高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1內(nèi)蒙古自治區(qū)包頭市2024屆高三下學(xué)期二模數(shù)學(xué)試題（理）一、選擇題1.已知全集，集合A滿足，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由，，可得或則，，，，故B項(xiàng)正確，A,C,D項(xiàng)均是錯(cuò)誤的.故選：B.2.已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則的虛部為（）A B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)閺?fù)數(shù)，所以的虛部為.故選：A.3.設(shè)m，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由不能推出，如滿足，但無(wú)意義，故“”不是“”的充分條件；再由可得，即得，故“”是“”的必要條件.即“”是“”的必要不充分條件.故選：B.4.將個(gè)和個(gè)隨機(jī)排成一行，則個(gè)不相鄰的概率為（）A.0.3 B.0.5 C.0.6 D.0.8【答案】C【解析】法，最后利用古典概型的概率計(jì)算公式計(jì)算即可.【詳析】個(gè)和3個(gè)隨機(jī)排成一行，即五個(gè)確定的位置中選擇3個(gè)放字母，其他放字母，故不同排法有種，若再要求個(gè)不相鄰，則需3個(gè)放好，有4個(gè)空，個(gè)插空擺放即可，即，所以個(gè)不相鄰的概率為.故選：C.5.若實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件則的（）A.最小值為5 B.最大值為5C.最小值為6 D.最大值為6【答案】A【解析】由不等式組作出可行域如圖：由，可得,由圖可知，平移直線，當(dāng)與重合時(shí)，取最小值5，故選：A.6.已知數(shù)列為等比數(shù)列，且，，設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則（）A.－36或36 B.－36 C.36 D.18【答案】C【解析】數(shù)列為等比數(shù)列，設(shè)公比為q，且，，則，則，則，則，故選：C.7.中國(guó)南北朝時(shí)期的著作《孫子算經(jīng)》中,對(duì)同余除法有較深的研究.設(shè),,（）為整數(shù)，若和被除得的余數(shù)相同，則稱(chēng)和對(duì)模同余，記為.若，，則的值可以是（）A.2018 B.2020 C.2022 D.2024【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，所以，即被除得的余?shù)為，結(jié)合選項(xiàng)可知只有被除得的余數(shù)為.故選：B.8.聲音是由物體振動(dòng)產(chǎn)生的聲波，其中包含著正弦函數(shù).純音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)，但我們平時(shí)聽(tīng)到的樂(lè)音不止是一個(gè)音在響，而是許多個(gè)音的結(jié)合，稱(chēng)為復(fù)合音.若一個(gè)復(fù)合音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.的一個(gè)周期為 B.的最大值為C.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng) D.在區(qū)間上有2個(gè)零點(diǎn)【答案】D【解析】對(duì)于A,因?yàn)榈闹芷跒?，的周期為，所以的周期為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B,因?yàn)楹瘮?shù)的最大值為1,的最大值為，故兩個(gè)函數(shù)同時(shí)取最大值時(shí)，的最大值為，此時(shí)需滿足且，不能同時(shí)成立，故最大值不能同時(shí)取到，故的最大值不為，則B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，則，故的圖象不關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，C錯(cuò)誤；對(duì)于D,因?yàn)闀r(shí)，，又，所以或者；或者，此時(shí)，又，所以，綜上可知，區(qū)間上有2個(gè)零點(diǎn)，故D正確，故選：D.9.在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)，，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)，則，，則，即，化為，則點(diǎn)的軌跡為以為圓心，半徑為2的圓，又，所以三點(diǎn)共線，顯然當(dāng)直線與此圓相切時(shí)，的值最大.又,則,則.故選：C.10.在正方體中，E為BD的中點(diǎn)，則直線與所成角的余弦值為（）A.0 B. C. D.【答案】D【解析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則，則直線與所成角的余弦值為，故選：D11.已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為、，雙曲線C的離心率為e，在第一象限存在雙曲線上的點(diǎn)P，滿足，且，則雙曲線C的漸近線方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】設(shè)，則，而，所以，所以點(diǎn)到的距離為，又，所以，解得，即，從而，又因?yàn)?，所以，在中，由余弦定理有，所以，即，解得，雙曲線C的漸近線方程為.故選：A.12.