河北省保定市新秀學(xué)校2021-2022學(xué)年九年級上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.方程的解是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)因式分解法求解即可．【詳解】∵，∴或，∴．故選D．【點睛】本題考查解一元二次方程．掌握因式分解法解一元二次方程是解題關(guān)鍵．2.如圖，已知直線AB∥CD∥EF，BD=2，DF=4，則的值為（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】分析】根據(jù)平行線分線段成比例，先求得，繼而求得．【詳解】AB∥CD∥EF，BD=2，DF=4，故選A．【點睛】本題考查了平行線分線段成比例，熟練平行線分線段成比例是解題的關(guān)鍵．3.用配方法解方程，可變形為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程配方的步驟進(jìn)行計算即可．【詳解】解：，移項得：，配方得：，即：．故選A．【點睛】本題考查配方法解一元二次方程，注意在配方的過程中首先要把二次項的系數(shù)化為1，配方時配的是一次項系數(shù)一半的平方．4.在一個不透明的口袋中，放置6個黃球、1個紅球和n個藍(lán)球，這些小球除顏色外其余均相同，課外興趣小組每次摸出一個球記錄下顏色后再放回，并且統(tǒng)計了黃球出現(xiàn)的頻率，如圖，則n的值是（）A.2 B.3 C.5 D.8【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)圖得到黃球出現(xiàn)的頻率穩(wěn)定在0.6附近，再根據(jù)概率公式列出方程，最后解方程即可求出n．【詳解】解：由圖可知，經(jīng)過大量實驗發(fā)現(xiàn)，黃球出現(xiàn)的頻率穩(wěn)定在0.6附近，∴解得

n=3故選：B．【點睛】本題考查了用頻率估計概率及用概率求數(shù)量，解題的關(guān)鍵是熟練掌握概率公式．5.已知關(guān)于的方程的一個根是．則方程的根的情況是（）A.不存在實數(shù)根 B.有兩個不相等的實數(shù)根C.有一個根是 D.有兩個相等的實數(shù)根【答案】D【解析】【分析】把代入得出c的值，從而得出方程，繼而根據(jù)判別式得出方程根的情況．【詳解】解：把x=-1代入方程得1-4+c=0，解得：c=3，則方程為；△=16-16=0，∴有兩個相等的實數(shù)根，故選：D【點睛】本題主要考查了一元二次方程解、根的判別式，解題的關(guān)鍵是熟練運用根的判別式，本題屬于基礎(chǔ)題型．6.如圖，證明矩形的對角線相等．已知：四邊形是矩形．求證：．以下是排亂的證明過程：①∴，；②∵；③∵四邊形是矩形；④∴；⑤∴．甲的證明順序是：③①②⑤④乙的證明順序是：②③①⑤④則下列說法正確的是（）A.甲和乙都對 B.甲和乙都不對 C.甲對乙不對 D.乙對甲不對【答案】A【解析】【分析】由證明過程可以判斷順序．【詳解】證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD、∠ABC=∠DCB=90°．∵BC=CB，∴△ABC≌△DCB（SAS），∴AC=DB，∴證明步驟正確的順序是：③①②⑤④，∴甲的證明過程正確；證明：∵BC=CB，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD、∠ABC=∠DCB=90°．∴△ABC≌△DCB（SAS），∴AC=DB，∴證明步驟正確的順序是：②③①⑤④，∴乙的證明過程正確；故選：A【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定，關(guān)鍵是靈活運用這些性質(zhì)解決問題．7.如圖是一次數(shù)學(xué)活動課制作的一個轉(zhuǎn)盤，盤面被等分成四個扇形區(qū)域，并分別標(biāo)有數(shù)字-1，0，1，2.若轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤兩次，每次轉(zhuǎn)盤停止后記錄指針?biāo)竻^(qū)域的數(shù)字（當(dāng)指針恰好指在分界線上時，不記，重轉(zhuǎn)），則記錄的兩個數(shù)字都是正數(shù)的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【詳解】列表得，120-11（1，1）（1，2）（1，0）（1，-1）2（2，1）（2，2）（2，0）（2，-1）0（0，1）（0，2）（0，0）（0，-1）-1（-1，1）（-1，2）（-1，0）（-1，-1）由表格可知，總共有16種結(jié)果，兩個數(shù)都為正數(shù)的結(jié)果有4種，所以兩個數(shù)都為正數(shù)的概率為，故選：C.