高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1四川省眉山市仁壽縣2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期4月期中校際聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1.直線在軸上的截距為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根據(jù)題意令，解得；因此直線在軸上的截距為.故選：D2.若拋物線（）的焦點(diǎn)與橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)重合，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】橢圓的焦點(diǎn)為，拋物線（）開(kāi)口向左，焦點(diǎn)為，所以準(zhǔn)線方程為.故選：D.3.已知直線上有動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A. B.1 C. D.2【答案】B【解析】由可知，該圓圓心為，半徑為，則圓心到直線的距離，故圓心到直線上的點(diǎn)的長(zhǎng)度最短為，則.故選：B.4.甲、乙兩個(gè)雷達(dá)獨(dú)立工作，它們發(fā)現(xiàn)飛行目標(biāo)的概率分別是0.9和0.8，飛行目標(biāo)被雷達(dá)發(fā)現(xiàn)的概率為（）A.0.02 B.0.28 C.0.72 D.0.98【答案】D【解析】設(shè)事件表示“甲雷達(dá)發(fā)現(xiàn)飛行目標(biāo)”，事件表示“乙雷達(dá)發(fā)現(xiàn)飛行目標(biāo)”，因?yàn)榧滓覂蓚€(gè)雷達(dá)獨(dú)立工作，它們發(fā)現(xiàn)飛行目標(biāo)的概率分別是和，所以，所以飛行目標(biāo)被雷達(dá)發(fā)現(xiàn)的概率為.故選：D5.已知橢圓過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，則直線的斜率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)點(diǎn)、，由題意可得，若的斜率不存在時(shí)，則線段的中點(diǎn)在軸上，不合乎題意，由題意可得，兩式相減得，即0，所以所以，即直線的斜率為.故選：A.6.如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，則直線到平面的距離是（）A2 B. C. D.【答案】B【解析】連接交于點(diǎn)，在正方體中，，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，則直線到平面的距離即為點(diǎn)到平面的距離，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，且，平面，所以平面，則點(diǎn)到平面的距離即為，而，則，所以.故選：B.7.已知空間向量，，若與垂直，則等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由于與垂直，故，解得，故，故選：C8.已知為橢圓C：的右焦點(diǎn)，P為C上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)F且垂直于x軸的直線與C交于M，N兩點(diǎn)，若等于的最小值的3倍，則C的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】為橢圓C：的右焦點(diǎn)，P為C上的動(dòng)點(diǎn)，由橢圓的性質(zhì)，可得.過(guò)F且垂直于x軸的直線與C交于M，N兩點(diǎn)，.等于的最小值的3倍，.橢圓中，，即，則.，，解得或（舍）.故選：B.二、多選題9.下列說(shuō)法正確是（）A.從容量為的總體中抽取一個(gè)容量為的樣本，當(dāng)選取抽簽法、隨機(jī)數(shù)法和按比例分層隨機(jī)抽樣三種不同方法抽取樣本時(shí)，總體中每個(gè)個(gè)體被抽中的概率分別為則B.若，則事件A與事件B相互獨(dú)立C.一個(gè)人連續(xù)射擊2次，事件“兩次均未擊中”與事件“至多一次擊中”互為對(duì)立事件D.若，，且事件A與事件B相互獨(dú)立，則【答案】ABD【解析】對(duì)于A，根據(jù)抽樣方法的使用規(guī)則，可知A正確；對(duì)于B，，故B正確；對(duì)于C，設(shè)事件{兩次均為中}={中槍次數(shù)為}、事件{至多中一次}={中槍的次數(shù)為}，由，則事件包含事件，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，則，因?yàn)槭录c事件相互獨(dú)立，所以，故D正確.故選：ABD.10.下列給出的命題中正確的有（）A.已知兩個(gè)向量，，且，則B.三棱錐中，點(diǎn)為平面上的一點(diǎn)，且，則C.