案例十三——化整為零之重疊保留法內(nèi)容概要案例設(shè)置目的相關(guān)基礎(chǔ)理論情境任務(wù)及步驟原理初探實(shí)際信號濾波測試思考題總結(jié)報告要求案例設(shè)置目的通過實(shí)驗(yàn)理解大量數(shù)據(jù)處理給平臺帶來的影響

；理解重疊保留法實(shí)現(xiàn)大數(shù)據(jù)線性卷積的原理與方法；對重疊保留法的特點(diǎn)進(jìn)行更深刻的認(rèn)識；進(jìn)一步認(rèn)識線性卷積在工程實(shí)踐中的實(shí)現(xiàn)思路。相關(guān)基礎(chǔ)理論對大數(shù)據(jù)進(jìn)行濾波，常用的有重疊相加法（overlap-add）和重疊保留法（overlap-save）兩種處理方法。下面將討論重疊保留法的原理與實(shí)現(xiàn)，還是通過一個例子討論該方法的原理。設(shè)輸入信號x(n)是一個Ls=10點(diǎn)長的序列，M階FIR系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)h(n)是一M+1=3點(diǎn)長序列。將x(n)分成2段，分別記為x0(n)和x1(n)，與重疊相加法不同，這里分段時要求后一段x1(n)和與前一段x0(n)重疊M=2點(diǎn)，即x0(n)={x(0),x(1),x(2),x(3),x(4)}，x1(n)={x(3),x(4),x(5),x(6),x(7),x(8),x(9)}x0(n)這一段也可以看成是與x

1(n)

重疊了M=2點(diǎn)(x

1(n)為全零序列)的結(jié)果，即x0(n)={0,0,x(0),x(1),x(2),x(3),x(4)}，這樣表示后x0(n)成了自變量n取值區(qū)間在

2～4的7點(diǎn)長序列。這時綜合x0(n)和x1(n)來看，每段短序列每次都從原序列x(n)中取L=5個新的樣點(diǎn)。若分別直接計(jì)算x0(n)、x1(n)與h(n)的

線性卷積，考慮到線性卷積的結(jié)果本身會x0(n)或x1(n)長M點(diǎn)，再加上x(n)分段過程中重疊的M點(diǎn)，因此

相鄰兩段的輸出結(jié)果必然出現(xiàn)2M點(diǎn)的重疊；若計(jì)算x0(n)、x1(n)與h(n)

的N=L+M=7點(diǎn)長圓周卷積，結(jié)果會怎樣呢？

（13.1）相關(guān)基礎(chǔ)理論為了理解方便，下面直接給出兩個短序列x0(n)、x1(n)以7為周期進(jìn)行周期延拓并翻轉(zhuǎn)后的一個周期內(nèi)的樣點(diǎn)值排列，分段圓周卷積和直接線性卷積計(jì)算的結(jié)果如表13.1所示。截取的一個周期的起點(diǎn)分別對應(yīng)序列x0(n)的n=

2和x1(n)的n=3。

表13.1卷積計(jì)算對照表相關(guān)基礎(chǔ)理論從表13.1可以明確看出，1每個N=L+M點(diǎn)長的短序列xi(n)

與M階FIR濾波器單位脈沖響應(yīng)h(n)進(jìn)行N點(diǎn)圓周卷積的結(jié)果仍為N點(diǎn)長序列；2每段圓周卷積的結(jié)果從第M+1個樣點(diǎn)到第N個樣點(diǎn)都準(zhǔn)確地對應(yīng)原始輸入序列x(n)

與h(n)

線性卷積的L個樣點(diǎn)值；3將每段圓周卷積的結(jié)果后L個樣點(diǎn)值保留并串接起來便得到x(n)

與h(n)

線性卷積的結(jié)果。由

該例可以推廣到一般形式。首先將Ls長的輸入信號x(n)

切分成長為N的短序列xi(n)，且xi(n)

與xi

1(n)

重疊M個樣點(diǎn)（濾波器的階數(shù)），即（13.2）即每個長為N的短序列xi(n)

與xi

1(n)

相比只有L=N-M個新樣點(diǎn)加入。當(dāng)Ls不是L的整倍數(shù)時，要在x(n)

的后邊補(bǔ)零。然后，截取后的每個短序列xi(n)

與M階FIR濾波器的單位脈沖響應(yīng)h(n)