已知且，且，且，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】構(gòu)造函數(shù)，，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，又，則，則，，同理，，則，即，，所以，故選：D.二、填空題13.拋物線的準(zhǔn)線方程為，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_____.【答案】【解析】依題可知，則，故答案為：.14.在中，A，B，C的對(duì)邊分別為a，b,c,已知，，，則邊______.【答案】【解析】因，由余弦定理，，化簡(jiǎn)得，因，，故.故答案為：.15.已知圓柱的兩個(gè)底面的圓周在表面積為的球O的球面上，則該圓柱的側(cè)面積的最大值為_(kāi)_____.【答案】【解析】設(shè)球半徑為，圓柱的底面半徑為，母線為，由題意可知，解得，又圓柱的兩個(gè)底面的圓周在表面積為的球O的球面上，所以圓柱的兩個(gè)底面的的圓心關(guān)于球心對(duì)稱(chēng)，且，圓柱的側(cè)面積，，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，.故答案為：.16.已知不等式對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立，則的最大值為_(kāi)_____.【答案】【解析】令，則，不等式可化為：對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立，即對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立.設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，在R上單調(diào)遞增，，不合題意；當(dāng)時(shí)，由可得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，.因?qū)θ我獾膶?shí)數(shù)x恒成立，故恒成立，即，則.令，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.故，即,故的最大值為.故答案為：.三、解答題（一）必考題17.滎陽(yáng)境內(nèi)廣武山上漢王城與霸王城之間的鴻溝，即為象棋棋盤(pán)上“楚河漢界”的歷史原型，滎陽(yáng)因此被授予“中國(guó)象棋文化之鄉(xiāng)”.有甲，乙，丙三位同學(xué)進(jìn)行象棋比賽，其中每局只有兩人比賽，每局比賽必分勝負(fù)，本局比賽結(jié)束后，負(fù)的一方下場(chǎng).第1局由甲，乙對(duì)賽，接下來(lái)丙上場(chǎng)進(jìn)行第2局比賽，來(lái)替換負(fù)的那個(gè)人，每次比賽負(fù)的人排到等待上場(chǎng)的人之后參加比賽.設(shè)各局中雙方獲勝的概率均為，各局比賽的結(jié)果相互獨(dú)立.（1）求前3局比賽甲都取勝的概率；（2）用X表示前3局比賽中乙獲勝的次數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.解：（1）因各局比賽的結(jié)果相互獨(dú)立，前3局比賽甲都獲勝，則前3局甲都取勝的概率為.（2）X的所有可能取值為0，1，2，3.其中，表示第1局乙輸，第3局是乙上場(chǎng)，且乙輸，則；表示第1局乙輸，第3局是乙上場(chǎng)，且乙贏；或第1局乙贏，且第2局乙輸，則；表示第1局乙贏，且第2局乙贏，第3局乙輸，則；表示第1局乙贏，且第2局乙贏，第3局乙贏，則；所以X的分布列為X0123P故X的數(shù)學(xué)期望為.18.如圖，在多面體DABCE中，是等邊三角形,,.（1）求證：；（2）若二面角為30°，求直線DE與平面ACD所成角的正弦值.（1）證明：取BC中點(diǎn)O，連接AO，EO.∵是等邊三角形，O為BC中點(diǎn)，∴，又，∴，∵，平面,∴平面，又平面AEO，∴.（2）解：連接DO，則，由，得，，又，∴，∴，又，平面,∴平面.如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA，OB，OD所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，∴，，設(shè)平面ACD的法向量為，則即取，則.∵是二面角的平面角，∴，又，∴，，則，∴直線DE與平面ACD所成角的正弦值為.19.已知函數(shù).（1）若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求a的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解：（1）函數(shù)定義域?yàn)椋?，因?yàn)槭呛瘮?shù)的極值點(diǎn)，所以，解得或，因?yàn)?，所?此時(shí)，令得，令得，∴在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以是函數(shù)的極小值點(diǎn).所以.（2）.因?yàn)?，所以，令得；令得；∴所以時(shí)，函數(shù)增區(qū)間為,時(shí)函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為.20.已知橢圓E：過(guò)點(diǎn)，且焦距為.（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)作兩條互相垂直的弦AB，CD，設(shè)弦AB，CD的中點(diǎn)分別為M，N.①證明：直線MN必過(guò)定點(diǎn)；②若弦AB，CD的斜率均存在，求面積的最大值.（1）解：依題意有，，解得，所以橢圓的方程為.