二次根式（易錯必刷75題9種題型專項訓練）一、二次根式的概念及辨析（共6小題）1．在下列各式是二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查二次根式的定義．解題的關(guān)鍵是掌握二次根式的概念．形如“”且的式子叫二次根式．二次根式一定要滿足被開方數(shù)為非負數(shù)且根指數(shù)為2，根據(jù)概念逐項判斷，即可解題．【詳解】解：A、，被開方數(shù)為負數(shù)，不是二次根式，不符合題意；B、，根指數(shù)為3，不是二次根式，不符合題意；C、，不能確定被開方數(shù)是否為非負數(shù)，不一定是二次根式，不符合題意；D、，能滿足被開方數(shù)為非負數(shù)，故是二次根式，符合題意；故選：D．2．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中一定是二次根式的有（

）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】B【分析】本題考查了二次根式的定義，形如的式子叫二次根式，熟練掌握二次根式成立的條件是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)定義分析即可．【詳解】解：①當時，不是二次根式；②當時，不是二次根式；③是二次根式；④當時，不是二次根式；⑤是二次根式；⑥是二次根式．故選B．3．式子有意義，則x的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查二次函根式有意義的條件，熟練掌握二次根式的相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．根據(jù)二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)，即可求解．【詳解】解：若式子在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則的取值范圍是：．故選：B．4．若代數(shù)式有意義．則x的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】此題主要考查了二次根式和分式有意義的條件，關(guān)鍵是掌握分式有意義，分母不為0；二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)．根據(jù)二次根式和分式有意義的條件可得，再求解即可．【詳解】解：由題意得：，解得：，故選：B．5．有意義，則x的取值范圍為．【答案】【分析】本題考查了二次根式與分式有意義的條件，根據(jù)被開方數(shù)是非負數(shù)且分母不等于零列式求解即可．【詳解】解：∵有意義，∴且，解得．故答案為：．6．若有意義，則能取的最小整數(shù)值是．【答案】【分析】本題考查了二次根式有意義的條件．根據(jù)二次根式有意義的條件是被開方數(shù)為非負數(shù)，可得不等式，解不等式可得，在這個范圍內(nèi)的最小整數(shù)為．【詳解】解：有意義，，解得：，能取的最小整數(shù)值是．故答案為：．二、利用二次根式的性質(zhì)化簡（共5小題）7．已知是正整數(shù)，是整數(shù)，則的最小值為（

）．A．2 B．4 C．21 D．84【答案】C【分析】本題考查了二次根式的化簡，熟練掌握二次根式的化簡方法是解題關(guān)鍵．根據(jù)和是整數(shù)可得是整數(shù)，再結(jié)合為正整數(shù)即可得．【詳解】解：，是整數(shù)，是整數(shù)，又∵為正整數(shù)，的最小值為21，故選：C．8．實數(shù)，在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡的結(jié)果為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查化簡二次根式和絕對值，根據(jù)點在數(shù)軸上的位置，判斷數(shù)的符號和式子的符號，再進行化簡即可．【詳解】解：由圖可知：，∴，∴原式；故選C9．已知實數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡的結(jié)果為．【答案】【分析】本題考查了根據(jù)點在數(shù)軸的位置判斷式子的正負，利用二次根式的性質(zhì)進行化簡．