已知，，則在上的投影向量坐標(biāo)為D.若是空間的一組基底，則也是空間的一組基底【答案】ABC【解析】對(duì)A選項(xiàng)：由，所以存在，使得，即，所以，所以，故A正確；對(duì)B選項(xiàng)：因?yàn)辄c(diǎn)為平面上的一點(diǎn)，所以存在，使得,即.因?yàn)椋?，故B正確；對(duì)C選項(xiàng)：在上的投影向量為：，故C正確；對(duì)D選項(xiàng)：因?yàn)?，所以，，三個(gè)向量共面，所以不是空間向量的一組基底，故D錯(cuò)誤.故選：ABC11.已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則點(diǎn)到軸的距離為B.過(guò)點(diǎn)與拋物線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線至多有條C.是準(zhǔn)線上一點(diǎn)，是直線與的一個(gè)交點(diǎn)，若，則D.【答案】CD【解析】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，所以，則拋物線，所以焦點(diǎn)，準(zhǔn)線為，對(duì)于A選項(xiàng)，設(shè)、，則，解得，又為線段的中點(diǎn)，則，所以點(diǎn)到軸的距離為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，若過(guò)點(diǎn)的斜率不存在時(shí)，則該直線為軸，由圖可知，軸與拋物線相切，若過(guò)點(diǎn)的直線的斜率為零，此時(shí)，直線的方程為，聯(lián)立，可得，此時(shí)，直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，若過(guò)點(diǎn)的直線的斜率存在且不為零，設(shè)該直線的方程為，考慮直線與拋物線相切，聯(lián)立，可得，則，解得，即直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，故滿(mǎn)足條件的直線共有三條，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，過(guò)點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線段，垂足為，則，設(shè)準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，則，因?yàn)?，所以，則，則，所以，即，所以，則，故C正確；對(duì)于D：依題意過(guò)點(diǎn)的直線的斜率不為，設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線為，由，消去得，顯然，所以，，則，，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，故D正確.故選：CD.三、填空題12.雙曲線：的漸近線方程為_(kāi)______.【答案】【解析】因?yàn)殡p曲線：，所以，焦點(diǎn)在x軸上，所以其漸近線方程為，故答案為：13.已知點(diǎn)，過(guò)的直線與線段有交點(diǎn)，則直線的斜率的取值范圍是__________.【答案】【解析】直線的斜率為，直線的斜率為，故直線與線段有交點(diǎn)，則,即，故答案為：14.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，P為橢圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，Q為圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為_(kāi)_____．【答案】12【解析】由橢圓可知，，橢圓在圓內(nèi)，而圓的圓心為，半徑為，易知，所以橢圓與圓相離，而，故，要求的最大值，只需求的最大值，而Q在圓上，只需求的最大值，當(dāng)共線時(shí)（如圖），最大，此時(shí)，即為的最大值，則的最大值為，則的最大值為，故答案為：12四、解答題15.已知直線.（1）若直線過(guò)點(diǎn)，且，求直線的方程；（2）若直線，且直線與直線之間的距離為，求直線的方程.解：（1）因?yàn)橹本€的方程為，所以直線的斜率為.因?yàn)?，所以直線的斜率為.因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)，所以直線的方程為，即.（2）因?yàn)橹本€，所以可設(shè)直線的方程為，直線與直線之間的距離為，所以，解得或.故直線的方程為或.16.已知直線與直線相交于點(diǎn)，以為圓心的圓過(guò)點(diǎn).（1）求圓的方程；（2）求過(guò)點(diǎn)的圓的切線方程.解：（1）由，得，即，由題意圓的半徑為，故圓的方程為.（2）當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，方程為，與圓相切，符合題意.