13.2命題與證明第13章三角形中的邊角關(guān)系、命題與證明逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升課時(shí)講解1課時(shí)流程2定義命題命題的結(jié)構(gòu)互逆命題及反例定理與證明三角形內(nèi)角和定理及其推論1，2三角形內(nèi)角和定理的推論3，4(三角形外角的性質(zhì))知1－講感悟新知知識(shí)點(diǎn)定義1定義?能明確界定某個(gè)對(duì)象含義的語(yǔ)句叫作定義.示例等腰三角形的定義三角形中，有兩條邊相等的三角形叫作等腰三角形.

明確界定等腰三角形的特征，與不等邊三角形有本質(zhì)區(qū)別.感悟新知知1－講特別提醒1.定義必須是嚴(yán)密的，定義中避免使用“大概”“大約”“可能”等含糊性的詞語(yǔ).2.定義應(yīng)給出此事物與其他事物的本質(zhì)區(qū)別知1－練感悟新知下列語(yǔ)句中，屬于定義的是()A.兩點(diǎn)之間，線段最短B.三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)與它對(duì)邊中點(diǎn)的線段叫作三角形的中線C.兩直線平行，同位角相等D.三人行，必有我?guī)熝衫?知1－練感悟新知解：判斷是不是定義，關(guān)鍵看是否對(duì)名稱或術(shù)語(yǔ)的含義加以描述，并且作出了規(guī)定，很明顯，選項(xiàng)A，C，D沒有對(duì)名稱或術(shù)語(yǔ)加以描述，只有選項(xiàng)B是對(duì)三角形的中線的描述.解題秘方：緊扣定義的定義判斷.答案：B知1－練感悟新知1-1.下列語(yǔ)句中，屬于定義的是(

)A．對(duì)頂角相等B．作一條直線和已知直線互相垂直C．在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫作平行線D．圖形的平移不改變圖形的形狀和大小C知識(shí)點(diǎn)命題知2－講21.命題的定義可以判斷正確或不正確的陳述語(yǔ)句叫作命題.特別解讀：(1)命題必須是一個(gè)完整的句子，不能是一個(gè)詞語(yǔ)；(2)命題必須具有“判斷”作用，要對(duì)事件作出肯定或否定的判斷，故命題不能是祈使句或疑問句.知2－講2.

命題的種類(1)真命題：經(jīng)判斷是正確的命題我們稱之為真命題.(2)假命題：經(jīng)判斷是錯(cuò)誤的命題我們稱之為假命題.知2－講特別提醒只要是作出判斷性的陳述語(yǔ)句都是命題，與它判斷的對(duì)錯(cuò)無關(guān)，判斷的結(jié)果可能是正確的，也可能是錯(cuò)誤的.知2－練例2下面語(yǔ)句中，哪些是命題，哪些不是命題？如果是命題，判斷命題的真假.(1)同位角相等；(2)如果a是實(shí)數(shù)，那么a2＋1>0；(3)如果a∥c，b∥c，那么a∥b；(4)一個(gè)實(shí)數(shù)的平方一定是正數(shù)；(5)不相交的兩條直線是平行線.(6)畫一個(gè)半徑是1cm的圓.(7)任何數(shù)的絕對(duì)值都是正數(shù).知2－練解：(1)(2)(3)(4)(5)(7)是命題，其中(2)(3)是真命題，(1)(4)(5)(7)是假命題.(6)不是命題.知2－練2-1.[期末·宿州橋區(qū)]下列命題是真命題的是()A．如果AB＝BC，那么點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)B．三條線段的長(zhǎng)分別為a，b，c，如果a＋b>c，那么這三條線段一定能組成三角形C．三角形的內(nèi)角和等于180°D．如果|a

|＝|b|，那么a＝bC知3－講知識(shí)點(diǎn)命題的結(jié)構(gòu)31.命題的構(gòu)成命題通常由條件和結(jié)論兩部分組成，常寫成“如果……那么……”的形式.其中“如果”引出的部分是命題的條件(或題設(shè))，“那么”引出的部分是命題的結(jié)論(或題斷).有時(shí)為了敘述簡(jiǎn)便，也可以省略關(guān)聯(lián)詞“如果”和“那么”.知3－講2.

