第1頁(yè)/共1頁(yè)2025年河北省中考數(shù)學(xué)真題試卷及答案解析一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分．）1.從上升了后的溫度，在溫度計(jì)上顯示正確的是（）A B. C. D.2.榫卯結(jié)構(gòu)是兩個(gè)構(gòu)件采取凹凸結(jié)合的連接方式．如圖是某個(gè)構(gòu)件的截面圖，其中，，則（）A. B. C. D.3.計(jì)算：（）A.2 B.4 C.6 D.84.“這么近，那么美，周末到河北”．嘉嘉周末到弘濟(jì)橋游覽，發(fā)現(xiàn)青石橋面上有三葉蟲(chóng)化石，他想了解其長(zhǎng)度，在化石旁放了一支筆拍下照片（如圖）．回家后量出照片上筆和化石的長(zhǎng)度分別為和，筆的實(shí)際長(zhǎng)度為，則該化石的實(shí)際長(zhǎng)度為（）A. B. C. D.5.一個(gè)幾何體由圓柱和正方體組成，其主視圖、俯視圖如圖所示，則其左主視圖視圖為（）A. B. C. D.6.若一元二次方程的兩根之和與兩根之積分別為，，則點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系中位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限7.拋擲一個(gè)質(zhì)地均勻的正方體木塊（6個(gè)面上分別標(biāo)有，，中的一個(gè)數(shù)字），若向上一面出現(xiàn)數(shù)字1的概率為，出現(xiàn)數(shù)字2的概率為，則該木塊不可能是（）A. B. C. D.8.若，則（）A. B. C.3 D.69.如圖，在五邊形中，，延長(zhǎng)，，分別交直線于點(diǎn)，．若添加下列一個(gè)條件后，仍無(wú)法判定，則這個(gè)條件是（）A B. C. D.10.在反比例函數(shù)中，若，則（）A. B. C. D.11.如圖，將矩形沿對(duì)角線折疊，點(diǎn)落在處，交于點(diǎn)．將沿折疊，點(diǎn)落在內(nèi)的處，下列結(jié)論一定正確的是（）A. B. C. D.12.在平面直角坐標(biāo)系中，橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱(chēng)為整點(diǎn)．如圖，正方形與正方形的頂點(diǎn)均為整點(diǎn)．若只將正方形平移，使其內(nèi)部（不含邊界）有且只有，，三個(gè)整點(diǎn)，則平移后點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. B. C. D.二、填空題（本大題共4小題，每小題3分，共12分）13.計(jì)算：______．14.平行四邊形一組鄰邊長(zhǎng)分別為，，一條對(duì)角線長(zhǎng)為．若為整數(shù)，則的值可以為_(kāi)_____．（寫(xiě)出一個(gè)即可）15.甲、乙兩張等寬的長(zhǎng)方形紙條，長(zhǎng)分別為，．如圖，將甲紙條的與乙紙條的疊合在一起，形成長(zhǎng)為81的紙條，則______．16.2025年3月是第10個(gè)全國(guó)近視防控宣傳教育月，活動(dòng)主題為“抓早抓小抓關(guān)鍵，更快降低近視率”，圖是一幅眼肌運(yùn)動(dòng)訓(xùn)練圖，其中數(shù)字對(duì)應(yīng)的點(diǎn)均勻分布在一個(gè)圓上，數(shù)字0對(duì)應(yīng)圓心．圖中以數(shù)字對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為端點(diǎn)的所有線段中，有一條線段的長(zhǎng)與其他的都不相等．若該圓的半徑為1，則這條線段的長(zhǎng)為_(kāi)_____．（參考數(shù)據(jù)：，）三、解答題（本大題共8小題，共72分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）．17.（1）解不等式，并在如圖所給的數(shù)軸上表示其解集；（2）解不等式，并在如圖所給的數(shù)軸上表示其解集；（3）直接寫(xiě)出不等式組的解集．18.（1）一道習(xí)題及其錯(cuò)誤的解答過(guò)程如下：請(qǐng)指出在第幾步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤，并選擇你喜歡的方法寫(xiě)出正確的解答過(guò)程．計(jì)算：．解：第一步第二步．第三步（2）計(jì)算：19.如圖．四邊形的對(duì)角線，相交于點(diǎn)，，，點(diǎn)在上，．（1）求證：；（2）若，求證：．20.某工廠生產(chǎn)，，，四種產(chǎn)品．為提升產(chǎn)品的競(jìng)爭(zhēng)力，該工廠計(jì)劃對(duì)部分種類(lèi)的產(chǎn)品優(yōu)化生產(chǎn)流程，降低成本；對(duì)其他種類(lèi)的產(chǎn)品增加研發(fā)投入，提升品質(zhì)．經(jīng)研究，該工廠做出了甲、乙兩種調(diào)整方案，這兩種方案將對(duì)四種產(chǎn)品的成本產(chǎn)生不同的影響．下面是該工廠這四種產(chǎn)品的部分信息：a．調(diào)整前，各產(chǎn)品年產(chǎn)量的不完整的條形統(tǒng)計(jì)圖（圖1）和扇形統(tǒng)計(jì)圖（圖2）．b．各產(chǎn)品單件成本的核算情況統(tǒng)計(jì)表及說(shuō)明．說(shuō)明：對(duì)于統(tǒng)計(jì)表中的數(shù)據(jù)，方案甲的平均數(shù)與調(diào)整前的相同，方案乙的中位數(shù)與調(diào)整前的相同．根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題：產(chǎn)品數(shù)據(jù)類(lèi)別調(diào)整前單價(jià)成本（元/件）調(diào)整后單價(jià)成本（元/件）方案甲方案乙（1）求調(diào)整前產(chǎn)品的年產(chǎn)量；（2）直接寫(xiě)出，的值；（3）若調(diào)整后這四種產(chǎn)品的年產(chǎn)量均與調(diào)整前的相同，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明甲、乙兩種方案哪種總成本較低．21.如圖1，圖2，正方形的邊長(zhǎng)為5．扇形所在圓的圓心在對(duì)角線上，且不與點(diǎn)重合，半徑，點(diǎn)，分別在邊，上，，扇形的弧交線段于點(diǎn)，記為．（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)；（2）如圖2，當(dāng)四邊形為菱形時(shí)，求的長(zhǎng)；（3）當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．22.一般固體都具有熱脹冷縮的性質(zhì)，固體受熱后其長(zhǎng)度的增加稱(chēng)為線膨脹．在（本題涉及的溫度均在此范圍內(nèi)），原長(zhǎng)為的銅棒、鐵棒受熱后，伸長(zhǎng)量與溫度的增加量之間的關(guān)系均為，其中為常數(shù)，稱(chēng)為該金屬的線膨脹系數(shù)．