當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為，則切線方程為：，即，由題意，得，即，兩邊分別平方得，得，故切線方程為，即，綜上過(guò)點(diǎn)的圓的切線方程為，.17.某高校承辦了杭州亞運(yùn)會(huì)志愿者選拔的面試工作.現(xiàn)隨機(jī)抽取了100名候選者的面試成績(jī)，并分成五組：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.已知第三、四、五組的頻率之和為0.7，第一組和第五組的頻率相同.（1）求，的值；（2）估計(jì)這100名候選者面試成績(jī)的第65百分位數(shù)（分位數(shù)精確到0.1）；（3）在第四，第五兩組志愿者中，采用分層抽樣的方法從中抽取5人，然后再?gòu)倪@5人中選出2人，以確定組長(zhǎng)人選，求選出的兩人來(lái)自同一組的概率.解：（1）因?yàn)榈谌?、四、五組的頻率之和為0.7，所以，解得，所以前兩組的頻率之和為，即，所以；（2）前兩個(gè)分組頻率之和為0.3，前三個(gè)分組頻率之和為0.75，所以第65百分位數(shù)在65和75之間，即為；（3）第四、第五兩組志愿者分別有20人，5人，故按照分層抽樣抽得的第四組志愿者人數(shù)為4，分別設(shè)為，，，，第五組志愿者人數(shù)為1，設(shè)為，這5人中選出2人，所有情況有，，，，，，，，，共有10種情況，其中選出的兩人來(lái)自同一組的有，，，，，，共6種情況，故選出的兩人來(lái)自同一組的概率為.18.如圖，在四棱錐中，平面ABCD，，，，E為PD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在PC上，且.（1）證明：平面平面PAD；（2）求PC與平面AEF所成角的正弦值；（3）若棱PB上一點(diǎn)G滿(mǎn)足，且平面AEF與平面AFG的夾角的余弦值為，求解：（1）∵平面ABCD，平面ABCD，∴，∵，，PA、平面PAD，∴平面PAD，又∵平面PCD，∴平面平面（2）以A為原點(diǎn)，AD，AP所在直線分別為y，z軸，作為x軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，∴，，，設(shè)平面AEF的法向量為，則，令，則，，故，設(shè)PC與平面AEF所成角為，則，∴PC與平面AEF所成角的正弦值為（3）由（2）知，，平面AEF的一個(gè)法向量為，∴，，∴，設(shè)平面AFG的法向量為，則，令，則，，故，∵平面AEF與平面AFG的夾角的余弦值為，∴，整理得，即，解得或（舍），∴.19.如圖，已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為，且為雙曲線的頂點(diǎn)，雙曲線的離心率，設(shè)為該雙曲線上異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，直線的斜率分別為，且直線和與橢圓的交點(diǎn)分別為和.（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）證明：直線的斜率之積為定值；（3）求的取值范圍.解：（1）設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題意知，且，所以，所以雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為：；（2）設(shè)點(diǎn)，由題可知，則，所以，由點(diǎn)在雙曲線上，可知，即有，所以，故；（3）由（2）可知，且，所以可設(shè)直線方程為，則直線的方程為，把直線的方程代入橢圓方程，整理得，設(shè)，則有，因此，把直線的方程代入橢圓方程，整理得，設(shè)，，則有，，因此，所以又，所以，所以，所以的取值范圍為.四川省眉山市仁壽縣2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期4月期中校際聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1.直線在軸上的截距為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根據(jù)題意令，解得；因此直線在軸上的截距為.故選：D2.若拋物線（）的焦點(diǎn)與橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)重合，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】橢圓的焦點(diǎn)為，拋物線（）開(kāi)口向左，焦點(diǎn)為，所以準(zhǔn)線方程為.故選：D.3.已知直線上有動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A. B.1 C. D.2【答案】B【解析】由可知，該圓圓心為，半徑為，則圓心到直線的距離，故圓心到直線上的點(diǎn)的長(zhǎng)度最短為，則.