高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1福建省龍巖市2025屆高三下學(xué)期5月教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知向量，，且向量與的夾角為，則（）A1 B.2 C.3 D.【答案】B【解析】因?yàn)橄蛄?，，且向量與的夾角為，所以，化簡(jiǎn)所以，則.故選：B.2.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，由，所以，所以，所以，所?故選：C3.甲、乙、丙三家公司生產(chǎn)同一種產(chǎn)品．三家公司的市場(chǎng)占有率如圖所示，且甲、乙、丙三家公司產(chǎn)品的次品率分別為、和．若市場(chǎng)上該產(chǎn)品的次品率為，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】設(shè)從出廠產(chǎn)品中任取一件，它是次品為事件，則，解得.故選：C4.若函數(shù)的圖像向左平移后得到一個(gè)奇函數(shù)的圖像，則的最小值為（）A. B.1 C. D.3【答案】A【解析】函數(shù)的圖像向左平移后得，為奇函數(shù)，所以，又，所以，故選：A．5.已知正四棱臺(tái)的上，下底面邊長(zhǎng)分別為和．若該棱臺(tái)的體積為，則該棱臺(tái)的外接球表面積為（）.A. B. C. D.【答案】C【解析】在正四棱臺(tái)中，，，體積為，高為，故，則，，連接、相交于點(diǎn)，、相交于點(diǎn)，設(shè)外接球的球心為，若在臺(tái)體外，設(shè)到底面的距離為，則半徑為，即，解得，所以球心與點(diǎn)重合，若在臺(tái)體內(nèi)，到底面的距離為，則半徑為，即，解得，所以球心與點(diǎn)重合，綜上所述，，故，所以.故選：C.6.已知，當(dāng)時(shí)，有，則必有（）A. B.C. D.【答案】D【解析】畫出的圖象：對(duì)于A，不能同時(shí)成立，因?yàn)闀r(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，得不到，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，如圖，當(dāng)時(shí)，有，則可能小于零，也可能大于零，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，如圖，當(dāng)時(shí)，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由圖象可知，，所以，又，所以，所以，故D正確故選：D.7.已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，為坐標(biāo)原點(diǎn)．若橢圓上的點(diǎn)滿足，，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如圖，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，由，知，所以，而，所以，則，由橢圓定義知，，即，所以橢圓的離心率為.故選：A8.已知函數(shù)（且），是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為．實(shí)數(shù)，滿足，，當(dāng)時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，知分別為的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.，，則當(dāng)時(shí)，，若且時(shí)，，與矛盾，不符合題意，故.令，該方程有兩個(gè)不同的解，則函數(shù)圖象在R上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，作出函數(shù)圖象，如圖，設(shè)過(guò)原點(diǎn)且與曲線相切的直線為，切點(diǎn)為，則，所以，解得，此時(shí)切線的斜率為，要使函數(shù)圖象在R上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，需，由，解得．故選：B．二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知復(fù)數(shù)，則（）A.復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)為2B.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限C.復(fù)數(shù)是方程在復(fù)數(shù)集內(nèi)的解D.若復(fù)數(shù)滿足，則【答案】ACD【解析】對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)為，在第四象限，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，將代入方程，得，故C正確；對(duì)于D，設(shè)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)向量為，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量為，由得，，對(duì)應(yīng)點(diǎn)在圓心為半徑為1的圓上，所以，即，故D正確；故選：ACD．10.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（）A.若是等差數(shù)列，則，，成等差數(shù)列B.若是等比數(shù)列，則，，成等比數(shù)列C.若，且，則存在數(shù)列，使得D.若，且，則存在，使得【答案】AC【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，因?yàn)椋?，則所以，，，成等差數(shù)列，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：例如，則，可得，，不成等比數(shù)列，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：例如周期數(shù)列，滿足，且，此時(shí)，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)?