計(jì)算N點(diǎn)的圓周卷積，結(jié)果記為yci(n)，（13.3）最后，保留每段圓周卷積結(jié)果yci(n)的后L個點(diǎn)，并將它們串接起來便得到x(n)與h(n)線性卷積的結(jié)果，第i段的輸出結(jié)果記為youti(n)，即（13.4）相關(guān)基礎(chǔ)理論x(n)與h(n)的卷積結(jié)果y(n)與各分段卷積結(jié)果yci(n)的關(guān)系可以寫成（13.5）以上便是重疊保留法計(jì)算Ls長的輸入信號x(n)與M+1點(diǎn)h(n)線性卷積的整個過程。重疊保留法的思想可以用圖表示，原理如圖13.1所示。情境任務(wù)及步驟一、原理初探設(shè)x(n)是輸入信號，F(xiàn)IR系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)h(n)

是3點(diǎn)長序列。其中x(n)

=

{1,2,4,

2,2,0,

6,2,

4,2,2,

10,6,2,2,0,2}，h(n)

=

{1,1/2,1/4}。1．直接計(jì)算x(n)與h(n)的線性卷積y(n)二者的線性卷積可以手動計(jì)算，也可以調(diào)用函數(shù)conv實(shí)現(xiàn)。創(chuàng)建圖形窗口Figure1，用stem函數(shù)畫出y(n)～n的波形，n=0,1,…,19。在圖中加注網(wǎng)格線，縱坐標(biāo)顯示范圍為

10～10。2．用重疊保留法計(jì)算x(n)與h(n)的線性卷積y(n)（1）將x(n)分成長為N=8的段，所得短序列分別記為x0(n)、x1(n)、x2(n)

和x3(n)，且x0(n)={0,0,x(0),x(1),x(2),x(3),x(4),x(5)}，必要時在x(n)

尾部進(jìn)行必要補(bǔ)零。各短序列與h(n)的圓周卷積分別記為yc0(n)、yc1(n)、yc2(n)

和yc3(n)。（2）創(chuàng)建圖形窗口Figure2，并從上至下分成4個子窗口，分別畫出yci(n)～n，i=0,1,2,3，橫軸顯示范圍為n=

2,

1,0,1,…,1

9。在圖中加注網(wǎng)格線和圖題，縱坐標(biāo)顯示范圍為

10～10。情境任務(wù)及步驟（3）對照圖形窗口Figure1和Figure2，找出樣值幅度相同的點(diǎn)的位置。（4）合成y(n)。按照式（13.5）將yci(n)

相加得到序列y(n)，i=0,1,2,3。創(chuàng)建圖形窗口Figure3，并從上至下分成5個子窗口，上邊的4個子窗口分別畫出yci(n)～n，i=0,1,2,3，最下面的子窗口畫出y(n)～n，n=

2,

1,0,1,…,19。在圖中加注網(wǎng)格線和圖題，縱坐標(biāo)顯示范圍為

10～10。仔細(xì)對照圖形窗口Figure3，記錄第5個子窗口與前4個子窗口中樣值幅度相同的點(diǎn)，并將Figure3中的第5個子窗口與Figure1對比，并判斷異同。情境任務(wù)及步驟二、實(shí)際信號濾波測試設(shè)有一個由四個單音組成的復(fù)合信號xt，四個單頻的頻率分別是f1=100Hz，f2=200Hz，f3=300Hz，f4=400Hz，且幅度均為單位1。假定采樣頻率Fs=8000Hz，試用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR濾波器，以濾除頻率為f1和f4的單頻，并評估所設(shè)計(jì)濾波器的性能。1．生成復(fù)合信號xtxt是四個單位幅度單頻正弦信號的疊加，信號持續(xù)時間tend為2s。2．用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)數(shù)字帶通濾波器1）濾波器指標(biāo)設(shè)定（1）邊界頻率設(shè)定。通帶截止頻率這樣設(shè)定，通帶低端截止頻率fp1=190Hz，通帶高端截止頻率fp2=310Hz，阻帶低端截止頻率fs1=110Hz，阻帶高端截止頻率fs2=390Hz。

（2）衰減指標(biāo)設(shè)定。在阻帶截止頻率處的衰減不低于60dB。情境任務(wù)及步驟2）調(diào)用函數(shù)設(shè)計(jì)滿足濾波器指標(biāo)的FIR濾波器調(diào)用函數(shù)fir1確定FIR濾波器系數(shù)或?yàn)V波器的單位脈沖響應(yīng)，并記為b。

b=fir1(M,[Wn1Wn2],'bandpass',winB);其中濾波器階數(shù)M設(shè)定為600，帶通濾波器兩個歸一化邊界頻率分別按照下述方式進(jìn)行設(shè)置：Wn1=2*pi*(fp1+fs1)/2/Fs/pi;Wn2=2*pi*(fp2+fs2)/2/Fs/pi;WinB表示所用的窗函數(shù)，每個樣點(diǎn)值由下述語句確定：winB=blackman(M+1);函數(shù)fir1更為詳細(xì)的調(diào)用語法可以通過MATLAB中的Help文件學(xué)習(xí)。

