淺析微分中值定理的證明目錄TOC\o"1-3"\h\u12251淺析微分中值定理的證明 [1].證作輔助函數(shù).顯然，，且在上連續(xù)，在上可導(dǎo)，由羅爾中值定理可得，存在，使.假設(shè)，則由上式可得，但與不能同時為零，所以假設(shè)不成立，即.則可把上式改寫為.柯西中值定理的另一種證明方法（區(qū)間套法）：證先證當(dāng),且時，有.假設(shè)，因為在上連續(xù)，所以由引理2可得存在，且，使得.因此.同樣的，在上也滿足引理2的條件，再次應(yīng)用引理2可得，存在，且，使得，因此又有.按照上面的過程，反復(fù)應(yīng)用引理2，最后可以得到閉區(qū)間套，滿足，且.由閉區(qū)間套定理可得，存在，使得，則由引理1可得，而對，，所以假設(shè)不成立，故.再由引理3可得，存在，且，使得，同樣的，存在，且，使得，按照上述過程，反復(fù)應(yīng)用引理3，可以得到閉區(qū)間套，滿足，且.由閉區(qū)間套定理可得，存在，使得.則由引理1可得.即證.柯西中值定理的幾何意義可以用參數(shù)方程的形式來理解，把和這兩個函數(shù)寫成以為參量的參量方程于是在平面上有一段連續(xù)曲線，兩函數(shù)在該曲線上聯(lián)系.若曲線的兩端點連續(xù)，則在曲線上至少存在一點，該點的切線與兩端點的連線平行.柯西中值定理的幾何意義，它表示了曲線上至少有一點的切線平行于兩端點所在的弦.這一點拉格朗日中值定理也有其表現(xiàn)，但是柯西中值定理除了適用于表示的曲線外，還可以表示參數(shù)方程的曲線.由此也可以看出拉氏定理時柯西中值定理的一種特殊形式.1.3.2柯西中值定理的推廣推論3若函數(shù)，在有限或無窮區(qū)間中任意點處有有限的導(dǎo)數(shù)和，對，，，，，都存在，則至少存在一點使.證假設(shè)，即.由推論1知，至少存在一點，使得，這與，矛盾，故假設(shè)不成立，因此，.構(gòu)造輔助函數(shù)，則在可導(dǎo)，且，，即.由推論1可知，至少存在一點，使得，因為，所以.又因為對，，所以可將上式改寫為.例5設(shè).證明存在，使得.證令，，則，都在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo).，，則、都不等于，且.由柯西中值定理知，存在，使得，即.例6證明不等式證令則上式轉(zhuǎn)化為由于上應(yīng)用柯西中值定理，得于是而當(dāng)所以即分析：由以上兩個例子可以看出，在利用柯西中值定理進行解題時，關(guān)鍵步驟是要對題目的結(jié)果進行整理變形，并在此變形完成基礎(chǔ)上找