高級中學名校試卷PAGEPAGE1浙江省寧波市三鋒教研聯(lián)盟2024-2025學年高二下學期期中聯(lián)考數(shù)學試題選擇題部分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.給出的下列選項中，正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】對A，，故A錯誤；對B，，故B錯誤；對C，，故C正確；對D，，故D錯誤.故選：C2.函數(shù)的最小正周期是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，故.故選：A3.已知角α的終邊經(jīng)過點，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為角α的終邊經(jīng)過點，所以.故選：B.4.某學校4000名學生的數(shù)學成績X（單位：分）服從正態(tài)分布，且成績在的學生人數(shù)約為1600，則估計成績在100分以上的學生人數(shù)為（）A.200 B.400 C.2800 D.2000【答案】B【解析】由題意可知該正態(tài)分布的均值為90，由正態(tài)分布的對稱性可知，即成績在90分及以上的學生人數(shù)約為，因為成績在的學生人數(shù)約為1600，故估計成績在100分以上的學生人數(shù)為.故選：B.5.已知，則（）A. B.3 C.1 D.【答案】B【解析】由題干條件可知，所以，由和角的正切公式可得.故選：B.6.某班一天上午有4節(jié)課，下午有3節(jié)課，現(xiàn)在安排該班一天中語文、英語、物理、政治、體育各1節(jié)，數(shù)學2節(jié)，要求2節(jié)數(shù)學課都排在上午或下午且連續(xù)，體育課排在下午，則不同的排法種數(shù)是（）A.624 B.528 C.312 D.264【答案】D【解析】如果2節(jié)數(shù)學課排在上午，則數(shù)學課的安排情況為，，，共3種排法，此時體育課排在下午，有3種排法，剩下的4節(jié)課有種排法，所以數(shù)學課排在上午共有種排法.如果2節(jié)數(shù)學課排在下午，則數(shù)學課的安排情況為，，共2種排法，此時體育課排在下午，有1種排法，剩下4節(jié)課有種排法，所以數(shù)學課排在下午共有種排法.綜上，不同的排法種數(shù)為，故選：D.7.已知的展開式中唯有第5項的系數(shù)最大，則t的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由的展開式中唯有第5項的系數(shù)最大，得，而，解得，即，所以t的取值范圍是.故選：D8.若函數(shù)既有極大值也有極小值，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意，又函數(shù)既有極大值也有極小值，故方程有兩個不相等的正根，故，則，排除ACD.因為，故異號，故.故選：B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知離散型隨機變量X的分布列如下表：X0125Pa2a則下列說法正確的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】對于A，由題意得，故A錯誤；對于B，，故B正確；對于C，，所以，故C正確；對于D，故D錯誤；故選：BC10.甲乙兩個盒子中分別裝有兩種顏色不同但大小相同的小球，甲盒子中裝有5個白球和5個黑球；乙盒子中裝有4個白球和6個黑球．先從甲盒子中隨機摸出一個小球放入乙盒子中，再從乙盒子中隨機摸出一個小球，記表示事件“從甲盒子中摸出的是白球”，表示事件“從甲盒子中摸出的是黑球”，記表示事件“從乙盒子中摸出的是白球”，表示事件“從乙盒子中摸出的是黑球”，下列說法正確的是（）A.，是互斥事件 B.，是獨立事件C. D.【答案】ACD【解析】對A，因為每次只摸出一個球，故，不能同時發(fā)生，故，互斥事件，故A正確；對B，因為，，，，故B錯誤；對C，，故C正確；對D，，故D正確.故選：ACD11.已知函數(shù)，則（）A.點是圖像的對稱中心 B.是的極小值點C.當時， D.當時，【答案】ABD【解析】由題可得，令，得或，所以當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，又，，，，且當時，，當時，，所以可作出的大致圖象如圖所示：選項A：設(shè)，則，令，得，又，所以點是圖象的對稱中心，故A正確；選項B：易知是的極小值點，故B正確；選項C：當時，，又在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當時，，，所以，故C錯誤.選項D：當時，，又在上單調(diào)遞增，所以，故D正確；故選：ABD.非選擇題部分三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.在展開式中，各項系數(shù)的和是________.【答案】【解析】對于二項式，令可得展開式各項系數(shù)的和為.故答案為：13.，則________【答案】【解析】對函數(shù)求導得：，當時，，解得，故答案為：.14.某學校興趣小組,該興趣小組內(nèi)學舞蹈且不學聲樂的有3人,既學舞蹈又學聲樂的有2人,從該興趣小組中任選2人,設(shè)X為選出的人既學舞蹈又學聲樂的人數(shù),若,則該興趣小組的人數(shù)是________人．