熟練掌握根據(jù)點在數(shù)軸的位置判斷式子的正負，利用二次根式的性質(zhì)進行化簡是解題的關(guān)鍵．由數(shù)軸可知，，，則，然后利用二次根式的性質(zhì)進行化簡即可．【詳解】解：由數(shù)軸可知，，，∴，∴，故答案為：．10．化簡：．【答案】/【分析】本題考查了二次根式的化簡，按照化簡二次根式的步驟化簡即可得出答案．【詳解】解：∵，∴，故答案為：．11．先閱讀材料，然后回答問題．(1)小張同學在研究二次根式的化簡時，遇到了一個問題：化簡．經(jīng)過思考，小張解決這個問題的過程如下：①；②；③；④．在上述化簡過程中，第________步出現(xiàn)了錯誤，化簡的正確結(jié)果為_________；(2)請根據(jù)你從上述材料中得到的啟發(fā)，化簡和．【答案】(1)④；(2)；【分析】本題主要考查二次根式的性質(zhì)，理解并掌握二次根式的性質(zhì)進行化簡是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)二次根式的性質(zhì)，進行分析判定即可求解；（2）根據(jù)材料提示方法變形，計算即可求解．【詳解】（1）解：∵，且二次根式中被開方數(shù)為非負數(shù)，∴④出錯了，，故答案為：④，；（2）解：；；．三、最簡二次根式的辨析（共10小題）12．下列屬于最簡二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查的是最簡二次根式的概念：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式，我們把滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式．根據(jù)最簡二次根式的定義解答即可．【詳解】解：A、，不符合題意；B、是最簡二次根式，符合題意；C、，不符合題意；D、，不符合題意．故選：B．13．下列各式中，是最簡二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了最簡二次根式的定義，能熟記最簡二次根式的定義是解此題的關(guān)鍵，滿足以下兩個條件的二次根式是最簡二次根式，①被開方數(shù)中的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式，②被開方數(shù)中不含有能開得盡方的因數(shù)和因式．根據(jù)最簡二次根式的定義逐個判斷即可．【詳解】解：A．，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；B．，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；C．，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；D．是最簡二次根式，故本選項符合題意．故選：D．14．下列二次根式中是最簡二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了最簡二次根式的識別，理解最簡二次根式的定義是解題關(guān)鍵．最簡二次根式應(yīng)滿足：①被開方數(shù)不含有分母，②被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式，根據(jù)最簡二次根式的定義逐一判斷即可．【詳解】解：A.，故原二次根式不是最簡二次根式，本選項不符合題意；B.，故原二次根式不是最簡二次根式，本選項不符合題意；C.，故原二次根式不是最簡二次根式，本選項不符合題意；D.，是最簡二次根式，本選項符合題意．故選：D．15．下列二次根式是最簡二次根式的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查的是最簡二次根式的定義，利用完全平方公式、提公因式進行化簡是解題的關(guān)鍵，化簡后根據(jù)最簡二次根式的定義判斷即可．【詳解】A．是最簡二次根式，符合題意；B．，不是最簡二次根式，不符合題意；C．，不是最簡二次根式，不符合題意；D．，不是最簡二次根式，不符合題意；故選A．16．化簡的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查化最簡二次根式，掌握化最簡二次根式的方法是解題關(guān)鍵．根據(jù)化簡即可．【詳解】解：．故選B．17．化簡：．