【點睛】考點：用列表法（或樹形圖法）求概率.8.如圖是著名畫家達(dá)·芬奇的名畫《蒙娜麗莎》．畫中的臉部被包在矩形ABCD內(nèi)，點E是AB的黃金分割點，BE＞AE，若AB=2a，則BE長為（）A（+1）a B.（﹣1）a C.（3﹣）a D.（﹣2）a【答案】B【解析】【分析】直接根據(jù)黃金分割的定義求解．【詳解】解：∵點E是AB的黃金分割點，BE＞AE，∴BE=AB=2a=（﹣1）a．故選B．【點睛】考查了黃金分割：把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項（即AB：AC=AC：BC），叫做把線段AB黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點．其中AC=AB≈0.618AB，并且線段AB的黃金分割點有兩個．9.如圖，菱形中，對角線、交于點O，E為邊中點，菱形的面積為12，，則的長等于（）A. B. C. D.5【答案】A【解析】【分析】依據(jù)菱形的性質(zhì)以及勾股定理，即可求出AD的長，再根據(jù)直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，即可得出OE的長．【詳解】解：∵菱形的對角線AC、BD交于點O，OA＝3，∴AC＝2AO＝6，AC⊥BD，∵菱形ABCD的面積為12，∴×6×BD＝12，∴BD＝4，∴DO＝2，又∵AC⊥BD，∴AD＝，∵E為AD邊中點，∴OE＝AD＝，故選：A．【點睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是掌握菱形的兩條對角線互相垂直平分．10.如圖．兩條等寬的長方形紙條傾斜的重疊著，已知長方形紙條寬為，，則四邊形的面積為（）．A. B. C.4 D.【答案】B【解析】【分析】如圖所示，過點A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，連接AC，先證明四邊形ABCD是平行四邊形，再用面積法證明BC=CD，推出平行四邊形ABCD是菱形，進(jìn)而證明△ABC是等邊三角形，最后利用等邊三角形性質(zhì)和勾股定理求解即可．【詳解】解：如圖所示，過點A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，連接AC，由題意得，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵長方形紙條等寬，∴AE=AF，∵，∴BC=CD，∴平行四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC，又∵∠ABC=60°，∴△ABC是等邊三角形，∵AE⊥BC，∴BC=AB=2BE，在Rt△ABE中，，∴，∴，∴，故選B．【點睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．11.如圖，在長為32米、寬為20米的矩形地面是修筑同樣寬的道路（圖中陰影部分），余下部分種植草坪，要使草坪的面積為540平方米，設(shè)道路的寬為x米，則可列方程為（）A.32×20﹣32x﹣20x＝540 B.（32﹣x）（20﹣x）+x2＝540C.32x+20x＝540 D.（32﹣x）（20﹣x）＝540【答案】D【解析】【分析】先將圖形利用平移進(jìn)行轉(zhuǎn)化，可得剩余圖形的長等于原來的長減去小路的寬，剩余圖形的寬等于原來的寬減去路寬，然后再根據(jù)矩形面積公式計算．【詳解】解：利用圖形平移可將原圖轉(zhuǎn)化為下圖，設(shè)道路的寬為x米根據(jù)題意可得：故選D【點睛】本題考查的是一元二次方程的實際運用，找到關(guān)鍵描述語，找到等量關(guān)系準(zhǔn)確的列出方程是解決問題的關(guān)鍵．12.如圖，和表示兩根直立于地面的柱子，和表示起固定作用的兩根鋼筋，與相交于點M，已知，則點M離地面的高度為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)已知易得△ABM∽△CDM，可得對應(yīng)高BH與HC之比，易得MHAB，可得△MCH∽△ACB，利用對應(yīng)邊成比例可得比例式，把相關(guān)數(shù)值代入求解即可．【詳解】∵和表示兩根直立于地面的柱子，∴AB⊥BC，CD⊥BC，MH⊥BC，∴ABCDMH，∴∠A=∠MCD，∠ABM=∠D∴△ABM∽△CDM，∴===(相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比)，∴=∴=，即=，∵M(jìn)HAB，∴∠A=∠CMH，∠ABC=∠MHC，∴△MDH∽△ADB，∴==，，∴=，解得MH=．