清單04一次函數(shù)（11個考點梳理+20題型解讀）清單01一次函數(shù)的定義（1）一次函數(shù)的定義：一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常數(shù)）的函數(shù)，叫做一次函數(shù)．（2）注意：①又一次函數(shù)的定義可知：函數(shù)為一次函數(shù)?其解析式為y＝kx+b（k≠0，k、b是常數(shù)）的形式．②一次函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特征：k≠0；自變量的次數(shù)為1；常數(shù)項b可以為任意實數(shù)．③一般情況下自變量的取值范圍是任意實數(shù)．④若k＝0，則y＝b（b為常數(shù)），此時它不是一次函數(shù)．清單02一次函數(shù)的圖象（1）一次函數(shù)的圖象的畫法：經(jīng)過兩點（0，b）、（﹣，0）或（1，k+b）作直線y＝kx+b．注意：①使用兩點法畫一次函數(shù)的圖象，不一定就選擇上面的兩點，而要根據(jù)具體情況，所選取的點的橫、縱坐標(biāo)盡量取整數(shù)，以便于描點準(zhǔn)確．②一次函數(shù)的圖象是與坐標(biāo)軸不平行的一條直線（正比例函數(shù)是過原點的直線），但直線不一定是一次函數(shù)的圖象．如x＝a，y＝b分別是與y軸，x軸平行的直線，就不是一次函數(shù)的圖象．（2）一次函數(shù)圖象之間的位置關(guān)系：直線y＝kx+b，可以看做由直線y＝kx平移|b|個單位而得到．當(dāng)b＞0時，向上平移；b＜0時，向下平移．注意：①如果兩條直線平行，則其比例系數(shù)相等；反之亦然；②將直線平移，其規(guī)律是：上加下減，左加右減；③兩條直線相交，其交點都適合這兩條直線．清單03一次函數(shù)的性質(zhì)一次函數(shù)的性質(zhì)：k＞0，y隨x的增大而增大，函數(shù)從左到右上升；k＜0，y隨x的增大而減小，函數(shù)從左到右下降．由于y＝kx+b與y軸交于（0，b），當(dāng)b＞0時，（0，b）在y軸的正半軸上，直線與y軸交于正半軸；當(dāng)b＜0時，（0，b）在y軸的負(fù)半軸，直線與y軸交于負(fù)半軸．清單04一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系由于y＝kx+b與y軸交于（0，b），當(dāng)b＞0時，（0，b）在y軸的正半軸上，直線與y軸交于正半軸；當(dāng)b＜0時，（0，b）在y軸的負(fù)半軸，直線與y軸交于負(fù)半軸．①k＞0，b＞0?y＝kx+b的圖象在一、二、三象限；②k＞0，b＜0?y＝kx+b的圖象在一、三、四象限；③k＜0，b＞0?y＝kx+b的圖象在一、二、四象限；④k＜0，b＜0?y＝kx+b的圖象在二、三、四象限．清單05一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征一次函數(shù)y＝kx+b，（k≠0，且k，b為常數(shù)）的圖象是一條直線．它與x軸的交點坐標(biāo)是（﹣，0）；與y軸的交點坐標(biāo)是（0，b）．直線上任意一點的坐標(biāo)都滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝kx+b．清單06一次函數(shù)圖象與幾何變換直線y＝kx+b，（k≠0，且k，b為常數(shù)）①關(guān)于x軸對稱，就是x不變，y變成﹣y：﹣y＝kx+b，即y＝﹣kx﹣b；（關(guān)于X軸對稱，橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)是原來的相反數(shù)）②關(guān)于y軸對稱，就是y不變，x變成﹣x：y＝k（﹣x）+b，即y＝﹣kx+b；（關(guān)于y軸對稱，縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)是原來的相反數(shù)）③關(guān)于原點對稱，就是x和y都變成相反數(shù)：﹣y＝k（﹣x）+b，即y＝kx﹣b．