第二十四章圓活動2探究四點共圓的條件第二十四章

數(shù)學活動

一、知識回顧問題1

過平面內任意一點能確定一個圓嗎？兩個點呢？A答：過一個點不能確定一個圓過兩個點不能確定一個圓AB一、知識回顧ACABCABCB銳角三角形直角三角形鈍角三角形答：過任意一個三角形的三個頂點能作一個圓問題2

過任意一個三角形的三個頂點能作一個圓嗎？問題3

過任意一個四邊形的四個頂點能作一個圓嗎？ABCDABCD答：過任意一個四邊形的四個頂點不一定能作一個圓有的四邊形能作一個圓，有的四邊形不能作一個圓.ABCD二、知識探究定義：如果四邊形ABCD的四個頂點都在圓O上，則稱A、B、C、D四點共圓問題4

猜想：一個四邊形滿足什么條件可以作一個圓？追問

如果過某個四邊形的四個頂點能作一個圓，猜想其相對的兩個內角之間有什么關系？ABCDABCDABCD二、知識探究猜想：對角互補的四邊形，四個頂點共圓ABCD如圖，在四邊形ABCD中，若∠B+∠D=180o，證：A、B、C、D四點共圓ABCDE過A、B、C點作圓,延長AD與圓交于點E，連接CEABCD故假設不成立.猜想：“對角互補的四邊形，四個頂點共圓”，你能證明這個猜想嗎?反證法：假設A、B、C、D四點不共圓則至少有一個點不在圓上假設D點不在圓上

①若D點在圓內∴∠B+∠E=180°∵∠ADC>∠E∴∠B+∠ADC>180°這與已知條件∠B+∠ADC=180o矛盾，ABCD如圖，在四邊形ABCD中，若∠B+∠D=180o，證：A、B、C、D四點共圓ABCDE過A、B、C點作圓,延長AD與圓交于點E，連接CEABCDE故假設不成立，原結論正確，即A、B、C、D四點共圓猜想：“對角互補的四邊形，四個頂點共圓”，你能證明這個猜想嗎?反證法：假設A、B、C、D四點不共圓則至少有一個點不在圓上假設D點不在圓上②若D點在圓外∴∠B+∠AEC=180°∵∠D<∠AEC∴∠B+∠D<180°這與已知條件∠B+∠D=180o矛盾，ABCD如圖，在四邊形ABCD中，若∠B+∠D=180o，證：A、B、C、D四點共圓ABCDEABCDE猜想：“對角互補的四邊形，四個頂點共圓”，你能證明這個猜想嗎?判定1：對角互補的四邊形，四個頂點共圓.符號語言：(如圖3)∵∠B+∠D=180°∴

A、B、C、D四點共圓問題5

如圖，E是CB延長線上的一點，且∠ABE=∠D，則A、B、C、D有怎樣的關系？判定2：外角等于內對角的四邊形，四個頂點共圓.ABCD二、知識探究符號語言：∵∠ABE=∠D∴

A、B、C、D四點共圓E解：∵∠ABE+∠ABC=180°

,∠ABE=∠D∴

∠ABC+∠D=180°

∴

A、B、C、D四點共圓ABCD問題6

如圖，如果A和D在BC所在直線的同側，且∠A=∠D，則A、B、C、D有怎樣的關系？為什么？二、知識探究判定3：同弦同側所對的兩個角相等，則四個頂點共圓.符號語言：（如圖3）∵∠A=∠D∴

A、B、C、D四點共圓ABCDABCDEE反證法不成立不成立問題7

如圖，△ABC與△BDC都是直角三角形，O為BC的中點，證明：A、B、C、D四點共圓二、知識探究ABCD∴

A、B、C、D四點共圓O證明：∵△ABC與△BDC都是直角三角形，

O為BC的中點∴

OA=OB=OC=OD∴

OA=BC,OD=BC判定4：若四個點到一個定點的距離相等，則四個點共圓.符號語言：∵

OA=OB=OC=OD∴

A、B、C、D四點共圓例1如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠ABD＝70°，

求∠CAD的度數(shù)三、知識應用ABCD解：∵∠ABC＝∠ADC＝90°∴

∠ABC+∠ADC＝180°∴

A、B、C、D四點共圓∴∠ABD＝∠ACD＝70°∴∠CAD＝90°－∠ACD＝90°－70°=20°？70°70°三、知識應用例2如圖，OC為∠DOB的平分線，且∠CAD=∠CBO,求證：AC=BCAOBCD證：∵∠CAD=∠CBO∴

A、O、B、C四點共圓∵OC為∠DOB的平分線∴∠AOC=∠BOC∴

AC=BC？？例3如圖，在凸五邊形ABCDE中，∠ABC=∠ADE

,

∠AEC=∠ADB,

求證：

∠BAC=∠DAECBAFED？？∵∠AEC=∠ADB∴

A、E、D、F四點共圓∴∠AFE=∠ADE∵∠ABC=∠ADE∴∠AFE=∠ABC∴A、F、C、B四點共圓∴∠BAC=∠BFC=∠EFD=∠DAE三、知識應用證：連接AF猜想驗證歸納操作3.在數(shù)學活動中要勇于探究，大膽猜想，學會和同學合作交流，分享成

功的喜悅.4.掌握思考數(shù)學問題的方法，并能合理利用，去解決生活中的問題.1.通過本節(jié)課的活動，你學習了哪些內容？2.數(shù)學探究活動的一般步驟：四、知識總結如圖，正方形ABCD中，BD為對角線，點E為BD上一點，過E作EF⊥AE，交DC于F，求證：AE=FE45045