第23頁（共23頁）2024-2025學(xué)年下學(xué)期高二數(shù)學(xué)人教A版（2019）期末必刷?？碱}之條件概率與全概率公式一．選擇題（共7小題）1．（2025?攀枝花模擬）袋子中裝有除顏色外完全相同的2個(gè)白球和2個(gè)黑球，每次從袋子中隨機(jī)摸出1個(gè)球，摸出的球不再放回，已知第一次摸到的是白球，則第二次摸到黑球的概率為（）A．16 B．13 C．12 2．（2025春?廣東校級(jí)期中）下列說法不正確的是（）A．P（AB）＝P（A）P（B|A） B．P（AB）≤P（A） C．P（AB）＝P（A）P（A|B） D．P（AB）≤P（B|A）3．（2025?遵義模擬）某次社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)中，甲、乙兩個(gè)班的同學(xué)在同一個(gè)社區(qū)進(jìn)行民意調(diào)查，參加活動(dòng)的甲、乙兩班的人數(shù)之比為1：1，其中甲班中女生占45，乙班中女生占3A．710 B．310 C．1225 4．（2025春?龍崗區(qū)校級(jí)期中）某批麥種中，一等麥種占80%，二等麥種占20%等麥種種植后所結(jié)麥含有50粒以上麥粒的概率分別為0.6，0.2，則這批麥種種植后所結(jié)麥穗含有50粒以上麥粒的概率為（）A．0.48 B．0.52 C．0.56 D．0.655．（2025春?海南期中）現(xiàn)有兩位游客去四川旅游，他們分別從成都、九寨溝、黃龍、峨眉山、樂山大佛、熊貓基地、都江堰這7個(gè)景點(diǎn)中隨機(jī)選擇1個(gè)景點(diǎn)游玩．記事件A＝“兩位游客中至少有一人選擇九寨溝”，事件B＝“兩位游客選擇的景點(diǎn)不同”，則P（B|A）＝（）A．67 B．613 C．1013 6．（2025?皇姑區(qū)校級(jí)一模）已知在A，B，C三個(gè)地區(qū)暴發(fā)了流感，這三個(gè)地區(qū)分別有6%，5%，4%的人患了流感．假設(shè)這三個(gè)地區(qū)人口數(shù)量的比為3：2：1，現(xiàn)從這三個(gè)地區(qū)中任意選取一個(gè)人，則這個(gè)人患流感的概率為（）A．7150 B．31600 C．475 7．（2025春?龍巖期中）某中學(xué)體育運(yùn)動(dòng)會(huì)上，甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球項(xiàng)目決賽，采取“三局兩勝制”，即先勝兩局者獲得冠軍．已知甲每局獲勝的概率為13，且比賽沒有平局．記事件A表示“甲獲得冠軍”，事件B表示“比賽進(jìn)行了三局”，則PA．12 B．14 C．15 二．多選題（共3小題）（多選）8．（2025春?沙坪壩區(qū)校級(jí)期中）在一個(gè)盒子中裝有4個(gè)大小形狀均相同，編號(hào)為1﹣4的小球．從中有放回地隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球，記事件A：“第二次取到球的號(hào)碼小于等于2”，事件B：“兩次取到球的號(hào)碼之和為奇數(shù)”，事件C：“兩次取到球的號(hào)碼之積為偶數(shù)”，則（）A．B與C互斥 B．A與C相互獨(dú)立 C．P(A+C（多選）9．（2025?莆田模擬）某校教研會(huì)上，共有3位統(tǒng)考科目（語文、數(shù)學(xué)、外語）教師，2位首選科目（物理、歷史）教師，4位再選科目（化學(xué)、生物、政治、地理）教師進(jìn)行發(fā)言，現(xiàn)用抽簽的方式?jīng)Q定發(fā)言順序，用事件Ai，Bi，?i（1≤i≤9，i∈N）分別表示第i位發(fā)言的是統(tǒng)考科目教師、首選科目教師、再選科目教師，則（）A．P(B2)=2C．P(C9|（多選）10．（2025春?崇川區(qū)校級(jí)月考）甲罐中有5個(gè)紅球，2個(gè)白球和3個(gè)黑球，乙罐中有4個(gè)紅球，3個(gè)白球和3個(gè)黑球，先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐，分別用事件A1，A2和A3表示從甲罐中取出的球是紅球，白球和黑球；再從乙罐中隨機(jī)取出一球，用事件B表示從乙罐中取出的球是紅球，則下列結(jié)論正確的是（）A．P(B．P(C．事件B與事件A1相互獨(dú)立 D．A1，A2，A3是兩兩互斥的事件三．填空題（共3小題）11．（2025春?薛城區(qū)校級(jí)期中）若事件A，B互斥，P(C)=23，P(AC)=115，P(A12．（2025春?深圳校級(jí)期中）已知某地市場(chǎng)上供應(yīng)的一種電子產(chǎn)品中，甲廠產(chǎn)品占80%，乙廠產(chǎn)品占20%，甲廠產(chǎn)品的合格率是75%，乙廠產(chǎn)品的合格率是80%，則從該地市場(chǎng)上買到一個(gè)合格產(chǎn)品的概率是．13．（2025?河北區(qū)一模）第十五屆中國國際航空航天博覽會(huì)在2024年11月12日至17日在廣東珠海舉行．