高級中學名校試卷PAGEPAGE1安徽省江淮十校2025屆高三下學期4月聯(lián)考數(shù)學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，即，解得，所以，又，所以.故選：C2.已知復數(shù)（其中為虛數(shù)單位），則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，所以.故選：D3.已知非零向量，，且，則在上的投影向量為（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】因為，所以，即，所以在上的投影向量為.故選：C4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，又，所以.故選：A5.在直棱柱中，，且，N是棱上的一點，且滿足，則的最小值為（）A. B.6 C.3 D.【答案】B【解析】設，，，則，，由，因，，則，代入整理得，，顯然，故，因，故當時，取得最大值，此時取得最小值為36，故的最小值為為6.故選：B.6.下列關于函數(shù)說法正確的是（）A.是函數(shù)圖象的一個對稱中心 B.的值域為C.在區(qū)間上單調(diào)遞減 D.直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸【答案】B【解析】令，即，解得；所以當時，由，所以，所以；令，即，解得；所以當時，由，所以，所以；綜上可得，且的值域為，故B正確；作出函數(shù)的大致圖象：由圖可知不是中心對稱圖形，即沒有對稱中心，故A錯誤；因為，，，由圖可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則在上不單調(diào)，故C錯誤；的對稱軸為，故D錯誤；故選：B7.的展開式的常數(shù)項是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】的展開式通項為：，由得，所以的常數(shù)項系數(shù)為；由得，所以的項系數(shù)為，所以的展開式的常數(shù)項是,故選D.8已知，且，，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】因為，兩邊同除以，得，即，①因為，兩邊同除以，得，即，整理得，②由①②可構造函數(shù)，顯然該函數(shù)是上的增函數(shù)，于是根據(jù)①②知，所以，因此．故選：B．二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列說法正確的是（）A.若一組數(shù)據(jù)的方差為，則所有數(shù)據(jù)都相同B.在對兩個分類變量進行獨立性檢驗時，如果列聯(lián)表中所有數(shù)據(jù)都縮小為原來的十分之一，在相同的檢驗標準下，再去判斷兩變量的關聯(lián)性時，結論不會發(fā)生改變C.已知一組樣本點的經(jīng)驗回歸方程為，若其中兩個樣本點和的殘差相等，則D.已知一組數(shù)據(jù)為1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，則它的第70百分位數(shù)為7【答案】AC【解析】對于A：若一組數(shù)據(jù)的方差為，所以所有數(shù)據(jù)都相同，故A正確；對于B：若原數(shù)據(jù)的卡方記作，即，則新數(shù)據(jù)的卡方記作，則，所以結論可能會發(fā)生改變，故B錯誤；對于C：依題意，所以，故C正確；對于D：因為，所以第70百分位數(shù)為，故D錯誤.故選：AC10.設、是曲線上兩個不同的點，則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】對于選項，構造點，點恒在的上方，則，即，故A正確，B錯誤；對于選項C，構造，則，點，點恒在的上方，則，兩邊取對數(shù)得，即，故C正確；刈于選項D，構造，則，點，點恒在的上方，則，兩邊取對數(shù)得，即，故D正確；故選：ACD．11.雙紐線，也稱伯努利雙紐線，伯努利雙紐線的描述首見于1694年，雅各布·伯努利將其作為橢圓的一種類比來處理，橢圓是由到兩個定點距離之和為定值的點的軌跡，而卡西尼卵形線則是由到兩定點距離之積為定值的點的軌跡，當此定值使得軌跡經(jīng)過兩定點的中點時，軌跡便為伯努利雙紐線.曲線C：是雙紐線，則下列結論正確的是（）A.已知，，則曲線C上滿足的點P有且只有一個B.曲線C經(jīng)過4個整點（橫、縱坐標均為整數(shù)的點）C.若直線與曲線C只有一個交點，則實數(shù)k的取值范圍為D.曲線C上任意一點到坐標原點的距離都不超過2【答案】ACD【解析】對于A項,點P滿足,則點P在y軸上，將代入方程，得，即，解得，得唯一交點為，故A項正確；對于B項,令，解得：或或，當時，無解.