（關(guān)于原點軸對稱，橫、縱坐標(biāo)都變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)）清單07待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式一般步驟是：（1）先設(shè)出函數(shù)的一般形式，如求一次函數(shù)的解析式時，先設(shè)y＝kx+b；（2）將自變量x的值及與它對應(yīng)的函數(shù)值y的值代入所設(shè)的解析式，得到關(guān)于待定系數(shù)的方程或方程組；（3）解方程或方程組，求出待定系數(shù)的值，進(jìn)而寫出函數(shù)解析式．注意：求正比例函數(shù)，只要一對x，y的值就可以，因為它只有一個待定系數(shù)；而求一次函數(shù)y＝kx+b，則需要兩組x，y的值．清單08一次函數(shù)與一元一次方程一元一次方程可以通過做出一次函數(shù)來解決．一元一次方程的根就是它所對應(yīng)的一次函數(shù)函數(shù)值為0時，自變量的值．即一次函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)．清單09一次函數(shù)與二元一次方程（組）（1）一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系：由于任何一元一次方程都可以轉(zhuǎn)化為ax+b＝0（a，b為常數(shù)，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以轉(zhuǎn)化為：當(dāng)某個一次函數(shù)的值為0時，求相應(yīng)的自變量的值，從圖象上看，這相當(dāng)于已知直線y＝kx+b確定它與x軸交點的橫坐標(biāo)值．（2）二元一次方程（組）與一次函數(shù)的關(guān)系（3）一次函數(shù)和二元一次方程（組）的關(guān)系在實際問題中的應(yīng)用：要準(zhǔn)確的將條件轉(zhuǎn)化為二元一次方程（組），注意自變量取值范圍要符合實際意義．清單10根據(jù)實際問題列一次函數(shù)關(guān)系式根據(jù)實際問題確定一次函數(shù)關(guān)系式關(guān)鍵是讀懂題意，建立一次函數(shù)的數(shù)學(xué)模型來解決問題．需要注意的是實例中的函數(shù)圖象要根據(jù)自變量的取值范圍來確定．①描點猜想問題需要動手操作，這類問題需要真正的去描點，觀察圖象后再判斷是一次函數(shù)還是其他函數(shù)，再利用待定系數(shù)法求解相關(guān)的問題．②函數(shù)與幾何知識的綜合問題，有些是以函數(shù)知識為背景考查幾何相關(guān)知識，關(guān)鍵是掌握數(shù)與形的轉(zhuǎn)化；有些題目是以幾何知識為背景，從幾何圖形中建立函數(shù)關(guān)系，關(guān)鍵是運用幾何知識建立量與量的等式．清單11一次函數(shù)的應(yīng)用1、分段函數(shù)問題分段函數(shù)是在不同區(qū)間有不同對應(yīng)方式的函數(shù)，要特別注意自變量取值范圍的劃分，既要科學(xué)合理，又要符合實際．2、函數(shù)的多變量問題解決含有多變量問題時，可以分析這些變量的關(guān)系，選取其中一個變量作為自變量，然后根據(jù)問題的條件尋求可以反映實際問題的函數(shù)．3、概括整合（1）簡單的一次函數(shù)問題：①建立函數(shù)模型的方法；②分段函數(shù)思想的應(yīng)用．（2）理清題意是采用分段函數(shù)解決問題的關(guān)鍵．【考點題型一】正比例函數(shù)的定義（）【例1】（23-24八年級下·河北唐山·期末）已知函數(shù)是正比例函數(shù)，則m的值為（

