PAGE6西南交通大學(xué)第二屆“新秀杯”數(shù)學(xué)建模競賽2011年題目：A（填寫A、B或C題）參賽隊員1參賽隊員2參賽隊員3姓名柳寧王碩朱杰學(xué)號201111742011372720112403學(xué)院機械工程數(shù)學(xué)學(xué)院信息科學(xué)與技術(shù)專業(yè)車輛工程應(yīng)用數(shù)學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)電話182156033831821560338918215603391Email599021610@qq.COM381011928@1165192979@西南交通大學(xué)教務(wù)處西南交通大學(xué)實驗室及設(shè)備管理處西南交通大學(xué)數(shù)學(xué)建模創(chuàng)新實踐基地個人合理投資組合的預(yù)測模型摘要本文建立了個人合理投資組合的預(yù)測模型，從總體上就中國近來的經(jīng)濟運行各方面的數(shù)據(jù)，對現(xiàn)今房價和存貸款利率的走勢及最佳投資方案作出了合理的討論，運用多元線性回歸方程擬合所得數(shù)據(jù)，建立了計量經(jīng)濟模型，對房價及存貸款利率的走勢作出了較為準確而具體的預(yù)測。，并找出一個合理的投資組合。在經(jīng)濟周期變化前提下，對房價和存貸款利率的變化趨勢進行預(yù)測。最后，對模型做出分析、評價和改進。對于問題一本文建立了模型Ⅰ數(shù)據(jù)計量經(jīng)濟模型。先根據(jù)2010年18個地區(qū)的和房價有關(guān)的6個方面的數(shù)據(jù)①，確定房價是如何計算產(chǎn)生的，利用EViews5計量經(jīng)濟學(xué)軟件【1】處理多元線性回歸方程[2]最終擬和、分析得出，房價主要是由土地購置費、人口密度、人均可支配收入決定的。再次擬合，得出了房價與這三個因素之間的三元一次關(guān)系式。然后，根據(jù)土地購置費、人口密度、人均可支配收入這些因素近期的變化，通過Excel進行擬合，預(yù)測未來土地購置費、人口密度、人均可支配收入的走勢，并通過這些結(jié)果預(yù)測出未來房價的走勢。對于問題二本文建立了模型Ⅱ?qū)哟畏治鼋Y(jié)構(gòu)模型。先根據(jù)小王現(xiàn)有經(jīng)濟、社會背景，對三年后購房資金來源分為三部分：每月工資收入、資金投資及收入、公積金貸款。主要是對現(xiàn)有資金進行合理投資組合，根據(jù)現(xiàn)有數(shù)據(jù)求出銀行存款、保險、股票投資的權(quán)重系數(shù)[3]，使得在風險較小的情況下，得到資金利益最大化，此時即可得出合理投資方案。關(guān)鍵字：房價存貸款利率線性回歸EViews5投資組合權(quán)重造價，房屋的造價直接影響了商品住房的成本，因此，理論上該變量和商品住房的價格呈正相關(guān)。（5）.土地購置費（X5）。土地資源的稀缺性導(dǎo)致土地購置費不斷上漲，而土地購置費在相當大的程度上影響了房屋的售價。隨著開發(fā)的商品房不斷增加，土地也越來越稀缺，房屋價格也會隨著上漲，兩者存在正相關(guān)性。（6）.地區(qū)變量（X6）。我國東部沿海城市和中西部城市在經(jīng)濟、社會觀念和政策等方面存在較大差別，前者房價應(yīng)明顯高于后者。本文以地區(qū)數(shù)據(jù)為樣本，分析在全國范圍內(nèi)影響房價的因素，所以該指標代表的是宏觀區(qū)位因素。該變量為虛擬變量，中西部取0，東部沿海取1(7).隨機誤差項（u）。對房價的影響因素還有很多，這里就把其他的影響因素納入隨機誤差項u。根據(jù)以上分析，設(shè)定計量經(jīng)濟模型如下：Yi=C+++++++u其中，Y為各地區(qū)的商品住房平均價格（元/平方米）；X1為地區(qū)人均GDP（元）；X2為人均可支配收入（元）；X3為人口密度（人/平方公里）；X4為房屋造價（元/平方米）；X5為土地購置費（元/平方米）；X6為虛擬變量，中西部取0，東部沿海取1；u為隨機誤差項。3、數(shù)據(jù)收集本文獲取了我國18個地區(qū)在2010年平均一季度的數(shù)據(jù)如表1所示。表1：我國18個地區(qū)在2010年平均一季度的數(shù)據(jù)4、模型的估計與檢驗利用EViews5計量經(jīng)濟學(xué)軟件對模型進行估計，結(jié)果如表2表2回歸方程為：Y=-8711.29+0.007X1+0.88X2+4.08X3+(-0.86X4)+1.81X5+362.72X6T統(tǒng)計量(0.094776)(4.061206)(2.566391)(-0.959852)(2.504818)(0.37944)P值(0.9262)(0.0019)(0.0262)(0.3578)(0.0293)(0.7116)對于給定的=0.05，對方程中各個變量的T統(tǒng)計量和P值進行檢驗，可以看出X1、X4、X6的P值超出了給定的允許誤差范圍，說明在檢驗中不能拒絕原假設(shè)H0：=0，也就是說地區(qū)人均GDP（X1）、房屋造價（X4）、地區(qū)變量（X6）對商品房的價格的影響很小，可以忽略。