高中數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊第四章綜合檢測卷（拔尖C卷）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題滿分5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，選對得5分，選錯得0分．1．設(shè)則（

）A． B．1 C．2 D．4【答案】C【分析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式，先求，再求即可.【詳解】由已知，.故選：C.2．已知，，，則p，q，r的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)指對互化得出，，，通過化簡根據(jù)基本不等式得出，即，則再通過對數(shù)的單調(diào)性得出，即可得出答案.【詳解】，，，，，，，由基本不等式可得：，則，，，則，，，故選：D.3．已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】由題意構(gòu)造新函數(shù)，得出函數(shù)的單調(diào)性及增減性，再將化為的形式，即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】由，令，則，因?yàn)椋?，所以為奇函?shù)；又為上的增函數(shù)，故也為上的增函數(shù)，，得，解得.故選：D.4．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，是偶函?shù)，是奇函數(shù)，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用函數(shù)奇偶性的定義可求得函數(shù)的解析式，再利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，則，即，①又因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，則，即，②聯(lián)立①②可得，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立，故函數(shù)的最小值為.故選：B.5．已知，函數(shù)，若方程恰有2個實(shí)數(shù)解，則可能的值為是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分別求出兩段函數(shù)的零點(diǎn)，把分段討論，由兩段函數(shù)在不同區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)個數(shù)得答案.【詳解】解：令，由，解得，由，解得或，當(dāng)時，方程僅有一個實(shí)數(shù)解，當(dāng)時，方程恰有兩個實(shí)數(shù)解，，當(dāng)時，方程有三個實(shí)數(shù)解，，，當(dāng)時，方程恰有兩個實(shí)數(shù)解，，方程恰有2個實(shí)數(shù)解，則的范圍是.故選：D.6．已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由，可得，而，然后利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可比較的大小，再求出，則可得，再根據(jù)對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)逐個分析判斷.【詳解】由，得，所以，又函數(shù)單調(diào)遞減，，所以，即，所以由，得，所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)和在上單調(diào)遞減，故，，所以A錯誤；，．又，所以，，所以C錯誤；由，得．因?yàn)?，所以，故，所以B錯誤；因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，所以．因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，且，所以，故．故選：D．7．設(shè)函數(shù)f(x)＝若函數(shù)g(x)＝f(x)－b有三個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是（

）A．(1，＋∞) B．C．(1，＋∞)∪{0} D．(0，1]【答案】D【分析】函數(shù)g(x)＝f(x)－b有三個零點(diǎn)等價于f(x)＝b有三個根,分x≤0時和x>0時對函數(shù)f(x)判斷單調(diào)性畫出圖象,平移直線y=b與函數(shù)f(x)有三個交點(diǎn),可求出實(shí)數(shù)b的取值范圍.【詳解】令g(x)＝f(x)－b＝0，函數(shù)g(x)＝f(x)－b有三個零點(diǎn)等價于f(x)＝b有三個根，當(dāng)x≤0時，f(x)＝ex(x＋1)，則f′(x)＝ex(x＋1)＋ex＝ex(x＋2)，由f′(x)<0得ex(x＋2)<0，即x<－2，此時f(x)為減函數(shù)，由f′(x)>0得ex(x＋2)>0，即－2<x<0，此時f(x)為增函數(shù)，即當(dāng)x＝－2時，f(x)取得極小值f(－2)＝－，作出f(x)的圖象如圖，要使f(x)＝b有三個根，則0<b≤1，故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)問題,考查分段函數(shù)的圖象,考查函數(shù)零點(diǎn)問題與方程根的相互轉(zhuǎn)化,考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值,考查分類討論思想和函數(shù)與方程思想,屬于中檔題.8．已知函數(shù)，令，則下列說法正確的（