）A． B．3 C． D．9【變式1-1】.（22-23八年級下·河北石家莊·期中）若是y關(guān)于x的正比例函數(shù)，則m的值為．【變式1-2】.（八年級下·河北石家莊·期末）已知y是x的正比例函數(shù)，當(dāng)x＝﹣2時，y＝14．(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)﹣3≤x≤5時，y的最大值是_________．【考點題型二】根據(jù)一次函數(shù)的定義求參數(shù)（）【例2】（23-24八年級下·河北邢臺·階段練習(xí)）在一次函數(shù)中，的值是（

）A． B．3 C． D．2【變式2-1】.（24-25八年級上·河北保定·期中）函數(shù)是關(guān)于的一次函數(shù)，則．【變式2-2】.（23-24八年級上·甘肅蘭州·期中）已知函數(shù)(1)當(dāng)m是何值時函數(shù)是一次函數(shù)，寫出此函數(shù)解析式．并計算當(dāng)時的函數(shù)值；(2)點在此一次函數(shù)圖象上，則n的值為多少？【考點題型三】求一次函數(shù)自變量或函數(shù)值（）【例3】（23-24八年級下·河北邢臺·期末）下列四個點中，在函數(shù)的圖象上的是（）A． B． C． D．【變式3-1】.（23-24八年級下·河北秦皇島·期末）一次函數(shù)中，的幾組對應(yīng)值如下表，可以得到的值為．…………【變式3-2】.（22-23八年級下·河北廊坊·期末）已知一次函數(shù)．(1)當(dāng)時，求的值；(2)當(dāng)時，求的值；(3)判斷點是否在直線上．【考點題型四】正比例函數(shù)的圖象（）【例4】（23-24八年級下·河北秦皇島·期末）在下列各圖象中，為函數(shù)的大致圖象的是（

）A． B． C． D．【變式4-1】.（八年級下·河北保定·階段練習(xí)）正比例函數(shù)的圖象過第一、三象限，則的取值范圍是．【考點題型五】正比例函數(shù)的性質(zhì)（）【例5】（23-24八年級下·河北唐山·期末）已知正比例函數(shù)的圖象上兩點，當(dāng)時，有，那么的取值范圍是（

）A． B．為任意實數(shù) C． D．【變式5-1】.（23-24八年級下·河北唐山·期中）函數(shù)的函數(shù)值y隨x的增大而減小，寫出一個符合條件k的值．【考點題型六】根據(jù)一次函數(shù)解析式判斷其經(jīng)過的象限（）【例6】（23-24八年級下·河北唐山·期末）函數(shù)的圖象不經(jīng)過（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【變式6-1】.（八年級下·河北石家莊·期末）當(dāng)時，函數(shù)的圖象不經(jīng)過第象限．【考點題型七】已知函數(shù)經(jīng)過的象限求參數(shù)范圍（）【例7】（23-24八年級下·河北邢臺·階段練習(xí)）若一次函數(shù)的圖像經(jīng)過第一、第二、第四象限，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式7-1】.（23-24八年級下·河北唐山·期末）一次函數(shù)圖象不過第三象限，寫出滿足條件的的一個值．【變式7-2】.（22-23八年級下·河北唐山·期中）已知一次函數(shù)．(1)當(dāng)k滿足什么條件時，函數(shù)y的值隨x的值的增大而增大？(2)當(dāng)k取何值時，函數(shù)圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點？(3)當(dāng)k滿足什么條件時，函數(shù)圖象不經(jīng)過第二象限？【考點題型八】一次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點問題（）【例8】（23-24八年級下·河北承德·期末）直線與軸交點坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【變式8-1】.（23-24八年級下·河北滄州·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，直線沿y軸向上平移a（）個單位長度后，與x軸交于點A，與y軸交于點B．若的面積為2，則a的值為．【變式8-2】.（23-24八年級下·河北唐山·期中）已知一次函數(shù)的圖象與軸交于點，與軸交于點．(1)求兩點的坐標(biāo)；(2)求的長；(3)若，判斷的形狀并說明理由．【考點題型九】一次函數(shù)圖象平移問題（）【例9】（23-24八年級下·河北廊坊·階段練習(xí)）將直線向右平移個單位，平移后的直線經(jīng)過點，則（

）A． B． C． D．【變式9-1】.（23-24八年級下·河北保定·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，直線的圖象不動，將坐標(biāo)系向上平移2個單位后得到新的平面直角坐標(biāo)系，此時該直線的解析式變?yōu)椋究键c題型十】判斷一次函數(shù)的增減性（）【例10】（23-24八年級下·河北廊坊·階段練習(xí)）小明在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫了一個一次函數(shù)的圖象，圖象特點如下，符合該圖象特點的函數(shù)表達(dá)式為（

）①圖象過點；②y的值隨x的值的增大而減??；③圖象不經(jīng)過第一象限A． B． C． D．【變式10-1】.（21-22八年級下·河北唐山·期中）函數(shù)中，y隨x的增大而增大，則直線不經(jīng)過第象限．【變式10-2】.（22-23八年級下·河北滄州·階段練習(xí)）已知函數(shù)．