所以曲線C經(jīng)過整點，故B項錯誤；對于C項,因為直線與曲線必有公共點，聯(lián)立，可得，由題意可知，解得或，即實數(shù)的取值范圍是.故C項正確；對于D項,根據(jù)曲線C：，可知，所以雙曲線C上任意一點到坐標原點O的距離都不超過2，故D項正確.故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.設雙曲線：的兩條漸近線的傾斜角分別為，，若，則C的離心率為______.【答案】【解析】因為，，所以，雙曲線：的兩條漸近線方程分別為，若，則的傾斜角為，的傾斜角為，即，解得，則C的離心率為.故答案為：.13.已知，關于的不等式對任意恒成立，則的取值范圍是______.【答案】【解析】因為關于的不等式對任意恒成立，所以對任意恒成立，令，則，所以當時，當時，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，即恒成立（當且僅當時取等號），所以（當且僅當時取等號），所以（當且僅當時取等號），所以，即的取值范圍是.(令，則，，所以在上存在零點).故答案為：14.已知表示不超過的最大整數(shù)，記，設，且，當時，所有滿足條件的n的和等于________.【答案】341381【解析】由于分母的最小公倍數(shù)為6，故可先考慮時滿足的的值的情況.當時，，不滿足；當時，，不滿足；當時，，不滿足；當時，,不滿足；當時，，滿足；當時，，不滿足.綜上，滿足題意的可以表示為的形式，由，可得，，即所有滿足條件的構成等差數(shù)列，其首項為5，末項為2021，項數(shù)為337，故當時，所有滿足條件n的和等于.故答案為：341381.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在中，三個角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，點在邊上，且，.（1）求；（2）若，點在線段上，當為銳角三角形，求的取值范圍.解：（1）∵，∴記點到的距離為，則，∴，，，∴．∴，又，∴．（2）由（1）知，，，∴．設．在中，由正弦定理可得，∴，則，，∴∵為銳角三角形，，解得，又，在均為遞增函數(shù)，且函數(shù)值均為正數(shù)，又在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，當時，當時，所以，故．16.如圖，四邊形是圓所有內(nèi)接四邊形中面積最大的四邊形，為平面外一點，且，，是的中點.（1）證明平面；（2）求二面角的余弦值.（1）證明：設圓的半徑為，所以，當且僅當時取等號．所以當為正方形時，面積最大，所以，交于點，連接，因為為中點，E為中點，所以，又平面，平面，所以平面；（2）解：因為，，所以，，，所以為正三角形，所以，又因為，，，平面，所以平面，又平面，所以．又因為，所以，又，平面，所以平面，因為平面，平面，所以，連接，又，，平面，所以平面，平面，所以，所以為的平面角，又，，所以，所以，所以二面角的余弦值為.17.2023年華為盤古氣象大模型實現(xiàn)秒級預測全球天氣，突破了傳統(tǒng)NWP算力瓶頸，代表了AI在科學計算（AIforScience）的重要突破，推動了全球氣象行業(yè)的智能化升級.未來天氣預報或?qū)⑦M入“分鐘級、街道級”的精準時代.現(xiàn)某城市根據(jù)氣象數(shù)據(jù)有兩種天氣狀態(tài)：晴天（S）和雨天（R），變化規(guī)律預測如下：①如果今天是晴天，明天有80%的概率仍然是晴天，20%的概率會下雨；②如果今天是雨天，明天有60%的概率仍然是雨天，40%的概率會轉晴.假設今天天氣是晴天，回答以下問題：（1）從明天開始接下來的三天中，天氣是晴天的天數(shù)用隨機變量X表示，求X的分布列和數(shù)學期望；（2）長期來看，晴天和雨天的概率分布會趨于穩(wěn)定，從今天算起第n天預測是晴天的概率用表示，求的表達式及趨于的穩(wěn)定值.解：（1）由題意可知：的值可以為：.且，，，.所以的分布列為：0123所以（2）由題意：數(shù)列中：，.設，由.所以，且.所以是以為首項，以為公比的等比數(shù)列.所以.因為，所以趨于的穩(wěn)定值為.18.已知橢圓：的離心率為，過橢圓的焦點且與短軸平行的弦長為1.（1）求橢圓的方程；（2）設點M為橢圓上位于第一象限內(nèi)一動點，A，B分別為橢圓的左頂點和下頂點，（i）求點M到直線距離的最大值；（ii）設直線與x軸交于點C，直線與y軸交于點D，求面積的最大值.解：（1）由題意：，解得.所以橢圓的方程為：.（2）（i）如圖：易知：，，所以直線的方程為：.設，因為在第一象限，所以可取.所以點到直線的距離為：，當時取“”.所以點M到直線距離的最大值為.（ii）因為直線方程為：，令可得；直線的方程為：，令可得.所以四邊形的面積為：為定值.又面積的最大值為：，所以面積的最大值為：.19.已知函數(shù).