∴點M離地面的高度MH為m．故選：A．【點睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握相似三角形的應(yīng)用．13.如圖，在四邊形中，，，，交于點.添加一個條件使這個四邊形成為一種特殊的平行四邊形，則以下說法錯誤的是（）A.添加“”，則四邊形是菱形B.添加“”，則四邊形是矩形C.添加“”，則四邊形是菱形D.添加“”，則四邊形正方形【答案】B【解析】【分析】依次分析各選項，對各選項進(jìn)行推導(dǎo)證明即可求出說法錯誤的選項．【詳解】解：A選項添加AB∥CD，則可得出∠ABD=∠BDC，由AB=AD，BC=DC，可得出∠ABD=∠ADB，∠BDC=∠CBD，∴∠ABD=∠ADB=∠BDC=∠CBD，∴AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴四邊形ABCD是菱形；B選項添加∠BAD=90°，無法證明其余的角也是90°，因此無法得到四邊形ABCD是矩形；C選項添加OA=OC，由AB=AD，BC=DC，可得出AC垂直平分BD，∵OA=OC，∴BD也垂直平分AC，∴AB=BC，∴AB=AD=BC=DC，所以四邊形ABCD是菱形；D選項添加“∠ABC=∠BCD=90°，由等腰三角形的性質(zhì)，∠ABD=∠ADB，∠BDC=∠CBD，∴∠ABC=∠ADC=90°，∴∠ABC=∠ADC=∠BAC=∠BCD=90°，∴四邊形ABCD是矩形，由AB=AD，∴四邊形ABCD是正方形．故選B．【點睛】本題考查了等腰三角形、菱形、矩形、正方形、線段的垂直平分線、平行線等內(nèi)容，解決本題的關(guān)鍵是逐項分析和推導(dǎo)論證，本題一圖多用，能較好的檢測學(xué)生的基礎(chǔ)知識與技能，加深學(xué)生對相關(guān)知識點的融會貫通．14.如圖，在中，，，點D、E、F分別在邊AB、AC、BC上，那么下列等式不正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平行線分線段成比例以及相似三角形的判定和性質(zhì)逐個判斷即可．【詳解】解：，，∵，，∴，故A選項正確；∵，，故B選項正確；，，，故D選項正確；∵，∴，，，故C選項錯誤；故選：C．【點睛】此題考查了平行線分線段成比例以及相似三角形的判定和性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線分線段成比例以及相似三角形的判定和性質(zhì)，并注意利用數(shù)形結(jié)合思想求解．15.如圖，在中，，P為邊上一動點，于E，于F，M為的中點，則的最小值是（）A.4.8 B.4 C.3 D.2.4【答案】D【解析】【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)就可以得出EF，AP互相平分，且EF＝AP，根據(jù)垂線段最短的性質(zhì)就可以得出AP⊥BC時，AP的值最小，即AM的值最小，由勾股定理求出BC，根據(jù)面積關(guān)系建立等式求出其解即可．【詳解】解：連接AP，∵PE⊥AB，PF⊥AC，∠BAC＝90°，∴∠EAF＝∠AEP＝∠AFP＝90°，∴四邊形AEPF是矩形，∴EF，AP互相平分，且EF＝AP，又M為EF的中點，∴EF，AP的交點就是M點，∵當(dāng)AP的值最小時，AM的值就最小，∴當(dāng)AP⊥BC時，AP的值最小，即AM的值最?。赗t△ABC中，AB＝6，AC＝8，由勾股定理，得，∵，∴，∴10AP＝6×8，∴AP＝，∴AM＝＝2.4，故選：D．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)的運用，勾股定理的運用，三角形的面積公式的運用，垂線段最短的性質(zhì)的運用，解答時求出AP的最小值是關(guān)鍵．16.如圖，正方形中，E為的中點，于G，延長交于點F，延長交于點H，交于N下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤；其中正確結(jié)論的個數(shù)有（）A.2個 B.3個 C.4個 D.5個【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題目已知，證明可判斷①正確；證明可判斷②正確；過H點作，利用，求解即可判斷③正確；添加輔助線，過B作BP⊥CN于P，BQ⊥DG，交DE的延長線于E，利用△BNC≌△CED，證得△BPN≌△BQE，即可判斷④不正確；根據(jù)△BPN≌△BQE可得，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，從而可得，再利用勾股定理可得，從而可得，由此即可判斷⑤正確．