【答案】【分析】本題考查最簡二次根式的定義，熟練掌握最簡二次根式的定義及二次根式的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡即可．【詳解】解：原式：，故答案為：．18．若是最簡二次根式，則自然數(shù)．【答案】0或1【分析】本題考查了最簡二次根式．熟練掌握最簡二次根式是解題的關(guān)鍵．由是最簡二次根式，可得，由n是自然數(shù)，作答即可．【詳解】解：∵是最簡二次根式，∴，又∵n是自然數(shù)，∴或1，故答案為：0或1．19．若是最簡二次根式，且為整數(shù)，則的最小值是．【答案】【分析】本題考查最簡二次根式的定義．讓被開方數(shù)為非負數(shù)列式求得的取值范圍，找到最小的整數(shù)解即可．【詳解】解：二次根式有意義，，解得：，當時，二次根式的值為，是最簡二次根式，符合題意，若二次根式是最簡二次根式，則整數(shù)的最小值是．故答案為：．20．若和都是最簡二次根式，則，．【答案】12【分析】此題考查了最簡二次根式，根據(jù)最簡二次根式的定義解答即可.【詳解】根據(jù)題意得：解得故答案為：，．21．在下列各式中，哪些是最簡二次根式？哪些不是？對不是最簡二次根式的式子進行化簡．【答案】是最簡二次根式；其余的式子都不是最簡二次根式，化簡見解析【分析】本題考查最簡二次根式的定義．最簡二次根式必須滿足兩個條件：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式．判定一個二次根式是不是最簡二次根式的方法，就是逐個檢查最簡二次根式的兩個條件是否同時滿足，同時滿足的就是最簡二次根式，否則就不是．【詳解】解：是最簡二次根式四、二次根式的乘法運算（共9小題）22．計算的結(jié)果為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了二次根式的乘法運算，直接利用二次根式的乘法運算法則進行計算即可．【詳解】解：，故選：A．23．化簡的正確結(jié)果是（

）A．2 B． C． D．3【答案】A【分析】本題考查了二次根式的乘法，熟練掌握乘法法則是解答本題的關(guān)鍵．二次根式相乘，把系數(shù)相乘作為積的系數(shù)，被開方數(shù)相乘，并化為最簡二次根式．【詳解】解：．故選A．24．估計的值在（）A．4和5之間 B．5和6之間 C．6和7之間 D．7和8之間【答案】C【分析】本題考查二次根式的乘法運算，無理數(shù)的估算，熟練掌握這些知識點是解題關(guān)鍵．先根據(jù)二次根式乘法運算法則計算，再根據(jù)無理數(shù)的估算方法求解即可．【詳解】解：，，，∴，故選：C．25．農(nóng)場打算修建一個底面為長方形的蓄水池，若蓄水池的長為，寬為，則蓄水池的占地面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了二次根式的乘法，利用二次根式的性質(zhì)化簡等知識點，熟練掌握二次根式的性質(zhì)和運算法則是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意可得，蓄水池的占地面積為蓄水池的長乘以蓄水池的寬，即，然后利用二次根式的性質(zhì)化簡即可．【詳解】解：根據(jù)題意可得：蓄水池的占地面積為：，故選：．26．化簡：的結(jié)果是（

）A． B． C．2 D．3【答案】D【分析】本題考查了二次根式的混合運算．根據(jù)二次根式的乘法法則計算即可．【詳解】解：．故選：D．27．計算的結(jié)果為（

）A． B． C．1 D．3【答案】A【分析】本題考查了二次根式的運算，積的乘方的逆用，平方差公式，將原式變形為，再利用積的乘方的逆運算和平方差公式求解即可．【詳解】解：，故選：A．28．計算：．【答案】【分析】本題考查了二次根式的乘法運算，熟練掌握二次根式的乘法運算法則是解本題的關(guān)鍵．根據(jù)二次根式的乘法運算法則進行計算即可【詳解】解：，故答案為：．29．已知：，，求的值．【答案】；【分析】本題考查了整式的化簡求值和二次根式的乘法，熟練掌握整式的混合運算和二次根式乘法的運算法則是解題的關(guān)鍵．先化簡，再代入求值即可．【詳解】解：原式，，當，時，原式，．30．先化簡，再求值：，其中，．【答案】，【分析】此題考查了整式的混合運算-化簡求值，二次根式的乘法．原式中括號第一項利用平方差公式化簡，合并后利用多項式除以單項式法則計算得到最簡結(jié)果，將x與y的值代入計算即可求出值．【詳解】解：，當，時，原式．五、二次根式的除法和乘除混合運算（共8小題）31．化簡等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了二次根式的除法.根據(jù)二次根式的除法法則進行化簡.【詳解】解：=.故選：D.32．估計的值應(yīng)在（

