形的頂點，為正多邊形的中心，∴點、、、在以點為圓心，為半徑的同一個圓上，∵，∴，∴這個正多邊形的邊數(shù)，故選：．【變式2-2】如圖，是的內(nèi)接正六邊形的一邊，點在上．且是的內(nèi)接正十邊形的一邊，若是的內(nèi)接正邊形的一邊，則．

【答案】/十五【分析】本題考查正多邊形和圓，連接，求出的度數(shù)，利用360度除以的度數(shù)即可得出結(jié)果．【詳解】解：連接，

∵是的內(nèi)接正六邊形的一邊，∴，∵是的內(nèi)接正十邊形的一邊，∴，∴，∴；故答案為：．【變式2-3】古建中的數(shù)學：古亭探“優(yōu)”．【了解】“江山無限景，都聚一亭中．”八角亭是典型的中國八棱形樓閣式建筑，其結(jié)構(gòu)穩(wěn)固、勻稱，有利于減弱風力、抵御地震，如圖①，將八角亭頂部的輪廓抽象后得到的幾何圖形為正八邊形．【探索】先將正方形、完全重合，再將正方形繞其中心旋轉(zhuǎn)一定的角度，就得到了正八邊形，如圖②，這種構(gòu)造正八邊形的方法稱為“四轉(zhuǎn)八”法．（1）旋轉(zhuǎn)的角度最小為_______o；（2）若正八邊形的邊長為2，則正方形的邊長為______；（3）連接，則與之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由；【作圖】（4）如圖③，已知正方形請你利用無刻度直尺和圓規(guī)作一個正八邊形，并使其所有頂點均落在正方形的邊上．（保留作圖痕跡，并寫出必要的說明）【答案】（1）；（2）；（3），理由見解析；（4）見解析【分析】（1）設(shè)正方形、的中心為Q，連結(jié)、、、、、、、，可證得，得出，同理，可得；（2）由題意得，再由、、均為等腰直角三角形，即可求得答案；（3）由，，，可得，，即可求得答案；（4）連結(jié)、交于點，跟別以四個頂點為圓心，以、、、為半徑畫圓，圓與四條邊的八個交點即為正八邊形的頂點．【詳解】（1）解：如圖設(shè)正方形、的中心為，連結(jié)、、、、、、、，則、、、經(jīng)過點，，，，四邊形、是正方形，，是正八邊形，，，，，同理，，；（2）正八邊形的邊長為2，，由（1）知：、、均為等腰直角三角形，，，；（3），理由如下：由（2）知：，，，可得，，，；（4）如圖：連結(jié)、交于點，跟別以四個頂點為圓心，以、、、為半徑畫圓，圓與四條邊的八個交點即為正八邊形的頂點．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，尺規(guī)作圖等，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．考點三：正多邊形與圓綜合例3.半徑為2的圓的一個內(nèi)接正多邊形的內(nèi)角為，則這個內(nèi)接正多邊形的邊長為（

）A．1 B．2 C． D．【答案】B【分析】本題考查正多邊形和圓，掌握正六邊形的性質(zhì)是正確解答的前提．根據(jù)正六邊形的性質(zhì)，正三角形的性質(zhì)進行計算即可．【詳解】解：如圖，∵半徑為2的圓的一個內(nèi)接正多邊形的內(nèi)角為，∴，∴，∴的內(nèi)接正多邊形是六邊形，，，∴是正三角形，，∴正六邊形的邊長為2，故選：B．【變式3-1】如圖，正五邊形內(nèi)接于，點是上的一個動點，當沿著的路徑在圓上運動的過程中（不包括，兩點），的度數(shù)是（