【詳解】解：①∵在正方形ABCD中，，，∴∵∴∴（AAS）∴CN=DE，故①正確；②∴在正方形ABCD中，，∴，∴，∵，E為BC的中點，四邊形ABCD是正方形∴，∴，故②正確；③如下圖示，過H點作，∴根據(jù)，有，則：∴，即，故③正確；④過B作BP⊥CN于P，BQ⊥DG，交DE的延長線于E，∴，∴四邊形PBQG是矩形，∴，∵，∴∠NBP=∠QBE，由①得：△BNC≌△CED，∴EC=BN，∵E是BC的中點，∴BE=EC，∴BE=BN，∵，∴△BPN≌△BQE，∴BP=BQ，∴四邊形PBQG是正方形，∴，故④不正確；⑤∵△BPN≌△BQE∵四邊形PBQG是正方形，在中，，故⑤正確．故選：C．【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識點，牢固掌握相關(guān)知識并能靈活運用是解題關(guān)鍵．二、填空題17.已知，則的值是___．【答案】##【解析】【分析】直接根據(jù)比例的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵，∴，，；故答案為．【點睛】本題主要考查比例的基本性質(zhì)，熟練掌握比例的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18.某商品經(jīng)過連續(xù)兩次降價，售價由原來的25元/件降到16元/件，則平均每次降價的百分率為_____．【答案】20%【解析】【分析】設(shè)平均每次降價的百分率為x，根據(jù)該商品的原價及經(jīng)過兩次降價后的價格，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其較小值即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)平均每次降價的百分率為x，依題意，得：25（1﹣x）2＝16，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（不合題意，舍去）．故答案為：20%．【點睛】本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用，讀懂題意列出方程是解題的關(guān)鍵．19.已知三個邊長分別為，，的正方形如圖①排列，則圖中陰影部分的面積為___________；若將正方形換成三個菱形如圖②排列，菱形的較小銳角為，則圖中陰影部分的面積為___________．【答案】①.②.【解析】【分析】先根據(jù)相似三角形的性質(zhì)找到陰影梯形的上下底邊，然后根據(jù)梯形的面積公式即可計算．【詳解】如圖①，設(shè)中間空白梯形的上下底邊長分別為，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例得，，解得則陰影部分為上底長，下底長為，高為3的梯形面積為，故答案為：；如圖②，過點作垂直,垂足為點，同理①可得,在梯形中，,∵,∴，則梯形的面積為故答案為：【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，梯形的面積計算與菱形的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，牢固掌握相關(guān)知識并能靈活運用是解題關(guān)鍵．三．解答題20.解方程（1）；（2）．【答案】（1），（2），【解析】【分析】（1）根據(jù)公式法求解即可；（2）根據(jù)因式分解法求解即可．【小問1詳解】解：原方程化簡為，∵，，，∴，∴，∴，；【小問2詳解】解：原方程化為，∴，即，∴或，∴，．【點睛】本題考查了解一元二次方程，常見解法有直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法，靈活選擇適當(dāng)?shù)慕夥ㄟM(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵．21.如圖所示，甲乙丙丁戊己六個小朋友圍著一圈做傳球游戲，規(guī)定：球不得拋給自己，也不得傳給其相鄰左右兩人，假定球最先在甲手上，經(jīng)過兩次傳球（路徑：甲→丁→乙）．請補全以下樹狀圖，畫出兩次傳球的全部可能情況，并求出球又傳回甲手上的概率．【答案】圖見解析，【解析】【分析】先補全樹狀圖，從而可得兩次傳球的所有可能的結(jié)果，再找出球又傳回到甲手上的結(jié)果，然后利用概率公式計算即可得．【詳解】解：由題意，補全樹狀圖如下所示：由圖可知，兩次傳球共有9種等可能的結(jié)果，其中，球又傳到甲手上的情況有3種，所以球又傳回甲手上的概率為，答：球又傳回甲手上的概率為．【點睛】本題考查了利用列舉法求概率，正確畫出樹狀圖是解題關(guān)鍵．22.如圖，的頂點坐標(biāo)分別為、、．（1）以原點為位似中心，在原點另一側(cè)畫出，使（2）寫出的坐標(biāo)______．（3）的面積是______．【答案】（1）見解析；（2）；（3）10【解析】【分析】（1）根據(jù)位似圖形的性質(zhì)即可以原點O為位似中心，在原點另一側(cè)畫出，使；

