特殊三角形（易錯(cuò)必刷150題19種題型專項(xiàng)訓(xùn)練）一、等腰三角形的定義（共5小題）1．一個(gè)等腰三角形的兩邊長分別為，，則該等腰三角形的周長為（

）A． B． C．或 D．【答案】A【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；題目給出等腰三角形有兩條邊長為和，而沒有明確腰、底分別是多少，所以要進(jìn)行討論，還要應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系驗(yàn)證能否組成三角形．【詳解】解：①為腰，為底，能構(gòu)成三角形，此時(shí)周長為；②為底，為腰，則兩邊和等于第三邊無法構(gòu)成三角形，故舍去．∴該三角形的周長是．故選：A．2．如果一個(gè)等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為，那么它的一個(gè)底角為度．【答案】或【分析】本題考查了等腰三角形的定義，掌握等腰三角形的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意，分類討論：當(dāng)頂角為時(shí)；當(dāng)?shù)捉菫闀r(shí)；由三角形內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】解：當(dāng)頂角為時(shí)，兩個(gè)底角相等，∴它的一個(gè)底角為：；當(dāng)?shù)捉菫闀r(shí)，另一個(gè)底角也是，∴頂角為，符合題意；∴底角的度數(shù)為：或，故答案為：或．3．已知，，是的三邊長，且滿足，判斷此三角形的形狀．【答案】等腰三角形【分析】此題考查了因式分解的應(yīng)用，等腰三角形的定義，三角形的三邊關(guān)系，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵．已知等式左邊分解因式后，利用兩數(shù)相乘積為0兩因式中至少有一個(gè)為0得到，即可確定出三角形形狀．【詳解】解：，∵，∴，∴，即，故為等腰三角形4．已知等腰三角形的周長是．(1)若其中一邊長為，求另外兩邊的長；(2)若頂角是，求底角的度數(shù)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．（1）分等腰三角形的腰長為與等腰三角形的底邊長為兩種情況，分析求解即可；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求解即可．【詳解】解：（1）當(dāng)?shù)妊切蔚难L為時(shí)，底邊長，∵∴以長線段為腰，不能構(gòu)成周長為的等腰三角形；當(dāng)?shù)妊切蔚牡走呴L為時(shí)，腰長，∵，∴能構(gòu)成三角形，∴等腰三角形的另兩邊長分別為；（2）根據(jù)題意得，底角度數(shù)．5．解答：(1)在等腰中，一腰上的中線將這個(gè)等腰三角形的周長分成和兩部分，求等腰三角形的底邊長．(2)已知在等腰中，的外角為，求的頂角度數(shù)．【答案】(1)(2)或【分析】（1）由題意可知等腰三角形的周長是，設(shè)等腰三角形的腰長、底邊長分別為、，由題意可得或，解方程組即可求得等腰三角形的底邊長；（2）由鄰補(bǔ)角互補(bǔ)可得，然后分兩種情況討論：是頂角時(shí)，是底角時(shí)，分別求解即可．【詳解】（1）解：一腰上的中線將這個(gè)等腰三角形的周長分成和兩部分，等腰三角形的周長是：，設(shè)等腰三角形的腰長、底邊長分別為、，由題意可得：或，解得：或（不合題意，故舍去），等腰三角形的底邊長為；（2）解：的外角為，，分兩種情況討論：是頂角時(shí)，此時(shí)，的頂角度數(shù)是；是底角時(shí)，此時(shí)，的頂角度數(shù)是：；綜上，的頂角度數(shù)是或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解二元一次方程組，構(gòu)成三角形的條件，利用鄰補(bǔ)角求角度，三角形的內(nèi)角和定理等知識(shí)點(diǎn)，運(yùn)用分類討論思想是解題的關(guān)鍵．二、應(yīng)用等邊對(duì)等角解決問題（共8小題）6．如圖，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，若點(diǎn)恰好落到邊上，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，求得和的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．依據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可求得，的度數(shù)，依據(jù)等邊對(duì)等角的性質(zhì)可得到，進(jìn)而即可解答．【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：，，，∴，∵，∴，∴，∴．故選：D．7．如圖，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)進(jìn)行解答即可．【詳解】解：∵，，∴，，∴，∴，∴．故選：C．8．如圖，在射線上分別截取，連接，在上分別截取，連接…按此規(guī)律作下去，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了等腰三角形兩底角相等的性質(zhì)，圖形的變化規(guī)律．根據(jù)等腰三角形兩底角相等用表示出，依此類推即可得到結(jié)論．【詳解】解：，，，同理，，，，，故選：B．9．已知：如圖，在中，是中線，且，試判斷是什么形狀，并說明理由．【答案】直角三角形，理由見解析．【分析】本題考查直角三角形的判定，等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，解題關(guān)鍵主要利用中線定義和等邊對(duì)等角的性質(zhì)解答．根據(jù)“是的中線，且”求出，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得，．再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得，即可得結(jié)論．【詳解】解：是直角三角形．證明：如圖，，，．，．又．，即是直角三角形．10．如圖，是等腰直角三角形，，為邊上一點(diǎn)，，．(1)說明的理由；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）和全等三角形的性質(zhì)（即全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等）是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)可證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得結(jié)論；（2）由全等三角形的性質(zhì)得，從而，然后格努等腰三角形的性質(zhì)求出，進(jìn)而可求出的度數(shù)．【詳解】（1）解：∵是等腰直角三角形，∴，∵，，∴，∴．（2）解：因?yàn)樗?，所以因?yàn)樗运裕?1．證明：等腰三角形兩底角的平分線相等．已知：在中，，和是的角平分線．求證：______．（請(qǐng)根據(jù)題意將題目補(bǔ)充完整，并完成證明．）【答案】，證明見解析【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，由等腰三角形的性質(zhì)可得，進(jìn)而由角平分線的定義可得，再根據(jù)可證，據(jù)此即可求證，掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【詳解】已知：在中，，和是的角平分線．求證：．證明：∵，∴，∵和是的角平分線，∴，，∴，在和中，，∴，∴．12．以下是小林同學(xué)在自己的錯(cuò)題集中整理的一道錯(cuò)題．題目：在中，，求證：．圖形錯(cuò)誤摘錄：，，，，即，，．錯(cuò)因分析：正確的證明：(1)請(qǐng)你幫他完成梳理，寫出錯(cuò)誤原因，并寫出正確的證明過程．(2)請(qǐng)判斷與的位置關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)原因見解析，證明見解析(2)，理由見解析【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等角對(duì)等邊，垂直平分線的判定．（1）根據(jù)三角形全等的判定定理即可解答；先由得，結(jié)合和，即可通過證明，即可作答；（2）根據(jù)垂直平分線的判定定理證明垂直平分，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：錯(cuò)因分析：不是，的夾角，不是，的夾角，不能通過證明；正確的證明：，．，，．（2）解：理由如下：，在的垂直平分線上，，在的垂直平分線上，垂直平分．13．如圖，已知中，，，點(diǎn)D為的中點(diǎn)．如果點(diǎn)P在線段上以的速度由點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段上由點(diǎn)A向點(diǎn)C以的速度運(yùn)動(dòng)．若P，Q兩點(diǎn)分別從B，A兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)，另一點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)．回答下列問題：

(1)經(jīng)過后，此時(shí)__________，__________（用含t的代數(shù)式表示）；(2)當(dāng)t為多少秒時(shí)，是以為底的等腰三角形？(3)當(dāng)t為多少秒時(shí)，使得與全等？【答案】(1)，(2)1(3)2【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)路程=速度×?xí)r間求解即可；（2）根據(jù)構(gòu)建方程求解即可；（3）根據(jù)等邊對(duì)等角得出，要使得與全等，則有兩種情況：①；②，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)構(gòu)建方程求解即可．【詳解】（1）解：根據(jù)題意，得，，故答案為：，；（2）解：根據(jù)題意，得，解得，即當(dāng)t為1秒時(shí)，是以為底的等腰三角形；（3）解：∵，點(diǎn)D為的中點(diǎn)，∴，，要使得與全等，則有兩種情況：①；②，①當(dāng)時(shí)，，，∴，，解得，符合題意；②當(dāng)時(shí)，，，∴，，解得，，不符合題意，舍去，綜上，當(dāng)t為2秒時(shí)，使得與全等．三、三線合一的應(yīng)用（共8小題）14．如圖，等腰中，，，，下列結(jié)論：①；②；③；④垂直平分；正確的個(gè)數(shù)是（

