中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（基礎(chǔ)篇）：動點問題（圓與三角形）1．在等腰Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°（1）如圖1，D，E是等腰Rt△ABC斜邊BC上兩動點，且∠DAE＝45°，將△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90后，得到△AFC，連接DF①求證：△AED≌△AFD；②當BE＝3，CE＝7時，求DE的長；（2）如圖2，點D是等腰Rt△ABC斜邊BC所在直線上的一動點，連接AD，以點A為直角頂點作等腰Rt△ADE，當BD＝3，BC＝9時，求DE的長．2．如圖，已知△ABC中，AB=AC=10厘米，BC=8厘米，點D為AB的中點．（1）如果點P在線段BC上以3厘米/秒的速度由B點向C點運動，同時，點Q在線段CA上由C點向A點運動．①若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，經(jīng)過1秒后，△BPD與△CQP是否全等，請說明理由；②若點Q的運動速度與點P的運動速度不相等，△BPD與△CQP是否可能全等？若能，求出全等時點Q的運動速度和時間；若不能，請說明理由．（2）若點Q以②中的運動速度從點C出發(fā)，點P以原來的運動速度從點B同時出發(fā)，都逆時針沿△ABC三邊運動，求經(jīng)過多長時間點P與點Q第一次在△ABC的哪條邊上相遇？3．在平面直角坐標系xOy中，點A（0，3），點B（m，0），以AB為腰作等腰Rt△ABC，如圖所示．（1）若S△ABC（2）記BC交y軸于點D，CE⊥y軸于點E，當y軸平分∠BAC時，求ADCE（3）連接OC，當OC＋AC最小時，求點C的坐標．4．如圖：已知點A（0，1），點B在第一象限，△OAB是等邊三角形，點C是X軸上的動點，以AC為邊作等邊三角形△ACD(A、C、D三點按逆時針排列)，直線BD交Y軸于點E（1）求證：△CAO≌△DAB；（2）點C運動時，點E是動點還是定點？若是動點，指出其運動路徑；若是定點，求其坐標；（3）連接CE，若∠ACD=25°，求∠CED的度數(shù)．5．如圖，ΔABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，點P從A點出發(fā)沿A-C-B路徑向終點運動，終點為B點；點Q從B點出發(fā)沿B-C-A路徑向終點運動，終點為A點，點P和Q分別以1cm/s和xcm/s的運動速度同時開始運動，兩點都要到相應(yīng)的終點時才能停止運動，在某時刻，分別過P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F.（1）如圖，當x=2時，設(shè)點P運動時間為ts，當點P在AC上，點Q在BC上時：用含t的式子表示CP和CQ，則CP=cm，CQ=cm；（2）當t=2時,ΔPEC與ΔQFC全等嗎？并說明理由；（3）請問:當x=3時，ΔPEC與ΔQFC有沒有可能全等？若能，直接寫出符合條件的t的值；若不能，請說明理由。6．在Rt△ABC中，∠ABC=90°,AB=BC，點E在射線CB上運動．連接AE，將線段AE繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90°得到EF，連接CF．（1）如圖1，點E在點B的左側(cè)運動．①當BE=1，BC=3時，則∠EAB=°②猜想線段CA,CF與CE之間的數(shù)量關(guān)系為．