）A．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為B．當(dāng)時，有3個零點(diǎn)C．當(dāng)時，的所有零點(diǎn)之和為D．當(dāng)時，有1個零點(diǎn)【答案】D【分析】畫出的圖像，然后逐一判斷即可.【詳解】的圖像如下：由圖像可知，的增區(qū)間為，故A錯誤當(dāng)時，如圖當(dāng)時，與有3個交點(diǎn)，當(dāng)時，與有2個交點(diǎn)，當(dāng)時，與有1個交點(diǎn)，所以當(dāng)時與有3個交點(diǎn)或2個交點(diǎn)或1個交點(diǎn)，即有3個零點(diǎn)或2個零點(diǎn)或1個零點(diǎn)，故B不正確；當(dāng)時，由可得，由可得所以的所有零點(diǎn)之和為，故C錯誤；當(dāng)時，由B選項(xiàng)可知：與有1個交點(diǎn)，即有1個零點(diǎn)，故D正確；故選：D二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題滿分5分，共20分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分．9．設(shè)函數(shù)，對于任意的，下列命題正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)指數(shù)運(yùn)算法則可知A正確，利用反例可知B錯誤；根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可知C正確；結(jié)合基本不等式可確定D正確.【詳解】對于A，，A正確；對于B，令，，則，，，，B錯誤；對于C，為定義在上的增函數(shù)，，C正確；對于D，，∴，D正確.故選：ACD.10．若，，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】求出，則由對數(shù)的計(jì)算公式可判斷A；求出可判斷B；要判斷，即判斷，因?yàn)榭膳袛郈；由均值不等式可判斷D.【詳解】由題意可得出，，所以，故A正確；，所以，故B不正確；要判斷，即判斷，因?yàn)?，所以，故C不正確；，故D正確.故選：AD.11．已知，則下列不等關(guān)系一定正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】對，結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷；對，根據(jù)基本不等式即可判斷；對，取，代入計(jì)算即可判斷.對，原不等式等價于，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到答案.【詳解】對，因?yàn)椋?，則，所以，故選項(xiàng)正確；對，由題意，（此處等號不能成立），故選項(xiàng)正確；對，取，則，故選項(xiàng)錯誤；對，問題等價于，易知函數(shù)在上是增函數(shù)，而，則成立，故選項(xiàng)正確.故選：.12．已知函數(shù)，實(shí)數(shù)是函數(shù)的兩個零點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】函數(shù)零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)交點(diǎn)問題，數(shù)形結(jié)合可判斷AB，再由判斷C，利用均值不等式及指數(shù)函數(shù)單調(diào)性判斷D.【詳解】，的零點(diǎn)即函數(shù)與圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，作出圖象，由圖象可知，當(dāng)時，兩個函數(shù)圖象有2個交點(diǎn)，且，即，化簡可得，由，等號取不到，可得，所以.綜上可知，BCD正確，A錯誤.故選：BCD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數(shù)y＝logax(a＞0且a≠1)在[2，4]上的最大值與最小值的差是1，則a＝________．【答案】2或【分析】分a＞1,0＜a＜1兩種情況討論,利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解即可.【詳解】①當(dāng)a＞1時，y＝logax(a＞0且a≠1)在[2，4]上為增函數(shù)，所以有l(wèi)oga4－loga2＝1，解得a＝2；②當(dāng)0＜a＜1時，y＝logax(a＞0且a≠1)在[2，4]上為減函數(shù)，所以有l(wèi)oga2－loga4＝1，解得a＝,所以a＝2或.故答案為：2或【點(diǎn)睛】本題主要考查了對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，分類討論的思想，屬于中檔題.14．設(shè)，，，若，，則的最大值為__________．【答案】3【分析】由已知可解得，.根據(jù)換底公式可得，.根據(jù)基本不等式得出，然后根據(jù)對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)即可得出答案.【詳解】因?yàn)椋裕?又，，所以，.因?yàn)椋?，根?jù)基本不等式有，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時等號成立，所以.則，所以的最大值為.故答案為：.15．已知函數(shù)(其中是常數(shù))．若當(dāng)時，恒有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_______．【答案】【分析】令，將原指數(shù)度等式的問題可轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)的問題進(jìn)行處理.【詳解】，令，由于，根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)，，于是問題轉(zhuǎn)化為：時，恒成立，下只需求時的最大值.根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可知，當(dāng)時遞減，上遞增，而端點(diǎn)和相比距離對稱軸更遠(yuǎn)，故，于是.故答案為：16．已知實(shí)數(shù)、滿足，，則______．【答案】6【分析】根據(jù)指數(shù)式與對數(shù)式的互化公式，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性和零點(diǎn)存在原理進(jìn)行求解即可.