）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)【答案】D【分析】證明，得出，，可判定①②正確；證明點(diǎn)在線段的垂直平分線上，得出垂直平分BC，判定④正確；延長交于點(diǎn)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)余角性質(zhì)得出，可判定③正確，據(jù)此即可求解．【詳解】解：∵，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，，故①②正確；∵，∴，∵，∴點(diǎn)在線段的垂直平分線上，∴垂直平分，故正確；延長交于點(diǎn)，如圖所示，∵，垂直平分，∴，∵，∴，∴，故③正確；綜上可知，正確的結(jié)論有個(gè)，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，垂直平分線的判定，余角的性質(zhì)，掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．15．如圖，中，，，是的角平分線，是上的動(dòng)點(diǎn)，是邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)，垂線段最短等知識(shí)，首先根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)可得，，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，由軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)及“垂線段最短”的性質(zhì)可得的最小值為的長，即可獲得答案，掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，是的角平分線，∴，，∴點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，CE如圖，∴，根據(jù)是上的動(dòng)點(diǎn)，是邊上的動(dòng)點(diǎn)，要使取最小值，只需滿足三點(diǎn)共線，由軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)及在連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的線段中，垂線段最短，可得的最小值即為的長，∵的面積為，∴，∴，即的最小值為，故選：．16．如圖，在中，，，是的平分線，則．【答案】5【分析】本題考查三線合一，根據(jù)等腰三角形三線合一，即可得出結(jié)果．【詳解】解：，的平分線交邊于點(diǎn)，，．故答案為：517．如圖，在等腰中，平分，點(diǎn)C在的垂直平分線上．若的周長為，則DE的長為．【答案】【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，由題意得的周長，根據(jù)點(diǎn)C在的垂直平分線上得，即可求解；【詳解】解：∵平分，∴，∴的周長，∴，∵點(diǎn)C在的垂直平分線上．∴，∴，故答案為：18．如圖，在中，，是中線，，是邊上一點(diǎn)，，求的度數(shù)．【答案】【分析】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，從而可求出的度數(shù)．【詳解】解：∵，點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，，∴，∴，∴，∴．19．如圖，在中，點(diǎn)、在邊上，，．求證：．【答案】見解析【分析】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，作于點(diǎn)，由等腰三角形的性質(zhì)可得，再求出，即可得證，熟練掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．【詳解】證明：作于點(diǎn)，，，，，即，，．20．在中，，平分，于，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，連接．(1)求證：；(2)求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)得，再證，然后利用證明，得，由等腰三角形的性質(zhì)得，得，即可得出結(jié)論；（2）由等腰三角形的性質(zhì)得，，則，再由直角三角形的性質(zhì)得的度數(shù)．【詳解】（1）證明：∵，平分，∴，∵，∴，，∴，在和中，，∴∴，∵，平分，∴，∴，∴；（2）解：∵，∴，∵，∴是等腰三角形，∴，∵平分，∴，∵，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．21．在中，，，于點(diǎn)，點(diǎn)是射線上一點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，且交直線于點(diǎn)．(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，求證：．(2)如圖，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，其它條件不變，猜想與之間的數(shù)量關(guān)系并證明．(3)如圖，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上時(shí)，其它條件不變，請(qǐng)直接寫出與之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)證明見解析；(2)，證明見解析；(3)．【分析】（）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)同角的余角相等得到，再根據(jù)證明即可得出結(jié)論；（）同理（）證明，即可得出結(jié)論；（）同理（）證明，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：∵，，，∴，，，∴，∵于點(diǎn)，∴，∴，∴，即，在和中，，∴，∴；（2）解：．證明：∵，，，∴，，，∴，∵于點(diǎn)，∴，∴，∴，即，在和中，，∴，∴；（3）解：．證明：∵，，，∴，，∴，∵于點(diǎn)，∴，∴，∴，即，即，在和中，，∴，∴；【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，余角性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．四、等腰三角形的證明（共8小題）22．如圖，在中，，，是邊上的高，的平分線分別交，于點(diǎn)，，則圖中的等腰三角形共有（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】B【分析】本題考查了等腰三角形的判定、根據(jù)在中，，利用三角形內(nèi)角和定理求得，然后可得等腰三角形．【詳解】解：∵是高，∴，∴，∴為等腰直角三角形，∵是平分線，∴，在中，，∴，∴，即是等腰三角形，在中，，∵，∴，∴，即是等腰三角形，∴等腰三角形有，，；故答案為：3．23．如圖，的平分線，與的外角的平分線相交于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，若，，則的長為（

）A．4 B．2.5 C．2 D．1.5【答案】C【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)，根據(jù)已知條件，、分別平分、，且，可得，，根據(jù)等角對(duì)等邊得出，，根據(jù)即可求得．利用邊角關(guān)系并結(jié)合等量代換來推導(dǎo)證明是本題的特點(diǎn)．【詳解】解：∵、分別平分、，∴，，∵，∴，，∴，，∴，，∴，故選：C．24．如圖，在中，，和的平分線分別交于點(diǎn)，，，相交于點(diǎn)．（1）若，則的度數(shù)為；（2）若，，則的值為．【答案】13【分析】本題考查了等腰三角形的判定，與角平分線有關(guān)的三角形的內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)：①由角平分線得到，由三角形的內(nèi)角和定理得到，再對(duì)運(yùn)用內(nèi)角和定理即可求解；②根據(jù)題意證明，進(jìn)而可得，即可得出答案．【詳解】解：①和的平分線分別交于點(diǎn)，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故答案為：；②∵，∴，∵和的平分線分別交于點(diǎn)，，∴，∴，∴，∵，∴，故答案為：13．25．如圖，在中，平分，過線段上一點(diǎn)E作，交于點(diǎn)F，交的延長線于點(diǎn)G．(1)求證：是等腰三角形．(2)若，，求的度數(shù)．【答案】(1)證明見解析；(2)．【分析】（）證明，得到，即可求證；（）證明，得到，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解；本題考查了角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，掌握等腰三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）證明：∵平分，∴，∵，∴，，∴，∴，∴是等腰三角形；（2）解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，平分，∴，∴，∴．26．如圖1，在中，和的平分線相交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，分別交和于點(diǎn)和．(1)求證：是等腰三角形．(2)若，，求的周長．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查等腰三角形判定，平行線的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)．有效的進(jìn)行線段的等量代換是正確解答本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)角平分線的定義及平行線的性質(zhì)即可證明是等腰三角形，（2）同理可得，再由等腰三角形的性質(zhì)得，則的周長，從而得出答案．【詳解】（1）證明：∵是的平分線，∴，∵，∴，∴，∴，∴是等腰三角形．（2）解：由（1）得：，同理可得，∴的周長，∵，，∴的周長．27．如圖，在中，，高，交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若，，求的長度．【答案】(1)見解析；(2)【分析】本題考查了全等三角形的判定、全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)．解決本題的關(guān)鍵是證明．（1）先由已知得到，即可證明，即可求得；（2）由（1）得，，從而，再利用線段的和差即可得解．【詳解】（1）證明：∵高，交于點(diǎn)，∴，，，∴是等腰直角三角形，，∵，，∴，，，，在和中，，，∴；（2）解：由（1）得，，∴，∵，，∴，∴．28．如圖，在中，，．將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，過點(diǎn)作，垂足為．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，的平分線與的延長線相交于點(diǎn)，連接，的延長線與的延長線相交于點(diǎn)，猜想與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．【答案】(1)見解析(2)，證明見解析【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得，，進(jìn)一步推得，根據(jù)全等三角形的判定，即得答案；（2）證明，即可進(jìn)一步證明，再根據(jù)等腰三角形的判定，即可證得答案．【詳解】（1）證明：將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，，，，，，，，；（2）猜想:．證明：，，平分，，，，，，，．29．如圖，直線，AB平分，過點(diǎn)B作交于點(diǎn)C．動(dòng)點(diǎn)E、D同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，其中點(diǎn)E以的速度沿射線運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)D以的速度在直線上運(yùn)動(dòng)，已知，設(shè)點(diǎn)D、E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．(1)求證：是等腰直角三角形；(2)當(dāng)點(diǎn)D沿射線運(yùn)動(dòng)時(shí)，若，求t的值；(3)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)D在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，若與全等，直接寫出t的值．【答案】(1)詳見解析(2)或4(3)2或6【分析】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積等知識(shí)，熟練掌握是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)垂直定義和角平分線的定義得，根據(jù)垂直定義得，得，即得；（2）作于H，于G．由角平分線性質(zhì)得，根據(jù)，，，得，得，解得；當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到延長線上時(shí)，，同法可得．（3）根據(jù)，，得，當(dāng)點(diǎn)D在上，點(diǎn)E在上時(shí)，，解得，當(dāng)點(diǎn)D在延長線上，點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到延長線上時(shí)，，解得．【詳解】（1）解：如圖1中，∵，∴，∵AB平分，∴，∵，∴，∴，∴，是等腰直角三角形；（2）解：如圖2中，①當(dāng)E在線段上時(shí)，作于H，于G．∵AB平分，∴，∵，，，∴，∴，∴.②當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到延長線上時(shí)，，同法可得，∴當(dāng)或時(shí)，滿足．故t值為或4；（3）解：∵，，∴，當(dāng)點(diǎn)D在上，點(diǎn)E在上時(shí)，，∴，當(dāng)點(diǎn)D在延長線上，點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到延長線上時(shí)，，∴，綜上所述，滿足的時(shí)間為或，故t值為2或6．五、等腰三角數(shù)量的確定（共12小題）30．如圖所示的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)．已知A、B是兩格點(diǎn)，如果C也是圖中的格點(diǎn)且使為等腰三角形，則點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】本題主要考查了等腰三角形的判定，根據(jù)題意，結(jié)合圖形，分兩種情況討論：①為等腰底邊；②為等腰其中的一條腰．【詳解】解：如圖：分情況討論．①為等腰底邊時(shí)，符合條件的C點(diǎn)有4個(gè)（包括兩個(gè)等腰直角三角形）；②為等腰其中的一條腰時(shí)，符合條件的C點(diǎn)有4個(gè)．一共有8個(gè)點(diǎn).故選：C．31．如圖，已知中，，，，在所在平面內(nèi)畫一條直線，將分割成兩個(gè)三角形，使其中有一個(gè)邊長為3的等腰三角形，則這樣的直線最多可畫（