此次航展，觀眾累計(jì)參觀近60萬人次，簽約金額超2800億人民幣．為慶祝這一盛會(huì)的成功舉行，珠海某商場(chǎng)決定在航展期間舉行“購物抽獎(jiǎng)送航?！被顒?dòng)，獎(jiǎng)品為“隱形戰(zhàn)機(jī)殲﹣20S”模型．抽獎(jiǎng)規(guī)則如下：盒中裝有7個(gè)大小相同的小球，其中3個(gè)是紅球，4個(gè)是黃球．每位顧客均有兩次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，每次抽獎(jiǎng)從盒中隨機(jī)取出2球，若取出的球顏色不相同，則沒有中獎(jiǎng)，小球不再放回盒中；若取出的球顏色相同，則中獎(jiǎng)，并將小球放回盒中、某顧客兩次抽獎(jiǎng)都中獎(jiǎng)的概率為；該顧客第一次抽獎(jiǎng)沒有中獎(jiǎng)的條件下，第二次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率為．四．解答題（共2小題）14．（2025?晉中模擬）某學(xué)校有A，B，C三個(gè)學(xué)生餐廳，高一新生王同學(xué)在開學(xué)第一天隨機(jī)選擇一個(gè)餐廳就餐，若前一天在A餐廳就餐，則當(dāng)天還在A餐廳就餐的概率為23，若前一天在B餐廳就餐，則當(dāng)天在A餐廳就餐的概率為12，若前一天在C餐廳就餐，則當(dāng)天在A餐廳就餐的概率為（Ⅰ）求王同學(xué)第二天在A餐廳就餐的概率；（Ⅱ）求王同學(xué)第n天在A餐廳就餐的概率；（Ⅲ）以王同學(xué)在A，B，C餐廳就餐的概率估計(jì)高一新生在A，B，C餐廳就餐的概率，若餐廳當(dāng)天就餐人數(shù)比前一天就餐人數(shù)增加的比例不超過5‰，則稱就餐人數(shù)趨于穩(wěn)定，試判斷A餐廳從第幾天開始就餐人數(shù)趨于穩(wěn)定．15．（2025春?鯉城區(qū)校級(jí)期中）甲、乙兩個(gè)箱子裝有大小及外觀相同的小球，甲箱中有5個(gè)白球和3個(gè)黑球，乙箱中有4個(gè)白球和3個(gè)黑球．（1）若從甲箱中任取2個(gè)小球，求這2個(gè)小球同色的概率；（2）若先從甲箱中任取2個(gè)小球放入乙箱中，然后再從乙箱中任取1個(gè)小球，①求從乙箱中取出的球是白球的概率．②若已知從乙箱中取出的球是白球，求從甲箱中取出的2個(gè)小球恰好是1黑1白的概率．

2024-2025學(xué)年下學(xué)期高二數(shù)學(xué)人教A版（2019）期末必刷?？碱}之條件概率與全概率公式參考答案與試題解析一．選擇題（共7小題）題號(hào)1234567答案DCABDCC二．多選題（共3小題）題號(hào)8910答案BCDACDBD一．選擇題（共7小題）1．（2025?攀枝花模擬）袋子中裝有除顏色外完全相同的2個(gè)白球和2個(gè)黑球，每次從袋子中隨機(jī)摸出1個(gè)球，摸出的球不再放回，已知第一次摸到的是白球，則第二次摸到黑球的概率為（）A．16 B．13 C．12 【考點(diǎn)】求解條件概率．【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】D【分析】根據(jù)條件概率公式求解．【解答】解：設(shè)事件A表示“第一次摸到的是白球”，事件B表示“第二次摸到黑球”，則P（A）=24=12，P所以P（B|A）=P故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了條件概率公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．2．（2025春?廣東校級(jí)期中）下列說法不正確的是（）A．P（AB）＝P（A）P（B|A） B．P（AB）≤P（A） C．P（AB）＝P（A）P（A|B） D．P（AB）≤P（B|A）【考點(diǎn)】求解條件概率．【專題】對(duì)應(yīng)思想；定義法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】C【分析】根據(jù)條件概率公式及概率的性質(zhì)計(jì)算可得．【解答】解：對(duì)于A，由條件概率公式可得P(B|A)=P(AB)P(A)，所以P（AB對(duì)于B，因?yàn)镻（AB）＝P（A）P（B|A）且0≤P（B|A）≤1，所以P（AB）≤P（A），故B正確；對(duì)于C，因?yàn)镻(A|B)=P(AB)P(B)，所以P（AB）＝P（B）P（A|B對(duì)于D，因?yàn)镻（AB）＝P（A）P（B|A）且0＜P（A）≤1，所以P（AB）≤P（B|A），故D正確．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查條件概率公式及概率的性質(zhì)，屬于中檔題．3．（2025?遵義模擬）某次社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)中，甲、乙兩個(gè)班的同學(xué)在同一個(gè)社區(qū)進(jìn)行民意調(diào)查，參加活動(dòng)的甲、乙兩班的人數(shù)之比為1：1，其中甲班中女生占45，乙班中女生占3A．