）A． B． C． D．不確定【答案】A【分析】本題考查了正多邊形與圓，圓周角定理，根據(jù)正多邊形的性質(zhì)求得中心角為，進而根據(jù)圓周角定理即可求解．【詳解】解：連接，依題意，∵，∴故選：A．【變式3-2】如圖，正六邊形與正方形都內(nèi)接于，連接，則弦所對圓周角的度數(shù)為．【答案】或【分析】本題考查正多邊形和圓的關(guān)系，以及同弧所對圓周角是它所對圓心角得一半，先求出正六邊形和正方形的邊所對的圓心角，求差可得弦所對得圓心角，再分別求出優(yōu)弧和劣弧所對得圓周角即可．【詳解】如圖，連接，，∵四邊形是正方形∴∵六邊形是正六邊形∴∴∴弦所對圓周角的度數(shù)為或故答案為：或．【變式3-3】如圖，正方形內(nèi)接于，E是的中點，連接．

(1)求∠E的度數(shù)．(2)求證：．(3)若，則點E到的距離為．【答案】(1)(2)見解析(3)【分析】本題考查了正多邊形和圓，線段垂直平分線的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識．（1）利用正方形和圓的關(guān)系，求得中心角的度數(shù)，再利用圓周角定理即可求解；（2）要證明，只要證明即可；（3）連接并延長交于點F，證明是線段的垂直平分線，再利用勾股定理即可求解．【詳解】（1）解：如圖，連接，，

∴∵正方形內(nèi)接于，∴，∴；（2）證明：∵四邊形是正方形，∴，∴．∵E是的中點，∴，∴，∴，∴；（3）解：連接并延長交于點F，

∵，，∴是線段的垂直平分線，∵，，∴，，∴，∴，即點E到的距離為，故答案為：．考點四：尺規(guī)作圖——正多邊形例4．如圖，已知，求作：內(nèi)接正六邊形，以下是甲、乙兩同學的作業(yè)：甲：①先作直徑；②作的垂直平分線交于點、；③作的垂直平分線交于點、；④依次連接，六邊形即為所求（如圖①）．乙：①上任取點，以點為圓心，為半徑畫弧，交于點；②以點為圓心，為半徑畫弧交于點；③同上述作圖方法逆時針作出點、、；④依次連接，多邊形即為正六邊形（如圖②）．對于兩人的作業(yè)，下列說法正確的是（

）A．兩人都不對 B．甲對，乙不對 C．兩人都對 D．甲不對，乙對【答案】C【分析】由甲同學的作業(yè)可知，，同理可知，由乙同學的作業(yè)可知．依次畫弧可得．進而即可判斷【詳解】由甲同學的作業(yè)可知，，同理可知，六邊形是正六邊形，即甲同學的作業(yè)正確．由乙同學的作業(yè)可知．依次畫弧可得．六邊形為正六邊形，即乙同學的作業(yè)正確．故選C【點睛】本題考查了正多邊形的尺規(guī)作圖，掌握正多邊形與圓的相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．【變式4-1】如圖，為直徑，作的內(nèi)接正六邊形，甲、乙兩人的作法分別如下：甲：1．作的中垂線，交圓于兩點；2．作的中垂線，交圓于兩點；3．順次連接六個點，六邊形即為所求；乙：1．以為圓心，長為半徑作弧，交圓于兩點；2．以為圓心，長為半徑作弧，交圓于兩點；3．順次連接六個點，六邊形即為所求；對于甲、乙兩人的作法，可判斷（

）A．甲對，乙不對 B．甲不對，乙對C．兩人都不對 D．兩人都對【答案】D【分析】甲的做法可根據(jù)對角線垂直平分可得到菱形，從而可得到多個等邊三角形和各邊和各角相等，乙的做法根據(jù)等邊三角的內(nèi)角是60°，求出其他等邊三角形，從而得出各邊和各角相等【詳解】甲：∵BF是中垂線

∴四邊形OCDE是菱形

∴△OCD,△OED都是等邊三角形，同理可得△OAB,△OAF也是等邊三角形

∴∠BOC=∠EOF=60°∴△OBC,△OEF也是等邊三角形∴內(nèi)接六邊形各邊相等，各角相等都是120°∴圓內(nèi)接六邊形ABCDEF是正六邊形乙：∵AB=AO=BO=AF=OF∴△OAB,△OAF都是等邊三角形，同理可得△OCD,△OED也是等邊三角形