）A．3條 B．4條 C．5條 D．6條【答案】B【分析】本題考查了等腰三角形的判定以及應(yīng)用設(shè)計(jì)與作圖等知識(shí)，利用圖形分類討論是解題關(guān)鍵．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分別利用為底以及為腰得出符合題意的圖形即可．【詳解】解：如圖所示，當(dāng)，，，，都能得到符合題意的等腰三角形．故選：B．32．如圖，在中，，，平分交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則圖中共有等腰三角形（）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)【答案】C【分析】本題考查了等腰三角形判定和性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，由已知條件利用相關(guān)的性質(zhì)求得各個(gè)角相等是本題的關(guān)鍵．根據(jù)等腰三角形的判定和性質(zhì)定理以及平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵，，∴為等腰三角形，，∵∴，∴，為等腰三角形，∵CD平分，∴，∴，為等腰三角形，，∴，為等腰三角形，∵，，∴∴，為等腰三角形．綜上所述：共有5個(gè)等腰三角形．故選C．33．如圖，L是一段平直的鐵軌，某天小明站在距離鐵軌80米的A處，他發(fā)現(xiàn)一列火車從左向右自遠(yuǎn)方駛來，已知火車長150米，設(shè)火車的車頭為B點(diǎn)，車尾為C點(diǎn)，小明站著不動(dòng)，則從小明發(fā)現(xiàn)火車到火車遠(yuǎn)離他而去的過程中，以A、B、C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形的時(shí)刻共有（

）個(gè)．A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】D【分析】本題考查了等腰三角形的判定，熟練掌握等腰三角形的判定是解題的關(guān)鍵；在火車自左向右運(yùn)動(dòng)的過程中，車長可以是腰，也可以是底邊，分別判斷即可．【詳解】解：當(dāng)車長為底時(shí)，，是等腰三角形是；當(dāng)車長為腰時(shí)，，，，，，，，是等腰三角形，故得到的等腰三角形共有5個(gè)．故選：D．34．已知：如圖，中，，在直線上找一點(diǎn)，使或?yàn)榈妊切?，則符合條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)有（

）A．9個(gè) B．8個(gè) C．7個(gè) D．6個(gè)【答案】B【分析】本題考查等腰三角形的存在形問題，根據(jù)題意，畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行求解即可．【詳解】解：以為圓心，的長為半徑畫圓，得到為等腰三角形，以為圓心，的長為半徑畫圓，得到為等腰三角形，作的中垂線，得到為等腰三角形，即，以為邊的等腰三角形有4個(gè)，同理：以為邊的等腰三角形也有4個(gè)；故總共有8個(gè)等腰三角形；故選B．35．如圖，已知中，，．在直線或上取一點(diǎn)P，使得是等腰三角形，則符合條件的P點(diǎn)有（

）處．

A．6 B．7 C．8 D．3【答案】A【分析】本題考查了等腰三角形的判定來解決實(shí)際問題，根據(jù)題意，畫出圖形結(jié)合求解．【詳解】如圖，第1個(gè)點(diǎn)在上，作線段的垂直平分線，交于點(diǎn)P，則有；第2個(gè)點(diǎn)是以A為圓心，以長為半徑截取，交延長線上于點(diǎn)P；第3個(gè)點(diǎn)是以A為圓心，以長為半徑截取，在上邊與延長線上交于點(diǎn)P；第4個(gè)點(diǎn)是以B為圓心，以長為半徑截取，與的延長線交于點(diǎn)P；第5個(gè)點(diǎn)是以B為圓心，以長為半徑截取，與在左邊交于點(diǎn)P；第6個(gè)點(diǎn)是以A為圓心，以長為半徑截取，與在右邊交于點(diǎn)P；故符合條件的點(diǎn)P有6個(gè)點(diǎn)．故選：A．

36．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形是矩形，頂點(diǎn)，，，的坐標(biāo)分別為，，，，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)，使為等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)有（）A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)【答案】A【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，等腰三角形的判定，分別以、為圓心，以的長為半徑作圓與相交，再作的垂直平分線與相交，交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)．【詳解】解：如圖，滿足條件的點(diǎn)有3個(gè)．故選：A．37．題目：“如圖，已知，點(diǎn)，在邊上，，，是射線上的點(diǎn)，若使點(diǎn)，，構(gòu)成等腰三角形的點(diǎn)恰好有3個(gè)，求的取值范圍。”對(duì)于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，則正確的是（

）

A．只有甲答的對(duì) B．甲、丙答案合在一起才完整C．甲、乙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整【答案】B【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，畫出滿足條件的三角形，即可．【詳解】當(dāng)時(shí)，點(diǎn)，，構(gòu)成等腰三角形的點(diǎn)恰好有3個(gè)，當(dāng)，為等腰三角形；當(dāng)，為等腰三角形；當(dāng)，為等腰三角形；∴，，滿足題意；

當(dāng)時(shí)，存在滿足條件的點(diǎn)只有一個(gè)；∴；

當(dāng)，存在滿足條件的點(diǎn)只有個(gè)；當(dāng)，為等腰三角形；當(dāng)，為等腰三角形；

當(dāng)時(shí)，存在滿足條件的有三個(gè)點(diǎn)；當(dāng)，為等腰三角形；當(dāng)，為等腰三角形；當(dāng)，為等腰三角形；

當(dāng)時(shí)，不存在滿足條件的點(diǎn)，∴甲、丙答案合在一起才完整，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握等腰三角形的判定和性質(zhì)，畫出滿足題意的圖形．38．如圖所示的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)．已知線段AB是等腰三角形的一邊，的三個(gè)頂點(diǎn)都在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，則這樣的等腰三角形的個(gè)數(shù)為．【答案】10【分析】本題考查了等腰三角形的判定，分別找到以為底和以為腰時(shí)，符合題意的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，以為底有6個(gè)點(diǎn)符合題意；以為腰有4個(gè)點(diǎn)符合題意；∴一共有10個(gè)點(diǎn)符合題意，故答案為：10．39．如圖，已知，點(diǎn)M，N在邊上，，點(diǎn)P是邊上的點(diǎn)，若使點(diǎn)P，M，N構(gòu)成等腰三角形的點(diǎn)P恰好只有一個(gè)，則x的取值范圍是．【答案】或【分析】本題考查等腰三角形的判定．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分類討論，分別求解范圍即可．【詳解】解：①如圖1，當(dāng)時(shí)，即，以M為圓心，以2為半徑的圓交于點(diǎn)P，此時(shí)，則點(diǎn)P，M，N構(gòu)成的等腰三角形的點(diǎn)P恰好只有一個(gè)．②如圖2．當(dāng)時(shí)，即，過點(diǎn)M作于點(diǎn)P，∴．∴，作的垂直平分線交于點(diǎn)P，則．此時(shí)，以點(diǎn)P，M，N構(gòu)成的等腰三角形的點(diǎn)恰好有2個(gè)．則當(dāng)時(shí)，以P，M，N構(gòu)成的等腰三角形恰好只有一個(gè)．綜上，當(dāng)或時(shí)，以P，M，N構(gòu)成的等腰三角形恰好只有一個(gè)．故答案為：或40．如圖所示的方格紙中，每一個(gè)小正方形的邊長都是，網(wǎng)格中有一個(gè)格點(diǎn)三角形．(1)以直線為對(duì)稱軸，在圖中直接作出的軸對(duì)稱圖形．(2)在直線右側(cè)，在外部，畫出以為腰的一個(gè)等腰直角三角形．(3)計(jì)算的面積，并通過面積求出的長度．【答案】(1)作圖見解析(2)作圖見解析（答案不唯一）(3)【分析】（）根據(jù)軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)作圖即可；（）根據(jù)網(wǎng)格作出等腰直角三角形即可；（）先利用割補(bǔ)法求出的面積，再根據(jù)三角形面積公式求出即可；本題考查了作軸對(duì)稱圖形，作等腰直角三角形，三角形的面積，掌握軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求；（2）解：如圖所示，即為所求；（3）解：的面積，∴，∴．41．（1）如圖，已知，分別是上的點(diǎn)，且．與相等嗎？為什么？