已知銅的線膨脹系數(shù)（單位：）；原長(zhǎng)為的鐵棒從加熱到伸長(zhǎng)了．（1）原長(zhǎng)為的銅棒受熱后升高，求該銅棒的伸長(zhǎng)量（用科學(xué)記數(shù)法表示）．（2）求鐵的線膨脹系數(shù)；若原長(zhǎng)為的鐵棒受熱后伸長(zhǎng)，求該鐵棒溫度的增加量．（3）將原長(zhǎng)相等的銅棒和鐵棒從開(kāi)始分別加熱，當(dāng)它們的伸長(zhǎng)量相同時(shí)，若鐵棒的溫度比銅棒的高，求該鐵棒溫度的增加量．23綜合與實(shí)踐［情境］要將矩形鐵板切割成相同的兩部分，焊接成直角護(hù)板（如圖），需找到合適的切割線．［模型］已知矩形（數(shù)據(jù)如圖所示）．作一條直線，使與所夾的銳角為，且將矩形分成周長(zhǎng)相等的兩部分．［操作］嘉嘉和淇淇嘗試用不同方法解決問(wèn)題．［探究］根據(jù)以上描述，解決下列問(wèn)題．［拓展］操作和探究中蘊(yùn)含著一般性結(jié)論，請(qǐng)繼續(xù)研究下面的問(wèn)題．如圖3，嘉嘉的思路如下：①連接，交于點(diǎn)；②過(guò)點(diǎn)作，分別交，于點(diǎn)，……如圖4，淇淇的方法如下：①在邊上截取，連接；②作線段的垂直平分線，交于點(diǎn)；③在邊上截取，作直線．（1）圖中，矩形的周長(zhǎng)為_(kāi)_____；（2）在圖的基礎(chǔ)上，用尺規(guī)作圖作出直線（作出一條即可，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）；（3）根據(jù)淇淇的作圖過(guò)程，請(qǐng)說(shuō)明圖中的直線符合要求．（4）如圖，若直線將矩形分成周長(zhǎng)相等的兩部分，分別交邊，于點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接．當(dāng)時(shí)，求值；當(dāng)最大時(shí)，直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．24.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，頂點(diǎn)為．拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)．兩條拋物線在第一象限內(nèi)的部分分別記為，．（1）求，的值及點(diǎn)的坐標(biāo)．（2）點(diǎn)在上，到軸的距離為．判斷能否經(jīng)過(guò)點(diǎn)，若能，求的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）直線交于點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)是點(diǎn)橫坐標(biāo)的一半．①若點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)恰好落在上，求的值；②若點(diǎn)為直線與的唯一公共點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的值．2025年河北省中考數(shù)學(xué)真題試卷及答案解析1.從上升了后的溫度，在溫度計(jì)上顯示正確的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了有理數(shù)的加法的應(yīng)用，根據(jù)題意計(jì)算得出，找到顯示為的即可求解．【詳解】解：故選：B．2.榫卯結(jié)構(gòu)是兩個(gè)構(gòu)件采取凹凸結(jié)合的連接方式．如圖是某個(gè)構(gòu)件的截面圖，其中，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，結(jié)合題意，即可求解．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，故選：C．3.計(jì)算：（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】B【解析】【分析】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，利用平方差公式直接計(jì)算，即可求解．【詳解】解：故選：B．4.“這么近，那么美，周末到河北”．嘉嘉周末到弘濟(jì)橋游覽，發(fā)現(xiàn)青石橋面上有三葉蟲(chóng)化石，他想了解其長(zhǎng)度，在化石旁放了一支筆拍下照片（如圖）．回家后量出照片上筆和化石的長(zhǎng)度分別為和，筆的實(shí)際長(zhǎng)度為，則該化石的實(shí)際長(zhǎng)度為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了相似圖形的性質(zhì)，設(shè)該化石的實(shí)際長(zhǎng)度為，根據(jù)題意得出，即可求解．【詳解】設(shè)該化石的實(shí)際長(zhǎng)度為，依題意，，解得：故選：C．5.一個(gè)幾何體由圓柱和正方體組成，其主視圖、俯視圖如圖所示，則其左主視圖視圖為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)畫(huà)三視圖的方法，發(fā)揮空間想象能力，結(jié)合主視圖和俯視圖，從左側(cè)看下方是一個(gè)長(zhǎng)方形，上面中間是一個(gè)小正方形，據(jù)此即可求解．【詳解】解：從左側(cè)看下方是一個(gè)長(zhǎng)方形，上面中間是一個(gè)小正方形，故選：A．6.若一元二次方程的兩根之和與兩根之積分別為，，則點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系中位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，點(diǎn)的坐標(biāo)；將方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式后，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出兩根之和與積，再根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)判斷所在象限．【詳解】解：原方程展開(kāi)并整理為標(biāo)準(zhǔn)形式：其中，，．∴，．∴點(diǎn)即的橫、縱坐標(biāo)均為負(fù)數(shù)，故位于平面直角坐標(biāo)系的第三象限．故選：C．7.拋擲一個(gè)質(zhì)地均勻的正方體木塊（6個(gè)面上分別標(biāo)有，，中的一個(gè)數(shù)字），若向上一面出現(xiàn)數(shù)字1的概率為，出現(xiàn)數(shù)字2的概率為，則該木塊不可能是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了根據(jù)概率求數(shù)量，根據(jù)題意得出數(shù)字有個(gè)，數(shù)字有2個(gè)，則數(shù)字只有個(gè)，結(jié)合選項(xiàng)，即可求解．