710 B．310 C．1225 【考點(diǎn)】全概率公式．【專題】對(duì)應(yīng)思想；定義法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】A【分析】根據(jù)古典概型相關(guān)知識(shí)可解．【解答】解：已知參加活動(dòng)的甲、乙兩班的人數(shù)之比為1：1，可設(shè)甲班的人數(shù)為a，則乙班人數(shù)為a，又甲班中女生占45，乙班中女生占3則甲班女生有4a5人，乙班女生有則該社區(qū)居民遇到一位進(jìn)行民意調(diào)查的同學(xué)恰好是女生的概率為4a故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查古典概型相關(guān)知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．4．（2025春?龍崗區(qū)校級(jí)期中）某批麥種中，一等麥種占80%，二等麥種占20%等麥種種植后所結(jié)麥含有50粒以上麥粒的概率分別為0.6，0.2，則這批麥種種植后所結(jié)麥穗含有50粒以上麥粒的概率為（）A．0.48 B．0.52 C．0.56 D．0.65【考點(diǎn)】全概率公式．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用全概率公式列式計(jì)算即得．【解答】解：種植一等麥種和二等麥種的事件分別為A1，A2，所結(jié)麥穗含有50粒以上麥粒為事件B，依題意，P（A1）＝0.8，P（A2）＝0.2，P（B|A1）＝0.6，P（B|A2）＝0.2，由全概率公式得，P（B）＝P（BA1）+P（BA2）＝P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）＝0.8×0.6+0.2×0.2＝0.52．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查全概率公式，屬于基礎(chǔ)題．5．（2025春?海南期中）現(xiàn)有兩位游客去四川旅游，他們分別從成都、九寨溝、黃龍、峨眉山、樂山大佛、熊貓基地、都江堰這7個(gè)景點(diǎn)中隨機(jī)選擇1個(gè)景點(diǎn)游玩．記事件A＝“兩位游客中至少有一人選擇九寨溝”，事件B＝“兩位游客選擇的景點(diǎn)不同”，則P（B|A）＝（）A．67 B．613 C．1013 【考點(diǎn)】求解條件概率．【專題】轉(zhuǎn)化思想；定義法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】D【分析】分別求P（A）和P（AB），再利用條件概率公式求值．【解答】解：由已知P(又P(AB)=故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查條件概率，屬于基礎(chǔ)題．6．（2025?皇姑區(qū)校級(jí)一模）已知在A，B，C三個(gè)地區(qū)暴發(fā)了流感，這三個(gè)地區(qū)分別有6%，5%，4%的人患了流感．假設(shè)這三個(gè)地區(qū)人口數(shù)量的比為3：2：1，現(xiàn)從這三個(gè)地區(qū)中任意選取一個(gè)人，則這個(gè)人患流感的概率為（）A．7150 B．31600 C．475 【考點(diǎn)】全概率公式．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】C【分析】利用全概率公式計(jì)算可求概率．【解答】解：設(shè)事件D為這個(gè)人患流感，A1，A2，A3表示這個(gè)人來自A，B，C三個(gè)地區(qū)，這三個(gè)地區(qū)人口數(shù)量的比為3：2：1，P(又P（D|A1）＝6%，P（D|A2）＝5%，P（D|A3）＝4%，故P（D）＝P（A1）?P（D|A1）+P（A2）?P（D|A2）+P（A3）?P（D|A3）=6%×故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查全概率公式，屬于基礎(chǔ)題．7．（2025春?龍巖期中）某中學(xué)體育運(yùn)動(dòng)會(huì)上，甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球項(xiàng)目決賽，采取“三局兩勝制”，即先勝兩局者獲得冠軍．已知甲每局獲勝的概率為13，且比賽沒有平局．記事件A表示“甲獲得冠軍”，事件B表示“比賽進(jìn)行了三局”，則PA．12 B．14 C．15 【考點(diǎn)】求解條件概率．【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】C【分析】求出P(AB)、【解答】解：由題意可知，事件AB所以P(又因?yàn)镻(所以P(故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了條件概率公式，屬于基礎(chǔ)題．