看不盡的“趙爽弦圖”2024年浙江省中考卷8.

我國古代傳統(tǒng)數(shù)學(xué)有著輝煌的成就，例如三國時(shí)期趙爽的弦圖可用于證明勾股定理.

如圖，正方形ABCD由四個(gè)全等的直角三角形（△ABE，△BCF，△CDG，△DAH）和中間一個(gè)小正方形EFGH組成，連接DE.

若AE=4，BE=3，求DE的長.一朝看盡趙爽弦圖《周髀算經(jīng)》

《周髀算經(jīng)》原名《周髀》，算經(jīng)的十書之一，是中國最古老的天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作，約成書于公元前1世紀(jì)，主要闡明當(dāng)時(shí)的蓋天說和四分歷法。唐初規(guī)定它為國子監(jiān)明算科的教材之一，故改名《周髀算經(jīng)》。

商高是我國古代第一位數(shù)學(xué)家，西周初期人，是他在公元前1000年發(fā)現(xiàn)了勾股定理，早于畢達(dá)哥拉斯定理五六百年，所以人們也稱“勾股定理”為“商高定理”。《周髀算經(jīng)》的開章，就記載了商高關(guān)于勾股定理的闡述。

趙爽是三國時(shí)期的數(shù)學(xué)家，他研究《周髀算經(jīng)》時(shí)，被書中的“勾股圓方圖”注文吸引，由此趙爽產(chǎn)生了新的證明方法，便是我們現(xiàn)在熟悉的“趙爽弦圖”。“趙爽弦圖”被譽(yù)為中國數(shù)學(xué)界的圖騰，2002年在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會上，就以此為會徽，足以見得它的價(jià)值?！摆w爽弦圖”弦圖，又可以勾、股相乘為朱實(shí)二，倍之為朱實(shí)四；以勾、股之差自相乘為中黃實(shí)；加差實(shí)，亦成弦實(shí)?！摆w爽弦圖”外弦圖內(nèi)弦圖內(nèi)外弦組合圖例1.如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形.設(shè)直角三角形較短直角邊為a，較長直角邊為b，若ab=24，大正方形的面積為129，則小正方形的邊長是

.“弦圖”問題基礎(chǔ)版

“弦圖”問題基礎(chǔ)版例3.如圖是由四個(gè)全等的直角三角形拼成的“趙爽弦圖”，連結(jié)CF，若AF=2BF，則tan∠FCB的值為

.“弦圖”問題進(jìn)階版

同類問題1.如圖是由四個(gè)全等的直角三角形拼成的“趙爽弦圖”，連結(jié)DF，CF，若C，F(xiàn)關(guān)于過點(diǎn)D的直線對稱，則tan∠FCB的值為

.

“弦圖”問題進(jìn)階版

“弦圖”問題終極版

老師編的題：“弦圖”問題繼續(xù)進(jìn)行中......課堂梳理1.題型總結(jié)：有的題沒有額外加線，有的加了；有的題由邊到角，有的由角到邊；有的題側(cè)重幾何推理，有的側(cè)重代數(shù)運(yùn)算；2.方法（招式）總結(jié)：全等；相似（8字型，A字型）；勾股定理；面積法。課后作業(yè)1.第二十四屆國際數(shù)學(xué)家大會會徽的設(shè)計(jì)基礎(chǔ)是1700多年前中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”，如圖，在由四個(gè)全等的直角三角形(△ABF、△BCG、△CDH、△DAE)和中間一個(gè)小正方形EFGH拼成的大正方形

ABCD中?！螧CG>∠CBG，連結(jié)CF.設(shè)∠CBG=α，∠CFG=β，若正方形EFGH與正方形ABCD的面積之比為1：n，tanα=tan2β，則n=

(

)A.5

B.4

C.3

D.2課后作業(yè)2.如圖，正方形ABCD是由小正方形EFCH和四個(gè)全等的直角三角形無縫密鋪組成，延長GH交以AD為直徑的圓于點(diǎn)I(點(diǎn)I在AD的上側(cè)），連結(jié)IA，ID.分別以IA，ID為邊向外作正方形1AKJ，IDLM.已知△ICD的面積為2，正方形IAKJ的面積為1，則正方形EFGH的面積為

.課后作業(yè)

（1）若A，B，Q三點(diǎn)共線，則k=

.（2）正方形ABCD和CJKL的面積之比為

.課后作業(yè)4.