）A．0和1之間 B．1和2之間 C．2和3之間 D．3和4之間【答案】B【分析】本題考查了二次根式除法以及無理數(shù)的大小估算，先運算二次根式除法得出，再結(jié)合，則，即可作答．【詳解】解：依題意，，∵，∴，∴．故選：B33．計算：．【答案】【分析】本題主要考查二次根式的運算，熟練掌握二次根式的除法運算是解題的關(guān)鍵；因此此題可根據(jù)二次根式的除法法則可進行求解．【詳解】解：；故答案為．34．．【答案】【分析】此題主要考查了二次根式的除法運算．直接利用二次根式的除法運算法則計算得出答案．【詳解】解：．故答案為：．35．計算：．【答案】【分析】本題考查了二次根式的乘除運算，根據(jù)二次根式乘除法的運算法則進行計算即可，掌握運算法則是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：，故答案為：．36．對于任意兩個不相等的數(shù)，定義一種新運算，如，那么．【答案】【分析】本題考查了新定義運算，二次根式的除法運算，根據(jù)新定義，結(jié)合二次根式的運算計算即可得出答案，掌握運算法則是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：，故答案為：．37．計算：【答案】【分析】本題考查了二次根式的混合運算，準確熟練地進行計算是解題的關(guān)鍵．先把每一個二次根式化成最簡二次根式，計算二次根式的乘除法，再算減法即可．【詳解】解：原式．38．若，求的值．【答案】【分析】本題考查了二次根式的乘除運算，能夠理解平方數(shù)的非負性，并利用法則準確的計算化簡是解決本題的關(guān)鍵．先利用平方數(shù)的非負性及兩個非負數(shù)的和為0，那么這兩個非負數(shù)都必須為0的特點求出、的值，再將其代入二次根式求值即可．【詳解】解：．，，，．當，時，原式．六、二次根式的加減運算（共10小題）39．下列運算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查了二次根式的運算，根據(jù)二次根式加法，減法，乘法運算法則進行計算即可求解．【詳解】解：A、，原式計算錯誤，故該選項不符合題意；B、，原式計算錯誤，故該選項不符合題意；C、，原式計算正確，故該選項符合題意；D、，原式計算錯誤，故該選項不符合題意；故選：C．40．下列運算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查二次根式的運算．根據(jù)只有同類二次根式才能合并，去判斷A，根據(jù)二次根式的乘除運算法則判斷B、C的正誤，根據(jù)二次根式的性質(zhì)判斷D的正誤．【詳解】解：與不是同類二次根式，不能合并，故選項A不符合題意；，故選項B不符合題意；，故選項C符合題意；，故選項D不符合題意．故選：C．41．下列計算或運算中，正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查了化簡二次根式、二次根式的減法及除法，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵．根據(jù)二次根式化簡規(guī)則、二次根式的減法及除法的運算法則逐一判斷即可．【詳解】解：A.，原計算錯誤，不符合題意；B.，計算正確，符合題意；C.，原計算錯誤，不符合題意；D.，原計算錯誤，不符合題意；故選B．42．下列運算正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了二次根式的除法、乘法、加法、減法，根據(jù)二次根式的除法、乘法、加法、減法的運算法則計算即可得解，熟練掌握運算法則是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：A、，故原選項計算正確，符合題意；B、，故原選項計算錯誤，不符合題意；C、，故原選項計算錯誤，不符合題意；D、，故原選項計算錯誤，不符合題意；故選：A．43．計算：＝．【答案】【分析】本題主要考查了二次根式的混合運算，解題關(guān)鍵是熟練掌握化簡二次根式為最簡二次根式．