二．多選題（共3小題）（多選）8．（2025春?沙坪壩區(qū)校級(jí)期中）在一個(gè)盒子中裝有4個(gè)大小形狀均相同，編號(hào)為1﹣4的小球．從中有放回地隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球，記事件A：“第二次取到球的號(hào)碼小于等于2”，事件B：“兩次取到球的號(hào)碼之和為奇數(shù)”，事件C：“兩次取到球的號(hào)碼之積為偶數(shù)”，則（）A．B與C互斥 B．A與C相互獨(dú)立 C．P(A+C【考點(diǎn)】求解條件概率；互斥事件的概率加法公式；古典概型及其概率計(jì)算公式；相互獨(dú)立事件的概率乘法公式．【專題】轉(zhuǎn)化思想；定義法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】BCD【分析】由題意分別求出事件A，B，C包含的情況，然后得出概率，對(duì)選項(xiàng)逐一判斷即可．【解答】解：由已知有放回的任取兩次共4×4＝16種情況，第二次取到球的號(hào)碼小于等于2，包含（1，1），（2，1），（3，1），（4，1），（1，2），（2，2），（3，2），（4，2），共8種，所以P(兩次取到球的號(hào)碼之和為奇數(shù)，包含（1，2），（1，4），（2，1），（2，3），（3，2），（3，4），（4，3），（4，1），共8種，所以P(兩次取到球的號(hào)碼之積為偶數(shù)，包含（1，2），（1，4），（2，2），（2，3），（2，4），（3，4），（2，1），（4，1），（3，2），（4，2），（4，3），（4，4），共12種，所以P(顯然B∩C≠?，所以B與C不是互斥事件，故A錯(cuò)誤；P(AC)=616=38=P（A）PP（A+C）＝P（A）+P（C）﹣P（A∩C）=12+P(BC)=816故選：BCD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查古典概型，互斥事件，相互獨(dú)立事件，條件概率，屬于中等題．（多選）9．（2025?莆田模擬）某校教研會(huì)上，共有3位統(tǒng)考科目（語文、數(shù)學(xué)、外語）教師，2位首選科目（物理、歷史）教師，4位再選科目（化學(xué)、生物、政治、地理）教師進(jìn)行發(fā)言，現(xiàn)用抽簽的方式?jīng)Q定發(fā)言順序，用事件Ai，Bi，?i（1≤i≤9，i∈N）分別表示第i位發(fā)言的是統(tǒng)考科目教師、首選科目教師、再選科目教師，則（）A．P(B2)=2C．P(C9|【考點(diǎn)】求解條件概率．【專題】對(duì)應(yīng)思想；定義法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】ACD【分析】利用古典概型概率公式與條件概率公式，結(jié)合獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式即可求解．【解答】解：用事件Ai，Bi，?i（1≤i≤9，i∈N）分別表示第i位發(fā)言的是統(tǒng)考科目教師、首選科目教師、再選科目教師，對(duì)于A，P(B2)=7對(duì)于B，P(A1B2對(duì)于C，P(B2C9)=2對(duì)于D，因?yàn)镻(C2所以P(C2故選：ACD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查條件概率相關(guān)知識(shí)，屬于中檔題．（多選）10．（2025春?崇川區(qū)校級(jí)月考）甲罐中有5個(gè)紅球，2個(gè)白球和3個(gè)黑球，乙罐中有4個(gè)紅球，3個(gè)白球和3個(gè)黑球，先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐，分別用事件A1，A2和A3表示從甲罐中取出的球是紅球，白球和黑球；再從乙罐中隨機(jī)取出一球，用事件B表示從乙罐中取出的球是紅球，則下列結(jié)論正確的是（）A．P(B．P(C．事件B與事件A1相互獨(dú)立 D．A1，A2，A3是兩兩互斥的事件【考點(diǎn)】條件概率；全概率公式；互斥事件與對(duì)立事件；相互獨(dú)立事件和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】BD【分析】根據(jù)條件概率公式計(jì)算可知B正確；根據(jù)全概率公式計(jì)算可知A不正確；根據(jù)計(jì)算可知P（BA1）≠P（A1）P（B），故C不正確；根據(jù)互斥事件的定義可知D正確．【解答】解：依題意得P(A1)=5則P(B|P(B|所以P（B）＝P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）+P（A3）P（B|A3）=12×因?yàn)镻(BA1)=5×510×11=522，P(A1)P所以事件B與事件A1不相互獨(dú)立，故C不正確；根據(jù)互斥事件的定義可知A1，A2，A3是兩兩互斥的事件，故D正確．故選：BD．