如圖，四個(gè)全等的直角三角形拼成“趙爽弦圖”，得到正方形ABCD與正方形EFGH.以AD為直徑作圓，交HG于點(diǎn)I，連結(jié)DI，EI，設(shè)tan∠HDI=x,tan∠HIE=y,則下列式子中為定值的是（

）.A.

x+y

B.

x-y

C.

xy

D.視角一：弦圖上增設(shè)線段（形內(nèi)）一、對“弦圖”問題的命制視角再剖析視角一：弦圖上增設(shè)線段（形外）一、對“弦圖”問題的命制視角再剖析

視角二：弦圖上增設(shè)典型圖形一、對“弦圖”問題的命制視角再剖析如圖，正方形ABCD是由小正方形EFCH和四個(gè)全等的直角三角形無縫密鋪組成，延長GH交以AD為直徑的圓于點(diǎn)I(點(diǎn)I在AD的上側(cè)），連結(jié)IA，ID.分別以IA，ID為邊向外作正方形1AKJ，IDLM.已知△ICD的面積為2，正方形IAKJ的面積為1，則正方形EFGH的面積為

.

（1）若A，B，Q三點(diǎn)共線，則k=

.（2）正方形ABCD和CJKL的面積之比為

.視角三：構(gòu)造弦圖解決問題一、對“弦圖”問題的命制視角再剖析S2S1S1S1S1S2S2S2S2S2S2S1S1S12.（2025浙北調(diào)研卷第10題）如圖，在正方形ABCD中，線段CB繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至CE（點(diǎn)E在正方形內(nèi)部），連結(jié)DE并延長至點(diǎn)F，使得AF=AD，EF交AB于點(diǎn)G，連結(jié)BF，BE.若EF=ED，則△EFB的面積與四邊形EGBC的面積的比值是（

）一、對“弦圖”問題的命制視角再剖析視角三：構(gòu)造弦圖解決問題一、對“弦圖”問題的命制視角再剖析視角四：弦圖的變形拓展1.如圖是一個(gè)由5張紙片拼成的平行四邊形ABCD，相鄰紙片之間互不重疊也無縫隙，其中兩張等腰直角三角形紙片的面積都為S1，另兩張直角三角形紙片的面積都為S2，中間一張矩形紙片EFGH的面積為S3,FH與GE相交于點(diǎn)O.當(dāng)△AEO，△BFO，△CGO，△DHO的面積相等時(shí)，下列結(jié)論一定成立的是（

）A.S1=S2B.S1=S3C.AB=ADD.EH=GH一、對“弦圖”問題的命制視角再剖析視角四：弦圖的變形拓展

一、對“弦圖”問題的命制視角再剖析

以”趙爽弦圖“為背景的試題命制視角研究，首先厘清弦圖的基本結(jié)構(gòu)特征，能從整體與局部雙重視角對圖形進(jìn)行分析，充分挖掘圖形中邊與角之間的數(shù)量關(guān)系。從基本結(jié)構(gòu)，再到豐富結(jié)構(gòu)，隱藏結(jié)構(gòu)，變形結(jié)構(gòu)，不斷拓展創(chuàng)新。將代數(shù)運(yùn)算和幾何推理有機(jī)結(jié)合，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維。二、對“弦圖”問題的解題方法再剖析

“趙爽弦圖”以小身板展示出大能量，從整體看，弦圖是中心對稱圖形；從局部看，弦圖中的圖形包括直角三角形和正方形，圖形之間有全等和相似關(guān)系，線段之間有平行和垂直關(guān)系，角度之間存在互余；從思想上看，弦圖融合了割補(bǔ)思想、數(shù)形結(jié)合思想和圖形變換思想.“趙爽弦圖”可在平面幾何中同時(shí)涵蓋線和形、位置與數(shù)量以及方法和思想等多個(gè)方面，因此具有良好的幾何特征。

從大量“弦圖”問題中，我們得出，分析全等得到邊角的數(shù)量關(guān)系是關(guān)鍵，構(gòu)造相似是進(jìn)階的密碼，遇到困難時(shí)，用“代換”化危機(jī)。美國數(shù)學(xué)家波利亞說過：貨源充足和組