（2）①證明：設(shè)：，，，則：，聯(lián)立，故，，，故，由代替m，得，當(dāng)，即時(shí)，：，過(guò)點(diǎn).當(dāng)，即時(shí)，，：，令，，直線MN恒過(guò)點(diǎn).當(dāng)，經(jīng)驗(yàn)證直線MN過(guò)點(diǎn).綜上，直線MN恒過(guò)點(diǎn).②解：，令，，∵在上單調(diào)遞減，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào).故面積的最大值為.21.已知數(shù)列為有窮數(shù)列，且，若數(shù)列滿足如下兩個(gè)性質(zhì)，則稱(chēng)數(shù)列為m的k增數(shù)列：①；②對(duì)于，使得的正整數(shù)對(duì)有k個(gè).（1）寫(xiě)出所有4的1增數(shù)列；（2）當(dāng)時(shí)，若存在m的6增數(shù)列，求m的最小值；（3）若存在100的k增數(shù)列，求k的最大值.解：（1）由題意得，且對(duì)于，使得的正整數(shù)對(duì)有1個(gè)，由于或，故所有4的1增數(shù)列有數(shù)列1，2，1和數(shù)列1，3.（2）當(dāng)時(shí)，存在m的6增數(shù)列，即，且對(duì)于，使得的正整數(shù)對(duì)有6個(gè)，所以數(shù)列的各項(xiàng)中必有不同的項(xiàng)，所以且.若，滿足要求的數(shù)列中有四項(xiàng)為1，一項(xiàng)為2，所以，不符合題意，所以.若，滿足要求的數(shù)列中有三項(xiàng)為1，兩項(xiàng)為2，此時(shí)數(shù)列為，滿足要求的正整數(shù)對(duì)分別為，符合m的6增數(shù)列，所以當(dāng)時(shí)，若存在m的6增數(shù)列，m的最小值為7.（3）若數(shù)列中的每一項(xiàng)都相等，則，若，所以數(shù)列中存在大于1的項(xiàng)，若首項(xiàng)，將拆分成個(gè)1后k變大，所以此時(shí)k不是最大值，所以.當(dāng)時(shí)，若，交換，的順序后k變?yōu)?，所以此時(shí)k不是最大值，所以.若，所以，所以將改為，并在數(shù)列首位前添加一項(xiàng)1，所以k的值變大，所以此時(shí)k不是最大值，所以.若數(shù)列中存在相鄰的兩項(xiàng)，，設(shè)此時(shí)中有x項(xiàng)為2，將改為2，并在數(shù)列首位前添加個(gè)1后，k的值至少變?yōu)?，所以此時(shí)k不是最大值，所以數(shù)列的各項(xiàng)只能為1或2，所以數(shù)列為1，1，…，1，2，2，…，2的形式.設(shè)其中有x項(xiàng)為1，有y項(xiàng)為2，因?yàn)榇嬖?00的k增數(shù)列，所以，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，k取最大值為1250.（二）選考題[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22.在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為．（1）求曲線的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程；（2）已知點(diǎn)，若直線與曲線交于A，兩點(diǎn)，求的值．解：（1）曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），所以，所以即曲線C的普通方程為．直線l的極坐標(biāo)方程為，則，轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為．（2）直線l過(guò)點(diǎn)，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）令點(diǎn)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，，由代入，得，則，，即t1、t2為負(fù)，故．[選修4-5：不等式選講]23.已知．（1）求不等式的解集；（2）若的最小值為，正實(shí)數(shù)，，滿足,求證：．（1）解：即：①當(dāng)時(shí)，，解得；②當(dāng)時(shí)，，解得；③當(dāng)時(shí)，，無(wú)解，綜上：不等式的解集為．（2）證明：方法1：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．所以，所以，即.方法2：由（1）知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，所以,所以，即.∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．內(nèi)蒙古自治區(qū)包頭市2024屆高三下學(xué)期二模數(shù)學(xué)試題（理）一、選擇題1.已知全集，集合A滿足，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由，，可得或則，，，，故B項(xiàng)正確，A,C,D項(xiàng)均是錯(cuò)誤的.故選：B.2.已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則的虛部為（）A B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)閺?fù)數(shù)，所以的虛部為.故選：A.3.設(shè)m，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由不能推出，如滿足，但無(wú)意義，故“”不是“”的充分條件；再由可得，即得，故“”是“”的必要條件.即“”是“”的必要不充分條件.故選：B.4.