【詳解】解：正方體共6個(gè)面，向上一面出現(xiàn)數(shù)字1的概率為，出現(xiàn)數(shù)字2的概率為，∴數(shù)字有個(gè)，數(shù)字有2個(gè)，則數(shù)字只有個(gè)選項(xiàng)A中數(shù)字有2個(gè)，符合題意故選：A．8.若，則（）A. B. C.3 D.6【答案】B【解析】【分析】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，將分式化簡(jiǎn)后代入求值，即可求解．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，原式故選：B．9.如圖，在五邊形中，，延長(zhǎng)，，分別交直線于點(diǎn)，．若添加下列一個(gè)條件后，仍無(wú)法判定，則這個(gè)條件是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題主要考查了相似三角形的判定，平行線的性質(zhì)與判定，當(dāng)時(shí)，可證明，由平行線的性質(zhì)得到，，則可證明，據(jù)此可判斷A、B；由平行線的性質(zhì)可得，則，同理可判斷C；D中條件結(jié)合已給條件不能證明．【詳解】解：A、∵，∴，∴，∵，∴，∴，故A不符合題意；B、∵，∴，∵，∴，∴，故B不符合題意；C、∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，故C不符合題意；D、根據(jù)結(jié)合已知條件不能證明，故D符合題意；故選：D．10.在反比例函數(shù)中，若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了反比例數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)反比例函數(shù)性質(zhì)，將不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于的范圍求解．【詳解】解：∵，，當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，∴當(dāng)時(shí)，，故選：B．11.如圖，將矩形沿對(duì)角線折疊，點(diǎn)落在處，交于點(diǎn)．將沿折疊，點(diǎn)落在內(nèi)的處，下列結(jié)論一定正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】2025年河北省中考數(shù)學(xué)真題試卷及答案解析【分析】本題考查了矩形的折疊問(wèn)題，三角形內(nèi)角和定理以及三角形的外角的性質(zhì)，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；結(jié)果矩形的性質(zhì)的可得，，則，進(jìn)而根據(jù)折疊的性質(zhì)得出，，即可求解．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，∴∵折疊∴∴∵，即∴，故A不正確∵∴，故B不正確∵折疊，∴∵，故C不正確，D選項(xiàng)正確故選：D．12.在平面直角坐標(biāo)系中，橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱(chēng)為整點(diǎn)．如圖，正方形與正方形的頂點(diǎn)均為整點(diǎn)．若只將正方形平移，使其內(nèi)部（不含邊界）有且只有，，三個(gè)整點(diǎn)，則平移后點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了坐標(biāo)與圖象，一次函數(shù)的平移，待定系數(shù)法求得直線的解析式為，根據(jù)選項(xiàng)判斷平移方式，結(jié)合題意，即可求解．【詳解】解：設(shè)直線的解析式為，代入∴∴∴直線的解析式為∵，A.當(dāng)為時(shí)，平移方式為向右平移個(gè)單位，向上平移個(gè)單位，∴直線平移后的解析式為，此時(shí)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的經(jīng)過(guò)整點(diǎn)，符合題意，B.當(dāng)為時(shí)，平移方式為向右平移個(gè)單位，向上平移個(gè)單位，∴直線平移后的解析式為，此時(shí)原點(diǎn)在下方，對(duì)應(yīng)的在整點(diǎn)上方，不符合題意，C.當(dāng)時(shí)，平移方式為向右平移個(gè)單位，，∴直線平移后的解析式為，此時(shí)點(diǎn)在正方形內(nèi)部，不符合題意，D.當(dāng)為時(shí)，平移方式為向右平移個(gè)單位，向上平移個(gè)單位，∴直線平移后的解析式為，此時(shí)點(diǎn)和在正方形內(nèi)部，不符合題意，故選：A．2025年河北省中考數(shù)學(xué)真題試卷及答案解析二、填空題（本大題共4小題，每小題3分，共12分）13.計(jì)算：______．【答案】【解析】【分析】本題考查了合并同類(lèi)項(xiàng)，掌握合并同類(lèi)項(xiàng)法則是解題的關(guān)鍵．直接根據(jù)合并同類(lèi)項(xiàng)法則計(jì)算即可．【詳解】解：，故答案為：．14.平行四邊形的一組鄰邊長(zhǎng)分別為，，一條對(duì)角線長(zhǎng)為．若為整數(shù)，則的值可以為_(kāi)_____．（寫(xiě)出一個(gè)即可）【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，不等式組的整數(shù)解，根據(jù)題意得出，進(jìn)而寫(xiě)出一個(gè)整數(shù)解即可求解．【詳解】解：依題意，∴，∵為整數(shù)，∴可以是，，，，故答案為：（答案不唯一）．15.甲、乙兩張等寬的長(zhǎng)方形紙條，長(zhǎng)分別為，．如圖，將甲紙條的與乙紙條的疊合在一起，形成長(zhǎng)為81的紙條，則______．【答案】99【解析】【分析】本題主要考查了已知式子的值求代數(shù)式的值，一元一次方程的應(yīng)用，由題意可知：重疊部分為：，設(shè)疊部分的長(zhǎng)度為k，則，，根據(jù)重疊后的總長(zhǎng)度為81為等量關(guān)系列出關(guān)于k的一元一次方程，求解即可得出答案．【詳解】解：由題意可知：重疊部分為：，設(shè)重疊部分的長(zhǎng)度為k，則，，重疊后的總長(zhǎng)度為：，即，代入，得：，解得：，∴，，∴，故答案為：99．16.2025年3月是第10個(gè)全國(guó)近視防控宣傳教育月，活動(dòng)主題為“抓早抓小抓關(guān)鍵，更快降低近視率”，圖是一幅眼肌運(yùn)動(dòng)訓(xùn)練圖，其中數(shù)字對(duì)應(yīng)的點(diǎn)均勻分布在一個(gè)圓上，數(shù)字0對(duì)應(yīng)圓心．圖中以數(shù)字對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為端點(diǎn)的所有線段中，有一條線段的長(zhǎng)與其他的都不相等．