先把二次根式化簡成最簡二次根式，然后合并同類二次根式即可．【詳解】解：原式故答案為：．44．計算：．【答案】【分析】本題主要考查了二次根式加減法，熟練掌握相關(guān)運算法則是解題關(guān)鍵．首先將化成最簡二次根式，然后合并同類二次根式即可．【詳解】解：．故答案為：．45．計算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了二次根式的混合運算：關(guān)鍵是先把各二次根式化簡為最簡二次根式，然后進行二次根式的乘除運算，再合并即可．（1）利用二次根式的乘除法則運算；（2）利用平方差公式和完全平方公式計算．【詳解】（1）解：．（2）解：．46．計算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（）利用二次根式的性質(zhì)化簡，再合并即可；（）根據(jù)二次根式的除法法則進行計算，再化簡合并即可；本題考查了二次根式的運算，掌握二次根式的運算法則和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式．47．計算：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)，二次根式的減法，平方差公式，二次根式的混合運算，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）先根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡，再運算減法，即可作答．（2）先根據(jù)平方差公式展開，以及化簡，再運算加法，即可作答．【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式．48．計算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查二次根式的乘法運算及加減運算，正確計算是解題的關(guān)鍵：（1）先化簡二次根式，再計算乘法，最后計算減法即可；（2）利用平方差公式展開，化簡絕對值，再計算二次根式的加減運算即可．【詳解】（1）解：；（2）解：．七、二次根式的混合運算（共8小題）49．定義運算“”為，其中a，b均為非負實數(shù)，則的算術(shù)平方根為．【答案】5【分析】本題考查定義新運算，二次根式的運算，求一個數(shù)的算術(shù)平方根，根據(jù)新運算的法則，列出算式，利用平方差公式進行計算，再根據(jù)算術(shù)平方根的定義，進行計算即可．【詳解】解：，∴的算術(shù)平方根為；故答案為：5．50．估計的運算結(jié)果應(yīng)在（

）A．4到5之間 B．5到6之間 C．6到7之間 D．7到8之間【答案】D【分析】本題考查了二次根式的混合運算、無理數(shù)的估算，熟練掌握二次根式的運算法則是解題關(guān)鍵．先化簡二次根式，再計算二次根式的除法與乘法，然后計算二次根式的加法與減法，最后根據(jù)無理數(shù)的估算方法求解即可得．【詳解】解：，∵，∴，即，∴，即，即估計的運算結(jié)果應(yīng)在7到8之間，故選：D．51．下面小琪在解答某個題目時的計算過程，請認真閱讀并完成相應(yīng)任務(wù)．↓第①步↓第②步↓第③步↓第④步任務(wù)一：左邊步驟中，第______步開始出現(xiàn)錯誤；任務(wù)二：請寫出正確的計算過程；任務(wù)三：試說明左邊步驟中的第②、③步的運算依據(jù)．【答案】任務(wù)一：①；任務(wù)二：見解析；任務(wù)三：二次根式的除法法則；逆用乘法對加法的分配律【分析】本題考查的是二次根式的混合運算，掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵；任務(wù)一：由去括號沒有改變相應(yīng)的符號，從而可得第①步出現(xiàn)錯誤；任務(wù)二：先利用二次根式的性質(zhì)與除法運算化簡二次根式，再合并同類二次根式即可；任務(wù)三：第②步利用了，即二次根式的除法運算法則，第③步逆用了乘法分配律.【詳解】解：任務(wù)一：左邊步驟中，第①步開始出現(xiàn)錯誤；任務(wù)二：任務(wù)三：第②步的運算依據(jù)二次根式的除法法則，第③步的運算依據(jù)逆用乘法對加法的分配律.52．計算（1）；（2）．【答案】（1）；（2）【分析】此題主要考查了二次根式的混合運算、實數(shù)的運算等知識．