（2）如圖，在中，平分，交于點(diǎn)垂直平分于點(diǎn)．試說明：．

（3）如圖，在中，將三等分，點(diǎn)在上．①求的度數(shù)；②寫出圖中所有的等腰三角形．

【答案】（1）AD與相等，理由見解析

（2）見解析

（3）①72°

②,,,,,【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)定理，等腰三角形的判定；（1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，利用證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得解；（2）由線段垂直平分線的性質(zhì)得到，再由角平分線的性質(zhì)得到即可得出結(jié)論；（3）①根據(jù)已知條件和三角形的內(nèi)角和得到，，，由于將三等分，于是求得，然后計(jì)算解題；②根據(jù)外角的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和得到，于是得到結(jié)論．【詳解】（1）解：AD與相等，理由如下：，，在和中，，，；（2）證明：∵DE垂直平分AB，，，，∵平分，，，即；（3）解：①∵，，∴，，，∵AD，將三等分，∴，∴；②∵，∴，∴，∴，，，，，是等腰三角形．六、等腰三角形的性質(zhì)與判定（共10小題）42．已知，如圖，為的角平分線，且，E為延長線上的一點(diǎn)，，過E作，F(xiàn)為垂足，下列結(jié)論：①；②；③；④，其中正確的是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④【答案】B【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．先證，可得，，可得①②正確；再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可求得，，可得④正確．【詳解】解：①∵為的角平分線，∴，在和中，，∴，故結(jié)論①正確；②∵為的角平分線，且，，∴，，∵，∴，∴，故結(jié)論②正確；③∵，，，，∴，∴為等腰三角形，∴，∵，∴，∴，∵為的角平分線，，而不垂直于，∴，故結(jié)論③錯(cuò)誤；④由③知，故結(jié)論④正確；綜上所述，正確的結(jié)論是①②④．故選：B．43．如圖，在中，，將繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得到，且點(diǎn)落在上，連接，則的度數(shù)為．【答案】【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和判定、三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．先在中利用三角形的內(nèi)角和定理求出，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到是等腰三角形，從而求出，最后利用即可得出結(jié)果．【詳解】解：，，、為對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，，即是等腰三角形，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，，．故答案為：．44．如圖，是等腰直角三角形，，將沿著一條直線折疊，使頂點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)剛好落在邊上，這條折痕分別交，于點(diǎn)，．的平分線交于點(diǎn)，連接，若，則∠FBC=°，°．【答案】【分析】本題考查了等腰直角三角形，全等三角形的判定與性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識(shí)；根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得，由折疊可得，由平分，可得，推出，證明，得到，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可求解；【詳解】解：是等腰直角三角形，，，由折疊可得：，，平分，，，，又，在和中，，，，，故答案為：45，；45．在等腰直角中，，，過點(diǎn)B作的垂線l．點(diǎn)P為直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），將射線繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)交直線l于點(diǎn)D．(1)如圖1，點(diǎn)P在線段上，依題意補(bǔ)全圖形．①求證：；②用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．(2)點(diǎn)P在線段的延長線上，直接寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)①見解析，②，見解析(2)，見解析【分析】本題是三角形綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．（1）①根據(jù)題意補(bǔ)全圖形，由直角三角形的性質(zhì)可得出答案；②過點(diǎn)P作交于點(diǎn)F，證明，由全等三角形的性質(zhì)得出，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論；（2）過點(diǎn)P作交于點(diǎn)M，證明，由全等三角形的性質(zhì)可得出，則可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：①補(bǔ)全圖形如圖1，證明：如圖1，設(shè)與的交點(diǎn)為點(diǎn)E，根據(jù)題意可知，，∵，∴，∴，，∴；②．證明：如圖2，過點(diǎn)P作交于點(diǎn)F，∵，，∴，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，在等腰直角中，，又，∴；（2）解：證明：如圖3，過點(diǎn)P作交于點(diǎn)M，由（1）可知，∴，∴，，同（1）可得，∴，∴，∵，，∴，∴．46．如圖，在中，，；將繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，連接，交于點(diǎn)F．(1)求證：；(2)求的度數(shù)．【答案】(1)證明見解析；(2)的度數(shù)為．【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，，，從而得到，再證明，即可得出結(jié)論；（2）由（1）知，，，證明是等腰三角形，即可得出答案．【詳解】（1）證明：∵將繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，∴，，，∵，∴，在和中，，∴，∴；（2）解：由（1）知，，，∴是等腰三角形，∴，∴的度數(shù)為．47．在中，，，是邊的中線，是邊上一點(diǎn)，，交于點(diǎn)．(1)如圖①，判斷的形狀并證明；(2)如圖②，，①補(bǔ)全圖形；②用等式表示，，之間的數(shù)量關(guān)系并證明．【答案】(1)等腰三角形，理由見解析(2)①補(bǔ)全圖形見解析，②，理由見解析．【分析】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)，做出正確的輔助線是解題的關(guān)鍵．(1)利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)可推導(dǎo)出，即可得到是等腰三角形．(2)①根據(jù)題意補(bǔ)全圖形即可；②過點(diǎn)E作于點(diǎn)H，利用已知條件和等腰三角形的性質(zhì)可得到，，．繼而可證得，即可推導(dǎo)出，所以．【詳解】（1）解：的形狀等腰三角形．證明如下：∵，是邊的中線，∴．∴．∴．∵，∴．∴．∴．∴．∴是等腰三角形．（2）①補(bǔ)全圖形，如圖．②之間的數(shù)量關(guān)系是．證明：過點(diǎn)E作于點(diǎn)H．∵，是邊的中線，，∴，．∴．∵，∴．∴，又∵，∴．∴．在中，，∴．∴，∴．∵由（1）知：，∴．48．如圖1，中，，，直線過點(diǎn)，點(diǎn)、在直線同側(cè)，，，垂足分別為、．(1)探究模型：求證：；(2)類比模型；如圖2，中，，，將斜邊繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，連接，求的面積．(3)應(yīng)用模型：如圖3，中，，，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得，連接，求的面積．【答案】(1)見解析(2)8(3)9【分析】（1）根據(jù)證明三角形全等即可；（2）過作于，構(gòu)造全等三角形解決問題即可；（3）過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，證明即可求解．【詳解】（1）證明：，，又，，又，（2）在中，，，將斜邊繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，如圖，過作于，則，，，，，，在和中，，，；（3）如圖，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，則，，，，由旋轉(zhuǎn)得，，，，，，在和中，，．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，“三垂”模型等知識(shí)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．49．如圖，已知和是等腰直角三角形，連接．點(diǎn)M、N分別在上，且過點(diǎn)B，垂直于，若．求證：(1)(2)點(diǎn)N是AD的中點(diǎn)；(3)．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】題目主要考查等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，理解題意，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出，，再由各角之間的等量代換確定，利用全等三角形的判定證明即可；（2）由（1），同理可證，得出，利用（1）中性質(zhì)得出，再由全等三角形的判定和性質(zhì)即可證明；（3）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)結(jié)合圖形找出相應(yīng)三角形的面積進(jìn)行等量代換即可．【詳解】（1）證明：∵和是等腰直角三角形，，∴，，∴，∴，在和中，，∴；（2）∵垂直于，∴，由（1），同理可證，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴點(diǎn)N是AD的中點(diǎn)；（3）由（2）得，，，∴，由（1）得，∴，∴．50．如圖，在中，，（），為射線上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)、重合），在的右側(cè)作，使得，，連接．(1)若，則______；(2)當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，求證：；(3)若點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到線段上某一點(diǎn)時(shí)，恰好有，問：線段與線段有什么位置關(guān)系并說明理由；(4)在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)垂直于的某邊時(shí)，則______（用含的代數(shù)式表示）．【答案】(1)(2)證明見解析(3)，理由見解析(4)或【分析】本題是三角形綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確尋找全等三角形解決問題，學(xué)會(huì)用分類討論的思想解決問題．（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理即可求解；（2）由得，利用SAS即可得出結(jié)論；（3）由（2）知，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得，，則，易得為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到，最后由平行線的判定求解；（4）分兩種情形：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，利用全等三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理以及等腰三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：∵，，∴．∵，，∴，∴．∵，∴．故答案為：；（2）證明：∵，∴，∴．在和中，，∴；（3）解：．理由如下：由（2）知，∴，．∵，∴．∵，∴，∴為等邊三角形，∴，∴，∴，∴；（4）解：如圖，當(dāng)時(shí)．∵，，∴．∵，∴，，∴，又，∴，∴．∵，∴，∴；如圖，當(dāng)時(shí)．∵，∴．由（1）知，，∴，∴．∵，∴，∴，又，，∴，∴，，∴．∵，∴．綜上所述，當(dāng)DE垂直于的某邊時(shí)，則或．故答案為：或．51．【問題情境】如圖，把一塊三角板（，）放入一個(gè)“”形槽中，使三角形的三個(gè)頂點(diǎn)、、分別在槽的兩壁及底邊上滑動(dòng)，已知，在滑動(dòng)過程中，線段AD與的數(shù)量關(guān)系為．