將個(gè)和個(gè)隨機(jī)排成一行，則個(gè)不相鄰的概率為（）A.0.3 B.0.5 C.0.6 D.0.8【答案】C【解析】法，最后利用古典概型的概率計(jì)算公式計(jì)算即可.【詳析】個(gè)和3個(gè)隨機(jī)排成一行，即五個(gè)確定的位置中選擇3個(gè)放字母，其他放字母，故不同排法有種，若再要求個(gè)不相鄰，則需3個(gè)放好，有4個(gè)空，個(gè)插空擺放即可，即，所以個(gè)不相鄰的概率為.故選：C.5.若實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件則的（）A.最小值為5 B.最大值為5C.最小值為6 D.最大值為6【答案】A【解析】由不等式組作出可行域如圖：由，可得,由圖可知，平移直線，當(dāng)與重合時(shí)，取最小值5，故選：A.6.已知數(shù)列為等比數(shù)列，且，，設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則（）A.－36或36 B.－36 C.36 D.18【答案】C【解析】數(shù)列為等比數(shù)列，設(shè)公比為q，且，，則，則，則，則，故選：C.7.中國(guó)南北朝時(shí)期的著作《孫子算經(jīng)》中,對(duì)同余除法有較深的研究.設(shè),,（）為整數(shù)，若和被除得的余數(shù)相同，則稱(chēng)和對(duì)模同余，記為.若，，則的值可以是（）A.2018 B.2020 C.2022 D.2024【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，所以，即被除得的余?shù)為，結(jié)合選項(xiàng)可知只有被除得的余數(shù)為.故選：B.8.聲音是由物體振動(dòng)產(chǎn)生的聲波，其中包含著正弦函數(shù).純音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)，但我們平時(shí)聽(tīng)到的樂(lè)音不止是一個(gè)音在響，而是許多個(gè)音的結(jié)合，稱(chēng)為復(fù)合音.若一個(gè)復(fù)合音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.的一個(gè)周期為 B.的最大值為C.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng) D.在區(qū)間上有2個(gè)零點(diǎn)【答案】D【解析】對(duì)于A,因?yàn)榈闹芷跒?，的周期為，所以的周期為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B,因?yàn)楹瘮?shù)的最大值為1,的最大值為，故兩個(gè)函數(shù)同時(shí)取最大值時(shí)，的最大值為，此時(shí)需滿足且，不能同時(shí)成立，故最大值不能同時(shí)取到，故的最大值不為，則B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，則，故的圖象不關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，C錯(cuò)誤；對(duì)于D,因?yàn)闀r(shí)，，又，所以或者；或者，此時(shí)，又，所以，綜上可知，區(qū)間上有2個(gè)零點(diǎn)，故D正確，故選：D.9.在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)，，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)，則，，則，即，化為，則點(diǎn)的軌跡為以為圓心，半徑為2的圓，又，所以三點(diǎn)共線，顯然當(dāng)直線與此圓相切時(shí)，的值最大.又,則,則.故選：C.10.在正方體中，E為BD的中點(diǎn)，則直線與所成角的余弦值為（）A.0 B. C. D.【答案】D【解析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則，則直線與所成角的余弦值為，故選：D11.已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為、，雙曲線C的離心率為e，在第一象限存在雙曲線上的點(diǎn)P，滿足，且，則雙曲線C的漸近線方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】設(shè)，則，而，所以，所以點(diǎn)到的距離為，又，所以，解得，即，從而，又因?yàn)?，所以，在中，由余弦定理有，所以，即，解得，雙曲線C的漸近線方程為.故選：A.12.已知且，且，且，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】構(gòu)造函數(shù)，，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，又，則，則，，同理，，則，即，，所以，故選：D.二、填空題13.拋物線的準(zhǔn)線方程為，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_____.【答案】【解析】依題可知，則，故答案為：.14.在中，A，B，C的對(duì)邊分別為a，b,c,已知，，，則邊______.【答案】【解析】因，由余弦定理，，化簡(jiǎn)得，因，，故.故答案為：.15.已知圓柱的兩個(gè)底面的圓周在表面積為的球O的球面上，則該圓柱的側(cè)面積的最大值為_(kāi)_____.【答案】【解析】設(shè)球半徑為，圓柱的底面半徑為，母線為，由題意可知，解得，又圓柱的兩個(gè)底面的圓周在表面積為的球O的球面上，所以圓柱的兩個(gè)底面的的圓心關(guān)于球心對(duì)稱(chēng)，且，圓柱的側(cè)面積，，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，.