(1)填表，并在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中畫出這個函數(shù)的圖象；x…_____……____4…(2)在函數(shù)中，隨著x的增大，y將______（填“增大”或“減小”）；(3)當(dāng)時，求x的取值范圍．【考點題型十一】根據(jù)一次函數(shù)增減性求參數(shù)（）【例11】（23-24八年級下·河北石家莊·期末）已知點，是一次函數(shù)圖像上的兩個點，且，則的值可以是（

）A． B． C．1 D．2【變式11-1】.（23-24八年級下·河北邯鄲·期末）從，0，1，2中，選取兩個不同的數(shù)作為一次函數(shù)的系數(shù)k，b，使一次函數(shù)的y值隨著x的增大而增大，且圖象經(jīng)過第一、三、四象限，寫出一個滿足條件的一次函數(shù)為．【變式11-2】.（24-25八年級下·河北邯鄲·期中）已知一次函數(shù)．(1)在該函數(shù)中，隨的增大而增大，求的取值范圍；(2)若，當(dāng)時，求的取值范圍．(3)若直線經(jīng)過一、二、四象限，求的取值范圍．【考點題型十二】比較一次函數(shù)值的大?。ǎ纠?2】（23-24八年級下·河北唐山·期末）已知點，都在直線上，則和的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．無法確定【變式12-1】.（23-24八年級下·河北廊坊·階段練習(xí)）已知點，在直線上，且，則（填“”“”或“”）【考點題型十三】求一次函數(shù)解析式（）【例13】（23-24八年級下·河北滄州·期中）一次函數(shù)過點，則的值為（）A．2 B． C．3 D．【變式13-1】.（23-24八年級下·河北衡水·階段練習(xí)）如圖，將8個邊長均為1的小正方形擺放在平面直角坐標(biāo)系中，直線l經(jīng)過小正方形的頂點A、B，則直線l的表達(dá)式為．【變式13-2】.（23-24八年級下·河北唐山·期末）如圖，已知中的實數(shù)與中的實數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系是某個一次函數(shù)．(1)求與之間的函數(shù)表達(dá)式；(2)求的值．【考點題型十四】行程問題(一次函數(shù)的實際應(yīng)用)（）【例14】（23-24八年級下·河北石家莊·期末）甲、乙兩人以相同路線前往距離單位的培訓(xùn)中心參加學(xué)習(xí)．圖中，分別表示甲、乙兩人前往目的地所走的路程）隨時間（分）變化的函數(shù)圖像，以下說法中錯誤的是（

）A．乙比甲提前12分鐘到達(dá) B．甲的平均速度為15千米/小時C．乙走了后遇到甲 D．乙出發(fā)6分鐘后追上甲【變式14-1】.（22-23八年級下·河北石家莊·期中）2022年11月某市發(fā)生新冠疫情，為迅速阻斷疫情傳播，該市防疫指揮部迅速調(diào)集一批核酸采樣隊進(jìn)駐某區(qū)進(jìn)行核酸采樣，為加快核酸采樣進(jìn)度，4小時后又增派第二批核酸采樣隊加入合做，完成剩下的全部核酸采樣工作，設(shè)總工作量為單位1，采樣進(jìn)度與采樣時間滿足如圖所示的函數(shù)關(guān)系，那么實際完成該區(qū)核酸采樣所用的時間是小時.【變式14-2】.（23-24八年級下·河北邢臺·期末）某場地的跑道分為上坡、平地、下坡三種類型，如圖，一名運動員從點O出發(fā)，沿O﹣A﹣B﹣C的路線運動，一架無人機始終在運動員的正上方進(jìn)行跟蹤拍攝，且無人機離水平地面的高度保持在．經(jīng)觀察，無人機以的速度勻速向右飛行．已知上坡路段．平地AB段距離地面的高度為，．(1)點A的坐標(biāo)為；(2)求直線BC的函數(shù)表達(dá)式，并求運動員在下坡路段（BC）的速度；(3)直接寫出運動員在O﹣A﹣B﹣C路線上運動的過程中，與無人機的距離不超過的時長．【考點題型十五】一次函數(shù)與幾何綜合（）【例15】（22-23八年級下·河北保定·階段練習(xí)）如圖，把放在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，其中，，點的坐標(biāo)分別為，，將沿軸向右平移，當(dāng)點落在直線上時，線段掃過的區(qū)域面積為（