【變式探究】如圖，在四邊形中，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，且滿足，，，試說明；如圖，在中，，，點(diǎn)、分別是邊、AB上的動(dòng)點(diǎn)，且．以為腰向右作等腰，使得，，連接CE，求的度數(shù)．【答案】；詳見解析；．【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，外角的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造三角形全等．利用證明，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得；利用證明，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可證結(jié)論成立；在上截取，構(gòu)造，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等可求，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，從而可求的度數(shù)．【詳解】解：，，又，，，在和中，，，故答案為：；證明：是的外角，，又，，，又，，，在和中，，；解：如下圖所示，在上截取，，，在和中，，，，又，，，，又，，又，，．七、等邊三角形的性質(zhì)（共8小題）52．如圖，等邊的邊長為4，平分，點(diǎn)在的延長線上，，則的長為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意易得，然后可得，進(jìn)而問題可求解．【詳解】解：∵邊的邊長為4，，平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴．故選B．53．如圖，點(diǎn)C在上，作線段的同側(cè)作等邊和等邊相交于點(diǎn)與交于點(diǎn)與交于點(diǎn)N，連接，下列結(jié)論：，其中正確的是（

）A．①② B．①②③④ C．①②④ D．①③④【答案】B【分析】證明即可證明①正確；證明全等，即可證明②正確，從而證明④正確；根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求出，即可得到答案．【詳解】解：等邊和等邊，，，，，，，故①正確；，，，，在和中，，，，故②正確；為等邊三角形，，，故④正確；，，，，，，故③正確．綜上所述，①②③④正確．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．54．如圖，點(diǎn)是射線上一個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)是射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，以線段為邊在右側(cè)作等邊三角形，以線段為邊在上方作等邊三角形，連接，隨點(diǎn)的移動(dòng)，下列說法中正確的是（

）①；②；③直線與射線所夾的銳角的度數(shù)不變；④隨點(diǎn)的移動(dòng)，線段的值逐漸增大．A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④【答案】B【分析】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和等知識(shí)，證明是解題的關(guān)鍵．根據(jù)全等三角形的判定定理“”證明，可判斷①正確；由，，得，可判斷②正確；延長交軸于點(diǎn)，由三角形外角的性質(zhì)可判斷③正確；由全等三角形的性質(zhì)可判斷④錯(cuò)誤，于是得到問題的答案．【詳解】解：∵∴∵和都是等邊三角形，∴，，，∴，在和中，，∴，故①正確；∵，∴∵，∴，故②正確；延長交軸于點(diǎn)，

∵，∴，∵，∴，∴直線與軸的夾角恒為，故③正確；∵點(diǎn)是軸上一個(gè)定點(diǎn)，∴的長為定值，∵，∴，∴的長為定值，∴隨點(diǎn)的移動(dòng)，線段的值不變，故④錯(cuò)誤，故選：B．55．如圖，是等邊三角形，，，則的度數(shù)為．【答案】30°/度【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得出，由可得出為等腰直角三角形，進(jìn)而可得出及，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可求出的度數(shù)即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵為等邊三角形，∴．∵，∴為等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴．故答案為：．56．在等邊中，，點(diǎn)O在AB上，且，點(diǎn)P是上一動(dòng)點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段．要使點(diǎn)D恰好落在邊上，則的長是．【答案】6【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定．先利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，再根據(jù)平角的定義得到，接著根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得，所以，于是得到，則可利用“”判斷，所以．【詳解】解：如圖，∵線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，要使點(diǎn)恰好落在邊上，∴，∴，∵為等邊三角形，，，，在和中，∴，，而，，故答案為：6．57．已知：如圖，點(diǎn)分別在等邊三角形的邊上，，與交于點(diǎn)．求證：中必有一個(gè)角為．【答案】見解析【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)．熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．證明，則，，進(jìn)而結(jié)論得證．【詳解】證明：∵等邊三角形，∴，∵，∴，∴，∴，∴中必有一個(gè)角為．58．如圖1，等邊中，D是邊上的動(dòng)點(diǎn)，以為一邊，向上作等邊，連接．(1)求證：；(2)試判斷與的位置關(guān)系，并證明你的判斷；(3)如圖2，將動(dòng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到邊的延長線上，所作仍為等邊三角形，請(qǐng)問是（2）中的結(jié)論是否成立？并說明理由．【答案】(1)見解析(2)，見解析(3)成立，理由見解析【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，，，根據(jù)證明即可得證；（2）由全等三角形的性質(zhì)結(jié)合題意可得，即可得證；（3）仿照（1）、（2）的證明方法解答即可．【詳解】（1）證明：，是等邊三角形，，，．在和中，，，；（2）解：，理由如下：，．又，．．（3）解：仍有成立．證明：，為等邊三角形，，，．，即．在和中，，．．又，．．59．已知：和都是等邊三角形，連接，．(1)如圖1，線段和的數(shù)量關(guān)系是：___________________，并就圖1的情形證明你的結(jié)論；(2)如圖2，點(diǎn)，，在同一條直線上，且是的中點(diǎn)．①直接寫出的度數(shù)是_____；②與有怎樣的位置關(guān)系，并給予證明．【答案】(1)，證明見解析(2)①；②，證明見解析【分析】（1）據(jù)等邊三角形邊長相等的性質(zhì)和各內(nèi)角為的性質(zhì)可求得，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)即可求得；（2）①由是的中點(diǎn)，可得，再由等邊三角形的性質(zhì)可得，可得，從而得出，最后由全等三角形的性質(zhì)可得；②先證得點(diǎn)E在的垂直平分線上，再證得點(diǎn)B在的垂直平分線上，最后由線段垂直平分線的判定可得結(jié)論．【詳解】（1）解：，證明如下：均為等邊三角形，，即，在和中，故答案為：；（2）解：①是的中點(diǎn)，，為等邊三角形，，，，由（1）得，，故答案為：；②，理由如下：由（1）得，，，點(diǎn)E在的垂直平分線上，為等邊三角形，，點(diǎn)B在的垂直平分線上，垂直平分，即【點(diǎn)睛】此題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形，線段垂直平分線的判定，等腰三角形的性質(zhì)，掌握三角形全等的判定方法是解決問題的關(guān)鍵．八、等邊三角形的判定（共8小題）60．下面給出幾種三角形：（1）有兩個(gè)角為的三角形；（2）三個(gè)外角都相等的三角形；（3）一邊上的高也是這邊上的中線的三角形；（4）有一個(gè)角為的等腰三角形，其中是等邊三角形的個(gè)數(shù)是（

