第二章數(shù)學(xué)模型的建立

TheSetUpfortheMathModel第二章數(shù)學(xué)模型的建立

TheSetUpfortheMathModel第一節(jié)系統(tǒng)和環(huán)節(jié)的特性

CharacteristicofSystemandLink第二節(jié)傳遞函數(shù)TransferFunction

第三節(jié)脈沖響應(yīng)和階躍響應(yīng)

ImpulseResponseandStepResponse第四節(jié)環(huán)節(jié)的聯(lián)接方式

TheConnectModeofLink

第一節(jié)系統(tǒng)和環(huán)節(jié)的特性

characteristicofSystemandLink一、靜態(tài)特性（Staticcharacteristicistic

）

.靜態(tài)

——運(yùn)動(dòng)中的自動(dòng)調(diào)節(jié)系統(tǒng)（或環(huán)節(jié)），其輸入信號(hào)和輸出信號(hào)都不隨時(shí)間變化時(shí)，稱系統(tǒng)（或環(huán)節(jié)）處于平衡狀態(tài)，或靜態(tài)。

.靜態(tài)特性——在平衡狀態(tài)時(shí)，輸出信號(hào)和引起它變化的輸入信號(hào)之間的關(guān)系，稱為系統(tǒng)（或環(huán)節(jié)）的靜態(tài)特性

舉例：

(1)

RC電路輸入量-----電壓u1

輸出量-----電容兩端的電壓uc。靜態(tài)特性方程：

uc=u1

(2)

閥門輸入量---閥門前后的差壓△P

輸出量---流量Q

靜態(tài)特性方程：式中—閥門局部阻力系數(shù)。

(3)閥門輸入量---閥門開(kāi)度m

輸出量---流量Q

二、動(dòng)態(tài)特性(Dynamiccharacteristicistic)

動(dòng)態(tài)

----運(yùn)動(dòng)中的自動(dòng)調(diào)節(jié)系統(tǒng)（或環(huán)節(jié)），當(dāng)輸入信號(hào)和輸出信號(hào)隨時(shí)間變化時(shí)，稱系統(tǒng)（或環(huán)節(jié)）處于不平衡狀態(tài)或動(dòng)態(tài)。動(dòng)態(tài)特性---在不平衡狀態(tài)時(shí)，輸出信號(hào)和引起它變化的輸入信號(hào)之間的關(guān)系，稱為系統(tǒng)（或環(huán)節(jié)）的動(dòng)態(tài)特性。

1.數(shù)學(xué)模型的建立

下面舉例說(shuō)明推導(dǎo)微分方程的基本方法

例:

RC電路，已知電阻阻值為R，電容為C,當(dāng)輸入信號(hào)為u1，輸出信號(hào)為uc時(shí)，試寫出該電路的動(dòng)態(tài)特性方程。

解：1、寫出輸入電壓u1與輸出電壓uc的差值變化引起電流i變化的關(guān)系式。

2、寫出輸出信號(hào)uc與i的關(guān)系式

3、消去中間變量i，整理得RC電路的動(dòng)態(tài)特性方程式：

環(huán)節(jié)的靜態(tài)特性方程式：例：試列出圖所示系統(tǒng)的微分方程式，并比較得到的結(jié)果。（a）中系統(tǒng)的輸入信號(hào)為FA,輸出信號(hào)為質(zhì)量m的位移x;(b)中系統(tǒng)的輸入信號(hào)為流經(jīng)電路的電量q,輸出信號(hào)為ur。※解：(a)根據(jù)牛頓第二定律式中f—粘性磨擦系數(shù)

K—彈簧彈性系數(shù)

（b）假定回路電流為i，則：

因此：

電流,q為電量，上式可寫成1．

不同的環(huán)節(jié)雖然物理結(jié)構(gòu)不同，但是表示動(dòng)態(tài)特性的微分方程形式相同時(shí)，可以抽象地認(rèn)為是同類環(huán)節(jié)