情境任務(wù)及步驟3．濾波（1）對信號xt進(jìn)行直接進(jìn)行線性卷積濾波，結(jié)果記為filteredxt1，即filteredxt1=conv(b,xt)；（2）對信號xt通過重疊保留法進(jìn)行濾波，結(jié)果記為filteredxt2。每段長度N設(shè)定為1024。這里需要根據(jù)分段長度N、xt的長度lxt、濾波器階數(shù)M等參數(shù)確定序列xt的前后需要補(bǔ)零的個數(shù)。調(diào)用MATLAB函數(shù)cconv實(shí)現(xiàn)圓周卷積。相關(guān)函數(shù)的調(diào)用語法可以通過MATLAB中的Help文件學(xué)習(xí)?？紤]到要進(jìn)行耗時統(tǒng)計(jì)，循環(huán)體內(nèi)要避免任何不必要的重復(fù)運(yùn)算。而且要提前開辟存儲空間以便存儲結(jié)果filteredxt2。情境任務(wù)及步驟4．卷積計(jì)算算法性能評估1）主觀評價調(diào)用函數(shù)sound，試聽xt、filteredxt1、filteredxt2的聲效，重點(diǎn)對比后兩者的效果。為提高對比效果，建議執(zhí)行完主程序后在命令窗口中調(diào)用sound進(jìn)行試聽。2）時域?qū)Ρ葎?chuàng)建新的圖形窗口，畫出兩次濾波結(jié)果的差值波形，即filteredxt1-filteredxt2，并添加網(wǎng)格線（grid）。分析兩種實(shí)現(xiàn)方法結(jié)果的差異在什么樣的數(shù)量級，并將結(jié)果記入情境任務(wù)總結(jié)報告。3）頻域?qū)Ρ日{(diào)用函數(shù)fft，計(jì)算xt、filteredxt1、filteredxt2的DFT，并將結(jié)果分別記為X0、X1、X2。創(chuàng)建新的圖形窗口，并將窗口從上至下分為兩個子窗口，分別顯示濾波前后的頻譜圖。兩個子窗口中顯示的頻譜都要進(jìn)行歸一化，即最大幅度對應(yīng)0dB。分析兩種實(shí)現(xiàn)方法的結(jié)果在什么情況下有明顯差異，并將結(jié)果記入情境任務(wù)總結(jié)報告。情境任務(wù)及步驟4）時效對比在程序中，conv和filter兩個函數(shù)調(diào)用語句之前均首先調(diào)用tic，語句之后隨即都再調(diào)用toc。（1）測試信號長度影響。將tend分別設(shè)置為2s、20s、200s和1200s重新執(zhí)行程序，比較分段處理與非分段處理執(zhí)行時間的差異，并將比較結(jié)果記入情境任務(wù)總結(jié)報告。（2）測試分段長度影響。在tend取1200s條件下，將lb分別設(shè)置為1

1024、2

1024、4

1024、8

1024和16

1024重新執(zhí)行程序，比較分段處理與非分段處理執(zhí)行時間的差異，并將比較結(jié)果記入情境任務(wù)總結(jié)報告。思考題（1）重疊保留法的提出是為了解決什么樣的問題？（2）重疊保留法進(jìn)行分段卷積時，輸入序列尾部補(bǔ)零的個數(shù)與序列本身長度、分段長度、濾波器階數(shù)之間有何具體關(guān)系？總結(jié)報告要求（1）按照附錄中格式書寫情境任務(wù)總結(jié)報告，原理部分要簡要描述重疊保留法分段計(jì)算線性卷積的原理，書寫情境任務(wù)時可適當(dāng)進(jìn)行歸納和總結(jié)，但至少要列出【情境任務(wù)及步驟】相關(guān)內(nèi)容的各級標(biāo)題。（2）情境任務(wù)的程序清單除在報告中出現(xiàn)外，還必須以獨(dú)立的m文件形式單獨(dú)提交。程序清單要求至少按程序塊進(jìn)行注釋。（3）效果圖和得出