（2）如圖2，點E在線段CB上運動時，第（1）問中線段CA,CF與CE之間的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？如果成立，請說明理由；如果不成立，請求出它們之間新的數(shù)量關(guān)系．（3）點E在射線CB上運動，BC=3，設(shè)BE=x，以A，E，C，F(xiàn)為頂點的四邊形面積為y，請直接寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式（不用寫出x7．如圖，△ABC是邊長為6cm的等邊三角形，點P，Q分別從頂點A，B同時出發(fā)，點P沿射線AB運動，點Q沿折線BC?CA運動，且它們的速度都為1cm/s．當點Q到達點A時，點P隨之停止運動連接PQ，PC，設(shè)點P的運動時間為t(（1）當點Q在線段BC上運動時，BQ的長為（cm），BP的長為（cm）（用含t的式子表示）；（2）當PQ與△ABC的一條邊垂直時，求t的值；（3）在運動過程中，當△CPQ是等腰三角形時，直接寫出t的值．8．已知：如圖，∠QAN為銳角，H、B分別為射線AN上的點，點H關(guān)于射線AQ的對稱點為C，連接AC，CB．（1）依題意補全圖；（2）CB的垂直平分線交AQ于點E，交BC于點F．連接CE，HE，EB．①求證：△EHB是等腰三角形；②若AC+AB＝112AE，求cos9．如圖l，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，點P從點B出發(fā)，沿AB邊向終點A以每秒1cm的速度運動，同時點Q從點C出發(fā)沿C→B→A向終點A以每秒3cm的速度運動，P、Q其中一點到達終點時，另一點隨之停止運動，設(shè)運動時間為t秒.解答下列問題：（1）當Q在BC邊時，①當t為▲秒時，PQ的長為22cm？②連接AQ，當t為幾秒時，△APQ的面積等于16cm2？（2）如圖2，以P為圓心，PQ長為半徑作⊙P，在整個運動過程中，是否存在這樣的t值，使⊙P正好與△ABD的一邊（或邊所在的直線）相切？若存在，求出t值；若不存在，請說明理由.10．在平面直角坐標系xOy中，對于直線l：y≡kx+b，給出如下定義：若直線l與某個圓相交，則兩個交點之間的距離稱為直線（1）如圖1，⊙O的半徑為1，當k=1，b=1時，直接寫出直線l關(guān)于（2）點M的坐標為(1①如圖2，若⊙M的半徑為1，當b=1時，直線l關(guān)于⊙M的“圓截距”小于45②如圖3，若⊙M的半徑為2，當k的取值在實數(shù)范圍內(nèi)變化時，直線l關(guān)于⊙M的“圓截距”的最小值為2，直接寫出b的值．11．如圖，△ABC是等邊三角形，AB=6，P是AC邊上一動點，由A向C運動（與A、C不重合），Q是CB延長線上一動點，由B向CB延長線方向運動（Q不與B重合），已知點P、Q都以每秒0.（1）運動幾秒后，△PCQ為直角三角形？（2）求證：在運動過程中，點D始終為線段PQ的中點；（3）過P作PE⊥AB于E，在運動過程中線段ED的長是否發(fā)生變化？如果不變，直接寫出線段ED的長；如果變化請說明理由．12．對于平面直角坐標系xOy中的點M和圖形G1，G2給出如下定義：點P為圖形G1上一點，點Q為圖形G2上一點，當點M是線段PQ的中點時，稱點M是圖形G1，G2的“中立點”．如果點P(x1,y1（1）連接BC，在點D(12,0)，E(0,1)，F(xiàn)(12（2）已知點G(3,0)，⊙G的半徑為2．如果直線y=x?1上存在點K可以成為點A和⊙G的“中立點”，求點K的坐標；（3）以點C為圓心，半徑為2作圓．點N為直線y=2x+4上的一點，如果存在點N，使得y軸上的一點可以成為點N與⊙C的“中立點”．直接寫出點N的橫坐標n的取值范圍．13．