高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省湛江市2025屆高三下學(xué)期普通高考測(cè)試（二）數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意可得：，所以．故選：A.2.已知函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，得，則，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為．故選：B.3.已知向量滿足，且，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)椋?，又，所以，解得．故選：A.4.某林業(yè)科學(xué)院培育新品種草莓，新培育的草莓單果質(zhì)量（單位：g）近似服從正態(tài)分布，現(xiàn)有該新品種草莓10000個(gè)，估計(jì)其中單果質(zhì)量超過(guò)的草莓有（）附：若，則．A.228個(gè) B.456個(gè) C.1587個(gè) D.3174個(gè)【答案】C【解析】由可知，則，故其中單果質(zhì)量超過(guò)的草莓約有個(gè)．故選：C.5.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增，且．因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，且．由，可得或，解得或．即的解集為.故選：B.6.已知拋物線與直線交于，兩點(diǎn)，且線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)，，則，整理得，因?yàn)榫€段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則，從而可得，故選：D.7.若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則當(dāng)取得最大值時(shí)，（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，其中,且為銳角，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，所以，則的最大值為，此時(shí)．故選：D.8.已知正方體的棱長(zhǎng)為，以頂點(diǎn)A為球心，為半徑的球的球面與正方體的表面的交線總長(zhǎng)為（）A B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為，則表面上的點(diǎn)到點(diǎn)A的最大距離為，所以以頂點(diǎn)A為球心，為半徑的球的球面與這三個(gè)表面沒(méi)有公共點(diǎn)．如圖，若球面與表面的公共點(diǎn)為P，因?yàn)?，則，由，可得，同理可得，則，可知P的運(yùn)動(dòng)軌跡是以D為圓心，2為半徑的圓與表面的交線都是圓心角為，半徑為2的圓弧，同理可得球面與表面的交線也都是圓心角為，半徑為2的圓弧，所以交線總長(zhǎng)為．故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知復(fù)數(shù)，則下列復(fù)數(shù)為純虛數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】因?yàn)?，則，．為純虛數(shù)的是，，.故選：BCD．10.已知銳角三角形的內(nèi)角分別為，，，則（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】因?yàn)闉殇J角三角形，所以，則，從而,A選項(xiàng)正確；由，得，則，則，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；由，可得，則當(dāng)時(shí)，，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；由，得，則，從而，D選項(xiàng)正確；故選：AD.11.在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)P在直線上的射影為點(diǎn)Q，且．記P的軌跡為曲線C，則下列結(jié)論正確的是（）A.C關(guān)于直線l對(duì)稱B.C上存在點(diǎn)，使得C.的最小值為D.若C與兩條坐標(biāo)箱的正半軸所圍成的面積為S，則【答案】ABD【解析】設(shè)，則．由，得，即．關(guān)于l對(duì)稱的點(diǎn)為，也滿足方程，故C關(guān)于直線l對(duì)稱，A正確．顯然點(diǎn)在C上，且滿足，B正確．因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，整理得，從而，C不正確．記C在第一象限內(nèi)的部分為曲線D，設(shè)為D上任意一點(diǎn)，則，由，得，即，故點(diǎn)B在直線的上方或在的下方（不重合），從而．假設(shè)，則由，可得，則，則，則，這與假設(shè)矛盾，故D在直線的上方，從而，故，D正確．故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知雙曲線的離心率為，則_____________．【答案】3【解析】由雙曲線，得，所以雙曲線C的離心率為，所以，解得故答案為：.13.4名醫(yī)生和2名護(hù)士站成一排，要求2名護(hù)士不相鄰，且醫(yī)生甲不站在隊(duì)伍的最左端，則不同的站法共有_____________種．【答案】408【解析】若醫(yī)生甲不站在醫(yī)生的最左端則有種不同的站法，若醫(yī)生甲站在醫(yī)生的最左端，則有種不同的站法，故不同的站法共有種．故答案為：408.14.將數(shù)列與中所有的項(xiàng)去掉它們的公共項(xiàng)后，剩余的項(xiàng)從小到大排序得到數(shù)列，則_____________，的前202項(xiàng)和為_____________．