）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】B【分析】本題考查了等邊三角形的判定．根據(jù)等邊三角形的判定定理：有兩個(gè)角都是的三角形或有三邊相等的三角形或有一個(gè)角是的等腰三角形是等邊三角形，分析并作答即可．【詳解】解：①有兩個(gè)角為的三角形是等邊三角形，故①正確；②∵三個(gè)外角都相等，∴相鄰的三個(gè)內(nèi)角都相等，又∵三角形的內(nèi)角和為，∴三個(gè)內(nèi)角都是，∴三個(gè)外角都相等的三角形是等邊三角形，故②正確；③一邊上的高也是這邊上的中線的三角形是等腰三角形，不一定是等邊三角形，故③錯(cuò)誤；④有一個(gè)角是的等腰三角形是等邊三角形，故④正確，∴能證得等邊三角形的有①②④，共3個(gè)，故選：B．61．如圖，已知和，點(diǎn)C在線段上，．(1)求證；(2)若，連接，求證是等邊三角形．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】此題重點(diǎn)考查全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定．（1）由，，，根據(jù)證明；（2）由全等三角形的性質(zhì)得，，則可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：在和中，，；（2）解：由（1）得，，是等邊三角形．62．如圖，，，，．(1)求的度數(shù)；(2)判斷的形狀，并說明理由．【答案】(1)(2)等邊三角形，見解析【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，關(guān)鍵是掌握等腰三角形的兩個(gè)底角相等，等邊三角形的判定方法．（1）由等腰三角形的性質(zhì)推出，由三角形內(nèi)角和定理即可求出；（2）由垂直的定義得到，由直角三角形三角形的性質(zhì)求出，得到，判定是等邊三角形．【詳解】（1）解：，，，；（2）解：是等邊三角形，理由如下：，，，由（1）知，，，，是等邊三角形．63．如圖，在中，，，交于點(diǎn)，且，，其兩邊分別交邊，于點(diǎn)，．(1)求證：是等邊三角形；(2)若，，求四邊形的周長．【答案】(1)見解析(2)16【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)定理成為解題的關(guān)鍵．（1）由等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得，再結(jié)合即可證明結(jié)論；（2）由等邊三角形的性質(zhì)可得，再結(jié)合可得，易證可得，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，即；最后根據(jù)四邊形的周長公式以及等量代換即可解答．【詳解】（1）證明：∵，∴．又∵，∴是等邊三角形．（2）解：∵是等邊三角形，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵交于點(diǎn)，是等邊三角形，∴，即∴四邊形的周長為．64．如圖1，和都是頂角為的等腰三角形，其中，點(diǎn)D在上．(1)求證：；(2)求證：如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在的延長線上，為等邊三角形．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定；（1）證明即可得到；（2）由得到，當(dāng)點(diǎn)E在的延長線上時(shí)，即可證明，得到，，根據(jù)一個(gè)角是的等腰三角形是等邊三角形判定即可．【詳解】（1）證明：∵和都是頂角為的等腰三角形，∴，，∵，∴，∴，∴，∴；（2）證明：當(dāng)點(diǎn)E在的延長線上時(shí)，∴，∵，，∴，∴，，∵，，∴，∴，∴，∴，∴為等邊三角形．65．如圖1，，，，．點(diǎn)P在線段上以每秒2個(gè)單位的速度由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)在線段上以每秒2個(gè)單位的速度由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．它們的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．(1)當(dāng)時(shí)，與是否全等，請(qǐng)說明理由，并判斷此時(shí)線段和線段的位置關(guān)系；(2)如圖2，當(dāng)時(shí)，連接，請(qǐng)判斷的形狀并說明理由．【答案】(1)，，理由見解析(2)為等邊三角形，理由見解析【分析】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定．（1）當(dāng)時(shí)，則，，由此可依據(jù)“”判定；則，再根據(jù)得，進(jìn)而得，據(jù)此可得線段和線段的位置關(guān)系；（2）先證明得到，，再根據(jù)，得到，進(jìn)而得，即可判定為等邊三角形．【詳解】（1）解：，，理由如下：若點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度相等，當(dāng)時(shí)，，，，，，又，，，在和中，，；，，，，，；（2）解：為等邊三角形，理由如下：連接，若點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度相等，，∵，；，，，，，，∴為等邊三角形．66．如圖，在和中，，，．求證：(1)；(2)若點(diǎn)E剛好落在線段上，且，則的形狀為________．【答案】(1)見解析(2)等邊三角形【分析】此題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定等知識(shí)，證明是解題的關(guān)鍵．（1）由推導(dǎo)出，而，即可根據(jù)“”證明，則；（2）由全等三角形的性質(zhì)得，而，所以是等邊三角形，于是得到問題的答案．【詳解】（1）證明：∵，∴，∴，在和中，，∴，∴．（2）∵，∴，∵，∴，∴是等邊三角形，故答案為：等邊三角形．67．如圖，點(diǎn)是等邊內(nèi)一點(diǎn)，是外的一點(diǎn)，，，，，連接．(1)求證：是等邊三角形；(2)當(dāng)時(shí)，試判斷的形狀，并說明理由；(3)探究：當(dāng)為多少度時(shí)，是等腰三角形．（直接寫出答案）【答案】(1)見解析(2)是直角三角形，理由見解析(3)或或【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的定義，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用，采用分類討論的思想是解此題的關(guān)鍵．（1）由全等三角形的性質(zhì)可得，結(jié)合，即可得證；（2）由等邊三角形的性質(zhì)可得，由全等三角形的性質(zhì)得出，即可得出，從而得解；（3）根據(jù)題意以及全等三角形的性質(zhì)，分別計(jì)算出、、，再分三種情況討論即可．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴是等邊三角形；（2）解：是直角三角形，理由如下：∵是等邊三角形，∴，當(dāng)時(shí)，∵，∴，∴，∴是直角三角形；（3）解：∵是等邊三角形，∴，∵，∴，∵，∴，，∴，當(dāng)時(shí)，，解得：；當(dāng)時(shí)，，解得：；當(dāng)時(shí)，，解得：；綜上所述，當(dāng)或或時(shí)，是等腰三角形．九、30°銳角所對(duì)的直角邊（共8小題）68．如圖，在中，，平分，于D．如果，，那么

A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)．熟練掌握角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．線根據(jù)角平分線的性質(zhì)，得到，再利用含的直角三角形三邊關(guān)系計(jì)算出，從而得到的長．【詳解】解：，平分，，，在中，，，．故選B．69．如圖，已知，平分，點(diǎn)D是上一點(diǎn)，且，點(diǎn)C是上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P是上一動(dòng)點(diǎn)，連接，則的最小值是（）A．5 B．10 C．15 D．20【答案】B【分析】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)．作垂足為，推出的最小值是的長，在中，利用直角三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：如圖，作點(diǎn)C關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，由軸對(duì)稱的性質(zhì)得，作垂足為，∴，∴的最小值是的長，在中，，，∴，即的最小值是10．故選：B．70．如圖，為等邊三角形，，，相交于點(diǎn)P，于，，．(1)求證：；(2)求的長．【答案】(1)見解析(2)7【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)，理解并掌握以上知識(shí)是解答本題的關(guān)鍵．（1）本題要先得到，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到．（2）根據(jù)（1）中，得到，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和等邊三角形每個(gè)內(nèi)角是，得到，即可求解得到的長．【詳解】（1）證明：∵為等邊三角形，∴，．∴在和中，，∴．∴．（2）∵，∴，∵，又∵，∴，∴，∴，∴．71．如圖，在中，是高，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊的延長線上，的延長線交于點(diǎn)，且，若．(1)求證：是等邊三角形；(2)若，求長．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟記等邊三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)線段垂直平分線的判定與性質(zhì)求出，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出，根據(jù)“有一個(gè)角是的等腰三角形是等邊三角形”即可得解；（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及三角形外角性質(zhì)求出，根據(jù)等腰三角形的判定定理即可得解．【詳解】（1）證明：∵，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，∴垂直平分，∴．∵，∴．∵，∴，∴是等邊三角形．（2）解：由（1）得，，∴在中，．∵，∴．∵在中，是高，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，∴．∵，，∴，∴．72．如圖，已知：在中，，．(1)作的平分線，交于點(diǎn)，作的垂直平分線，分別交、于點(diǎn)、．（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不必寫作法和證明）；(2)求證：點(diǎn)是中點(diǎn)；(3)連接，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的定義，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線和角平分線的尺規(guī)作圖：（1）根據(jù)線段垂直平分線和角平分線的尺規(guī)作圖方法作圖即可；（2）先求出，則由直角三角形的性質(zhì)得到，再證明，則，進(jìn)而得到，則，即E是中點(diǎn)．（3）證明，又，連接，由等腰三角形的性質(zhì)可知，又，從而求得【詳解】（1）如圖所示，即為所求；（2）∵在中，，∵垂直平分，即是的中點(diǎn)（3）平分，，又，連接，則，即73．如圖，邊長為的等邊中，點(diǎn)分別是邊上的動(dòng)點(diǎn)（端點(diǎn)除外），點(diǎn)從頂點(diǎn)，點(diǎn)從頂點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，且它們的速度都為，連接，交于點(diǎn)，在點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)的過程中．(1)求證：；(2)的大小是否發(fā)生變化？若無變化，求的度數(shù)；若有變化，請(qǐng)說明理由；(3)連接，當(dāng)點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí)，是直角三角形？【答案】(1)證明見解析；(2)的大小是不發(fā)生變化，理由見解析；(3)當(dāng)?shù)诿牖虻诿霑r(shí)，為直角三角形．【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．（）由等邊三角形的性質(zhì)得出，，然后由即可求證；（）由可得，由外角的性質(zhì)可求；（）分兩種情況當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)討論，由直角三角形的性質(zhì)列出等式可求解．【詳解】（1）證明：∵是等邊三角形，∴，，又由條件得，在和中，∴，（2）解：的大小是不發(fā)生變化，理由，由（）知：，∴，∴；（3）解：設(shè)時(shí)間為，則，,當(dāng)時(shí)，∵，∴，∴，得，；當(dāng)時(shí)，∵，∴，∴，得，；∴當(dāng)?shù)诿牖虻诿霑r(shí)，為直角三角形．74．如圖，在中，，，是邊上的中線，且，的垂直平分線交于，交于．(1)求的度數(shù)；(2)證明是等邊三角形；(3)若的長為2，求的邊長．【答案】(1)(2)見解析(3)【分析】本題主要考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，含角的直角三角形，理解等腰三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的判定與性質(zhì)，含角的直角三角形是解決問題的關(guān)鍵．（1）先根據(jù)等腰三角形性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理求出，再根據(jù)即可得出的度數(shù)；（2）根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)得，則，進(jìn)而得，再根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得，則，由此可得出結(jié)論；（3）在中，根據(jù)得，則，再由(2)的結(jié)論得，由此可得出的長．【詳解】（1）解：在中，，，．在中，，．（2）證明：的垂直平分線交于，交于，，，，，在中，，，是邊上的中線，．．∴是等邊三角形．（3）在中，，，．．由（2）可知：是等邊三角形，．．十、直角三角形斜邊上的中線（共7小題）75．如圖，在三角形部件中，，為邊的中點(diǎn)，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了斜邊上的中線等于斜邊的一半，根據(jù)，為邊的中點(diǎn)，得出，即可作答．【詳解】解：依題意，，為邊的中點(diǎn)，∴是的中線，∴故選：C76．如圖，一根長5米的梯子斜靠在與地面垂直的墻上，P為的中點(diǎn)，當(dāng)梯子的一端A沿墻面向下移動(dòng)，另一端B沿向右移動(dòng)時(shí)，的長（