如圖1，在平面直角坐標系中，A、B坐標為(6，0)、(0，6)，P為線段AB上的一點（1）如圖1，若S△AOP＝12，求P的坐標（2）如圖2，若P為AB的中點，點M、N分別是OA、OB邊上的動點，點M從頂點A、點N從頂點O同時出發(fā)，且它們的速度都為1cm/s，則在M、N運動的過程中，線段PM、PN之間有何關(guān)系？并證明（3）如圖3，若P為線段AB上異于A、B的任意一點，過B點作BD⊥OP，交OP、OA分別與F、D兩點，E為OA上一點，且∠PEA＝∠BDO，試判斷線段OD與AE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由14．若一個三角形的最大內(nèi)角小于120°，則在其內(nèi)部有一點所對三角形三邊的張角均為120°，此時該點叫做這個三角形的費馬點．如圖1，當△ABC三個內(nèi)角均小于120°時，費馬點P在△ABC內(nèi)部，此時∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，PA+PB+PC的值最?。?）如圖2，等邊三角形ABC內(nèi)有一點P，若點P到頂點A，B，C的距離分別為3，4，5，求∠APB的度數(shù)．為了解決本題，小林利用“轉(zhuǎn)化”思想，將△ABP繞頂點A旋轉(zhuǎn)到△ACP'處，連接PP'，此時△AC（2）如圖3，在圖1的基礎(chǔ)上延長BP，在射線BP上取點D，E，連接AE，AD．使AD=AP，∠DAE=∠PAC，求證：BE=PA+PB+PC．（3）如圖4，在直角三角形ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，AB=1，點P為直角三角形ABC的費馬點，連接AP，BP，CP，請直接寫出PA+PB+PC的值．15．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BCAC（1）探究發(fā)現(xiàn)：如圖1，若m＝n，點E在線段AC上，則DEDF＝（2）數(shù)學(xué)思考：①如圖2，若點E在線段AC上，則DEDF＝②當點E在直線AC上運動時，①中的結(jié)論是否仍然成立？請僅就圖3的情形給出證明；（3）拓展應(yīng)用：若AC＝5，BC＝25，DF＝42，請直接寫出CE的長.16．在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，點P從點A出發(fā)沿AB邊以1cm/s的速度向點B移動（點P可以與點A重合），同時，點Q從點B出發(fā)沿BC以2cm/s的速度向點C移動（點Q可以與點B重合），其中一點到達終點時，另一點隨之停止運動設(shè)運動時間為t秒．（1）如圖1，幾秒后，△BPQ的面積等于8cm（2）如圖2，在運動過程中，若以P為圓心、PA為半徑的⊙P與BD相切，求t值；（3）若以Q為圓心，PQ為半徑作⊙Q．如圖3，若⊙Q與四邊形CDPQ的邊有三個公共點，則t的取值范圍為．（直接寫出結(jié)果，不需說理）

答案解析部分1．【答案】（1）解：①如圖1中，∵將△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°后，得到△AFC，∴△BAE≌△CAF，∴AE＝AF，∠BAE＝∠CAF，∵∠BAC＝90°，∠EAD＝45°，∴∠CAD+∠BAE＝∠CAD+∠CAF＝45°，∴∠DAE＝∠DAF，∵DA＝DA，AE＝AF，∴△AED≌△AFD（SAS）；②如圖1中，設(shè)DE＝x，則CD＝7﹣x．∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACB＝45°，∵∠ABE＝∠ACF＝45°，∴∠DCF＝90°，∵△AED≌△AFD（SAS），∴DE＝DF＝x，∵在Rt△DCF中，DF2＝CD2+CF2，CF＝BE＝3，∴x2＝（7﹣x）2+32，∴x＝297∴DE＝29（2）解：∵BD＝3，BC＝9，∴分兩種情況如下：①當點E在線段BC上時，如圖2中，連接BE．∵∠BAC＝∠EAD＝90°，∴∠EAB＝∠DAC，∵AE＝AD，AB＝AC，∴△EAB≌△DAC（SAS），∴∠ABE＝∠C＝∠ABC＝45°，EB＝CD＝9-3=6，∴∠EBD＝90°，∴DE2＝BE2+BD2＝62+32＝45，∴DE＝35；②當點D在CB的延長線上時，如圖3中，連接BE．同理可證△DBE是直角三角形，EB＝CD＝3+9=12，DB＝3，∴DE2＝EB2+BD2＝144+9＝153，∴DE＝317，綜上所述，DE的值為35或317．2．【答案】（1）解：①∵t=1秒，∴BP=CQ=3×1=3厘米，∵AB=10厘米，點D為AB的中點，∴BD=5厘米．又∵PC=BC?BP，BC=8厘米，∴PC=8?3=5厘米，∴PC=BD．又∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△BPD和△CQP中BP=CQ∴△BPD≌△CQP．②∵vP∴BP≠CQ，又∵△BPD與△CQP全等，∠B=∠C，則BP=PC=4，CQ=BD=5，∴點P，點Q運動的時間t=BP3=∴vQ=CQ（2）解：設(shè)經(jīng)過x秒后點P與點Q第一次相遇，∵15∴點P與點Q第一次相遇時，點Q比點P多走AB＋AC=20厘米∴154解得x=80∴點P共運動了803∵80=2×(8+10+10)+24，∴點P、點Q在AB邊上相遇，∴經(jīng)過803秒，點P與點Q第一次在邊AB3．【答案】（1）解：∵∴∴A∴AB=10又O∴9+∴∴m=±1,∵B在x軸的負半軸上，∴m=?1.（2）解：過C作CH⊥OB于H，∴∠CHB=∠BOA=90°,∴∠ABO+∠CBH=∠CBH+∠BCH=90°,∴∠ABO=∠BCH,∵AB=BC,∴△ABO≌△BCH,∵A(0,3),B(m,0),∴AO=BH=3,BO=CH=?m,∴HO=BH?OB=3?(?m)=3+m,∴CE=3+m,∴C(3+m,m),由勾股定理得：A∴∵∴∴AD=作∠BGO=45°,G在AO上，∴OB=OG=?m,∵AB=BC,∠ABC=90°,∴∠BAC=45°,∵y軸平分∠BAC，∴∠BAG=22.5°=∠GBA,∴GB=GA=3+m,由勾股定理得：(3+m)∴∴（3）解：由（2）同理可得：C(m+3,m)，∴x=m+3,y=m,∴y=x?3,∴C在直線y=x?3上，設(shè)直線y=x?3與x,y軸分別交于Q,N，則Q(3,0),N(0,3),∴OQ=ON=3,過O作OM⊥QN于K,使KO=KM,連接AM交QN于C,則此時OC+AC最小，∴K為QN的中點，∴K(∵KO=KM,∴M(3,?3),設(shè)AM為y=kx+b,∴解得：k=?2∴AM為y=?2x+3,∴解得：x=2∴C(2,?1).即當OC+AC最小時，C(2,?1).4．【答案】（1）證明：∵△ACD與△OAB為等邊三角形，∴AC=AD，AO=AB，∠CAD=∠OAB，∴∠CAO=∠DAB，∴△CAO≌△DAB；（2）解：點E是定點，∵A(0，1)，∴OA=AB=1，由①得∠ABD=∠AOC=90°，又∵∠OAB=60°，∴∠AEB=30°，∴AE=2AB=2，OE=AE-OA=2-1=1，∴E(0，1)，（3）解：由①得∠ADB=∠ACO=25°，由②得x軸垂直平分AE，∴AC=EC，又∵AC=DC，∴CE=CD，∴∠CED=∠CDE，當D在第三象限時，∠CED=∠CDE=60+25=85°，當D在第一象限時，∠CED=∠CDE=60-25=35°，∴∠CED為85°或35°．