，且，所以該?shù)列的項(xiàng)奇偶交替，且為整數(shù)，而前項(xiàng)包含個(gè)奇數(shù)，個(gè)偶數(shù)，這些項(xiàng)的和為奇數(shù)，而為偶數(shù)，矛盾，故D錯(cuò)誤；故選：AC11.已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，，左、右頂點(diǎn)分別為，．為雙曲線在第一象限上的點(diǎn)，設(shè)，的斜率分別為，，且．過(guò)點(diǎn)作雙曲線的切線與雙曲線的漸近線交于，兩點(diǎn)，則（）A.的值隨著的增大而減小 B.雙曲線的離心率為C. D.【答案】ABD【解析】對(duì)于A，雙曲線的左頂點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，漸近線為，在中，由正弦定理可知，顯然，均為銳角且隨著的增大分別減小與增大，即，隨著的增大分別減小與增大且均為正數(shù)，的值隨著的增大而減小，故A正確；對(duì)于B，由，則，因?yàn)樽箜旤c(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，即，所以，，故B正確；對(duì)于C，顯然，且，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，可設(shè)雙曲線，在點(diǎn)處的切線方程為，聯(lián)立可得，聯(lián)立可得，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，即，故D正確；故選：ABD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12.在的展開式中，各二項(xiàng)式系數(shù)的和與含的項(xiàng)系數(shù)之比為，則的值為______．【答案】【解析】由題可知各二項(xiàng)式系數(shù)的和為，由的展開式中的，根據(jù)它們的比為可得：，故答案為：13.在中，，為邊上的點(diǎn)，且滿足，，則______．【答案】【解析】在中，，由余弦定理得出，在中，，所以，則．故答案為：14.棱長(zhǎng)均為的四面體的頂點(diǎn)分別在四個(gè)互相平行的平面上．若相鄰兩平行平面的距離都為，則的值為______．【答案】【解析】在正方體中作出正四面體，作其中過(guò)，，三個(gè)頂點(diǎn)的互相平行的平面，如圖:由于相鄰兩平行平面間距離都相等，不妨求平面與平面間的距離，其中，，，為正方體棱上的中點(diǎn)，過(guò)作于，則即為兩平行平面間的距離，因?yàn)?，所以，所以，即相鄰平行平面間的距離為.故答案為：．四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.某項(xiàng)科研活動(dòng)共進(jìn)行了5次試驗(yàn)，其數(shù)據(jù)如下表所示：特征量第1次第2次第3次第4次第次2589111210887（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，計(jì)算相關(guān)系數(shù)；（2）求特征量關(guān)于的線性回歸方程，并預(yù)測(cè)當(dāng)特征量為12時(shí)特征量的值．參考公式：相關(guān)系數(shù)，．參考數(shù)據(jù)：，，．解：（1）由題意得，，，，，相關(guān)系數(shù)．（2）由（1）知，，，所求的線性回歸方程是．當(dāng)特征量為12時(shí)，可預(yù)測(cè)特征量．16.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．解：（1）由，，得，又，數(shù)列是首項(xiàng)為，公差的等差數(shù)列，，即，當(dāng)時(shí)，，且也滿足，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為；（2）由（1）得，.17.如圖，在四棱錐中，平面，，，，，，分別為，的中點(diǎn)．（1）設(shè)，且，，，四點(diǎn)共面，求實(shí)數(shù)的值；（2）若平面和平面所成角的余弦值為，求三棱錐的體積．解：（1）方法一：坐標(biāo)法（利用共面向量基本定理）在平面內(nèi)作，以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，，，，，，，，又，分別為，的中點(diǎn)，，，，，，共面，存在實(shí)數(shù)，，使得，即，，解得；方法二：坐標(biāo)法（利用法向量）在平面內(nèi)作，以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，，，，，，，，，又，分別為，的中點(diǎn)，，，設(shè)平面的法向量為，，，令得，，又，，共面，，解得；方法三：幾何法：延長(zhǎng)交于，連接，，分別為，的中點(diǎn)，，平面，平面，平面，又平面平面，，，又，四邊形是平行四邊形，，，過(guò)作交于，，又，；（2）方法一：由（1）得，又，，設(shè)平面的法向量為，，解得，令得，，設(shè)平面和平面所成的角為，，整理得，，，即；方法一：利用向量法求三棱錐的高，平面的法向量為，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，，平面，又平面，，又，，、平面，平面，又，分別為，的中點(diǎn)，，，平面，又平面，，又，，，則，所以；方法二：幾何法：，分別為，的中點(diǎn)，，平面，平面，平面，，，平面，，.18.已知曲線，點(diǎn)為曲線的焦點(diǎn)，點(diǎn)為曲線上一點(diǎn)，且．（1）求曲線的方程；（2）設(shè)曲線，若過(guò)點(diǎn)的直線與曲線，從左到右依次相交于點(diǎn)，，，．（i）證明：為定值；（ii）若直線，（為坐標(biāo)原點(diǎn)）分別交直線于點(diǎn)，，求的最小值．解：（1）因，設(shè)，則，即化簡(jiǎn)得：，解得或（舍），拋物線的方程為．（2）（i）由得，圓心，半徑為1，拋物線的焦點(diǎn)與的圓心重合，即為，顯然，直線斜率存在，設(shè)直線方程為，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立方程，消去并整理得，，由韋達(dá)定理得，．由拋物線的定義可知，，，．，即為定值1；（ii）由（i）可知：．，則直線的方程為，由可得，同理直線的方程為，由可得，，設(shè)，，，當(dāng)，即，即時(shí)，的最小值是．