（1）先算除法，再化簡二次根式，最后合并同類二次根式即可；（2）直接利用完全平方公式、平方差公式化簡，進而計算得出答案．【詳解】解：（1）；（2）．53．計算：(1)(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查二次根式的運算，（1）根據(jù)立方根，二次根式的性質(zhì)，絕對值將原式化簡，再進行合并即可；（2）利用完全平方公式和二次根式的性質(zhì)及除法將原式化簡，再進行合并即可；掌握相應(yīng)的運算法則、性質(zhì)和公式是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：；（2）．54．計算：(1)；(2)．【答案】(1)7(2)【分析】本題考查了實數(shù)的混合運算，二次根式的混合運算，解題的關(guān)鍵是熟練準確地運用各種運算法則．（1）先計算算術(shù)平方根，零次冪，負整指數(shù)冪，再計算加減即可求解；（2）根據(jù)平方差公式、完全平方公式進行計算與化簡，再計算加減即可求解．【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式．55．化簡求值：，其中，．【答案】，【分析】本題主要考查了分式的化簡求值，二次根式的運算等知識點，根據(jù)分式的減法法則、除法法則、乘法法則把原式化簡，把x、y的值代入計算得到答案，掌握分式的混合運算法則是解題的關(guān)鍵．【詳解】，當，時，原式．56．先化簡，再求值：，其中，．【答案】【分析】本題主要考查了整式的混合運算，先根據(jù)整式的乘除法混合運算法則計算，再代入求值即可．【詳解】解：原式．，，原式．八、已知條件式求代數(shù)式的值（共6小題）57．已知，，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了完全平方公式及二次根式的化簡求值的知識．將二次三項式變形為的形式后，再整體代入已知條件即可得到答案．【詳解】解：，，，故選：B．58．若，則．【答案】【分析】本題考查了二次根式化簡求值，先將二次根式化簡，再把代入即可求出答案．【詳解】解：由題意可知，原式，當時，原式，故答案為：．59．【閱讀理解】愛思考的小名在解決問題：已知，求的值．他是這樣分析與解答的：∵，，∴，即，∴，∴．請你根據(jù)小名的分析過程，解決如下問題：(1)計算：_________；(2)已知：，則_______；(3)計算：________【答案】(1)(2)2(3)9【分析】本題考查了分母有理化的應(yīng)用，能正確變形是解此題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)分母有理化的步驟進行計算即可；（2）根據(jù)題干中的步驟進行計算即可；（2）結(jié)合題干的方法進行分母有理化，再合并即可得結(jié)果．【詳解】（1）；（2）∵，∴∴∴∴；（3）根據(jù)題意得，．60．已知：，，求：的值．【答案】【分析】本題主要考查了二次根式的化簡求值，完全平方公式的變形求值，先分母有理化得到，，再求出，，再根據(jù)進行求解即可．【詳解】解：∵，，∴，，∴，，∴．61．已知：，，且，求的值．【答案】【分析】本題考查了完全平方式的變形運用，二次根式的化簡求值，利用完全平方公式可得，再對二次根式進行化簡，最后把式子的值代入計算即可求解，掌握以上知識點是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴，∴，，，，．62．已知，．(1)求和ab的值；(2)求的值；(3)若a的小數(shù)部分是x，b的整數(shù)部分是y，求的值．【答案】(1)，(2)16(3)【分析】本題考查的是二次根式的混合運算，無理數(shù)的整數(shù)部分與小數(shù)部分的含義，掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵；（1）直接把，代入計算即可；（2）把變形為，再整體代入計算即可；（3）先判斷，，再代入計算即可．【詳解】（1）解：∵，，∴，；（2）由（1）得：，，∴；（3）∵a的小數(shù)部分是x，∴，∵b的整數(shù)部分是y，∴，∴．九、二次根式的應(yīng)用（共13小題）63．我國南宋著名數(shù)學家秦九韶在他的著作《數(shù)書九章》一書中，給出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求積公式，即如果一個三角形的三邊長分別為，，，則該三角形的面積為．