5．【答案】（1）6-t；8-2t（2）解：當t=2時，△PEC≌△CFQ；理由如下：當t=2時，CP=6?2=4，CQ=8?2×2=4∴CP=CQ，∵∠ACB=90°，∴∠PCE+∠QCF=90°,∵PE⊥l于E，QF⊥l于F，∴∠PEC=∠QFC=90°，∴∠QCF+∠CQF=90°，∴∠PCE=∠CQF，在△PEC和△CFQ中，有∠PEC=∠QFC∠PCE=∠CQF∴△PEC≌△CFQ（AAS）；（3）解：①當P在AC上，Q在BC上時，有CQ=8?3t，∵△PEC≌△CFQ，∴CP=CQ，即：6?t=8?3t，解得：t=1，②當點P與點Q重合，如圖2所示：∴△PEC與△QFC全等，∴6-t=3t-8．解得：t=3.5．③當點P在BC上，點Q到點A時，此時：CP=AC∴t-6=6，∴t=12，即：滿足條件的時間為：1秒或3.5秒或12秒．∴當x=3時，時間t=1s，t=3.5s，t=12s，有△PEC≌△CFQ；6．【答案】（1）30；CA+CF=（2）解：不成立．如圖2，過點F作FH⊥BC交BC的延長線于點H．∴∠AEF=90°,AE=EF，∴∠AEB+∠FEH=90°，∠AEB+∠BAE=90°，∴∠FEH=∠BAE，∴Rt△ABE≌Rt△EHF，∴FH=BE,EH=AB=BC,∴CH=BE=FH,∴△FHC為等腰直角三角形，∴CH=BE=2又∵EC=BC?BE=2即CA?CF=2（3）點E在點B左側(cè)運動時，y=12x27．【答案】（1）t；（6-t）（2）解：根據(jù)題意分三種情況討論：①如圖所示：當PQ⊥CB時，∠PQB=90°，∵三角形ABC為等邊三角形，∴∠A=∠ACB=∠ABC=60°，∴∠QPB=30°，∴QB=1由（1）可得：t=1解得：t=2；②如圖所示：當PQ⊥AB時，∠QPB=90°，∵∠ABC=60°，∴∠BQP=30°，∴QB=2PB，由（1）可得：t=2(6?t)，解得：t=4；③如圖所示：當PQ⊥AC時，∠AQP=90°，∵∠A=60°，∴∠APQ=30°，∴AP=2QA，由（1）可得：t=2(12?t)，解得：t=8；綜上可得：當t=2或t=4或t=8時，PQ與△ABC的一條邊垂直；（3）解：當t=3或t=98．【答案】（1）解：圖形如圖1所示：（2）解：①證明：如圖2中，∵C，H關(guān)于AQ對稱，∴∠CAE＝∠EAH，AC＝AH，∵AE＝AE，∴△ACE≌△AHE（SAS），∴EC＝EH，∵EF垂直平分線段BC，∴EC＝EB，∴EH＝EB，∴△EHB是等腰三角形．②解：如圖2﹣1中，作EM⊥AB于M．∵EH＝EB，EM⊥BH，∴HM＝MB，∴AC+AB＝AH+AB＝AM﹣HM+AM+BM＝2AM，∵AC+AB＝112∴4AM＝11AE，在Rt△AEM中，cos∠EAB＝AMAE＝∴cos∠EAB＝119．【答案】（1）解：①2②由題意知：點Q在BC邊上，∵△APQ的面積=12∴12解得t1=23，t2∴當t為23秒時，△APQ的面積等于16cm2（2）解：存在t，使⊙P正好與△ABD的邊AD或BD相切，此時Q在AB上，且t>8若與BD相切，作PK⊥BD于K，則△PBK∽△DBA，∴PKAD∵PK=PQ=3t-8，BD=AD∴3t?8∴t=40若與AD相切，當P、Q兩點中Q點先到A點時，此時t=14∴6-143=4∴⊙P的半徑為43若與AD相切，當點Q未到達點A時，則PA=PQ，∴6-t=t-（3t-8），解得t=2，當t=2時，PB=2則AP=6-2=4≠PQ，故舍去，綜上，t值為143或4010．