19.已知函數(shù)，，，…，．（1）若，，，…，，求的值；（2）若，集合，集合，為的子集，它們各有個(gè)元素，且．設(shè)，，，，…，，且，，證明：．（1）解：，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．的最小值為，又設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，，又，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，又，則，，故．（2）證明：，有一個(gè)零點(diǎn)，記，而，，則．又，且，故在上還有一個(gè)零點(diǎn)，記為，由的單調(diào)性知，恰有兩個(gè)零點(diǎn)，，且，而，為的子集，它們各有個(gè)元素，且，則至少有個(gè)元素．而的元素只可能在，，，，…，，之中，這表明它們兩兩不等，且，所以包含個(gè)正數(shù)，個(gè)負(fù)數(shù)．而，為的子集，它們各有個(gè)元素，且，則，．設(shè)包含個(gè)負(fù)數(shù)，個(gè)正數(shù)，則包含個(gè)負(fù)數(shù)，個(gè)正數(shù)，，，，.，，從而．，．設(shè)，則，設(shè)，則，單調(diào)遞增，，又，，所以．由（1）知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．，即，，.福建省龍巖市2025屆高三下學(xué)期5月教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知向量，，且向量與的夾角為，則（）A1 B.2 C.3 D.【答案】B【解析】因?yàn)橄蛄?，，且向量與的夾角為，所以，化簡(jiǎn)所以，則.故選：B.2.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，由，所以，所以，所以，所?故選：C3.甲、乙、丙三家公司生產(chǎn)同一種產(chǎn)品．三家公司的市場(chǎng)占有率如圖所示，且甲、乙、丙三家公司產(chǎn)品的次品率分別為、和．若市場(chǎng)上該產(chǎn)品的次品率為，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】設(shè)從出廠產(chǎn)品中任取一件，它是次品為事件，則，解得.故選：C4.若函數(shù)的圖像向左平移后得到一個(gè)奇函數(shù)的圖像，則的最小值為（）A. B.1 C. D.3【答案】A【解析】函數(shù)的圖像向左平移后得，為奇函數(shù)，所以，又，所以，故選：A．5.已知正四棱臺(tái)的上，下底面邊長(zhǎng)分別為和．若該棱臺(tái)的體積為，則該棱臺(tái)的外接球表面積為（）.A. B. C. D.【答案】C【解析】在正四棱臺(tái)中，，，體積為，高為，故，則，，連接、相交于點(diǎn)，、相交于點(diǎn)，設(shè)外接球的球心為，若在臺(tái)體外，設(shè)到底面的距離為，則半徑為，即，解得，所以球心與點(diǎn)重合，若在臺(tái)體內(nèi)，到底面的距離為，則半徑為，即，解得，所以球心與點(diǎn)重合，綜上所述，，故，所以.故選：C.6.已知，當(dāng)時(shí)，有，則必有（）A. B.C. D.【答案】D【解析】畫出的圖象：對(duì)于A，不能同時(shí)成立，因?yàn)闀r(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，得不到，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，如圖，當(dāng)時(shí)，有，則可能小于零，也可能大于零，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，如圖，當(dāng)時(shí)，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由圖象可知，，所以，又，所以，所以，故D正確故選：D.7.已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，為坐標(biāo)原點(diǎn)．若橢圓上的點(diǎn)滿足，，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如圖，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，由，知，所以，而，所以，則，由橢圓定義知，，即，所以橢圓的離心率為.故選：A8.已知函數(shù)（且），是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為．實(shí)數(shù)，滿足，，當(dāng)時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，知分別為的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.，，則當(dāng)時(shí)，，若且時(shí)，，與矛盾，不符合題意，故.令，該方程有兩個(gè)不同的解，則函數(shù)圖象在R上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，作出函數(shù)圖象，如圖，設(shè)過(guò)原點(diǎn)且與曲線相切的直線為，切點(diǎn)為，則，所以，解得，此時(shí)切線的斜率為，要使函數(shù)圖象在R上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，需，由，解得．故選：B．二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知復(fù)數(shù)，則（）A.復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)為2B.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限C.復(fù)數(shù)是方程在復(fù)數(shù)集內(nèi)的解D.