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查條件概率公式，屬于基礎(chǔ)題．三．填空題（共3小題）11．（2025春?薛城區(qū)校級(jí)期中）若事件A，B互斥，P(C)=23，P(AC)=115，P(A【考點(diǎn)】求解條件概率．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】710【分析】根據(jù)互斥事件的性質(zhì)，結(jié)合條件概率的計(jì)算公式可得P(AC)+【解答】解：因?yàn)镻(C)=由于事件A，B互斥，P(A∪所以P(所以P(故答案為：710【點(diǎn)評(píng)】本題考查條件概率，屬于中等題．12．（2025春?深圳校級(jí)期中）已知某地市場(chǎng)上供應(yīng)的一種電子產(chǎn)品中，甲廠產(chǎn)品占80%，乙廠產(chǎn)品占20%，甲廠產(chǎn)品的合格率是75%，乙廠產(chǎn)品的合格率是80%，則從該地市場(chǎng)上買到一個(gè)合格產(chǎn)品的概率是0.76．【考點(diǎn)】條件概率．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】0.76．【分析】利用全概率公式求解從該地市場(chǎng)上買到一個(gè)合格產(chǎn)品的概率，需要先確定不同廠家產(chǎn)品的概率以及在各廠家產(chǎn)品條件下買到合格產(chǎn)品的概率，再根據(jù)全概率公式計(jì)算最終結(jié)果．【解答】解：設(shè)“買到的產(chǎn)品是甲廠產(chǎn)品”為事件A，“買到的產(chǎn)品是乙廠產(chǎn)品”為事件B，所以P（A）＝0.8，P（B）＝0.2，記“從該地市場(chǎng)上買到一個(gè)合格產(chǎn)品”為事件C，因?yàn)榧讖S產(chǎn)品的合格率是75%，所以在買到甲廠產(chǎn)品的條件下，產(chǎn)品合格的概率P（C|A）＝0.75，又因?yàn)橐覐S產(chǎn)品的合格率是80%，所以在買到乙廠產(chǎn)品的條件下，產(chǎn)品合格的概率P（C|B）＝0.8，根據(jù)全概率公式P（C）＝P（AC）+P（BC）＝P（A）P（C|A）+P（B）P（C|B），所以P（C）＝0.8×0.75+0.2×0.8＝0.6+0.16＝0.76．故答案為：0.76．【點(diǎn)評(píng)】本題考查全概率公式，屬于基礎(chǔ)題．13．（2025?河北區(qū)一模）第十五屆中國國際航空航天博覽會(huì)在2024年11月12日至17日在廣東珠海舉行．此次航展，觀眾累計(jì)參觀近60萬人次，簽約金額超2800億人民幣．為慶祝這一盛會(huì)的成功舉行，珠海某商場(chǎng)決定在航展期間舉行“購物抽獎(jiǎng)送航模”活動(dòng)，獎(jiǎng)品為“隱形戰(zhàn)機(jī)殲﹣20S”模型．抽獎(jiǎng)規(guī)則如下：盒中裝有7個(gè)大小相同的小球，其中3個(gè)是紅球，4個(gè)是黃球．每位顧客均有兩次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，每次抽獎(jiǎng)從盒中隨機(jī)取出2球，若取出的球顏色不相同，則沒有中獎(jiǎng)，小球不再放回盒中；若取出的球顏色相同，則中獎(jiǎng)，并將小球放回盒中、某顧客兩次抽獎(jiǎng)都中獎(jiǎng)的概率為949；該顧客第一次抽獎(jiǎng)沒有中獎(jiǎng)的條件下，第二次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率為25【考點(diǎn)】條件概率；古典概型及其概率計(jì)算公式．【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】949；2【分析】利用古典概型的概率公式和獨(dú)立事件的概率公式求解第一空；利用條件概率公式求解第二空．【解答】解：由題意可知，某顧客兩次抽獎(jiǎng)都中獎(jiǎng)的概率為P=C設(shè)事件A表示“顧客第一次抽獎(jiǎng)沒有中獎(jiǎng)”，事件B表示“第二次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)”，則P（A）=C31?C41所以P（B|A）=P即該顧客第一次抽獎(jiǎng)沒有中獎(jiǎng)的條件下，第二次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率為25故答案為：949；2【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了古典概型的概率公式，考查了條件概率公式，屬于中檔題．四．解答題（共2小題）14．（2025?