【答案】7【解析】由題意，可能的取值為0，1，2，設(shè)該興趣小組的人數(shù)是，，則，，故，即，則，故，即，因為為整數(shù)，故.故答案為：7四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù)（1）求函數(shù)的最小正周期和最大值；（2）討論函數(shù)在上的單調(diào)性．解：（1）故函數(shù)的周期為，當，，即，，函數(shù)取到最大值為.（2）由（1）得當時，，從而當，即，單調(diào)遞增；當，即時，單調(diào)遞減．綜上可知，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．16.已知的展開式中，前三項的系數(shù)成等差數(shù)列．（1）求n的值；（2）求展開式中二項式系數(shù)最大的項；（3）求展開式中所有的有理項．解：（1）展開式的通項為：，因為展開式中的前三項系數(shù)成等差數(shù)列．所以，整理得：，解得：或（舍）．所以；（2）第5項的二項式系數(shù)最大，所以二項式系數(shù)最大項為；（3）展開式的通項為當時，；當時，17.已知函數(shù)（1）當時，求曲線在點處的切線的方程；（2）探究的最小值；（3）當時，求的最小值的極值．解：（1）當時，，，則，，所以切線的方程為（2）定義域為．當時，，則在上單調(diào)遞增，故沒有最小值；當時，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以綜上所述：當時，沒有最小值；當時，最小值為；（3）由（2）可得設(shè)，則，令，得，所以當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，所以的極大值為，無極小值．18.某學校組織開展了“學習強國答題挑戰(zhàn)賽暨主題黨日活動”.規(guī)則如下：每班派兩名選手參賽，每位選手回答三個題，滿分為60分，每題答對得10分，答錯不得分.某班派了甲?乙兩名同學參賽，且甲同學三題能回答正確的概率均為，乙同學三題能回答正確的概率依次為、、，兩人的累計得分為班級總得分，總得分不少于50分班級將獲得參加決賽的資格.（1）三題答完結(jié)束后，記為乙同學的累計得分，求的分布列和期望；（2）求班級獲得決賽資格的概率.解：（1）由題意可得：可能取值為：0，10，20，30.；；；；所以分布列為：0102030分.（2）記為甲同學的累計得分.而；；所以班級獲得決賽資格的概率：.19.帕德近似是法國數(shù)學家亨利·帕德發(fā)明的用有理多項式近似特定函數(shù)的方法．給定兩個正整數(shù)m，n，函數(shù)在處的階帕德近似定義為：，且滿足：，，，…，，注：，，，，…已知函數(shù)在處階帕德近似為．（1）求實數(shù)a，b，c的值；（2）證明：當時，；（3）設(shè)t為實數(shù)，討論方程的解的個數(shù)．解：（1），，由，可知，又，，，，由題意，，，所以，，綜上，，.（2）由（1）知，，令，，所以在內(nèi)為增函數(shù)，又，時，，得證．（3）的定義域是，①當時，，所以在上單調(diào)遞增，且，所以在上存在1個零點；②當時，令，由，得，．又因為，，所以，．x00單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增當時，因為，所以在上存在1個零點，且，；當時，因為，，而在單調(diào)遞增，且，而，故，所以在上存在1個零點；當時，因為，，而在單調(diào)遞增，且，而，所以，所以在上存在1個零點．從而在上存在3個零點．綜上所述，當時，方程有1個解；當時，方程有3個解.浙江省寧波市三鋒教研聯(lián)盟2024-2025學年高二下學期期中聯(lián)考數(shù)學試題選擇題部分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.給出的下列選項中，正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】對A，，故A錯誤；對B，，故B錯誤；對C，，故C正確；對D，，故D錯誤.故選：C2.函數(shù)的最小正周期是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，故.故選：A3.已知角α的終邊經(jīng)過點，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為角α的終邊經(jīng)過點，所以.故選：B.4.某學校4000名學生的數(shù)學成績X（單位：分）服從正態(tài)分布，且成績在的學生人數(shù)約為1600，則估計成績在100分以上的學生人數(shù)為（）A.200 B.400 C.2800 D.2000【答案】B【解析】由題意可知該正態(tài)分布的均值為90，由正態(tài)分布的對稱性可知，即成績在90分及以上的學生人數(shù)約為，因為成績在的學生人數(shù)約為1600，故估計成績在100分以上的學生人數(shù)為.故選：B.5.已知，則（）A. B.3 C.1 D.【答案】B【解析】由題干條件可知，所以，由和角的正切公式可得.故選：B.6.某班一天上午有4節(jié)課，下午有3節(jié)課，現(xiàn)在安排該班一天中語文、英語、物理、政治、體育各1節(jié)，數(shù)學2節(jié)，要求2節(jié)數(shù)學課都排在上午或下午且連續(xù)，體育課排在下午，則不同的排法種數(shù)是（）A.624 B.528 C.312 D.264【答案】D【解析】如果2節(jié)數(shù)學課排在上午，則數(shù)學課的安排情況為，，，共3種排法，此時體育課排在下午，有3種排法，剩下的4節(jié)課有種排法，所以數(shù)學課排在上午共有種排法.