（2）結(jié)合（1）即可寫出A1的坐標(biāo)；

（3）根據(jù)網(wǎng)格利用割補法即可求出的面積．【詳解】解：（1）如圖，為所求．（2）由圖可知：．故答案為：．（3）的面積是：．故答案為：10．【點睛】本題考查了作圖?位似變換，解決本題的關(guān)鍵是掌握位似圖形的性質(zhì)．23.已知：如圖，在矩形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，過點C作BD的平行線，過點D作AC的平行線，兩線相交于點P，求證：四邊形CODP是菱形．【答案】見解析【解析】【分析】根據(jù)DP∥AC，CP∥BD，即可證出四邊形CODP是平行四邊形，由矩形的性質(zhì)得出OC=OD，即可得出結(jié)論．【詳解】證明：∵DP∥AC，CP∥BD，∴四邊形CODP是平行四邊形，∵四邊形ABCD是矩形，∴BD=AC，OD=BD，OC=AC，∴OD=OC，∴四邊形CODP是菱形．【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，菱形的判定，熟練掌握矩形的性質(zhì)定理，菱形的判定定理是解題的關(guān)鍵．24.水果店以每斤2元的價格購進(jìn)某種水果若干斤，然后以每斤4元的價格出售，每天可售出200斤，通過調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這種水果每斤的售價每降低0.1元，每天可多售出40斤，為保證每天至少售出520斤，水果店決定降價銷售．（1）若將這種水果每斤的售價降低x元，則每天的銷售量是___________斤（用含x的代數(shù)式表示）；（2）銷售這種水果要想每天盈利600元，水果店需將每斤的售價降低多少元？【答案】（1）（200+400x）（2）3元【解析】【分析】（1）銷售量=原來銷售量+下降銷售量，據(jù)此列式即可；（2）根據(jù)銷售量×每斤利潤=總利潤列出方程求解即可．【小問1詳解】將這種水果每斤的售價降低x元，則每天的銷售量是200+×40＝（200+400x）斤；故答案為：（200+400x）；【小問2詳解】解：設(shè)這種水果每斤售價降低x元，根據(jù)題意得：（4﹣2﹣x）（200+400x）＝600，化簡得解得：或，當(dāng)時，銷售量是；當(dāng)x＝1時，銷售量是200+400＝600（斤）．∵每天至少售出520斤，∴x＝1．4﹣1＝3，答：水果店需將每斤的售價定為3元．【點睛】本題考查了一元二次方程，第一問關(guān)鍵求出每千克的利潤，求出總銷售量，從而利潤．第二問，根據(jù)售價和銷售量的關(guān)系，以利潤作為等量關(guān)系列方程求解．25.我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了利用配方法解一元二次方程，其實配方法還有其他重要應(yīng)用．例：已知x可取任何實數(shù)，試求二次三項式的最值．解：∵無論x取何實數(shù)，總有．∴，即無論x取何實數(shù)，有最小值，是．（1）問題：已知，試求y的最值．（2）【知識遷移】在中，是邊上的高，矩形的頂點P、N分別在邊上，頂點Q、M在邊上，探究一：，求出矩形的最大面積的值；（提示：由矩形我們很容易證明，可以設(shè)，經(jīng)過推導(dǎo)，用含有x的代數(shù)式表示出該矩形的面積，從而求得答案．）（3）探究二：，則矩形面積S的最大值___________．（用含a，h的代數(shù)式表示）【答案】（1）11（2）18（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，使用配方法將二次三項式進(jìn)行配方，再根據(jù)不等式的基本性質(zhì)確定最值即可；（2）首先證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可以得到，設(shè)，則，得出，從而得出，將矩形面積S用含x的代數(shù)式表示，再進(jìn)行配方，確定最值即可；（3）根據(jù)探究一，即可得出，設(shè)，則，因此，從而得到，將矩形面積S用含x的代數(shù)式表示，再進(jìn)行配方，確定最值即可．【小問1詳解】解：∵無論x取何實數(shù)，總有，∴，∴，即y有最大值，是11；【小問2詳解】探究一：∵四邊形PQMN是矩形，∴PNBC，∴∠APN＝∠ABC，∠ANP＝∠ACB，∴△APN∽△ABC，∴，設(shè)PN＝x，∴，∴，由已知可得四邊形EDMN是矩形，∴，∴，∵無論x取何實數(shù)，總有，∴，∴，∴矩形PQMN的最大面積的值為18；【小問3詳解】探究二：由探究一可知，△APN∽△ABC，∴，設(shè)PN