晉中模擬）某學(xué)校有A，B，C三個(gè)學(xué)生餐廳，高一新生王同學(xué)在開學(xué)第一天隨機(jī)選擇一個(gè)餐廳就餐，若前一天在A餐廳就餐，則當(dāng)天還在A餐廳就餐的概率為23，若前一天在B餐廳就餐，則當(dāng)天在A餐廳就餐的概率為12，若前一天在C餐廳就餐，則當(dāng)天在A餐廳就餐的概率為（Ⅰ）求王同學(xué)第二天在A餐廳就餐的概率；（Ⅱ）求王同學(xué)第n天在A餐廳就餐的概率；（Ⅲ）以王同學(xué)在A，B，C餐廳就餐的概率估計(jì)高一新生在A，B，C餐廳就餐的概率，若餐廳當(dāng)天就餐人數(shù)比前一天就餐人數(shù)增加的比例不超過5‰，則稱就餐人數(shù)趨于穩(wěn)定，試判斷A餐廳從第幾天開始就餐人數(shù)趨于穩(wěn)定．【考點(diǎn)】全概率公式．【專題】對(duì)應(yīng)思想；定義法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】（Ⅰ）59（Ⅱ）P(（Ⅲ）A餐廳從第5天開始就餐人數(shù)趨于穩(wěn)定．【分析】（Ⅰ）第i天去A，B，C餐廳就餐的概率分別為P（Ai），P（Bi），P（?i），i∈N*．由全概率公式即可求解；（Ⅱ）由P（An）＝P（An﹣1An∪Bn﹣1An∪Cn﹣1An），結(jié)合全概率公式得到P(（Ⅲ）由（2）求得P(A3)=16【解答】解：（Ⅰ）記第i天去A，B，C餐廳就餐的概率分別為P（Ai），P（Bi），P（?i），i∈N*，由全概率公式可得：P（A2）＝P（A1A2∪B1A2∪C1A2）＝P（A1A2）+P（B1A2）+P（C1A2）＝P（A1）P（A2|A1）+P（B1）P（A2|B1）+P（C1）P（A2|C1）=1所以王同學(xué)第二天在A餐廳就?的概率為59（Ⅱ）由題可知P（Ai）+P（Bi）+P（?i）＝1，當(dāng)n≥2時(shí)，P（An）＝P（An﹣1An∪Bn﹣1An∪Cn﹣1An）＝P（An﹣1An）+P（Bn﹣1An）+P（Cn﹣1An）＝P（An﹣1）P（An|An﹣1）+P（Bn﹣1）P（An|Bn﹣1）+P（Cn﹣1）P（An|Cn﹣1）=2=2所以P(又P(所以{P(An)-所以王同學(xué)第n天在A餐廳就餐的概率為P(（Ⅲ）由（Ⅱ）的計(jì)算可知P(A1)=13，P(P(A4P(A5所以A餐廳從第5天開始就餐人數(shù)趨于穩(wěn)定．【點(diǎn)評(píng)】本題考查全概率公式以及等比數(shù)列相關(guān)知識(shí)，屬于中檔題．15．（2025春?鯉城區(qū)校級(jí)期中）甲、乙兩個(gè)箱子裝有大小及外觀相同的小球，甲箱中有5個(gè)白球和3個(gè)黑球，乙箱中有4個(gè)白球和3個(gè)黑球．（1）若從甲箱中任取2個(gè)小球，求這2個(gè)小球同色的概率；（2）若先從甲箱中任取2個(gè)小球放入乙箱中，然后再從乙箱中任取1個(gè)小球，①求從乙箱中取出的球是白球的概率．②若已知從乙箱中取出的球是白球，求從甲箱中取出的2個(gè)小球恰好是1黑1白的概率．【考點(diǎn)】全概率公式；古典概型及其概率計(jì)算公式．【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】（1）P=（2）①712②2549【分析】（1）結(jié)合古典概率公式即可求解；（2）①結(jié)合全概率公式即可求解；②結(jié)合貝葉斯公式即可求解．【解答】解：（1）從甲箱中任取2個(gè)小球的事件數(shù)為C82=28，這2所以這2個(gè)小球同色的概率為P=（2）①設(shè)事件A為“從乙箱中任取1個(gè)小球，取出的這個(gè)小球是白球”，事件B1為“從甲箱中取出的2個(gè)小球都是白球”，事件B2為“從甲箱中取出的2個(gè)小球?yàn)?個(gè)白球1個(gè)黑球”，事件B3為“從甲箱中取出的2個(gè)小球都是黑球”，則事件B1，B2，B3彼此互斥，P(B1)=C52C82P(A|B1)=23，P（A所以P（A）＝P（B1）P（A|B1）+P（B2）P（A|B2）+P（B3）P（A|B3）=5所以取出的這個(gè)小球是白球的概率為712②從乙箱中取出的球是白球，則從甲箱中取出的2個(gè)小球恰好是1黑1白的概率P（B2|A）=P【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了古典概率公式，全概率公式及貝葉斯公式的應(yīng)用，屬于中檔題．

考點(diǎn)卡片1．互斥事件與對(duì)立事件【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．互斥事件（1）定義：一次試驗(yàn)中，事件A和事件B不能同時(shí)發(fā)生，則這兩個(gè)不能同時(shí)發(fā)生的事件叫做互斥事件．如果A1，A2，…，An中任何兩個(gè)都不可能同時(shí)發(fā)生，那么就說事件A1，A2，…An彼此互斥．（2）互斥事件的概率公式：在一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中，如果隨機(jī)事件A和B是互斥事件，則有：P（A+B）＝P（A）+P（B）注：上式使用前提是事件A與B互斥．推廣：一般地，如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么事件發(fā)生（即A1，A2，…，An中有一個(gè)發(fā)生）的概率等于這n個(gè)事件分別發(fā)生的概率之和，即：P（A1+A2+…+An）＝P（A1）+P（A2）+…+P（An）2．