∴∠BOC=∠EOF=60°∴△OBC,△OEF也是等邊三角形∴內(nèi)接六邊形各邊相等，各角相等都是120°∴圓內(nèi)接六邊形ABCDEF是正六邊形故選D【點睛】本題關(guān)鍵是想辦法求出多個等邊三角形，從而得到六條邊，六個角也相等【變式4-2】如圖，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，O為格點，⊙經(jīng)過格點A．（1）⊙的周長等于；（2）請用無刻度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫出⊙的內(nèi)接等邊，并簡要說明點B，C的位置是如何找到的（不要求證明）．【答案】見解析【分析】（1）利用勾股定理可得答案；（2）延長交網(wǎng)格線于點D，取格點E，F(xiàn)，連接交網(wǎng)格線于點G，作直線交于點B，C，連接，，則即為所求．【詳解】（1）∵⊙的半徑為：，∴⊙的周長，故答案為：（2）如圖：∵，又∵，∴，∴．∵，

∴，∴．∵，∴．∵，∴．

∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴是矩形．∴，∴，∵，∴，

∴，∴．∵，∴，∵過圓心,，∴，∴，∴，∵，∴是等邊三角形．故答案為：如圖，延長交網(wǎng)格線于點D，取格點E，F(xiàn)，連接交網(wǎng)格線于點G，作直線交于點B，C，連接，，則即為所求．【點睛】此題考查作圖中的復雜作圖，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題,屬于中考?？碱}型．【變式4-3】如圖，由小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格中，每個小正方形的頂點叫做格點．僅用無刻度的直尺在給定的網(wǎng)格中按要求作圖（保留作圖痕跡）．(1)在圖1中過點作的切線；(2)在圖1中畫出一個圓內(nèi)接正方形；(3)在圖2中的圓上畫出線段的中點；(4)在圖3中作一個的圓周角．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析(4)見解析【分析】（1）先連接，根據(jù)切線的性質(zhì)作圖即可；（2）先過圓心作出直徑，然后作出的垂直平分線交于、兩點，最后順次連接、、、，即可得到圓內(nèi)接正方形；（3）取格點，作直線交于點，由等腰直角三角形的性質(zhì)結(jié)合正方形的性質(zhì)可得符合題意；（4）先作半徑的垂直平分線交于，連接，，則為等邊三角形，可得，根據(jù)圓周角定理即可求解．【詳解】（1）如圖所示：（2）如圖，正方形即為所求，（3）如圖，點即為所求，（4）如圖，即為所求【點睛】本題考查基本幾何作圖，涉及到圓周角定理、垂徑定理的推論，圓的基本性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握網(wǎng)格中的基本作圖方法和相關(guān)知識是解答的關(guān)鍵．1．如圖，正八邊形內(nèi)接于，連接，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查正多邊形的性質(zhì)．根據(jù)題意，由正八邊形內(nèi)接于知，．【詳解】解：正八邊形內(nèi)接于．故選：C．2．每一片雪花各頂點連接其外形就是正六邊形．若繞這個正六邊形的中心旋轉(zhuǎn)至和原圖形重合，至少需要旋轉(zhuǎn)（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查正多邊形與圓，求出正六邊形的中心角度數(shù)，即可得出結(jié)果．【詳解】解：正六邊形的中心角的度數(shù)為，∴繞這個正六邊形的中心旋轉(zhuǎn)至和原圖形重合，至少需要旋轉(zhuǎn)；故選D．3．如圖，將一張正六邊形紙片的陰影部分剪下，恰好拼成一個菱形，若拼成的菱形的面積為2，則原正六邊形紙片的面積為（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】B【分析】本題主要考查的是正多邊形與圓，熟練的把正六邊形分割為6個全等三角形是解本題的關(guān)鍵．如圖：可將正六邊形分為6個全等的三角形，拼成的四邊形由兩個三角形組成，剩余部分由4個三角形組成，據(jù)此可求得剩余部分的面積即可．【詳解】解：如圖：將正六邊形可分為6個全等的三角形，∵拼成的四邊形的面積為2，∴每一個三角形的面積為1，∵剩余部分可分割為4個三角形，∴原正六邊形紙片的面積為6．故選B．4．如圖，正三角形和正六邊形都內(nèi)接于連接則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查的是正多邊形與圓，等腰三角形的性質(zhì)，先求解，，再進一步結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：如圖，連接，∵正三角形，∴，∵，∴，∵正六邊形，∴，，∴，∴，∴，故選D5．如圖，在中，點C為上的點，．若，且是的內(nèi)接正n邊形的一邊，則n的值為（