如果2節(jié)數(shù)學課排在下午，則數(shù)學課的安排情況為，，共2種排法，此時體育課排在下午，有1種排法，剩下4節(jié)課有種排法，所以數(shù)學課排在下午共有種排法.綜上，不同的排法種數(shù)為，故選：D.7.已知的展開式中唯有第5項的系數(shù)最大，則t的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由的展開式中唯有第5項的系數(shù)最大，得，而，解得，即，所以t的取值范圍是.故選：D8.若函數(shù)既有極大值也有極小值，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意，又函數(shù)既有極大值也有極小值，故方程有兩個不相等的正根，故，則，排除ACD.因為，故異號，故.故選：B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知離散型隨機變量X的分布列如下表：X0125Pa2a則下列說法正確的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】對于A，由題意得，故A錯誤；對于B，，故B正確；對于C，，所以，故C正確；對于D，故D錯誤；故選：BC10.甲乙兩個盒子中分別裝有兩種顏色不同但大小相同的小球，甲盒子中裝有5個白球和5個黑球；乙盒子中裝有4個白球和6個黑球．先從甲盒子中隨機摸出一個小球放入乙盒子中，再從乙盒子中隨機摸出一個小球，記表示事件“從甲盒子中摸出的是白球”，表示事件“從甲盒子中摸出的是黑球”，記表示事件“從乙盒子中摸出的是白球”，表示事件“從乙盒子中摸出的是黑球”，下列說法正確的是（）A.，是互斥事件 B.，是獨立事件C. D.【答案】ACD【解析】對A，因為每次只摸出一個球，故，不能同時發(fā)生，故，互斥事件，故A正確；對B，因為，，，，故B錯誤；對C，，故C正確；對D，，故D正確.故選：ACD11.已知函數(shù)，則（）A.點是圖像的對稱中心 B.是的極小值點C.當時， D.當時，【答案】ABD【解析】由題可得，令，得或，所以當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，又，，，，且當時，，當時，，所以可作出的大致圖象如圖所示：選項A：設(shè)，則，令，得，又，所以點是圖象的對稱中心，故A正確；選項B：易知是的極小值點，故B正確；選項C：當時，，又在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當時，，，所以，故C錯誤.選項D：當時，，又在上單調(diào)遞增，所以，故D正確；故選：ABD.非選擇題部分三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.在展開式中，各項系數(shù)的和是________.【答案】【解析】對于二項式，令可得展開式各項系數(shù)的和為.故答案為：13.，則________【答案】【解析】對函數(shù)求導得：，當時，，解得，故答案為：.14.某學校興趣小組,該興趣小組內(nèi)學舞蹈且不學聲樂的有3人,既學舞蹈又學聲樂的有2人,從該興趣小組中任選2人,設(shè)X為選出的人既學舞蹈又學聲樂的人數(shù),若,則該興趣小組的人數(shù)是________人．【答案】7【解析】由題意，可能的取值為0，1，2，設(shè)該興趣小組的人數(shù)是，，則，，故，即，則，故，即，因為為整數(shù)，故.故答案為：7四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù)（1）求函數(shù)的最小正周期和最大值；（2）討論函數(shù)在上的單調(diào)性．解：（1）故函數(shù)的周期為，當，，即，，函數(shù)取到最大值為.（2）由（1）得當時，，從而當，即，單調(diào)遞增；當，即時，單調(diào)遞減．綜上可知，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．16.已知的展開式中，前三項的系數(shù)成等差數(shù)列．（1）求n的值；（2）求展開式中二項式系數(shù)最大的項；（3）求展開式中所有的有理項．解：（1）展開式的通項為：，因為展開式中的前三項系數(shù)成等差數(shù)列．所以，整理得：，解得：或（舍）．所以；（2）第5項的二項式系數(shù)最大，所以二項式系數(shù)最大項為；（3）展開式的通項為當時，；當時，17.已知函數(shù)（1）當時，求曲線在點處的切線的方程；（2）探究的最小值；（3）當時，求的最小值的極值．解：（1）當時，，，則，，所以切線的方程為（2）定義域為．當時，，則在上單調(diào)遞增，故沒有最小值；當時，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以綜上所述：當時，沒有最小值；當時，最小值為；（3）由（2）可得設(shè)，則，令，得，所以當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，所以的極大值為，無極小值．18.某學校組織開展了“學習強國答題挑戰(zhàn)賽暨主題黨日活動”.規(guī)