對(duì)立事件（1）定義：一次試驗(yàn)中，兩個(gè)事件中必有一個(gè)發(fā)生的互斥事件叫做對(duì)立事件，事件A的對(duì)立事件記做A．注：①兩個(gè)對(duì)立事件必是互斥事件，但兩個(gè)互斥事件不一定是對(duì)立事件；②在一次試驗(yàn)中，事件A與A只發(fā)生其中之一，并且必然發(fā)生其中之一．（2）對(duì)立事件的概率公式：P（A）＝1﹣P（A）3．互斥事件與對(duì)立事件的區(qū)別和聯(lián)系互斥事件是不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件，而對(duì)立事件除要求這兩個(gè)事件不同時(shí)發(fā)生外，還要求二者之一必須有一個(gè)發(fā)生．因此，對(duì)立事件是互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必是對(duì)立事件，即“互斥”是“對(duì)立”的必要但不充分條件，而“對(duì)立”則是“互斥”的充分但不必要條件．【命題方向】1．考查對(duì)知識(shí)點(diǎn)概念的掌握例1：從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取2個(gè)球，那么互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件是（）A．“至少有一個(gè)紅球”與“都是黑球”B．“至少有一個(gè)黑球”與“都是黑球”C．“至少有一個(gè)黑球”與“至少有1個(gè)紅球”D．“恰有1個(gè)黑球”與“恰有2個(gè)黑球”分析：列舉每個(gè)事件所包含的基本事件，結(jié)合互斥事件和對(duì)立事件的定義，依次驗(yàn)證即可解答：對(duì)于A：事件：“至少有一個(gè)紅球”與事件：“都是黑球”，這兩個(gè)事件是對(duì)立事件，∴A不正確對(duì)于B：事件：“至少有一個(gè)黑球”與事件：“都是黑球”可以同時(shí)發(fā)生，如：一個(gè)紅球一個(gè)黑球，∴B不正確對(duì)于C：事件：“至少有一個(gè)黑球”與事件：“至少有1個(gè)紅球”可以同時(shí)發(fā)生，如：一個(gè)紅球一個(gè)黑球，∴C不正確對(duì)于D：事件：“恰有一個(gè)黑球”與“恰有2個(gè)黑球”不能同時(shí)發(fā)生，∴這兩個(gè)事件是互斥事件，又由從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取2個(gè)球，得到所有事件為“恰有1個(gè)黑球”與“恰有2個(gè)黑球”以及“恰有2個(gè)紅球”三種情況，故這兩個(gè)事件是不是對(duì)立事件，∴D正確故選D點(diǎn)評(píng)：本題考查互斥事件與對(duì)立事件．首先要求理解互斥事件和對(duì)立事件的定義，理解互斥事件與對(duì)立事件的聯(lián)系與區(qū)別．同時(shí)要能夠準(zhǔn)確列舉某一事件所包含的基本事件．屬簡單題．例2：下列說法正確的是（）A．互斥事件一定是對(duì)立事件，對(duì)立事件不一定是互斥事件B．互斥事件不一定是對(duì)立事件，對(duì)立事件一定是互斥事件C．事件A，B中至少有一個(gè)發(fā)生的概率一定比A，B中恰有一個(gè)發(fā)生的概率大D．事件A，B同時(shí)發(fā)生的概率一定比A，B中恰有一個(gè)發(fā)生的概率?。治觯焊鶕?jù)對(duì)立事件和互斥事件的概率，得到對(duì)立事件一定是互斥事件，兩個(gè)事件是互斥事件不一定是對(duì)立事件，這兩者之間的關(guān)系是一個(gè)包含關(guān)系．解答：根據(jù)對(duì)立事件和互斥事件的概念，得到對(duì)立事件一定是互斥事件，兩個(gè)事件是互斥事件不一定是對(duì)立事件，故選B．點(diǎn)評(píng)：本題考查互斥事件與對(duì)立事件之間的關(guān)系，這是一個(gè)概念辨析問題，這種題目不用運(yùn)算，只要理解兩個(gè)事件之間的關(guān)系就可以選出正確答案．2．互斥事件概率公式的應(yīng)用例：甲乙兩人下棋比賽，兩人下成和棋的概率是12，乙獲勝的概率是13，則乙不輸?shù)母怕适欠治觯河洝皟扇讼鲁珊推濉睘槭录嗀，“乙獲勝”為事件B，則A，B互斥，且P(A)=12，P(B)=13，則乙不輸即為事件A+B，由互斥事件的概率公式可得，P（A+B解答：甲乙兩人下棋比賽，記“兩人下成和棋”為事件A，“乙獲勝”為事件B，則A，B互斥，則P(A)=則乙不輸即為事件A+B，由互斥事件的概率公式可得，P（A+B）＝P（A）+P（B）=故答案為：5點(diǎn)評(píng)：本題主要考查互斥事件的關(guān)系，不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件叫做互斥事件，也叫互不相容事件，考查了互斥事件的概率的加法公式在概率計(jì)算中的應(yīng)用．