（1）當時，求曲線在處的切線方程；（2）討論函數(shù)極值點的個數(shù)；（3）設，，求證：.（1）解：當時，，則，又，則曲線在處的切線方程；（2）解：的定義域為，則，因，故，由可得或，當時，，則在上單調(diào)遞增，故函數(shù)無極值點；當時，，由可得或；由可得，即函數(shù)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減.故當時，函數(shù)取得極大值，當時，函數(shù)取得極小值.綜上，當時，函數(shù)無極值點；當時，函數(shù)有2個極值點.（3）證明：由可得，兩邊取對數(shù)，即，.由（2）知，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，故當時，，即lnx+1+4x+2-2>0當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故當時，，即，也即.下面用數(shù)學歸納法證明：.①當時，，結論成立；②假設當時，結論成立，即.則當時，；又，即當時，有，結論成立.由①②可得，對，都成立.安徽省江淮十校2025屆高三下學期4月聯(lián)考數(shù)學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，即，解得，所以，又，所以.故選：C2.已知復數(shù)（其中為虛數(shù)單位），則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，所以.故選：D3.已知非零向量，，且，則在上的投影向量為（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】因為，所以，即，所以在上的投影向量為.故選：C4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，又，所以.故選：A5.在直棱柱中，，且，N是棱上的一點，且滿足，則的最小值為（）A. B.6 C.3 D.【答案】B【解析】設，，，則，，由，因，，則，代入整理得，，顯然，故，因，故當時，取得最大值，此時取得最小值為36，故的最小值為為6.故選：B.6.下列關于函數(shù)說法正確的是（）A.是函數(shù)圖象的一個對稱中心 B.的值域為C.在區(qū)間上單調(diào)遞減 D.直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸【答案】B【解析】令，即，解得；所以當時，由，所以，所以；令，即，解得；所以當時，由，所以，所以；綜上可得，且的值域為，故B正確；作出函數(shù)的大致圖象：由圖可知不是中心對稱圖形，即沒有對稱中心，故A錯誤；因為，，，由圖可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則在上不單調(diào)，故C錯誤；的對稱軸為，故D錯誤；故選：B7.的展開式的常數(shù)項是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】的展開式通項為：，由得，所以的常數(shù)項系數(shù)為；由得，所以的項系數(shù)為，所以的展開式的常數(shù)項是,故選D.8已知，且，，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】因為，兩邊同除以，得，即，①因為，兩邊同除以，得，即，整理得，②由①②可構造函數(shù)，顯然該函數(shù)是上的增函數(shù)，于是根據(jù)①②知，所以，因此．故選：B．二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列說法正確的是（）A.若一組數(shù)據(jù)的方差為，則所有數(shù)據(jù)都相同B.在對兩個分類變量進行獨立性檢驗時，如果列聯(lián)表中所有數(shù)據(jù)都縮小為原來的十分之一，在相同的檢驗標準下，再去判斷兩變量的關聯(lián)性時，結論不會發(fā)生改變C.已知一組樣本點的經(jīng)驗回歸方程為，若其中兩個樣本點和的殘差相等，則D.已知一組數(shù)據(jù)為1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，則它的第70百分位數(shù)為7【答案】AC【解析】對于A：若一組數(shù)據(jù)的方差為，所以所有數(shù)據(jù)都相同，故A正確；對于B：若原數(shù)據(jù)的卡方記作，即，則新數(shù)據(jù)的卡方記作，則，所以結論可能會發(fā)生改變，故B錯誤；對于C：依題意，所以，故C正確；對于D：因為，所以第70百分位數(shù)為，故D錯誤.故選：AC10.