）A．8 B．9 C．10 D．12【答案】B【分析】本題考查了正多邊形和圓、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理等知識，根據(jù)題意求出中心角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)求出，繼而求出，再根據(jù)求出的度數(shù)，則由邊數(shù)中心角得解．【詳解】解：連接，在優(yōu)弧上取點D，連接，，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴故選：B．6．如圖，正方形與等邊內(nèi)接于，，則等于（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了正多邊形與圓，圓周角的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．由圓內(nèi)接正多邊形的性質(zhì)證得，，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求得，，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)求得，即可求出．【詳解】解：連接，，，正方形與等邊內(nèi)接于，，，，，，，，，，，，故選：D7．如圖，多邊形為正六邊形，點P在邊上，過點P作交于點Q，連接，且滿足設(shè)四邊形、四邊形和的面積分別為、、，則正六邊形的面積為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查正多邊形與圓，平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換等知識，如圖，將繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接交于H．證明，可得結(jié)論．【詳解】解：如圖，將繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接交于H．∵，∴，∴，∴四邊形是等腰梯形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴．故選：A．8．已知四個正六邊形如圖擺放在圖中，頂點A，B，C，D，E，F(xiàn)在圓上．若兩個大正六邊形的邊長均為2，則小正六邊形的邊長是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】在邊長為2的大正六邊形中，根據(jù)正六邊形和圓的性質(zhì)可求出ON和半徑OD，進而得出小正六邊形MF的長，再根據(jù)正六邊形的性質(zhì)求出半徑GF，即邊長FH即可．【詳解】解：如圖，連接AD交PM于O，則點O是圓心，過點O作ON⊥DE于N，連接MF，取MF的中點G，連接GH，GQ，由對稱性可知，OM＝OP＝EN＝DN＝1，由正六邊形的性質(zhì)可得ON＝2，∴ODOF，∴MF1，由正六邊形的性質(zhì)可知，△GFH、△GHQ、△GQM都是正三角形，∴FHMF，故選：D．

【點睛】本題考查正多邊形和圓，掌握正六邊形和圓的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．9．若多邊形的一個內(nèi)角等于144°，且每個內(nèi)角的度數(shù)相等，則這個多邊形的邊數(shù)是．【答案】10【分析】本題考查正多邊形的內(nèi)角公式，已知正多邊形的內(nèi)角的和公式為（大于等于3且為整數(shù)），正多邊形各內(nèi)角度數(shù)為．關(guān)鍵在于對正多邊形內(nèi)角公式的準確記憶，以及正確計算出結(jié)果．【詳解】解：∵多邊形的一個內(nèi)角等于144°，且每個內(nèi)角的度數(shù)相等，∴此多邊形為正多邊形，設(shè)這個正多邊形的邊數(shù)為，根據(jù)正多邊形內(nèi)角度數(shù)公式可得：，解得：．故答案為：10．10．如圖，個相同的正六邊形恰好可以圍成一個環(huán)狀，的值為＝．【答案】【分析】本題考查了正多邊形和圓，能求出每個正六邊形被圓截的弧對的圓心角的度數(shù)是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，延長正六邊形的兩邊，∵正六邊形的每個外角為∴圓心角為，∴的值為，故答案為：．11．魏晉時期數(shù)學家劉徽首創(chuàng)割圓術(shù)，為計算圓周率建立了嚴密的理論和完善的算法．所謂割圓術(shù)，即通過圓內(nèi)接正多邊形細割圓，并使正多邊形的周長無限接近圓的周長，進而求得較為精確的圓周率．劉徽形容“割圓術(shù)”為：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣．”已知的半徑為1，運用“割圓術(shù)”，以圓內(nèi)接正十二邊形近似估計的面積，可得的近似值為．【答案】3【分析】本題考查了正多邊形與圓，三角形的面積的計算，圓的面積，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．過作于，求得，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形的面積公式得到，于是得到正十二邊形的面積為，根據(jù)圓的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】解：如圖，是正十二邊形的一條邊，點是正十二邊形的中心，