）A．先增大，后減小 B．逐漸減小 C．逐漸增大 D．不變【答案】D【分析】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得，從而得出答案．【詳解】解：∵，點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，是斜邊的中線，∴米，∴在滑動(dòng)的過程中的長度不變．故選D．77．如圖，在中，是邊上的高線，是邊上的中線，于點(diǎn)G，且．若，則的度數(shù)是．【答案】【分析】連接，如圖所示，證得是線段的垂直平分線，得到，則有，再根據(jù)直角三角形斜邊上中線等于斜邊的一半得到，從而，結(jié)合三角形外角性質(zhì)有，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到，解方程求出，從而得到的度數(shù)．【詳解】解：連接，如圖所示：于點(diǎn)，且，是線段的垂直平分線，，，在中，，是邊上的中線，，，是的一個(gè)外角，，設(shè)，則，在中，，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得，解得，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查三角形中求角度問題，涉及垂直平分線的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊上中線等于斜邊的一半、外角性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，根據(jù)題意準(zhǔn)確作出輔助線，并靈活運(yùn)用相關(guān)幾何判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．78．如圖1，在中，，M為中點(diǎn)將沿翻折，得到（如圖2），P為上一點(diǎn)，再將沿翻折，使得D與B重合（如圖3），給出下列四個(gè)命題：①；②；③；④．其中說法正確的是．【答案】①④【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，，等量代換得到，求得；故①正確；假設(shè)，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，由直角三角形的性質(zhì)得到，于是得到與不一定全等；故②錯(cuò)誤；假設(shè)，得到由直角三角形的性質(zhì)得到，得到，推出不一定等于，得到不一定垂直于；故③錯(cuò)誤；根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，得到，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到，故④正確．【詳解】解：∵將沿翻折，得到，∴，∵再將沿翻折，使得與重合，∴，∴，∴；故①正確；假設(shè)，，∵在中，，為中點(diǎn)，∴，∴，∴，而不一定等于，∴與不一定全等；故②錯(cuò)誤；假設(shè)，則，∵在中，，為中點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，∴，而不一定等于，∴不一定垂直于；故③錯(cuò)誤；∵，∴，∴，∵，∵，∴，故④正確．故答案為：①④．【點(diǎn)睛】本題考查的是命題的真假判斷，掌握直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定定理、翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、平行線的判定、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．79．如圖，在中，，垂足為F，，垂足為E，M為的中點(diǎn)，連接．(1)求證：；(2)若，求的大小．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，三角形內(nèi)角和定理以及等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)，，和是直角三角形，再根據(jù)為的中點(diǎn)，由直角三角形的性質(zhì)，斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可得出；（2）根據(jù)，可得，，由，，由三角形內(nèi)角和即可求得的度數(shù)．【詳解】（1）證明：，，和均是直角三角形，為的中點(diǎn)，，，；（2）解：，，，，，，，，的度數(shù)為．80．如圖，已知中，，E是的中點(diǎn)，垂直平分．(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查斜邊上的中線，中垂線的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵：（1）根據(jù)斜邊上的中線得到，中垂線的性質(zhì)，得到，即可得證；（2）根據(jù)等邊對(duì)等角，結(jié)合三角形的外角的性質(zhì)，進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：∵，∴，∵E是的中點(diǎn)，∴，∵垂直平分，∴，∴；（2）∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴．81．已知：如圖，在四邊形中，，點(diǎn)E是的中點(diǎn)．(1)求證：是等腰三角形；(2)當(dāng)__________°時(shí)，是等邊三角形．(3)當(dāng)時(shí)，若，取中點(diǎn)F，求的長．【答案】(1)見解析(2)150(3)【分析】（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得，，從而得到；（2）利用等邊對(duì)等角以及三角形外角的性質(zhì)得出，由得到，，繼而，即可證明等邊三角形；（3）由，，則，由上可知，而為中點(diǎn)，故．【詳解】（1）證明：，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，，，，是等腰三角形；（2）解：當(dāng)時(shí)，是等邊三角形，理由如下：∵，，∴∴，，，，，，，，∵，∴是等邊三角形，故答案為：150；（3）解：如圖：由（2）可知，，∵，∴，由上可知，∵為中點(diǎn)∴．【點(diǎn)睛】此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的定義，直角三角形的性質(zhì)，以及三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)題意得出是解題關(guān)鍵．十一、用勾股定理理解三角形（共5小題）82．已知一個(gè)直角三角形兩直角邊長分別為3和4，則它的斜邊長為（

）A．5 B．4 C．3 D．【答案】A【分析】此題主要考查勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．直接利用勾股定理解答即可．【詳解】解：∵一個(gè)直角三角形兩直角邊長分別為3和4，∴這個(gè)直角三角形的斜邊長．故選：A．83．如圖，以單位長度為邊長畫一個(gè)正方形，以原點(diǎn)為圓心，正方形的對(duì)角線長為半徑畫弧，與數(shù)軸交于點(diǎn)A，則點(diǎn)A表示的數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，勾股定理，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)勾股定理求出點(diǎn)到原點(diǎn)距離，再根據(jù)點(diǎn)在原點(diǎn)左側(cè)，即可求解．【詳解】解：點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，∵點(diǎn)在原點(diǎn)左側(cè)，∴點(diǎn)表示的數(shù)是，故選：B．84．如圖，是四根長度相同的小木棒，A、C、E三點(diǎn)共線，于點(diǎn)C，若，則一根小木棒的長為（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．作，垂足分別為G、H，證明，得，再利用勾股定理即可得出答案．【詳解】解：作，垂足分別為G、H，∴，∴，∵，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，同理，，∴，在中，由勾股定理得，故選：A．85．如圖，在中，，，，則的面積為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，含角直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，關(guān)鍵是通過作輔助線轉(zhuǎn)化為直角三角形來解決．過點(diǎn)A作，垂足為D．在中和中，分別用表示出、，根據(jù)的長求出，再求三角形的面積．【詳解】如圖，過點(diǎn)A作，垂足為D．

在中，，∴∴．在中，，∴∴∵，∴，即∴．故選：A．86．如圖，在中，是邊上的高線，是邊上的中線，于F，，若，則．【答案】6【分析】本題考查直角三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．連接，先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到的長，再判定是斜邊邊上的中線，得到的長，最后根據(jù)勾股定理即可求出．【詳解】解：如圖，連接，∵，∴．∵是邊上的高線，∴是直角三角形，且．∵是邊上的中線，∴是斜邊邊上的中線，∴，∴．∴．故答案為：6．十二、勾股數(shù)（數(shù)）問題（共8小題）87．下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（