【答案】①.14②.49609【解析】與的公共項(xiàng)為，去掉它們的公共項(xiàng)后，剩余的項(xiàng)從小到大排序?yàn)?，5，11，12，14，16，17，23，24，26，28，29，35，…，所以，且每?jī)蓚€(gè)相鄰的公共項(xiàng)之間有5項(xiàng)，分別求和，，，，…，可以看到這5項(xiàng)的和為一項(xiàng)構(gòu)成的新數(shù)列是首項(xiàng)為70，公差為60的等差數(shù)列．因?yàn)椋缘那?02項(xiàng)和為．故答案為：14，49600四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.為了研究觀眾對(duì)某檔節(jié)目的喜愛情況與性別的關(guān)聯(lián)性，分別調(diào)查了該檔節(jié)目男、女觀眾各100人，發(fā)現(xiàn)共有70名觀眾喜愛該檔節(jié)目，且不喜愛該檔節(jié)目的女性觀眾數(shù)是喜愛該檔節(jié)目的男性觀眾數(shù)的2倍．（1）根據(jù)題中信息，完成下面列聯(lián)表；單位：人性別喜愛情況合計(jì)喜愛不喜愛男女合計(jì)（2）根據(jù)（1）中的列聯(lián)表，依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為觀眾對(duì)該檔節(jié)目的喜愛情況與性別有關(guān)？附：．0.10.050.012.7063.8416.635解：（1）設(shè)喜愛該檔節(jié)目的男性觀眾數(shù)為x，則喜愛該檔節(jié)目的女性觀眾數(shù)為，不喜愛該檔節(jié)目的女性觀眾數(shù)為，則，得．故列聯(lián)表完成如下．單位：人性別喜愛情況合計(jì)喜愛不喜愛男3070100女4060100合計(jì)70130200（2）零假設(shè)為：觀眾對(duì)該檔節(jié)目的喜愛情況與性別無(wú)關(guān)．根據(jù)（1）中列聯(lián)表的數(shù)據(jù)，計(jì)算得到．根據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒(méi)有充分證據(jù)推斷不成立，因此可以認(rèn)為成立，即認(rèn)為觀眾對(duì)該檔節(jié)目的喜愛情況與性別無(wú)關(guān)．16.如圖，在四棱錐中，是正三角形，四邊形是正方形，平面為的中點(diǎn)．（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值．（1）證明：連接，記的中點(diǎn)為G，連接．因?yàn)槠矫?，所以．由是正三角形，四邊形是正方形，F(xiàn)為的中點(diǎn)，易得，則．因?yàn)镚是的中點(diǎn)，所以．又，所以．因，平面，所以平面，從而．（2）解：記的中點(diǎn)為O，連接，則．以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線為x軸，所在的直線為y軸，過(guò)點(diǎn)O且與平行的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．不妨令，則，．設(shè)平面的法向量為，由得令，得，則．設(shè)直線與平面所成的角為，則．故直線與平面所成角正弦值為.17.已知函數(shù)．（1）若，求的極值；（2）若，討論的單調(diào)性．解：（1）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?，則．當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減．故當(dāng)時(shí)，取得極大值，無(wú)極小值．（2）由，得．令，得或．若，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減．若，則，當(dāng)和時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．若，則在上恒成立，單調(diào)遞減．綜上所述，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為和；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞增區(qū)間．18.已知，若正項(xiàng)數(shù)列滿足，則稱為“上界m數(shù)列”．（1）若，判斷數(shù)列是否為“上界1數(shù)列”，并說(shuō)明理由；（2）若數(shù)列是“上界m數(shù)列”，求m的最小值；（3）若，且．證明：數(shù)列是“上界1數(shù)列”．（1）解：由題可知，，因?yàn)?，所以，則，則，從而不是“上界1數(shù)列”．（2）解：因?yàn)椋謹(jǐn)?shù)列是“上界m數(shù)列”，所以恒成立．又，所以，即m的最小值為2．（3）證明：因?yàn)?，所以，，則，從而．要證數(shù)列是“上界1數(shù)列”，需證，當(dāng)時(shí)，由，得．當(dāng)時(shí)，由，得，則，整理得，則，則，即．因?yàn)椋?，則，則，從而，所以數(shù)列是“上界1數(shù)列”．19.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為是圓上一點(diǎn)，線段與C交于點(diǎn)Q，且．（1）求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，記O為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為N，C的左頂點(diǎn)為D．（i）求面積的最大值；（ii）若的外心為M，直線的斜率為，直線的斜率為，試判斷是否為定值．若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）由，整理得，則該圓是以為圓心，6為半徑的圓．