若該圓的半徑為1，則這條線段的長(zhǎng)為_(kāi)_____．（參考數(shù)據(jù)：，）【答案】【解析】【分析】如圖所示，設(shè)數(shù)字0記為圓心O，數(shù)字6記為A，數(shù)字7記為B，過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)D，首先得到線段的長(zhǎng)與其他的都不相等，然后求出，解直角三角形求出，然后利用三線合一求解即可．【詳解】如圖所示，設(shè)數(shù)字0記為圓心O，數(shù)字6記為A，數(shù)字7記為B，過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)D由圖可得，線段的長(zhǎng)與其他的都不相等，∵其中數(shù)字對(duì)應(yīng)的點(diǎn)均勻分布在一個(gè)圓上，∴∴相鄰兩個(gè)數(shù)字與圓心組成的圓心角為∴2025年河北省中考數(shù)學(xué)真題試卷及答案解析∴∵∴∴，即∴∵，∴．∴這條線段的長(zhǎng)為．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了圓心角，解直角三角形，等邊對(duì)等角，三線合一性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識(shí)點(diǎn)．三、解答題（本大題共8小題，共72分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）．17.（1）解不等式，并在如圖所給的數(shù)軸上表示其解集；（2）解不等式，并在如圖所給的數(shù)軸上表示其解集；（3）直接寫(xiě)出不等式組的解集．【答案】（1），見(jiàn)解析；（2），見(jiàn)解析；（3）【解析】【分析】本題主要考查了解一元一次不等式，在數(shù)軸上表示不等式的解集，求不等式組的解集，熟知解不等式和解不等式組的方法是解題的關(guān)鍵．（1）把不等式兩邊同時(shí)除以2求出不等式的解集，再在數(shù)軸上表示不等式的解集即可；（2）按照移項(xiàng)，合并同類(lèi)項(xiàng)，系數(shù)化為1的步驟求出不等式的解集，再在數(shù)軸上表示不等式的解集即可；（3）先求出每個(gè)不等式的解集，再根據(jù)“同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到（無(wú)解）”求出不等式組的解集即可．【詳解】解：（1）不等式兩邊同時(shí)除以2得，數(shù)軸表示如下所示：（2）移項(xiàng)得：，合并同類(lèi)項(xiàng)得：，系數(shù)化為1得：，數(shù)軸表示如下所示：（3）解不等式①得：，解不等式②得：，∴原不等式組的解集為．18.（1）一道習(xí)題及其錯(cuò)誤的解答過(guò)程如下：請(qǐng)指出在第幾步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤，并選擇你喜歡的方法寫(xiě)出正確的解答過(guò)程．計(jì)算：．解：第一步第二步．第三步（2）計(jì)算：【答案】（1）原計(jì)算第一步開(kāi)始出錯(cuò)；；（2）【解析】【分析】本題考查了有理數(shù)混合運(yùn)算，實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵；（1）第一步計(jì)算分配律時(shí)符號(hào)出錯(cuò)；（2）按照實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算法則進(jìn)行，先計(jì)算括號(hào)里面的，再?gòu)淖蟮接乙来斡?jì)算乘除．【詳解】解：（1）原計(jì)算第一步開(kāi)始出錯(cuò)；；（2）19.如圖．四邊形的對(duì)角線，相交于點(diǎn)，，，點(diǎn)在上，．（1）求證：；（2）若，求證：．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)；（1）先證明，結(jié)合，，即可得到結(jié)論；（2）先證明，結(jié)合即可得到結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】證明：∵，∴，∵，，∴；【小問(wèn)2詳解】證明：∵，∴，∵，∴，即.20.某工廠生產(chǎn)，，，四種產(chǎn)品．為提升產(chǎn)品的競(jìng)爭(zhēng)力，該工廠計(jì)劃對(duì)部分種類(lèi)的產(chǎn)品優(yōu)化生產(chǎn)流程，降低成本；對(duì)其他種類(lèi)的產(chǎn)品增加研發(fā)投入，提升品質(zhì)．經(jīng)研究，該工廠做出了甲、乙兩種調(diào)整方案，這兩種方案將對(duì)四種產(chǎn)品的成本產(chǎn)生不同的影響．下面是該工廠這四種產(chǎn)品的部分信息：a．調(diào)整前，各產(chǎn)品年產(chǎn)量的不完整的條形統(tǒng)計(jì)圖（圖1）和扇形統(tǒng)計(jì)圖（圖2）．b．各產(chǎn)品單件成本的核算情況統(tǒng)計(jì)表及說(shuō)明．說(shuō)明：對(duì)于統(tǒng)計(jì)表中的數(shù)據(jù)，方案甲的平均數(shù)與調(diào)整前的相同，方案乙的中位數(shù)與調(diào)整前的相同．根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題：產(chǎn)品數(shù)據(jù)類(lèi)別調(diào)整前單價(jià)成本（元/件）調(diào)整后單價(jià)成本（元/件）方案甲方案乙（1）求調(diào)整前產(chǎn)品的年產(chǎn)量；（2）直接寫(xiě)出，的值；（3）若調(diào)整后這四種產(chǎn)品的年產(chǎn)量均與調(diào)整前的相同，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明甲、乙兩種方案哪種總成本較低．【答案】（1）萬(wàn)件（2），（3）甲種方案總成本較低【解析】【分析】本題考查了條形統(tǒng)計(jì)圖與扇形統(tǒng)計(jì)圖信息關(guān)聯(lián)，求平均數(shù)與中位數(shù)，從統(tǒng)計(jì)圖表中獲取信息是解題的關(guān)鍵；（1）先求得總產(chǎn)量，然后求得的年產(chǎn)量，最后求得產(chǎn)品的年產(chǎn)量；（2）根據(jù)方案甲的平均數(shù)與調(diào)整前的相同，方案乙的中位數(shù)與調(diào)整前的相同，即可求解；（3）分別計(jì)算甲、乙兩種方案的成本，比較大小，即可求解．【小問(wèn)1詳解】萬(wàn)件，產(chǎn)品的年產(chǎn)量為：萬(wàn)件，∴調(diào)整前產(chǎn)品的年產(chǎn)量為：萬(wàn)件【小問(wèn)2詳解】∵方案甲的平均數(shù)與調(diào)整前的相同，∴解得：，∵方案乙的中位數(shù)與調(diào)整前的相同，調(diào)整前，中位數(shù)為調(diào)整后為，∴【小問(wèn)3詳解】解：方案甲的總成本為：（萬(wàn)元）方案乙的總成本為：（萬(wàn)元）∴甲種方案總成本較低21.