設、是曲線上兩個不同的點，則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】對于選項，構造點，點恒在的上方，則，即，故A正確，B錯誤；對于選項C，構造，則，點，點恒在的上方，則，兩邊取對數(shù)得，即，故C正確；刈于選項D，構造，則，點，點恒在的上方，則，兩邊取對數(shù)得，即，故D正確；故選：ACD．11.雙紐線，也稱伯努利雙紐線，伯努利雙紐線的描述首見于1694年，雅各布·伯努利將其作為橢圓的一種類比來處理，橢圓是由到兩個定點距離之和為定值的點的軌跡，而卡西尼卵形線則是由到兩定點距離之積為定值的點的軌跡，當此定值使得軌跡經(jīng)過兩定點的中點時，軌跡便為伯努利雙紐線.曲線C：是雙紐線，則下列結論正確的是（）A.已知，，則曲線C上滿足的點P有且只有一個B.曲線C經(jīng)過4個整點（橫、縱坐標均為整數(shù)的點）C.若直線與曲線C只有一個交點，則實數(shù)k的取值范圍為D.曲線C上任意一點到坐標原點的距離都不超過2【答案】ACD【解析】對于A項,點P滿足,則點P在y軸上，將代入方程，得，即，解得，得唯一交點為，故A項正確；對于B項,令，解得：或或，當時，無解.所以曲線C經(jīng)過整點，故B項錯誤；對于C項,因為直線與曲線必有公共點，聯(lián)立，可得，由題意可知，解得或，即實數(shù)的取值范圍是.故C項正確；對于D項,根據(jù)曲線C：，可知，所以雙曲線C上任意一點到坐標原點O的距離都不超過2，故D項正確.故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.設雙曲線：的兩條漸近線的傾斜角分別為，，若，則C的離心率為______.【答案】【解析】因為，，所以，雙曲線：的兩條漸近線方程分別為，若，則的傾斜角為，的傾斜角為，即，解得，則C的離心率為.故答案為：.13.已知，關于的不等式對任意恒成立，則的取值范圍是______.【答案】【解析】因為關于的不等式對任意恒成立，所以對任意恒成立，令，則，所以當時，當時，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，即恒成立（當且僅當時取等號），所以（當且僅當時取等號），所以（當且僅當時取等號），所以，即的取值范圍是.(令，則，，所以在上存在零點).故答案為：14.已知表示不超過的最大整數(shù)，記，設，且，當時，所有滿足條件的n的和等于________.【答案】341381【解析】由于分母的最小公倍數(shù)為6，故可先考慮時滿足的的值的情況.當時，，不滿足；當時，，不滿足；當時，，不滿足；當時，,不滿足；當時，，滿足；當時，，不滿足.綜上，滿足題意的可以表示為的形式，由，可得，，即所有滿足條件的構成等差數(shù)列，其首項為5，末項為2021，項數(shù)為337，故當時，所有滿足條件n的和等于.故答案為：341381.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在中，三個角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，點在邊上，且，.（1）求；（2）若，點在線段上，當為銳角三角形，求的取值范圍.解：（1）∵，∴記點到的距離為，則，∴，，，∴．∴，又，∴．（2）由（1）知，，，∴．設．在中，由正弦定理可得，∴，則，，∴∵為銳角三角形，，解得，又，在均為遞增函數(shù)，且函數(shù)值均為正數(shù)，又在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，當時，當時，所以，故．16.如圖，四邊形是圓所有內(nèi)接四邊形中面積最大的四邊形，為平面外一點，且，，是的中點.（1）證明平面；（2）求二面角的余弦值.（1）證明：設圓的半徑為，所以，當且僅當時取等號．所以當為正方形時，面積最大，所以，交于點，連接，因為為中點，E為中點，所以，又平面，平面，所以平面；（2）解：因為，，所以，，，所以為正三角形，所以，又因為，，，平面，所以平面，又平面，所以．又因為，所以，又，平面，所以平面，因為平面，平面，所以，連接，又，，平面，所以平面，平面，所以，所以為的平面角，又，，所以，所以，所以二面角的余弦值為.17.2023年華為盤古氣象大模型實現(xiàn)秒級預測全球天氣，突破了傳統(tǒng)NWP算力瓶頸，代表了AI在科學計算（AIforScience）的重要突破，推動了全球氣象行業(yè)的智能化升級.未來天氣預報或?qū)⑦M入“分鐘級、街道級”的精準時代.現(xiàn)某城市根據(jù)氣象數(shù)據(jù)有兩種天氣狀態(tài)：晴天（S）和雨天（R），變化規(guī)律預測如下：①如果今天是晴天，明天有80%的概率仍然是晴天，20%的概率會下雨；②如果今天是雨天，明天有60%的概率仍然是雨天，40%的概率會轉晴.假設今天天氣是晴天，回答以下問題：（1）從明天開始接下來的三天中，天氣是晴天的天數(shù)用隨機變量X表示