若復(fù)數(shù)滿足，則【答案】ACD【解析】對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)為，在第四象限，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，將代入方程，得，故C正確；對(duì)于D，設(shè)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)向量為，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量為，由得，，對(duì)應(yīng)點(diǎn)在圓心為半徑為1的圓上，所以，即，故D正確；故選：ACD．10.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（）A.若是等差數(shù)列，則，，成等差數(shù)列B.若是等比數(shù)列，則，，成等比數(shù)列C.若，且，則存在數(shù)列，使得D.若，且，則存在，使得【答案】AC【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，因?yàn)?，，則所以，，，成等差數(shù)列，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：例如，則，可得，，不成等比數(shù)列，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：例如周期數(shù)列，滿足，且，此時(shí)，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)?，且，所以該?shù)列的項(xiàng)奇偶交替，且為整數(shù)，而前項(xiàng)包含個(gè)奇數(shù)，個(gè)偶數(shù)，這些項(xiàng)的和為奇數(shù)，而為偶數(shù)，矛盾，故D錯(cuò)誤；故選：AC11.已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，，左、右頂點(diǎn)分別為，．為雙曲線在第一象限上的點(diǎn)，設(shè)，的斜率分別為，，且．過(guò)點(diǎn)作雙曲線的切線與雙曲線的漸近線交于，兩點(diǎn)，則（）A.的值隨著的增大而減小 B.雙曲線的離心率為C. D.【答案】ABD【解析】對(duì)于A，雙曲線的左頂點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，漸近線為，在中，由正弦定理可知，顯然，均為銳角且隨著的增大分別減小與增大，即，隨著的增大分別減小與增大且均為正數(shù)，的值隨著的增大而減小，故A正確；對(duì)于B，由，則，因?yàn)樽箜旤c(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，即，所以，，故B正確；對(duì)于C，顯然，且，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，可設(shè)雙曲線，在點(diǎn)處的切線方程為，聯(lián)立可得，聯(lián)立可得，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，即，故D正確；故選：ABD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12.在的展開式中，各二項(xiàng)式系數(shù)的和與含的項(xiàng)系數(shù)之比為，則的值為______．【答案】【解析】由題可知各二項(xiàng)式系數(shù)的和為，由的展開式中的，根據(jù)它們的比為可得：，故答案為：13.在中，，為邊上的點(diǎn)，且滿足，，則______．【答案】【解析】在中，，由余弦定理得出，在中，，所以，則．故答案為：14.棱長(zhǎng)均為的四面體的頂點(diǎn)分別在四個(gè)互相平行的平面上．若相鄰兩平行平面的距離都為，則的值為______．【答案】【解析】在正方體中作出正四面體，作其中過(guò)，，三個(gè)頂點(diǎn)的互相平行的平面，如圖:由于相鄰兩平行平面間距離都相等，不妨求平面與平面間的距離，其中，，，為正方體棱上的中點(diǎn)，過(guò)作于，則即為兩平行平面間的距離，因?yàn)椋?，所以，即相鄰平行平面間的距離為.故答案為：．四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.某項(xiàng)科研活動(dòng)共進(jìn)行了5次試驗(yàn)，其數(shù)據(jù)如下表所示：特征量第1次第2次第3次第4次第次2589111210887（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，計(jì)算相關(guān)系數(shù)；（2）求特征量關(guān)于的線性回歸方程，并預(yù)測(cè)當(dāng)特征量為12時(shí)特征量的值．參考公式：相關(guān)系數(shù)，．參考數(shù)據(jù)：，，．解：（1）由題意得，，，，，相關(guān)系數(shù)．（2）由（1）知，，，所求的線性回歸方程是．當(dāng)特征量為12時(shí)，可預(yù)測(cè)特征量．16.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．解：（1）由，，得，又，數(shù)列是首項(xiàng)為，公差的等差數(shù)列，，即，當(dāng)時(shí)，，且也滿足，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為；（2）由（1）得，.17.如圖，在四棱錐中，平面，，，，，，分別為，的中點(diǎn)．（1）設(shè)，且，，，四點(diǎn)共面，求實(shí)數(shù)的值；（2）若平面和平面所成角的余弦值為，求三棱錐的體積．解：（1）方法一：坐標(biāo)法（利用共面向量基本定理）在平面內(nèi)作，以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，，，，，，，，又，分別為，的中點(diǎn)，，，，，，共面，存在實(shí)數(shù)，，使得，即，，解得；方法二：坐標(biāo)法（利用法向量）在平面內(nèi)作，以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，，，，，，，，，又，分別為，的中點(diǎn)，，，設(shè)平面的法向量為，，，令得，，又，，共面，，解得；方法三：幾何法：延長(zhǎng)交于，連接，，分別為，的中點(diǎn)，，平面，平面，平面，又平面平面，，，又，四邊形是平行四邊形，，，過(guò)作交于，，又，；（2）方法一：由（1）得，又，，設(shè)平面的法向量為，，解得，令得，，設(shè)平面和平面所成的角為，，整理得，，