過作于，在正十二邊形中，，，，正十二邊形的面積為，，，的近似值為3，故答案為：3．12．已知是的內(nèi)接正十邊形的一條邊，是的內(nèi)接正十五邊形的一條邊，則以為一邊的的內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)是．【答案】6或30【分析】本題考查正多邊形與圓，該題以正多邊形和圓為載體，以正多邊形和圓的性質(zhì)的考查為核心構(gòu)造而成；靈活運用有關(guān)定理來分析判斷是解題的關(guān)鍵．如圖，首先求出、的度數(shù)，進而求出的度數(shù)即可解決問題．【詳解】解：如圖，∵是內(nèi)接正十邊形的一邊，是的內(nèi)接正十五邊形的一邊，∴，，當點C在外時，；當點C在上時，；即以為邊的內(nèi)接正多邊形的中心角的度數(shù)為或．∴多邊形的邊數(shù)為6或30．故答案為：6或30．13．雪花是一種美麗的結(jié)晶體，其形狀我們可近似看作一個正六邊形（如圖所示），連接，若是邊上的中點，連接，則的值為．【答案】【分析】本題考查正多邊形和圓，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)，直角三角形的邊角關(guān)系以及勾股定理進行計算即可，掌握正六邊形的性質(zhì)，直角三角形的邊角關(guān)系以及勾股定理是正確解答的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，取的中點，連接，由對稱性可知，所在的直線是正六邊形的對稱軸，設(shè)圓心為，連接，∵六邊形是正六邊形，點是中心，∴，∵，∴是正三角形，∴，在中，設(shè)，則，∴，∴，在中，，，∴，∵，∴，故答案為：．14．將7個邊長均為1的正六邊形不重疊、無縫隙地按如圖所示擺放．（1）；（2）已知點在邊上，則的最大值為．【答案】30【分析】本題考查了正多邊形的內(nèi)角和、等邊三角形的判定與性質(zhì)、含的直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握以上知識點并靈活運用，添加適當?shù)妮o助線是解此題的關(guān)鍵．（1）先求出正六邊形的一個內(nèi)角的度數(shù)，再結(jié)合等邊對等角以及三角形內(nèi)角和定理計算即可得出答案；（2）連接交于，連接，交于，則，當、重合時，點到線段的值最大，為，證明是等邊三角形，得到，故，由含的直角三角形的性質(zhì)得出，，從而求出，的長，最后由三角形面積公式計算即可得出答案．【詳解】解：（1）由題意得：正六邊形的一個內(nèi)角為，∴，故答案為：；（2）如圖，連接交于，連接，交于，則，，∴當、重合時，點到線段的值最大，為，由正六邊形的性質(zhì)可得：，∴是等邊三角形，∴，故，∵，∴，，∴，，∴的最大值為，故答案為：．15．如圖，已知，請用尺規(guī)作圖法求作的內(nèi)接正方形．（保留作圖痕跡，不寫作法）【答案】見解析【分析】本題考查了作正方形，考查了圓的基本性質(zhì)，正方形的判定；先在圓上確定一點，連接并延長交于點，再作的垂直平分線交于B、D，連接，則四邊形就是所求作的內(nèi)接正方形．【詳解】解：如圖，正方形為所作．垂直平分，為的直徑，為的直徑，，