故答案為：.16.已知不等式對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立，則的最大值為_(kāi)_____.【答案】【解析】令，則，不等式可化為：對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立，即對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立.設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，在R上單調(diào)遞增，，不合題意；當(dāng)時(shí)，由可得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，.因?qū)θ我獾膶?shí)數(shù)x恒成立，故恒成立，即，則.令，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.故，即,故的最大值為.故答案為：.三、解答題（一）必考題17.滎陽(yáng)境內(nèi)廣武山上漢王城與霸王城之間的鴻溝，即為象棋棋盤(pán)上“楚河漢界”的歷史原型，滎陽(yáng)因此被授予“中國(guó)象棋文化之鄉(xiāng)”.有甲，乙，丙三位同學(xué)進(jìn)行象棋比賽，其中每局只有兩人比賽，每局比賽必分勝負(fù)，本局比賽結(jié)束后，負(fù)的一方下場(chǎng).第1局由甲，乙對(duì)賽，接下來(lái)丙上場(chǎng)進(jìn)行第2局比賽，來(lái)替換負(fù)的那個(gè)人，每次比賽負(fù)的人排到等待上場(chǎng)的人之后參加比賽.設(shè)各局中雙方獲勝的概率均為，各局比賽的結(jié)果相互獨(dú)立.（1）求前3局比賽甲都取勝的概率；（2）用X表示前3局比賽中乙獲勝的次數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.解：（1）因各局比賽的結(jié)果相互獨(dú)立，前3局比賽甲都獲勝，則前3局甲都取勝的概率為.（2）X的所有可能取值為0，1，2，3.其中，表示第1局乙輸，第3局是乙上場(chǎng)，且乙輸，則；表示第1局乙輸，第3局是乙上場(chǎng)，且乙贏；或第1局乙贏，且第2局乙輸，則；表示第1局乙贏，且第2局乙贏，第3局乙輸，則；表示第1局乙贏，且第2局乙贏，第3局乙贏，則；所以X的分布列為X0123P故X的數(shù)學(xué)期望為.18.如圖，在多面體DABCE中，是等邊三角形,,.（1）求證：；（2）若二面角為30°，求直線DE與平面ACD所成角的正弦值.（1）證明：取BC中點(diǎn)O，連接AO，EO.∵是等邊三角形，O為BC中點(diǎn)，∴，又，∴，∵，平面,∴平面，又平面AEO，∴.（2）解：連接DO，則，由，得，，又，∴，∴，又，平面,∴平面.如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA，OB，OD所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，∴，，設(shè)平面ACD的法向量為，則即取，則.∵是二面角的平面角，∴，又，∴，，則，∴直線DE與平面ACD所成角的正弦值為.19.已知函數(shù).（1）若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求a的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解：（1）函數(shù)定義域?yàn)?，，因?yàn)槭呛瘮?shù)的極值點(diǎn)，所以，解得或，因?yàn)椋?此時(shí)，令得，令得，∴在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以是函數(shù)的極小值點(diǎn).所以.（2）.因?yàn)?，所以，令得；令得；∴所以時(shí)，函數(shù)增區(qū)間為,時(shí)函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為.20.已知橢圓E：過(guò)點(diǎn)，且焦距為.（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)作兩條互相垂直的弦AB，CD，設(shè)弦AB，CD的中點(diǎn)分別為M，N.①證明：直線MN必過(guò)定點(diǎn)；②若弦AB，CD的斜率均存在，求面積的最大值.（1）解：依題意有，，解得，所以橢圓的方程為.（2）①證明：設(shè)：，，，則：，聯(lián)立，故，，，故，由代替m，得，當(dāng)，即時(shí)，：，過(guò)點(diǎn).當(dāng)，即時(shí)，，：，令，，直線MN恒過(guò)點(diǎn).當(dāng)，經(jīng)驗(yàn)證直線MN過(guò)點(diǎn).綜上，直線MN恒過(guò)點(diǎn).②解：，令，，∵在上單調(diào)遞減，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào).故面積的最大值為.21.已知數(shù)列為有窮數(shù)列，且，若數(shù)列滿足如下兩個(gè)性質(zhì)，則稱(chēng)數(shù)列為m的k增數(shù)列：①；②對(duì)于，使得的正整數(shù)對(duì)有k個(gè).（1）寫(xiě)出所有4的1增數(shù)列；（2）當(dāng)時(shí)，若存在m的6增數(shù)列，求m的最小值；（3）若存在100的k增數(shù)列，求k的最大值.解：（1）由題意得，且對(duì)于，使得的正整數(shù)對(duì)有1個(gè)，由于或，故所有4的1增數(shù)列有數(shù)列1，2，1和數(shù)列1，3.（2）