命題的一般形式“如果p，那么q”，或者說成“若p，則q”，其中p是這個(gè)命題的條件(或題設(shè))，q是這個(gè)命題的結(jié)論(或題斷).知3－講特別解讀命題的條件和結(jié)論有時(shí)不止一個(gè)，此時(shí)要注意把條件和結(jié)論都表達(dá)清楚.例如命題“同角或等角的余角相等”，其條件是“兩個(gè)角是同一個(gè)角的余角”或“相等的兩個(gè)角的余角”，結(jié)論是“這兩個(gè)角相等”.知3－練[母題教材P75練習(xí)T2]把下列命題改寫成“如果p，

那么q”的形式，并判斷命題的真假.(1)互為補(bǔ)角的兩個(gè)角相等；(2)同角的補(bǔ)角相等；(3)垂直于同一條直線的兩條直線平行.例3解題秘方：緊扣命題的結(jié)構(gòu)形式進(jìn)行改寫.知3－練解：(1)如果兩個(gè)角互為補(bǔ)角，那么這兩個(gè)角相等.假命題.(2)如果兩個(gè)角是同一個(gè)角的補(bǔ)角，那么這兩個(gè)角相等.真命題.(3)如果兩條直線垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行.假命題.知3－練方法點(diǎn)撥：改寫命題的方法：理清命題的條件與結(jié)論，改寫命題時(shí)將條件放在“如果”后面，將結(jié)論放在“那么”后面.知3－練3-1.[期末·宿州]把命題“等邊三角形的三條邊相等”改寫成“如果p，那么q”的形式：___________________________________________________.如果一個(gè)三角形是等邊三角形，那么這個(gè)三角形的三條邊相等知4－講知識(shí)點(diǎn)互逆命題及反例41.

互逆命題將命題“如果p，那么q”中的條件與結(jié)論互換，便得到一個(gè)新命題“如果q，那么p”，我們把這樣的兩個(gè)命題稱為互逆命題，其中一個(gè)叫作原命題，另一個(gè)就叫作原命題的逆命題.知4－講特別提醒：(1)“條件、結(jié)論正好相反”是指：第一個(gè)命題的條件是第二個(gè)命題的結(jié)論，第一個(gè)命題的結(jié)論是第二個(gè)命題的條件.(2)“互逆命題”是說明兩個(gè)命題之間的關(guān)系，兩個(gè)命題的地位可以互換，可以規(guī)定其中任何一個(gè)為原命題，另一個(gè)為逆命題.(3)寫一個(gè)命題的逆命題的關(guān)鍵是分清它的條件和結(jié)論，把條件和結(jié)論互換，并用通順的語(yǔ)句將它們連接起來即可得到它的逆命題.知4－講2.

反例符合命題的條件，但不滿足命題結(jié)論的例子，我們稱之為反例.知4－講特別警示1.原命題的真假和其逆命題的真假?zèng)]有必然聯(lián)系，原命題是真命題，其逆命題不一定是真命題；原命題是假命題,其逆命題也不一定是假命題.2.判斷一個(gè)命題是真命題，需要經(jīng)過推理說明其正確性，而判斷一個(gè)命題是假命題，只需舉一個(gè)反例即可.知4－練[母題教材P75例2]寫出下列命題的逆命題，并判斷逆命題的真假，如果是假命題，請(qǐng)舉一個(gè)反例.(1)如果兩條直線相交，那么它們只有一個(gè)交點(diǎn)；(2)如果a>b，那么a2>b2；(3)如果ab<0，那么a>0，b<0.例4解題秘方：緊扣互逆命題“條件、結(jié)論正好相反”這一特征改寫命題.知4－練解：(1)逆命題：如果兩條直線只有一個(gè)交點(diǎn)，那么它們相交.逆命題是真命題.(2)逆命題：如果a2>b2，那么a>b.逆命題是假命題.反例：當(dāng)a=－2，b=－1時(shí)，a2>b2，而a<b.(3)逆命題：如果a>0，b<0，那么ab<0.逆命題是真命題.知4－練4-1.下列命題中，逆命題是真命題的是()A.若a＋b＝4，a－b＝2，則a2－b2＝8B．無理數(shù)是無限小數(shù)C．對(duì)頂角相等D．若x2＝1，則x＝1D知4－練

A知5－講知識(shí)點(diǎn)定理與證明51.