從模型中去掉以上三個變量，再進行方程的擬合，結(jié)果如表3。表3回歸方程為：Y=-9762.398+0.872711X2+3.397667X3+1.541341X5T統(tǒng)計量(9.021021)(5.047646)(2.481374)P值(0)(0.0002)(0.0264)對于給定的=0.05，對方程中各個變量的T統(tǒng)計量和P值進行檢驗，所有變量都通過檢驗，再對模型進行多重共線性檢驗、異方差檢驗、自相關(guān)性檢驗，都通過檢驗。方的擬合優(yōu)度R2=0.952386，修正后的擬合優(yōu)度R2=0.942183，從數(shù)據(jù)上可以說明解釋變量對被解釋變量的擬合很好，可信性很高。而且人均可支配收入（X2）、人口密度（X3）、土地購置費（X5）前的系數(shù)都為正數(shù)，說明三個變量與房屋價格呈現(xiàn)出正相關(guān)的關(guān)系，這與我們理論得出的結(jié)論相符，也符合經(jīng)濟意義。5、相關(guān)數(shù)據(jù)的模擬與求解為簡化運算，特將時間化為數(shù)值，其中2000年為元年，1個月為年。人均可支配收入（X2）模擬與求解：表4各年人均可支配收入（X2）年份代年份（T）人均可支配收入（X2）2000062802001168602002277032003384722004494222005510493200661175920077137862008815781200991717520101019109模擬與求解如下圖圖1即人均可支配收入X2=84.445T2+451.95T+6315.6(2)土地購置費（X5）模擬與求解表5土地購置費（X5）年份代年份（T）土地購置費（X5）元/m220033195120044208220055226420066230020077232420088242520099252520101026372011112798模擬與求解如下圖圖2即土地購置費X5=0.961T2+81.545T+1743(3)人口密度(X3)模擬與求解由于中國人口分別很不均勻，所以，為了更好得反映實際情況，在此，只挑選了十多個東北表6東部大城市人口密度(X3)年份代年份（T）人口密度人/平方公里20101061020099603200885992007759620066592200555892004458620033582200225802001157720000574模擬與求解如下圖圖3即人口密度X3=0.1177T2+2.2319T+574.345、最終模擬結(jié)果：由4中結(jié)果知：房價Y=-9762.398+0.872711X2+3.397667X3+1.541341X5=-9762.398+0.872711（84.445T2+451.95T+6315.6）+3.397667（0.1177T2+2.2319T+574.34）+1.541341（0.961T2+81.545T+1743）=75.6T2+527.7T+387.1將數(shù)據(jù)輸入excel進行計算，得出了如下結(jié)果：表6房價的擬合與預(yù)測代年份T年份房價Y(=75.6T2+527.7T+387.1)320032650.6420043707.5520054915.6620066274.9720077785.4820089447.1920091126010201013224.111201115339.412201217605.913201320023.614201422592.515201525312.616201628183.9圖4結(jié)論：由圖可知，近期房價呈增長趨勢，并可預(yù)測近三年房價分別為15000、17000、2000元/平方米，從以上14組數(shù)據(jù)可以判斷，預(yù)測結(jié)果基本符合實際情況。但要注意的是：①由于本模型多采用東部大城市的數(shù)據(jù)，所以此結(jié)果具有鮮明的地域特點，更適用于東部大城市房價的預(yù)測。②由于沒有考慮政府的宏觀調(diào)控，所以實際增長速度可能會有所放緩；③由于考慮因素有限，所以此模型只對近期房價走勢預(yù)測有效。6、存貸款利率的變化趨勢存貸款利率的變化是經(jīng)濟周期變化的體現(xiàn)，所以同經(jīng)濟周期變化的周期性一樣，存貸款利率的變化也具有周期性。下表為近年來利率調(diào)整的詳細數(shù)據(jù)。表7近年存貸款利率的變化表7年份.月份代年份