如圖1，圖2，正方形的邊長(zhǎng)為5．扇形所在圓的圓心在對(duì)角線上，且不與點(diǎn)重合，半徑，點(diǎn)，分別在邊，上，，扇形的弧交線段于點(diǎn)，記為．（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)；（2）如圖2，當(dāng)四邊形為菱形時(shí)，求的長(zhǎng)；（3）當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．【答案】（1）（2）（3）或【解析】【分析】（1）根據(jù)題意證明出四邊形是正方形，得到，然后利用圓周角定理求解即可；2025年河北省中考數(shù)學(xué)真題試卷及答案解析（2）首先證明出是等邊三角形，如圖所示，連接交于點(diǎn)G，求出，，然后得到是等腰直角三角形，進(jìn)而求解即可；（3）分兩種情況，根據(jù)弧長(zhǎng)公式求解即可．【小問(wèn)1詳解】∵正方形的邊長(zhǎng)為5．∴∵當(dāng)時(shí)∴∵∴∴四邊形是菱形∵∴四邊形是正方形∴∴；【小問(wèn)2詳解】∵四邊形為菱形∴∵扇形所在圓的圓心在對(duì)角線上，∴∴是等邊三角形如圖所示，連接交于點(diǎn)G∴∴∴∴∵∴是等腰直角三角形∴∴；【小問(wèn)3詳解】如圖所示，當(dāng)是劣弧時(shí)，∵，半徑∴；如圖所示，當(dāng)是優(yōu)弧時(shí)，∵，半徑∴∴．綜上所述，的長(zhǎng)為或．【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的性質(zhì)，圓周角定理，求弧長(zhǎng)，勾股定理，菱形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識(shí)點(diǎn)．22.一般固體都具有熱脹冷縮的性質(zhì)，固體受熱后其長(zhǎng)度的增加稱(chēng)為線膨脹．在（本題涉及的溫度均在此范圍內(nèi)），原長(zhǎng)為的銅棒、鐵棒受熱后，伸長(zhǎng)量與溫度的增加量之間的關(guān)系均為，其中為常數(shù)，稱(chēng)為該金屬的線膨脹系數(shù)．已知銅的線膨脹系數(shù)（單位：）；原長(zhǎng)為的鐵棒從加熱到伸長(zhǎng)了．（1）原長(zhǎng)為銅棒受熱后升高，求該銅棒的伸長(zhǎng)量（用科學(xué)記數(shù)法表示）．（2）求鐵的線膨脹系數(shù)；若原長(zhǎng)為的鐵棒受熱后伸長(zhǎng)，求該鐵棒溫度的增加量．（3）將原長(zhǎng)相等的銅棒和鐵棒從開(kāi)始分別加熱，當(dāng)它們的伸長(zhǎng)量相同時(shí)，若鐵棒的溫度比銅棒的高，求該鐵棒溫度的增加量．【答案】（1）（2），（3）【解析】【分析】本題考查了科學(xué)記數(shù)法，一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程是解題的關(guān)鍵；（1）根據(jù)，代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可求解；（2）根據(jù)定義求得鐵的線膨脹系數(shù)，進(jìn)而設(shè)該鐵棒溫度的增加量為，根據(jù)題意列出一元一次方程，解方程，即可求解；（3）設(shè)該鐵棒溫度的增加量為，根據(jù)題意列出一元一次方程，解方程，即可求解．【小問(wèn)1詳解】解：，答：該銅棒的伸長(zhǎng)量．【小問(wèn)2詳解】解：，解得：，設(shè)該鐵棒溫度的增加量為，根據(jù)題意得，，解得：，答：鐵的線膨脹系數(shù)，該鐵棒溫度的增加．【小問(wèn)3詳解】解：設(shè)該鐵棒溫度的增加量為，根據(jù)題意得，，解得：，答：該鐵棒溫度的增加量為．23.綜合與實(shí)踐［情境］要將矩形鐵板切割成相同的兩部分，焊接成直角護(hù)板（如圖），需找到合適的切割線．［模型］已知矩形（數(shù)據(jù)如圖所示）．作一條直線，使與所夾的銳角為，且將矩形分成周長(zhǎng)相等的兩部分．［操作］嘉嘉和淇淇嘗試用不同方法解決問(wèn)題．［探究］根據(jù)以上描述，解決下列問(wèn)題．［拓展］操作和探究中蘊(yùn)含著一般性結(jié)論，請(qǐng)繼續(xù)研究下面的問(wèn)題．如圖3，嘉嘉的思路如下：①連接，交于點(diǎn)；②過(guò)點(diǎn)作，分別交，于點(diǎn)，……如圖4，淇淇的方法如下：①在邊上截取，連接；②作線段的垂直平分線，交于點(diǎn)；③在邊上截取，作直線．（1）圖中，矩形的周長(zhǎng)為_(kāi)_____；（2）在圖基礎(chǔ)上，用尺規(guī)作圖作出直線（作出一條即可，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）；（3）根據(jù)淇淇的作圖過(guò)程，請(qǐng)說(shuō)明圖中的直線符合要求．（4）如圖，若直線將矩形分成周長(zhǎng)相等的兩部分，分別交邊，于點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接．當(dāng)時(shí)，求的值；當(dāng)最大時(shí)，直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析；（3）；（4）；．【解析】【分析】根據(jù)矩形的周長(zhǎng)公式計(jì)算即可；以點(diǎn)為圓心為半徑畫(huà)弧，交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，由作圖可知是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可證，根據(jù)矩形的性質(zhì)可證，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可證，，從而可證直線把矩形分成了周長(zhǎng)相等的兩部分，所以線段即為所求；根據(jù)矩形的性質(zhì)可證四邊形是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可證，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)可以證明書(shū)，，所以可以證明，所以直線把矩形分成了周長(zhǎng)相等的兩部分，從而可證直線符合要求；過(guò)點(diǎn)作，連接交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，根據(jù)矩形的性質(zhì)可得：，，，根據(jù)勾股定理可以求出，利用可證，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得：，，從而可得：，，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得：，，根據(jù)正切的定義可以求出的正切；連接交于點(diǎn)，把矩形分成了周長(zhǎng)相等的兩部分，點(diǎn)為和的中點(diǎn)，利用勾股定理可以求出，，過(guò)點(diǎn)作，則，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可以求出，，，在中，利用勾股定理可得：，在中，利用勾股定理即可求出的長(zhǎng)度．