基本事實(shí)人們?cè)陂L(zhǎng)期實(shí)踐中總結(jié)出來，不需要推理證明的真命題.基本事實(shí)可以作為判斷其他命題真假的依據(jù)，所有推理的原始共同出發(fā)點(diǎn)是一些定義和基本事實(shí).知5－講2.定理有些命題，是從基本事實(shí)或其他真命題出發(fā)，用推理方法判斷為正確的，并被選作判斷命題真假的依據(jù).這樣的真命題叫作定理.知5－講3.演繹推理從已知條件出發(fā)，依據(jù)定義、基本事實(shí)、定理，并按照邏輯規(guī)則，推導(dǎo)出結(jié)論，這一方法稱為演繹推理(或演繹法).4.證明演繹推理的過程，就是演繹證明.知5－講5.證明的一般步驟(1)審題，分清命題的條件和結(jié)論；(2)畫圖，結(jié)合圖形寫出已知和求證；(3)分析因果關(guān)系，找出證明途徑；(4)有條理地寫出證明過程.知5－講特別解讀定義、命題、基本事實(shí)(公理)、定理之間的聯(lián)系與區(qū)別：聯(lián)系：這四者都是命題.區(qū)別：定義、基本事實(shí)(公理)、定理都是真命題，都可以作為進(jìn)一步判斷其他命題真假的依據(jù)，只不過基本事實(shí)(公理)是最原始的依據(jù)；而命題不一定是真命題，因而不能直接用來作為判斷其他命題真假的依據(jù).知5－練填寫下列證明過程中推理的依據(jù).如圖13.2-1，已知AC，BD相交于點(diǎn)O，DF平分∠CDO與AC相交于點(diǎn)F，BE平分∠ABO與AC相交于點(diǎn)E，∠A＝∠C.

求證：∠1＝∠2.例5知5－練

已知內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等已知角平分線的定義等量代換知5－練5-1.如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∠ACB

與AB

相交于點(diǎn)E，∠ABC＝∠ACB，CE∥DF，DF

與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F．求證：∠DBF＝∠F．知5－練知6－講知識(shí)點(diǎn)三角形內(nèi)角和定理及其推論1,261.

定理三角形的內(nèi)角和等于180°.幾何語(yǔ)言：在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°.知6－講2.

三角形內(nèi)角和定理的證明證明方法圖示證明過程方法一如圖，過點(diǎn)A作l∥BC，則∠2＝∠B，∠3＝∠C.因?yàn)椤?＋∠2＋∠3＝180°，所以∠1＋∠B＋∠C＝180°.知6－講續(xù)表證明方法圖示證明過程方法二如圖，過點(diǎn)C作CD∥AB，則∠1＝∠A，∠2＝∠B.因?yàn)椤?＋∠2＋∠ACB＝180°，所以∠A＋∠B＋∠ACB＝180°.知6－講續(xù)表證明方法圖示證明過程方法三如圖，過點(diǎn)D作DE∥AB，DF∥AC，則∠1＝∠C，∠2＝∠4，∠3＝∠B，∠A＝∠4.所以∠2＝∠A.因?yàn)椤?＋∠2＋∠3＝180°，所以∠A＋∠B＋∠C＝180°.知6－講續(xù)表證明方法圖示證明過程方法四如圖，過點(diǎn)C作CD∥AB，則∠1＝∠A，∠B＋∠BCD＝180°，所以∠A＋∠B＋∠ACB＝180°.知6－講續(xù)表證明方法圖示證明過程方法五如圖，過點(diǎn)A作直線AD，過點(diǎn)B作BE∥AD，過點(diǎn)C作l∥AD，則l∥BE，所以∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠DAB＋∠ABE＝180°，所以∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝180°.總結(jié)借助平行線，轉(zhuǎn)移內(nèi)角，形成平角(180°)或同旁內(nèi)角(和為180°).知6－講3.