故選：B.4.甲、乙兩個(gè)雷達(dá)獨(dú)立工作，它們發(fā)現(xiàn)飛行目標(biāo)的概率分別是0.9和0.8，飛行目標(biāo)被雷達(dá)發(fā)現(xiàn)的概率為（）A.0.02 B.0.28 C.0.72 D.0.98【答案】D【解析】設(shè)事件表示“甲雷達(dá)發(fā)現(xiàn)飛行目標(biāo)”，事件表示“乙雷達(dá)發(fā)現(xiàn)飛行目標(biāo)”，因?yàn)榧滓覂蓚€(gè)雷達(dá)獨(dú)立工作，它們發(fā)現(xiàn)飛行目標(biāo)的概率分別是和，所以，所以飛行目標(biāo)被雷達(dá)發(fā)現(xiàn)的概率為.故選：D5.已知橢圓過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，則直線的斜率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)點(diǎn)、，由題意可得，若的斜率不存在時(shí)，則線段的中點(diǎn)在軸上，不合乎題意，由題意可得，兩式相減得，即0，所以所以，即直線的斜率為.故選：A.6.如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，則直線到平面的距離是（）A2 B. C. D.【答案】B【解析】連接交于點(diǎn)，在正方體中，，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面，則直線到平面的距離即為點(diǎn)到平面的距離，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，且，平面，所以平面，則點(diǎn)到平面的距離即為，而，則，所以.故選：B.7.已知空間向量，，若與垂直，則等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由于與垂直，故，解得，故，故選：C8.已知為橢圓C：的右焦點(diǎn)，P為C上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)F且垂直于x軸的直線與C交于M，N兩點(diǎn)，若等于的最小值的3倍，則C的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】為橢圓C：的右焦點(diǎn)，P為C上的動(dòng)點(diǎn)，由橢圓的性質(zhì)，可得.過(guò)F且垂直于x軸的直線與C交于M，N兩點(diǎn)，.等于的最小值的3倍，.橢圓中，，即，則.，，解得或（舍）.故選：B.二、多選題9.下列說(shuō)法正確是（）A.從容量為的總體中抽取一個(gè)容量為的樣本，當(dāng)選取抽簽法、隨機(jī)數(shù)法和按比例分層隨機(jī)抽樣三種不同方法抽取樣本時(shí)，總體中每個(gè)個(gè)體被抽中的概率分別為則B.若，則事件A與事件B相互獨(dú)立C.一個(gè)人連續(xù)射擊2次，事件“兩次均未擊中”與事件“至多一次擊中”互為對(duì)立事件D.若，，且事件A與事件B相互獨(dú)立，則【答案】ABD【解析】對(duì)于A，根據(jù)抽樣方法的使用規(guī)則，可知A正確；對(duì)于B，，故B正確；對(duì)于C，設(shè)事件{兩次均為中}={中槍次數(shù)為}、事件{至多中一次}={中槍的次數(shù)為}，由，則事件包含事件，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，則，因?yàn)槭录c事件相互獨(dú)立，所以，故D正確.故選：ABD.10.下列給出的命題中正確的有（）A.已知兩個(gè)向量，，且，則B.三棱錐中，點(diǎn)為平面上的一點(diǎn)，且，則C.已知，，則在上的投影向量坐標(biāo)為D.若是空間的一組基底，則也是空間的一組基底【答案】ABC【解析】對(duì)A選項(xiàng)：由，所以存在，使得，即，所以，所以，故A正確；對(duì)B選項(xiàng)：因?yàn)辄c(diǎn)為平面上的一點(diǎn)，所以存在，使得,即.因?yàn)?，所以，故B正確；對(duì)C選項(xiàng)：在上的投影向量為：，故C正確；對(duì)D選項(xiàng)：因?yàn)?，所以，，三個(gè)向量共面，所以不是空間向量的一組基底，故D錯(cuò)誤.故選：ABC11.已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則點(diǎn)到軸的距離為B.過(guò)點(diǎn)與拋物線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線至多有條C.是準(zhǔn)線上一點(diǎn)，是直線與的一個(gè)交點(diǎn)，若，則D.