現(xiàn)已知的三邊長分別為，，，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查二次根式的應(yīng)用．根據(jù)題目中的面積公式可以求得的三邊長分別為，，的面積，從而可以解答本題．【詳解】解：∵，且的三邊長分別為，，，，，，∴的面積為：，故選：C．64．我國南宋時期數(shù)學家秦九韶提出了“三斜求積術(shù)”，即若已知三角形的三條邊長分別為a，b，c，則三角形的面積S可由公式求得，其中，這個公式也被稱為海倫—秦九韶公式，如圖，的邊長分別為，，則此三角形面積為．【答案】12【分析】先計算，代入公式計算即可．本題考查了二次根式的應(yīng)用，熟練掌握公式，精準化簡二次根式是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，，∴，，∴，∴．故答案為：12．65．李老師在正方形中放入面積分別為27和18的正方形和正方形，重疊部分的面積為3，則剩余部分（陰影部分）的面積為．【答案】/【分析】本題考查了二次根式的混合運算的應(yīng)用，結(jié)合圖形求出陰影部分的長和寬是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題中條件分別計算陰影部分的長和寬，再根據(jù)面積公式計算即可．【詳解】解：正方形和正方形的面積分別為27和18，，由題意得：正方形和正方形重疊部分為正方形，面積為3，則重疊部分邊長為，則正方形的邊長為，剩余部分（陰影部分）的面積等于正方形的面積減去兩個小正方形的面積，再加上重疊部分的面積，剩余部分（陰影部分）的面積為，故答案為：．66．已知剎車距離的計算公式為表示車速（單位：），表示剎車距離（單位：m），表示摩擦系數(shù)．在一次交通事故中測得，而發(fā)生交通事故的路段限速為．請你計算肇事汽車的車速并判斷肇事汽車是否違規(guī)行駛．【答案】，肇事汽車違規(guī)行駛【分析】本題考查二次根式的應(yīng)用，把，代入求出此時的速度，與限速速度進行比較即可得出結(jié)論?！驹斀狻拷猓海厥缕囘`規(guī)行駛．67．石家莊市2024年口袋公園建設(shè)成效顯著，推動完善“推窗見綠，出門進園”的綠化空間，提升了使命綠化感受度和獲得感．在打造口袋公園的過程中，篩選出一塊形狀為長方形的空閑地塊，長為米，寬為米，現(xiàn)要在其上修建兩個形狀大小相同的長方形綠地（圖中陰影部分），每塊長方形綠地的長為米，寬為米．(1)求長方形空閑地塊的周長．(2)除去修建綠地的地方，其他地方全修建成通道，通道上要鋪上造價為25元/平方米的地磚，要鋪滿整個通道，則購買地磚需要花費多少元?【答案】(1)米(2)1400元【分析】此題考查了二次根式的四則混合運算的應(yīng)用，讀懂題意，熟練掌握運算法則和順序是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)長方形的周長公式計算即可；（2）先利用長方形的綠地面積減去花壇的面積，再用化簡結(jié)果乘以地磚的單價即可．【詳解】（1）解：（米），∴長方形的周長為米．（2）解：通道的面積為：（平方米），購買地磚的花費為：（元），∴要鋪完整個通道，購買地磚需要花費1400元．68．如圖1，兩張面積分別為和的正方形紙片無重疊地放在一張長方形紙片中．(1)圖1中陰影部分圖形的長為__________，寬為_________．(2)求圖1中陰影部分圖形的周長和面積．(3)小康將圖1中的面積分別為和的正方形紙片重新按照如圖2所示的方式擺放，其中長方形中未被這兩張正方形紙片覆蓋的部分用陰影表示．若，求圖2中空白部分的面積．【答案】(1)；(2)陰影部分圖形的周長，陰影部分圖形的面積(3)【分析】本題考查二次根式混合運算的實際應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)正方形的面積公式結(jié)合圖形直接求解即可；（2）由（1）所求的長和寬，結(jié)合長方形的周長和面積公式求解即可；（3）先求出長方形的長為，寬為，再根據(jù)求解即可．【詳解】（1）解：因為兩張面積分別為和的正方形紙片無重疊地放在一張長方形紙片中，所以陰影部分圖形的長為，寬為；（2）解：陰影部分圖形的周長．陰影部分圖形的面積．（3）解：由圖2可知，，長方形的長為，寬為，．69．