。

歸納：2．

同一個(gè)環(huán)節(jié)，當(dāng)取不同的量為輸入信號(hào)或輸出信號(hào)時(shí)，其微分方程是不同的。

3．

對(duì)一個(gè)具體環(huán)節(jié)來(lái)說(shuō)，微分方程的階次和各系數(shù)值由環(huán)節(jié)內(nèi)部的結(jié)構(gòu)和物理參數(shù)而決定。

4.靜態(tài)特性包含在動(dòng)態(tài)特性之中第二節(jié)傳遞函數(shù)

TransferFunction

一、拉普拉斯變換(Laplacetransform)復(fù)習(xí)

1、定義：

拉普拉斯變換存在的條件為：2、基本定理

(1)線性定理

(2)微分定理

(3)位移定理設(shè)F(s)=L[f(t)]則L[e-atF(t)]=F(s+a)

(4)遲延定理

設(shè)F(s)=L[f(t)]則L[f(t-T)]=e-TSF(s)

(5)初值定理

設(shè)F（s）=L[f(t)]，如果下列極限存在的話，則有

(6)終值定理設(shè)F（s）=L[f(t)]，并且SF（s）在虛軸上及右半平面內(nèi)沒(méi)有極點(diǎn)，則有：

(7)卷積定理設(shè)F1(s)=L[f1(t)]，F(xiàn)2(s)=L[f2(t)]

則

3、部分分式法例1

求F(s)的反變換?！猓簩（s）分解為部分分式：求待定常數(shù)K1，K2，由式（2-16），得：

進(jìn)行反變換，求得原函數(shù)

f(t)=-e-3t+2e-t所以例2

求的反變換※解：查拉普拉斯變換對(duì)照表，得：

f(t)=e-tcost+2e-tsint

R（s）=0有重根設(shè)R（s）=0的根中-S1為r階重根，其余（n-r）個(gè)根為單根，則F（s）可展開(kāi)為

（2-18）式中，Kr+1，Kr+2，…，Kn可按式（2-16）計(jì)算，而K1，K2，…，Kr則可按下列計(jì)算留數(shù)的公式求得：

（2-18）例3

求F(S)的拉普拉斯反變換

※解:F(s)可展開(kāi)成因此，

查拉普拉斯關(guān)系對(duì)照表，得：二、傳遞函數(shù)(TransferFunction)

傳遞函數(shù)定義為：線性定常系統(tǒng)在零初始條件下，系統(tǒng)（或環(huán)節(jié)）輸出信號(hào)的拉普拉斯變換與輸入信號(hào)的拉普拉斯變換之比。設(shè)線性定常系統(tǒng)（或環(huán)節(jié)）的微分方程是：

（n≥m）

在初始條件為零的情況下，對(duì)式（2-47）進(jìn)行拉普拉斯變換，得：

所以，該系統(tǒng)(或環(huán)節(jié))的傳遞函數(shù)為：

描述RC電路

描述加熱器傳遞函數(shù)具有以下性質(zhì)：（2）傳遞函數(shù)只能表示一個(gè)輸入對(duì)一個(gè)輸出的關(guān)系。（3）系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分母就是系統(tǒng)的特征方程，從而能方便地判斷動(dòng)態(tài)過(guò)程的基本特性。(1)傳遞函數(shù)是描述動(dòng)態(tài)特性的數(shù)學(xué)模型，它表征系統(tǒng)（或環(huán)節(jié)）的固有特性，和輸入信號(hào)的具體形式、大小無(wú)關(guān)。第三節(jié)脈沖響應(yīng)和階躍響應(yīng)ImpulseResponseandStepResponse一．單位脈沖響應(yīng)函數(shù)(UnitImpulseResponsefunction)當(dāng)系統(tǒng)（或環(huán)節(jié)）的輸入信號(hào)r(t)為單位脈沖函數(shù)

(t)，傳遞函數(shù)為G（s），則它的輸出信號(hào)c(t)稱為單位脈沖響應(yīng)，c(t)的數(shù)學(xué)表達(dá)式稱為單位脈沖響應(yīng)函數(shù)。