【答案】CD【解析】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，所以，則拋物線，所以焦點(diǎn)，準(zhǔn)線為，對(duì)于A選項(xiàng)，設(shè)、，則，解得，又為線段的中點(diǎn)，則，所以點(diǎn)到軸的距離為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，若過(guò)點(diǎn)的斜率不存在時(shí)，則該直線為軸，由圖可知，軸與拋物線相切，若過(guò)點(diǎn)的直線的斜率為零，此時(shí)，直線的方程為，聯(lián)立，可得，此時(shí)，直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，若過(guò)點(diǎn)的直線的斜率存在且不為零，設(shè)該直線的方程為，考慮直線與拋物線相切，聯(lián)立，可得，則，解得，即直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，故滿(mǎn)足條件的直線共有三條，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，過(guò)點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線段，垂足為，則，設(shè)準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，則，因?yàn)?，所以，則，則，所以，即，所以，則，故C正確；對(duì)于D：依題意過(guò)點(diǎn)的直線的斜率不為，設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線為，由，消去得，顯然，所以，，則，，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，故D正確.故選：CD.三、填空題12.雙曲線：的漸近線方程為_(kāi)______.【答案】【解析】因?yàn)殡p曲線：，所以，焦點(diǎn)在x軸上，所以其漸近線方程為，故答案為：13.已知點(diǎn)，過(guò)的直線與線段有交點(diǎn)，則直線的斜率的取值范圍是__________.【答案】【解析】直線的斜率為，直線的斜率為，故直線與線段有交點(diǎn)，則,即，故答案為：14.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，P為橢圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，Q為圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為_(kāi)_____．【答案】12【解析】由橢圓可知，，橢圓在圓內(nèi)，而圓的圓心為，半徑為，易知，所以橢圓與圓相離，而，故，要求的最大值，只需求的最大值，而Q在圓上，只需求的最大值，當(dāng)共線時(shí)（如圖），最大，此時(shí)，即為的最大值，則的最大值為，則的最大值為，故答案為：12四、解答題15.已知直線.（1）若直線過(guò)點(diǎn)，且，求直線的方程；（2）若直線，且直線與直線之間的距離為，求直線的方程.解：（1）因?yàn)橹本€的方程為，所以直線的斜率為.因?yàn)?，所以直線的斜率為.因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)，所以直線的方程為，即.（2）因?yàn)橹本€，所以可設(shè)直線的方程為，直線與直線之間的距離為，所以，解得或.故直線的方程為或.16.已知直線與直線相交于點(diǎn)，以為圓心的圓過(guò)點(diǎn).（1）求圓的方程；（2）求過(guò)點(diǎn)的圓的切線方程.解：（1）由，得，即，由題意圓的半徑為，故圓的方程為.（2）當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，方程為，與圓相切，符合題意.當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為，則切線方程為：，即，由題意，得，即，兩邊分別平方得，得，故切線方程為，即，綜上過(guò)點(diǎn)的圓的切線方程為，.17.某高校承辦了杭州亞運(yùn)會(huì)志愿者選拔的面試工作.現(xiàn)隨機(jī)抽取了100名候選者的面試成績(jī)，并分成五組：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.已知第三、四、五組的頻率之和為0.7，第一組和第五組的頻率相同.（1）求，的值；（2）估計(jì)這100名候選者面試成績(jī)的第65百分位數(shù)（分位數(shù)精確到0.1）；（3）在第四，第五兩組志愿者中，采用分層抽樣的方法從中抽取5人，然后再?gòu)倪@5人中選出2人，以確定組長(zhǎng)人選，求選出的兩人來(lái)自同一組的概率.解：（1）因?yàn)榈谌?、四、五組的頻率之和為0.7，所以，解得，所以前兩組的頻率之和為，即，所以；（2）前兩個(gè)分組頻率之和為0.3，前三個(gè)分組頻率之和為0.75，所以第65百分位數(shù)在65和75之間，即為；（3）第四、第五兩組志愿者分別有20人，5