某居民小區(qū)有塊矩形綠地，矩形綠地的長為米，寬為米，現(xiàn)要在矩形綠地中間修建一個小矩形花壇（陰影部分），小矩形花壇的長為米，寬米，除去修建花壇的地方，其他地方全修建成通道，求通道的面積（結(jié)果化為最簡二次根式）．【答案】通道的面積為平方米【分析】本題考查的是二次根式的加法與二次根式的乘法及混合運算的應(yīng)用，熟練的進行二次根式的化簡與運算是解本題的關(guān)鍵．分別求出矩形綠地和小矩形花壇的面積，再相減求通道面積即可．【詳解】解：矩形綠地的長為米，寬為米，平方米，小矩形花壇的長為米，寬米，小矩形花壇的面積為平方米，通道的面積為平方米．70．團扇是中國傳統(tǒng)工藝品，代表著團圓友善、吉祥如意，某社團組織學生制作團扇，扇面有圓形和正方形兩種，每種扇面面積均為．完成扇面后，需對扇面邊緣用綁帶進行包邊處理（接口處長度忽略不計），如圖所示：(1)圓形團扇的半徑為__________（結(jié)果保留），正方形團扇的邊長為__________；(2)請你通過計算說明哪種形狀的扇面所用的包邊長度更短．【答案】(1)，(2)圓形團扇所用的包邊長度更短【分析】本題考查了二次根式的應(yīng)用，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)圓和正方形的面積公式計算即可得出答案；（2）分別求出圓形團扇的周長和正方形團扇的周長，比較即可得出答案．【詳解】（1）解：由題意得：圓形團扇的半徑為，正方形團扇的邊長為．故答案為：，；（2）解：∵圓形團扇半徑為，正方形團扇的邊長為，∴圓形團扇的周長為，正方形團扇的周長為∵，∴，

∴圓形團扇所用的包邊長度更短．71．有一塊矩形木板，木工采用如圖所示的方式在木板上截出，兩個面積分別為和的正方形木板．(1)截出的，兩個正方形的邊長分別為__________，__________（用最簡二次根式表示）(2)求剩余木板（陰影部分）的面積．【答案】(1)，(2)剩余木板的面積為【分析】（1）根據(jù)正方形的面積根式以及最簡二次根式的定義進行解題即可；（2）根據(jù)圖形進行列式計算即可．本題考查二次根式的應(yīng)用、最簡二次根式，熟練掌握相關(guān)的知識點是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：由題可知，設(shè)正方形的邊長為，正方形的邊長為，則，，解得，（負數(shù)舍去）．故答案為：，；（2）解：由題可知，陰影部分的面積為：．答：剩余木板（陰影部分）的面積為．72．觀察下列各等式，其中反映了某種規(guī)律：第1個等式：；第2個等式：；第3個等式：；按照以上規(guī)律，解決下列問題：(1)寫出第4個等式：．(2)請你用含n（n為正整數(shù)，且）的等式表示表述上面的規(guī)律并證明這個等式．【答案】(1)(2)，見解析【分析】本題考查了二次根式的應(yīng)用，旨在考查學生的抽象概括能力．（1）根據(jù)題目給出的例子求出相應(yīng)的值；（2）由（1）探求的結(jié)果可以寫出用含n（n為正整數(shù)，且）的等式表示表述上面的規(guī)律；【詳解】（1）解：第1個等式：；第2個等式：；第3個等式：；…；第4個等式：；故答案為：；（2）解：第n個式子是：n；證明如下：．73．高空拋物是一種非常危險的行為．據(jù)研究，從高處墜落的物品，其下落的時間t（s）和下落高度h（m）近似滿足公式（不考慮空氣阻力的影響）．(1)小東家住某小區(qū)21層，每層樓的高度近似為，若從小東家墜落一個物品，則該物品落地的時間為_________s（結(jié)果保留根號）；(2)某物體從高空落到地面的時間為，則該物體的起始高度_________m；(3)資料顯示：傷害無防護人體只需要的動能，從高空下落的物體產(chǎn)生的動能E（單位：J）可用公式計算，其中，m為物體質(zhì)量（單位），，h為高度（單位：m）．根據(jù)以上信息判斷，一個質(zhì)量為的玩具經(jīng)過落在地面上，該玩具在墜落地面時所帶能量能傷害到樓下無防護的行人嗎？請說明理由．【答案】(1)；(2)45；(3)能傷害到樓下無防護的行人，理由見解析．【分析】本題考查二次根式的應(yīng)用．（1）先根據(jù)已知條件求出h的值，再代入公式即可得時間；（2）將代入公式即可得高度h；（3）先根據(jù)公式求出，再代入動能計算公式求出這個玩具產(chǎn)生的動能，即可判斷．【詳解】（1）解：小明家住21層，每層樓的高度近似為，，，故答案為：；（2）解：當時，，，故答案為：45；（3）解：能傷害到樓下無防護的行人，理由如下