3．對(duì)立事件概率公式的應(yīng)用例：若事件A與B是互為對(duì)立事件，且P（A）＝0.4，則P（B）＝（）A.0B.0.4C.0.6D.1分析：根據(jù)對(duì)立事件的概率公式p（A）＝1﹣P（A），解得即可．解答：因?yàn)閷?duì)立事件的概率公式p（A）＝1﹣P（A）＝0.6，故選C．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)立事件的定義，屬于基礎(chǔ)題．2．互斥事件的概率加法公式【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】互斥事件的概率加法公式：在一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中，如果隨機(jī)事件A和B是互斥事件，則有：P（A∪B）＝P（A）+P（B）注：上式使用前提是事件A與B互斥．推廣：一般地，如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么事件發(fā)生（即A1，A2，…，An中有一個(gè)發(fā)生）的概率等于這n個(gè)事件分別發(fā)生的概率之和，即：P（A1+A2+…+An）＝P（A1）+P（A2）+…+P（An）3．古典概型及其概率計(jì)算公式【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．定義：如果一個(gè)試驗(yàn)具有下列特征：（1）有限性：每次試驗(yàn)可能出現(xiàn)的結(jié)果（即基本事件）只有有限個(gè)；（2）等可能性：每次試驗(yàn)中，各基本事件的發(fā)生都是等可能的．則稱這種隨機(jī)試驗(yàn)的概率模型為古典概型．*古典概型由于滿足基本事件的有限性和基本事件發(fā)生的等可能性這兩個(gè)重要特征，所以求事件的概率就可以不通過大量的重復(fù)試驗(yàn)，而只要通過對(duì)一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果進(jìn)行分析和計(jì)算即可．2．古典概率的計(jì)算公式如果一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個(gè)，而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，那么每一個(gè)基本事件的概率都是1n如果某個(gè)事件A包含的結(jié)果有m個(gè)，那么事件A的概率為P（A）=m【解題方法點(diǎn)撥】1．注意要點(diǎn)：解決古典概型的問題的關(guān)鍵是：分清基本事件個(gè)數(shù)n與事件A中所包含的基本事件數(shù)．因此要注意清楚以下三個(gè)方面：（1）本試驗(yàn)是否具有等可能性；（2）本試驗(yàn)的基本事件有多少個(gè)；（3）事件A是什么．2．解題實(shí)現(xiàn)步驟：（1）仔細(xì)閱讀題目，弄清題目的背景材料，加深理解題意；（2）判斷本試驗(yàn)的結(jié)果是否為等可能事件，設(shè)出所求事件A；（3）分別求出基本事件的個(gè)數(shù)n與所求事件A中所包含的基本事件個(gè)數(shù)m；（4）利用公式P（A）=mn求出事件3．解題方法技巧：（1）利用對(duì)立事件、加法公式求古典概型的概率（2）利用分析法求解古典概型．4．相互獨(dú)立事件和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．相互獨(dú)立事件：事件A（或B）是否發(fā)生，對(duì)事件B（或A）發(fā)生的概率沒有影響，這樣兩個(gè)事件叫做相互獨(dú)立事件．2．相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式：將事件A和事件B同時(shí)發(fā)生的事件即為A?B，若兩個(gè)相互獨(dú)立事件A、B同時(shí)發(fā)生，則事件A?B發(fā)生的概率為：P（A?B）＝P（A）?P（B）推廣：一般地，如果事件A1，A2，…，An相互獨(dú)立，那么這n個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率等于每個(gè)事件發(fā)生的概率之積，即：P（A1?A2…An）＝P（A1）?P（A2）…P（An）3．區(qū)分互斥事件和相互獨(dú)立事件是兩個(gè)不同的概念：（1）互斥事件：兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生；（2）相互獨(dú)立事件：一個(gè)事件的發(fā)生與否對(duì)另一個(gè)事件發(fā)生的概率沒有影響．5．相互獨(dú)立事件的概率乘法公式【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】﹣對(duì)于相互獨(dú)立事件A和B，P(【解題方法點(diǎn)撥】﹣應(yīng)用乘法公式計(jì)算