【小問(wèn)1詳解】解：四邊形矩形，，，，，，矩形的周長(zhǎng)為，故答案為：；【小問(wèn)2詳解】解：如下圖所示，以點(diǎn)為圓心為半徑畫(huà)弧，交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，線段即為所求，，，，是等腰直角三角形，，矩形的對(duì)角線交于點(diǎn)，，四邊形是矩形，，，，在和中，，，，，，直線把矩形分成周長(zhǎng)相等的兩部分；【小問(wèn)3詳解】證明：四邊形是矩形，，，，，，四邊形是平行四邊形，，，直線是的垂直平分線，，，，，，，把矩形分成了周長(zhǎng)相等的兩部分，直線符合要求；【小問(wèn)4詳解】解：如下圖所示，過(guò)點(diǎn)作，連接交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，四邊形是矩形，且直線將矩形分成周長(zhǎng)相等的兩部分，則點(diǎn)是矩形的對(duì)角線與的交點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，，，是等腰直角三角形，，，四邊形矩形，，，在和中，，，，，，，，于點(diǎn)，，是等腰直角三角形，，，；解：如下圖所示，連接交于點(diǎn)，把矩形分成了周長(zhǎng)相等的兩部分，點(diǎn)為和的中點(diǎn)，2025年河北省中考數(shù)學(xué)真題試卷及答案解析，點(diǎn)在以為直徑的上，當(dāng)與相切時(shí)，最大，，，，，，過(guò)點(diǎn)作，，四邊形是矩形，，則，，，，，，，是的切線，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、中心對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)、圓的基本性質(zhì)、切線的性質(zhì)、圓周角定理、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)，本題的綜合性較強(qiáng)，難度較大，需要綜合運(yùn)用矩形、圓、切線等圖形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造直角三角形，利用直角三角形的性質(zhì)求解．24.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，頂點(diǎn)為．拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)．兩條拋物線在第一象限內(nèi)的部分分別記為，．（1）求，的值及點(diǎn)的坐標(biāo)．（2）點(diǎn)在上，到軸的距離為．判斷能否經(jīng)過(guò)點(diǎn)，若能，求的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）直線交于點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)是點(diǎn)橫坐標(biāo)的一半．①若點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)恰好落在上，求的值；②若點(diǎn)為直線與的唯一公共點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的值．【答案】（1），（2）不能，理由見(jiàn)解析（3）①；②【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)的綜合，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，一次函數(shù)與二次函數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵；（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）根據(jù)題意得出，代入拋物線解析式得出或，而經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，即可得出結(jié)論；（3）①先求得，和代入解析式，待定系數(shù)法求解析式，即可求解；②根據(jù)題意得出直線的解析式為，根據(jù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，得出，聯(lián)立直線解析式，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得出，，將代入，得出①，根據(jù)點(diǎn)為直線與的唯一公共點(diǎn)，得出②，聯(lián)立解得的值，即可求解．【小問(wèn)1詳解】解：∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，頂點(diǎn)為∴解得：，∴，∴；【小問(wèn)2詳解】∵點(diǎn)在（第一象限）上，到軸的距離為．則∴當(dāng)時(shí)，解得：或∴或∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為直線∴經(jīng)過(guò)點(diǎn)和∴不能經(jīng)過(guò)點(diǎn),【小問(wèn)3詳解】①∵，當(dāng)重合時(shí)，則∵是的中點(diǎn)，∴,∵點(diǎn)恰好落在上，經(jīng)過(guò)點(diǎn)∴解得：；②∵直線交于點(diǎn)，，∴，∴直線的解析式為，∵經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴，∴，∴聯(lián)立消去得，∴，則∵點(diǎn)的橫坐標(biāo)是點(diǎn)橫坐標(biāo)的一半．∴即，將代入，∴①∵點(diǎn)為直線與的唯一公共點(diǎn)，∴②聯(lián)立①②得：或，當(dāng)時(shí)，交點(diǎn)不在公共點(diǎn)不在第一象限，不符合題意，∴．等式的符號(hào)方向：●在一元一次不等式中，不像等式那樣，等號(hào)是不變的，他是隨著你加或乘的運(yùn)算改變?！裨诓坏仁街校绻由贤粋€(gè)數(shù)（或加上一個(gè)正數(shù)），不等式符號(hào)不改向；例如：A>B,A+C>B+C●在不等式中，如果減去同一個(gè)數(shù)（或加上一個(gè)負(fù)數(shù)），不等式符號(hào)不改向；例如：A>B，A-C>B-C●在不等式中，如果乘以同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)不改向；例如：A>B，A*C>B*C（C>0）●在不等式中，如果乘以同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)改向；例如：A>B，A*C<b*c（c<0）<span=""></b*c（c<0）<>●如果不等式乘以0，那么不等號(hào)改為等號(hào)