【答案】（1）解：2（2）解：①如圖2，設(shè)直線與y軸正半軸交點為A，且A(0，1)∵點M的坐標為(1，0∴圓與x軸正半軸交點為B(2，0)，當b=1時，直線l的解析式為y=kx+1，當直線經(jīng)過點B時，2k+1=0，解得k=?1過點M作MF⊥AB，垂足為F，∵OA=1，OB=2，∴AB=12∴sin∠ABO=OAAB∵MB=1，sin∠ABO=MFMB∴MF=55，設(shè)直線AB與圓M的另一個交點為C，則BC=2BF=45∵關(guān)于⊙M的“圓截距”小于45∴k的取值范圍是?1設(shè)直線AM與圓的一個交點為N，∵點A(0，1)，點M的坐標為(1∴OA=OM，∴∠AMO=45°，∴∠BMN=45°，根據(jù)圓的對稱性，直線AB和直線AD關(guān)于直線AN對稱，此時ED=CB，∴∠DMN=45°，∴∠DMB=90°，∴D的坐標為(1，-1)，∴k+1=-1，解得k=-2，直線AD的解析式為y=-2x+1，∵關(guān)于⊙M的“圓截距”小于45∴k的取值范圍是k＜?2；綜上所述，k的取值范圍是k＜?2或?1②b的取值范圍-33≤b≤311．【答案】（1）解：∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC＝AC＝6cm，∠A＝∠ABC＝∠C＝60°．設(shè)x秒時，△PCQ為直角三角形，∴∠CPQ＝90°，AP＝0.5x，BQ＝0.5x，PC＝6?0.5x，CQ＝6＋0.5x，∵∠C＝60°

∴∠AED＝30°，∴CQ＝2PC，∴6＋0.5x＝2（6?0.5x），解得：x＝4；答：運動4秒后，△PCQ為直角三角形；（2）證明：如圖，過P點作PF//BC，交AB于點F．∴∠AFP=∠ABC=60°，∠APF=∠C=60°，∠DBQ=∠DFP，∴△APF是等邊三角形∴PF=AP，∵AP=BQ，∴PF=QB，在△DQB和△DPF中∠PFD=∠DBQ∠FDP=∠QDB∴△DQB≌△DPF∴DQ=DP，∴點D是線段PQ的中點；（3）不發(fā)生變化，定值為312．【答案】（1）D、F（2）解：如圖中，點A和⊙G的“中立點”在以O(shè)為圓心，1為半徑的圓上運動，因為點K在直線y=x?1上，設(shè)K(m,m?1)，則有m2解得m=0或1，∴點K坐標為(1,0)或(0,?1)．（3）?6≤13．【答案】（1）解：如圖1中，作PH⊥OA于H．∵A(6，0)，B(0，6)，∴直線AB的解析式為y=﹣x+6．∵12∴PH=4，當y=4時，4=﹣x+6，∴x=2，∴P（2，4）．（2）解：結(jié)論：PM=PN，PM⊥PN．證明如下：如圖2中，連接OP．∵OB=OA，∠AOB=90°，PB=PA，∴OP=PB=PA，OP⊥AB，∠PON=∠A=45°，∴∠OPA=90°．∵AM=ON，OP=OP，∴△PON≌△PAM，∴PN=PM，∠OPN=∠APM，∴∠NPM=∠OPA=90°，∴PM⊥PN，PM=PN．（3）解：結(jié)論：OD=AE．理由如下：如圖3中，作AG⊥x軸交OP的延長線于G．∵BD⊥OP，∴∠OAG=∠BOD=∠OFD=90°，∴∠ODF+∠AOG=90°，∠ODF+∠OBD=90°，∴∠AOG=∠DBO，∵OB=OA，∴△DBO≌△GOA，∴OD=AG，∠BDO=∠G．∵∠BDO=∠PEA，∴∠G=∠AEP．∵∠PAE=∠PAG=45°，PA=PA，∴△PAE≌△PAG，∴AE=AG，∴OD=AE．14．【答案】（1）150°（2）證明：∵點P為△ABC的費馬點，∴∠APB=120°，∴∠APD=60°，又∵AD=AP，∴APD為等邊三角形∴AP=PD=AD，∠PAD=∠ADP=60°，∴∠ADE=120°，∴∠ADE=∠APC，在△APC和△ADE中，∠PAC=∠DAE∴△APC≌△ADE（ASA）；∴PC=DE，∵BE=BP+PD+DE，∴BE＝PA＋PB＋PC；（3）解：如圖，將△APB繞點B順時