）

A．16 B．28 C．22 D．10【變式15-1】（23-24八年級下·河北石家莊·期中）如圖，一次函數(shù)的圖象分別與x軸，y軸交于A、B兩點，正比例函數(shù)的圖象與交于點．（1）；（2）一次函數(shù)的圖象為，且，，可以圍成三角形，則k的取值范圍．【變式15-2】.（23-24八年級下·河北滄州·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與x軸交點為，與y軸交點為B，且與正比例函數(shù)的圖象交于點．(1)求m的值及一次函數(shù)的解析式；(2)求的面積；(3)若點P是y軸上一點，且的面積為6，請直接寫出點P的坐標(biāo)．【考點題型十六】其他問題(一次函數(shù)的實際應(yīng)用)（）【例16】（23-24八年級下·河北邯鄲·期末）甲、乙兩個體育專賣店的優(yōu)惠活動如圖6所示，設(shè)購買體育用品的原價總額為x元，甲、乙兩個專賣店實際付款分別為元，元．對于結(jié)論Ⅰ，Ⅱ，判斷正確的是（

）結(jié)論Ⅰ：當(dāng)時，與x之間的函數(shù)解析式為；結(jié)論Ⅱ：當(dāng)在甲、乙兩個專賣店一次性購買商品的原價總額相同，且實際付款相差20元時，x的值為100或800甲店：所有商品按原價八折出售；乙店：一次性購買商品總額不超過200元時按原價付款；超過200元時，其中200元無優(yōu)惠，超過200元的部分享受七折優(yōu)惠A．只有結(jié)論Ⅰ正確 B．只有結(jié)論Ⅱ正確C．結(jié)論Ⅰ，Ⅱ都正確 D．結(jié)論Ⅰ，Ⅱ都不正確【變式16-1】.（24-25八年級上·河北邯鄲·期末）小華發(fā)現(xiàn)彈簧的長度是所懸掛物體的質(zhì)量的一次函數(shù)．當(dāng)所懸掛物體的質(zhì)量為時，彈簧的長度為，且質(zhì)量m每增加，彈簧的長度L就增加．若彈簧所能拉伸的最大長度為，則所懸掛物體的質(zhì)量m的最大值為．【變式16-2】.（23-24八年級下·河北邢臺·期末）學(xué)校計劃在總費用3500元的限額內(nèi)，租用客車送294名學(xué)生和6名教師去承德魁星樓研學(xué)，出于安全考慮，每輛客車上至少有1名教師．現(xiàn)有甲、乙兩種大客車，它們的載客量和租金如下表：甲種客車乙種客車載客量/（人/輛）5446租金/（元/輛）600480設(shè)共租用了客車輛，其中租用甲種客車輛，租車總費用為元．(1)求關(guān)于的函數(shù)解析式．(2)求出最節(jié)省費用的租車方案，并說明理由．【考點題型十七】由直線與坐標(biāo)軸的交點求不等式的解集（）【例17】（23-24八年級下·河北唐山·期末）已知一次函數(shù)，和的部分對應(yīng)值如表，則不等式的解集為（

）x0y42A． B． C． D．【變式17-1】.（23-24八年級下·河北保定·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)（是常數(shù)，）的圖象如圖所示，則關(guān)于的不等式的解集是，的解集是．

【變式17-2】.（23-24八年級下·河北唐山·階段練習(xí)）已知與成正比例，且時．(1)求與之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)試判斷點是否在關(guān)于的函數(shù)圖象上；(3)如果的取值范圍為，求的取值范圍；(4)若點，都在該函數(shù)的圖象上，且，試判斷，的大小關(guān)系．【考點題型十八】根據(jù)兩條直線的交點求不等式的解集（）【例18】（23-24八年級下·河北唐山·期末）如圖所示，函數(shù)和的圖象相交于點，，則關(guān)于x的不等式的解集為（

）A． B． C． D．【變式18-1】.（23-24八年級下·河北邯鄲·期末）數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，使用數(shù)形結(jié)合的方