6月以內(nèi)一年3至5年1至3年5年以上2.022.175.045.315.495.585.764.14.835.225.585.755.856.126.046.335.405.856.036.126.3906.08

6.665.586.126.306.486.8407.03

7.255.676.396.576.757.117.057.425.586.576.756.937.007.077.586.036.847.027.207.387.087.666.217.027.297.387.567.097.756.487.297.477.657.83

7.128.006.57

7.477.567.747.83

8.098.756.126.937.027.297.478.18.836.036.666.777.027.208.118.925.045.585.675.946.128.129.004.865.315.405.765.9410.110.835.105.565.605.966.1410.1211.005.355.815.856.226.4011.0211.175.606.066.106.456.60活期存款三個月半年一年二年三年五年0.721.711.891.982.252.252.790.721.712.072.252.703.243.600.721.712.072.252.703.243.600.721.802.352.523.063.694.140.721.892.432.973.333.964.410.722.072.613.063.694.414.950.812.342.883.333.964.685.220.812.613.153.604.234.955.490.812.883.423.784.505.225.760.723.333.784.144.685.405.850.723.153.513.874.415.135.580.722.883.243.604.144.775.130.361.982.252.523.063.603.870.361.711.982.252.973.333.600.412.202.402.653.454.675.050.502.853.053.254.154.755.250.503.103.303.504.405.005.50根據(jù)上表數(shù)據(jù)，用excel得出下圖：上圖顯示出波谷出現(xiàn)在T=2、6、10處；波峰出現(xiàn)在T=4、8、12處所以由上圖顯然可知T=4由此可知，存貸款利率的變化趨勢為2010年利率最低，2011及2012年利率一直保持上升趨勢，到2012年到達波峰，然后再次降低。二、問題二的分析與求解三年后購房，資金來源可分為三部分：每月工資收入、資金投資及收入、公積金貸款。每月3000元收入可活期存入銀行，以備家庭不時之需；對現(xiàn)有資金80000元進行合理投資組合，建立模型Ⅱ公積金貸款彌補購房資金缺口模型Ⅱ?qū)哟畏治鼋Y(jié)構(gòu)模型（1）建立模型目標層目標層標準層方案層最優(yōu)投資方案回報率投資風險銀行存款股票投資保險投資（2）在假設(shè)的基礎(chǔ)上，先用EXCEL把股票和保險投資的信息放在一起，對案例重新標號1—24。根據(jù)所給的數(shù)據(jù)進行處理，通過EXCEL得到各個投資案例的回報率結(jié)果如下：兩種投資的平均收益率的總和如下表：名稱存款保險投資股票投資回報率總和3.615937.45831599平均收益率0.0560.099040.1864579根據(jù)大量數(shù)據(jù)的原則把投資沒有的得到回報的（回報率為負數(shù)的）概率作為投資風險的權(quán)重。投資保險的回報率為負數(shù)的概率：P1=0.2投資股票的回報率為負數(shù)的概率：P2=0.23根據(jù)投資回報率為負數(shù)的概率可以推測出在樣本空間里方差的比值為0.23／0.2=1.1.銀行存款的風險最小得到合理的投資風險權(quán)值。標準成對內(nèi)標準層的對比較矩陣為A=（3）計算權(quán)向量比作一致性檢驗對矩陣的秩為1，A的唯一解為N=2.一致性的檢驗指標是，說明了比較矩陣為一致陣。解得權(quán)重向量是：（4）計算組合權(quán)向量B1是方案層對標準層回報率的對比較矩陣：B2是方案層對標準層投資風險的對比矩陣：對比較陣B1、B2的秩為1，B1、B2的唯一解為N=3。一致性的檢驗指標是S,說明了對比較陣為一致陣。方案層的三種方案P1、P2、P3對回報率的權(quán)重：方案層的三種方案P1、P2、P3對風險率的權(quán)重：模型的解法與結(jié)果根據(jù)層次分析模型三種方案得到組合的權(quán)重：方案為：銀行存款的權(quán)重：P1=0.1588，投資保險的權(quán)重：P2=0.2980，投資股票的權(quán)重：P3=0.5432第一年：銀行存款的投資總額為80000*0.1588=12704元，得到的最大回報為2089.8元；投資保險的總額是80000*0.2980=23840元，得到的最大回報為6913.6元；投資股票的總額為80000*0.5432=43456元，得到的最大回報為23705元。三種總投資80000元，得到32708.7元。第二年銀行存款的投資總額為112708*0.1588=17898元，得到的最大回報為2944元；投資保險的總額是112708*0.2980=33587元，得到的最大回報為9740元；投資股票的總額為112708*0.5432=61223元，得到的最大回報為33397元。三種總投資112708元，得到46081元。第三年銀行存款的投資總額為158790*0.1588=25216元，得到的最大回報為4148元；投資保險的總額是158790*0.2980=47319元，得到的最大回報為17322元；投資股票的總額為158790*0.5432=86255元，得到的最大回報為47052元。三種總投資158790元，得到64922元。以此投資組合，三年后資金為223713.3元。二每月活期存款利息可不計，共得3000*12*3=108000元三已知房價400000元，再利用公積金貸款100000元得出投資方案：①將80000元按銀行存款的權(quán)重：P1=0.1588，投資保險的權(quán)重：P2=0.2980，投資股票的權(quán)重：P3=0.5432進行連續(xù)三年的投資；②將每月的300