例

RC電路的傳遞函數(shù)，試求其單位脈沖響應(yīng)函數(shù)，并作出單位脈沖響應(yīng)曲線。※解：?jiǎn)挝幻}沖響應(yīng)函數(shù)uc(t)為：作單位脈沖響應(yīng)曲線圖：

二．單位階躍響應(yīng)函數(shù)當(dāng)系統(tǒng)（或環(huán)節(jié)）的輸入信號(hào)r(t)為單位階躍函數(shù)1(t)，傳遞函數(shù)為G（s），則它的輸出信號(hào)c(t)稱為單位階躍響應(yīng)，c(t)的數(shù)學(xué)表達(dá)式稱為單位階躍響應(yīng)函數(shù)。由于單位階躍函數(shù)1(t)的拉普拉斯變換為：

則它的單位階躍響應(yīng)函數(shù)為：例

RC電路的傳遞函數(shù)，試求其單位階躍響應(yīng)函數(shù)，并作出單位階躍響應(yīng)曲線。

※解：?jiǎn)挝浑A躍響應(yīng)函數(shù)為：作單位階躍響應(yīng)曲線圖:

第四節(jié)環(huán)節(jié)的聯(lián)接方式

TheConnectModeofLink

一、基本環(huán)節(jié)1．比例(Proportional)環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為：作比例環(huán)節(jié)的階躍響應(yīng)曲線圖比例環(huán)節(jié)的微分方程為：

K—環(huán)節(jié)的傳遞系數(shù)或比例系數(shù)。2、積分(Integral)環(huán)節(jié)

積分環(huán)節(jié)的微分方程為：式中，Ti—積分時(shí)間。積分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為

作積分環(huán)節(jié)的階躍響應(yīng)曲線:

3、慣性(Intertial)環(huán)節(jié)（非周期環(huán)節(jié)）式中T—慣性環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)；

K—慣性環(huán)節(jié)的傳遞系數(shù)或稱靜態(tài)放大系數(shù)。慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為它的階躍響應(yīng)函數(shù)，即當(dāng)時(shí)，輸出信號(hào)c(t)為：慣性環(huán)節(jié)的微分方程為階躍響應(yīng)曲線是一條指數(shù)函數(shù)曲線。4、微分(Derivative)環(huán)節(jié)

（1）理想微分環(huán)節(jié)式中Td—微分時(shí)間傳遞函數(shù)為微分方程為它的階躍響應(yīng)函數(shù)為

(2)實(shí)際微分環(huán)節(jié)微分方程為式中Td—實(shí)際微分環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)傳遞函數(shù)為階躍響應(yīng)函數(shù)為

5、純遲延(Delay)

環(huán)節(jié)

c(t)=r(t-

)

式中

τ—遲延時(shí)間，即輸出信號(hào)落后于輸入信號(hào)的一段時(shí)間。

作階躍響應(yīng)曲線圖傳遞函數(shù)為作階躍響應(yīng)曲線圖二．環(huán)節(jié)的基本聯(lián)接方式(ConnectMode)1、環(huán)節(jié)的串聯(lián)(Seriesconnection)2、環(huán)節(jié)的并聯(lián)(Parallelconnection)3、環(huán)節(jié)的反饋聯(lián)接(Feedbackconnection)

三、方框圖的等效變換(EquivalentTransform)

必須遵守以下規(guī)則：（1)相鄰相加點(diǎn)之間的移動(dòng)

(2)相鄰引出點(diǎn)之間的移動(dòng)

(3)相加點(diǎn)的后移

(4)相加點(diǎn)的前移

(5)引出點(diǎn)的后移

(6)引出點(diǎn)的前移舉例說(shuō)明方框圖的等效變換例

雙容水箱，其輸入信號(hào)為流入水流量q1或流出水流量q3，其輸出信號(hào)為第二水箱的水位h2，R為線性化流阻，F(xiàn)1和F2分別為水箱的截面積，試寫出其傳遞函數(shù)。解：

1、q1