所以在題目中，要求出乘以的數(shù)，那么就要看看題中是否出現(xiàn)一元一次不等式，如果出現(xiàn)了，那么不等式乘以的數(shù)就不等為0，否則不等式不成立。

03函數(shù)

■變量：因變量，自變量。在用圖象表示變量之間的關(guān)系時(shí)，通常用水平方向的數(shù)軸上的點(diǎn)自變量，用豎直方向的數(shù)軸上的點(diǎn)表示因變量。

■一次函數(shù)：①若兩個(gè)變量X，Y間的關(guān)系式可以表示成Y=KX+B（B為常數(shù)，K不等于0）的形式，則稱(chēng)Y是X的一次函數(shù)。②當(dāng)B=0時(shí)，稱(chēng)Y是X的正比例函數(shù)。一次函數(shù)的圖象：①把一個(gè)函數(shù)的自變量X與對(duì)應(yīng)的因變量Y的值分別作為點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)，在直角坐標(biāo)系內(nèi)描出它的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，所有這些點(diǎn)組成的圖形叫做該函數(shù)的圖象。②正比例函數(shù)Y=KX的圖象是經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的一條直線。③在一次函數(shù)中，當(dāng)K〈0，B〈O，則經(jīng)234象限；當(dāng)K〈0，B〉0時(shí)，則經(jīng)124象限；當(dāng)K〉0，B〈0時(shí)，則經(jīng)134象限；當(dāng)K〉0，B〉0時(shí)，則經(jīng)123象限。④當(dāng)K〉0時(shí)，Y的值隨X值的增大而增大，當(dāng)X〈0時(shí)，Y的值隨X值的增大而減少。