輔助線在證明的過程中，為了證明的需要，在原來圖形上添畫的線叫作輔助線.知6－講4.

推論1

直角三角形的兩銳角互余.幾何語(yǔ)言：在△ABC中，∵∠C＝90°，∴∠A＋∠B＝90°.5.

推論2

有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形.幾何語(yǔ)言：在△ABC中，∵∠A＋∠B＝90°，∴∠C＝90°，即△ABC為直角三角形.由基本事實(shí)、定理直接得出的真命題叫作推論.知6－講特別解讀在直角三角形中，若已知兩個(gè)銳角之間的關(guān)系，可結(jié)合兩個(gè)銳角互余求出每個(gè)銳角的大小，不需要再利用三角形內(nèi)角和定理求解.知6－練[期末·滁州]如圖13.2-2，在△ABC中，∠A∶∠ABC∶∠ACB＝3∶4∶5，BE平分∠ABC，CF⊥AB于點(diǎn)F，BE和CF相交于點(diǎn)O.求∠BOC的度數(shù).例6解題秘方：緊扣直角三角形兩銳角互余和角平分線的定義求解.知6－練

知6－練6-1.[期末·亳州]CD是△ABC的角平分線，點(diǎn)E在AC上，BE交CD于點(diǎn)F，∠ACB＝56°.(1)如圖①，若BE⊥AC，求∠DFB的度數(shù)；知6－練知6－練(2)如圖②，若BE⊥CD，∠A＝50°，求∠ABE的度數(shù)．知6－練如圖13.2-3，AB∥CD，直線EF分別交AB，CD于點(diǎn)E，F(xiàn)，∠BEF的平分線與∠DFE的平分線相交于點(diǎn)P，求證：△EFP是直角三角形.解題秘方：三角形中有兩個(gè)角的和等于90°(互余)就可說明該三角形為直角三角形.例7知6－練

知6－練方法點(diǎn)撥：直角三角形的判定方法：1.證明三角形中有一個(gè)內(nèi)角為90°(或證明三角形的兩條邊互相垂直)；2.證明一個(gè)三角形中有兩個(gè)內(nèi)角互余.知6－練7-1.如圖，點(diǎn)E是△ABC的邊AC上的一點(diǎn)，ED⊥AB于點(diǎn)D，∠AED＝∠B.求證：△ABC是直角三角形.知6－練證明：∵ED⊥AB，∴∠ADE＝90°.∴∠A＋∠AED＝90°.∵∠AED＝∠B，∴∠A＋∠B＝90°.∴△ABC是直角三角形.知7－講知識(shí)點(diǎn)三角形內(nèi)角和定理的推論3，4(三角形外角的性質(zhì))71.

外角的定義由三角形的一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角，叫作三角形的外角.判斷一個(gè)角是不是三角形的外角的三個(gè)條件：(1)頂點(diǎn)在三角形的一個(gè)內(nèi)角的頂點(diǎn)上；(2)一邊是三角形這個(gè)內(nèi)角的一條邊；(3)另一邊是三角形這個(gè)內(nèi)角的另一條邊的延長(zhǎng)線.知7－講2.推論3三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.常見應(yīng)用：(1)已知一個(gè)外角及與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角中的一個(gè)，求另一個(gè)內(nèi)角；(2)證明一個(gè)角等于另兩個(gè)角的和或差；(3)作為中間關(guān)系式證明兩個(gè)角相等.知7－講3.推論4三角形的外角大于與它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角.

∠ACD＝∠A＋∠B

∠ACD>∠A，∠ACD>∠B外角與∠ACD不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角三角形外角的性質(zhì)圖形幾何語(yǔ)言

4.三角形的外角和為360°.知7－講特別解讀1.三角形的外角在三角形的外部，與相鄰內(nèi)角互為鄰補(bǔ)角.2.三角形每一個(gè)頂點(diǎn)處都有兩個(gè)外角，它們是對(duì)頂角，因此三角形共有六個(gè)外角，通常每一個(gè)頂點(diǎn)處取一個(gè)外角.知7－講如圖13.2-4，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝80°，CD是∠ACB的平分線，則∠BDC的度數(shù)是(

)A.60°B.65°C.