【詳解】，令，則有，，設(shè)函數(shù)，顯然該函數(shù)增函數(shù)，，所以函數(shù)在上有唯一的零點(diǎn)，因此，故答案為：6【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：根據(jù)對數(shù)式與指數(shù)式的互化公式，利用函數(shù)單調(diào)性和零點(diǎn)存在原理是解題的關(guān)鍵.四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數(shù)，，其中.(1)解關(guān)于的不等式：；(2)若函數(shù)的最小值為，求實(shí)數(shù)的值.【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義域與單調(diào)性結(jié)合可得出關(guān)于的不等式組，解之即可；（2）求出函數(shù)的定義域，結(jié)合對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得出的最小值的表達(dá)式，結(jié)合的取值范圍可解得實(shí)數(shù)的值.【詳解】（1）解：不等式即為，，則函數(shù)為上的減函數(shù)，，解得，故不等式的解集為（2）解：對于函數(shù)，由可得，即函數(shù)的定義域?yàn)?，則，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，.，且的最小值為，，得，所以.18．已知函數(shù)，且為奇函數(shù)．(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性并證明；(2)解不等式：．【答案】(1)函數(shù)單調(diào)遞減，證明見解析；(2)【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的定義可求得參數(shù)a的值，判斷函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性定義可證明函數(shù)的單調(diào)性；（2）利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性即可求解不等式.【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)，定義域?yàn)镽，且為奇函數(shù)，則，得，當(dāng)時，對于任意實(shí)數(shù)x，，∴，即當(dāng)時，為奇函數(shù)；為單調(diào)遞減函數(shù)，證明：設(shè)，則，，即，，∴，即函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減；（2）因?yàn)樵诙x域上單調(diào)遞減且為奇函數(shù)，由不等式可得，∴，∴，即的解集為.19．已知定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，．(1)求函數(shù)的解析式；(2)若，使得不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)；(2)【分析】（1）由奇函數(shù)的性質(zhì)，，即可求出函數(shù)的解析式；（2）分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)的最值即可得到實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）∵是定義在上的奇函數(shù)，且時，，∴，解得，∴時，，當(dāng)時，，則，即在上的解析式為．∴函數(shù)的解析式為（2）∵時，，∴在有解，整理得，令，顯然與在上單調(diào)遞減，∴在上單調(diào)遞減，則，∴∴實(shí)數(shù)的取值范圍是．20．已知函數(shù)（，且），．（1）函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)A，求A點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若函數(shù)的圖像過點(diǎn)，證明：方程在上有唯一解．【答案】（1）；（2）證明見解析．【分析】（1）令，即可以求得函數(shù)圖像過定點(diǎn)；（2）先確定函數(shù)的解析式，并判定函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在性定理，即可證明方程在上有唯一解．【詳解】（1）令，則，則函數(shù)圖像過定點(diǎn)；（2）∵的圖像過點(diǎn)，∴，解之得∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增∴在上單調(diào)遞增，又，則，∴方程在上有唯一解21．已知函數(shù)的定義域?yàn)椋业膱D象經(jīng)過點(diǎn)．(1)求函數(shù)的解析式；(2)求函數(shù)的最大值；(3)求函數(shù)的值域．【答案】(1)；(2)3；(3).【分析】(1)根據(jù)f(7)＝2即可求a；(2)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)判斷g(x)在[1，16]上的單調(diào)性，據(jù)此即可求其最大值；(3)求h(x)的定義域，化簡h(x)解析式，根據(jù)雙勾函數(shù)的性質(zhì)求值域.【詳解】(1)∵的圖象經(jīng)過點(diǎn)，∴，∴，∴，∴．(2)∵，定義域?yàn)?，∴函?shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴函數(shù)的最大值為．(3)，∵函數(shù)的定義域?yàn)?，∴，解得，∴函?shù)的定義域?yàn)?，∵對勾函?shù)在上單調(diào)遞增，而函數(shù)是增函數(shù)，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴，，∴函數(shù)的值域?yàn)椋?2．已知函數(shù)．(1)用定義證明在定義域上是減函數(shù)；