04空間與圖形

1、圖形的認(rèn)識(shí)

■點(diǎn)，線，面：①圖形是由點(diǎn)，線，面構(gòu)成的。②面與面相交得線，線與線相交得點(diǎn)。③點(diǎn)動(dòng)成線，線動(dòng)成面，面動(dòng)成體。

■展開(kāi)與折疊：①在棱柱中，任何相鄰的兩個(gè)面的交線叫做棱，側(cè)棱是相鄰兩個(gè)側(cè)面的交線，棱柱的所有側(cè)棱長(zhǎng)相等，棱柱的上下底面的形狀相同，側(cè)面的形狀都是長(zhǎng)方體。②N棱柱就是底面圖形有N條邊的棱柱。截一個(gè)幾何體：用一個(gè)平面去截一個(gè)圖形，截出的面叫做截面。

■視圖：主視圖，左視圖，俯視圖。

■多邊形：他們是由一些不在同一條直線上的線段依次首尾相連組成的封閉圖形。

■弧、扇形：①由一條弧和經(jīng)過(guò)這條弧的端點(diǎn)的兩條半徑所組成的圖形叫扇形。②圓可以分割成若干個(gè)扇形。

■線：①線段有兩個(gè)端點(diǎn)。②將線段向一個(gè)方向無(wú)限延長(zhǎng)就形成了射線。射線只有一個(gè)端點(diǎn)。③將線段的兩端無(wú)限延長(zhǎng)就形成了直線。直線沒(méi)有端點(diǎn)。④經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)有且只有一條直線。比較長(zhǎng)短：①兩點(diǎn)之間的所有連線中，線段最短。②兩點(diǎn)之間線段的長(zhǎng)度，叫做這兩點(diǎn)之間的距離。

■角●角的度量與表示：①角由兩條具有公共端點(diǎn)的射線組成，兩條射線的公共端點(diǎn)是這個(gè)角的頂點(diǎn)。②一度的1/60是一分，一分的1/60是一秒。

●角的比較：①角也可以看成是由一條射線繞著他的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而成的。②一條射線繞著他的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)終邊和始邊成一條直線時(shí)，所成的角叫做平角。始邊繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)他又和始邊重合時(shí)，所成的角叫做周角。③從一個(gè)角的頂點(diǎn)引出的一條射線，把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角，這條射線叫做這個(gè)角的平分線。

■平行：①同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線。②經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行。③如果兩條直線都與第3條直線平行，那么這兩條直線互相平行。

■垂直：①如果兩條直線相交成直角，那么這兩條直線互相垂直。②互相垂直的兩條直線的交點(diǎn)叫做垂足。③平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直。

●垂直平分線：垂直和平分一條線段的直線叫垂直平分線。垂直平分線垂直平分的一定是線段，不能是射線或直線，這根據(jù)射線和直線可以無(wú)限延長(zhǎng)有關(guān)，再看后面的，垂直平分線是一條直線，所以在畫(huà)垂直平分線的時(shí)候，確定了2點(diǎn)后（關(guān)于畫(huà)法，后面會(huì)講）一