）A．1，2，3 B．4，6，8 C．，， D．5，12，13【答案】D【分析】本題考查了勾股數(shù)的定義，熟練掌握勾股數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)勾股數(shù)是滿足較小的兩個(gè)數(shù)的平方之和等于最大的數(shù)的平方的一組正整數(shù)，據(jù)此逐項(xiàng)分析即可作答．【詳解】解：A、，故該選項(xiàng)是錯(cuò)誤的；B、，故該選項(xiàng)是錯(cuò)誤的；C、，，不是正整數(shù)，故該選項(xiàng)是錯(cuò)誤的；D、，故該選項(xiàng)是正確的；故選：D．88．有一個(gè)邊長為1的正方形，經(jīng)過一次“生長”后，在它的左右肩上生出兩個(gè)小正方形（圖①），其中，三個(gè)正方形圍成的三角形是直角三角形；再經(jīng)過一次“生長”后，變成了如圖②．如果繼續(xù)“生長”下去，他將變得“枝繁葉茂”，請(qǐng)你計(jì)算出“生長”了10次后形成的圖形中所有正方形的面積之和為（

）A．11 B．55 C．66 D．【答案】A【分析】根據(jù)勾股定理求出“生長”了1次后形成的圖形中所有的正方形的面積和，結(jié)合圖形總結(jié)規(guī)律，根據(jù)規(guī)律解答即可．本題考查的是勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么．【詳解】解：如圖，由題意得，正方形A的面積為1，由勾股定理得，正方形B的面積正方形C的面積=1，∴“生長”了1次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為2，同理可得，“生長”了2次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為3，“生長”了3次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為4，……∴“生長”了10次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為11，故選：A．89．如圖，以的三邊分別向外作正方形，它們的面積分別為，若，則的值為【答案】30【分析】根據(jù)正方形的面積公式，且結(jié)合勾股定理就可發(fā)現(xiàn)大正方形的面積是兩個(gè)小正方形的面積和，即可得出答案．本題考查了勾股定理，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：依題意，由勾股定理得：，∴，∵∴，∴，故答案為：30．90．如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面積分別是3，5，2，3，則正方形E的面積是，正方形F的面積是，正方形G的面積是．【答案】8513【分析】本題考查了勾股定理，正方形的面積，解題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用勾股定理求得正方形的邊長．先由正方形A，B，C，D的面積分別為3，5，2，3，得到對(duì)應(yīng)的邊長分別為，然后利用勾股定理求得正方形的邊長分別為，從而求得正方形和的面積，正方形的邊長，即可得到正方形的面積．【詳解】解：正方形A，B，C，D的面積分別為3，5，2，3，正方形A，B，C，D的邊長分別為，由勾股定理得，正方形的邊長為，正方形的邊長為，正方形的面積為8，正方形的面積為5，正方形的邊長為，正方形的面積為13，故答案為：8，5，13．91．如果正整數(shù)、、滿足等式，那么正整數(shù)、、叫做勾股數(shù)．小明根據(jù)自己探究勾股數(shù)的過程，列成下表：abc345861015817(1)小明發(fā)現(xiàn)：，，，請(qǐng)你根據(jù)小明發(fā)現(xiàn)的規(guī)律寫出下一組勾股數(shù)：__________；(2)若用（為整數(shù)，且）表示，那么、用含的代數(shù)式分別表示為__________和_____，請(qǐng)用所學(xué)知識(shí)說明它們是一組勾股數(shù)．【答案】(1)24，10，26(2)，，證明見解析【分析】本題考查勾股數(shù)，找數(shù)字的規(guī)律．（1）觀察各行勾股數(shù)的規(guī)律，即可解答；（2）根據(jù)（1）中的規(guī)律即可得到表示a，c的代數(shù)式，并證明即可解答．【詳解】（1）解：∵第一行：，，，第二行：，，，第三行：，，，∴第四行：，，，即下一組勾股數(shù)是：24，10，26；故答案為：24，10，26（2）解：∵，∴，，∵，，，∴，∴，，是一組勾股數(shù)．故答案為：，92．課堂上學(xué)習(xí)了勾股定理后知道：直角三角形三邊長是整數(shù)時(shí)我們稱之為“勾股數(shù)”．王老師給出一組數(shù)讓學(xué)生觀察：；；；；，學(xué)生發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)的勾都是奇數(shù)，且從起就沒有間斷過，于是王老師提出以下問題讓學(xué)生解決．若兩直角邊為（），斜邊為．(1)請(qǐng)你根據(jù)上述的規(guī)律寫出下一組勾股數(shù)：、、；(2)當(dāng)（為奇數(shù)，且）時(shí)，若，時(shí)可以構(gòu)造出勾股數(shù)（用含的代數(shù)式表示），并證明你的猜想；(3)構(gòu)造勾股數(shù)的方法很多，請(qǐng)你尋找當(dāng)時(shí)，．【答案】(1)，(2)，，證明見解析(3)或或【分析】（）觀察勾股數(shù)，找出規(guī)律即可求解；（）根據(jù)所提供的例子發(fā)現(xiàn)股是勾的平方減去的二分之一，弦是勾的平方加的二分之一，據(jù)此可得，然后計(jì)算驗(yàn)證即可；（）由勾股定理可得，再根據(jù)勾股定理可得，然后根據(jù)列舉法即可解答；本題考查了勾股數(shù)，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：∵；；；；，∴為奇數(shù)，且時(shí)，勾股數(shù)為、、，∴、、，故答案為：、；（2）解：觀察發(fā)現(xiàn)，當(dāng)(為奇數(shù)，且)時(shí)，股是勾的平方減去的二分之一，弦是勾的平方加的二分之一，∴當(dāng)，時(shí)可以構(gòu)造出勾股數(shù)，證明：∵，，∴，∵為奇數(shù)，且，∴、、是正整數(shù)，∴、、三個(gè)數(shù)組成的數(shù)是勾股數(shù)；（3）解：由勾股定理可得，當(dāng)時(shí)，則有，即，當(dāng)時(shí)，解得，，∵，∴該種情況不合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，解得；當(dāng)時(shí)，解得；當(dāng)時(shí)，解得；綜上，的值為或或，故答案為：或或．93．探究一：如圖，均為正方形．問題：（）若圖中的為直角三角形，的面積為，的面積為10，則的面積為________；（）若的面積為，的面積為，同時(shí)的面積為，則為________三角形．探究二：圖形變化：（）如圖，分別以直角三角形的三邊為直徑向三角形外作三個(gè)半圓，判斷這三個(gè)半圓的面積之間有什么關(guān)系，并說說你的理由；（）如圖，如果直角三角形兩直角邊長分別為和，以直角三角形的三邊為直徑作半圓，你能利用上面的結(jié)論求出陰影部分的面積嗎？如果能，請(qǐng)寫出你的計(jì)算過程；如果不能，請(qǐng)說明理由．【答案】（）；（）直角；（）；（）【分析】（）根據(jù)正方形的面積公式結(jié)合勾股定理可發(fā)現(xiàn)大正方形的面積是兩個(gè)小正方形的面積和；（）根據(jù)大正方形的面積等于兩個(gè)小正方形的面積和，可以得到其中兩條邊平方的和等于第三條邊的平方，進(jìn)而由勾股定理的逆定理即可判斷求解；（）設(shè)直角三角形的三邊分別為，根據(jù)半圓的面積公式以及勾股定理可發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)小半圓的面積和等于大半圓的面積；（）根據(jù)（）可得陰影部分的面積直角三角形的面積，據(jù)此解答即可求解；本題考查了勾股定理及其逆定理，掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：（）由題意得，，∴，故答案為：；（）∵的面積為，的面積為，同時(shí)的面積為，∴，，，∵，∴是直角三角形，故答案為：直角；（），理由如下：設(shè)直角三角形的三邊分別為，則，，，∵，∴；（）由圖②可得，．94．我國是歷史上較早發(fā)現(xiàn)并運(yùn)用“勾股定理”的國家之一、古人將直角三角形中較短的直角邊稱為“勾”，較長的直角邊稱為“股”，斜邊稱為“弦”，“勾股定理”因此而得名．勾股定理：若直角三角形兩直角邊長分別為a、b，斜邊長為c，則有，即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．請(qǐng)運(yùn)用“勾股定理”解決下列問題．(1)如圖1，直角三角形的兩條直角邊分別是9厘米和12厘米，則這個(gè)直角三角形的斜邊長___________厘米．(2)如圖2，分別以直角三角形的邊為邊長作正方形，則___________，___________．根據(jù)勾股定理可知，，所以___________=___________