因?yàn)镻是圓上一點(diǎn)，線段與C交于點(diǎn)Q，且，所以，即，解得．由題可知，則，故C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）（i）當(dāng)點(diǎn)的直線斜率不存在時(shí)，重合，此時(shí)不存在，不合要求，當(dāng)點(diǎn)的直線斜率為0時(shí)，重合，此時(shí)不存在，不合要求，直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線的方程為．聯(lián)立整理得，則，則線段的中點(diǎn)N的坐標(biāo)為．設(shè)面積為S，則．因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，即面積的最大值為．（ii）為定值9，理由如下：設(shè)，顯然為外接圓圓心，故可設(shè)外接圓的方程為．因?yàn)樵谕饨訄A上，所以，故，故外接圓的方程為．聯(lián)立，整理得，則．因?yàn)?，故，解得．故，為定值．廣東省湛江市2025屆高三下學(xué)期普通高考測(cè)試（二）數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意可得：，所以．故選：A.2.已知函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，得，則，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為．故選：B.3.已知向量滿足，且，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，又，所以，解得．故選：A.4.某林業(yè)科學(xué)院培育新品種草莓，新培育的草莓單果質(zhì)量（單位：g）近似服從正態(tài)分布，現(xiàn)有該新品種草莓10000個(gè)，估計(jì)其中單果質(zhì)量超過(guò)的草莓有（）附：若，則．A.228個(gè) B.456個(gè) C.1587個(gè) D.3174個(gè)【答案】C【解析】由可知，則，故其中單果質(zhì)量超過(guò)的草莓約有個(gè)．故選：C.5.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)椋栽谏蠁握{(diào)遞增，且．因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，且．由，可得或，解得或．即的解集為.故選：B.6.已知拋物線與直線交于，兩點(diǎn)，且線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)，，則，整理得，因?yàn)榫€段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則，從而可得，故選：D.7.若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則當(dāng)取得最大值時(shí)，（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，其中,且為銳角，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，所以，則的最大值為，此時(shí)．故選：D.8.已知正方體的棱長(zhǎng)為，以頂點(diǎn)A為球心，為半徑的球的球面與正方體的表面的交線總長(zhǎng)為（）A B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為，則表面上的點(diǎn)到點(diǎn)A的最大距離為，所以以頂點(diǎn)A為球心，為半徑的球的球面與這三個(gè)表面沒(méi)有公共點(diǎn)．如圖，若球面與表面的公共點(diǎn)為P，因?yàn)椋瑒t，由，可得，同理可得，則，可知P的運(yùn)動(dòng)軌跡是以D為圓心，2為半徑的圓與表面的交線都是圓心角為，半徑為2的圓弧，同理可得球面與表面的交線也都是圓心角為，半徑為2的圓弧，所以交線總長(zhǎng)為．故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知復(fù)數(shù)，則下列復(fù)數(shù)為純虛數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】因?yàn)?，則，．為純虛數(shù)的是，，.故選：BCD．10.已知銳角三角形的內(nèi)角分別為，，，則（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】因?yàn)闉殇J角三角形，所以，則，從而,A選項(xiàng)正確；由，得，則，則，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；由，可得，則當(dāng)時(shí)，，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；由，得，則，從而，D選項(xiàng)正確；故選：AD.11.在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)P在直線上的射影為點(diǎn)Q，且．記P的軌跡為曲線C，則下列結(jié)論正確的是（）A.C關(guān)于直線l對(duì)稱B.C上存在點(diǎn)，使得C.的最小值為D.若C與兩條坐標(biāo)箱的正半軸所圍成的面積為S，則【答案】ABD【解析】設(shè)，則．由，得，即．關(guān)于l對(duì)稱的點(diǎn)為，也滿足方程，故C關(guān)于直線l對(duì)稱，A正確．顯然點(diǎn)在C上，且滿足，B正確．因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，整理得，從而，C不正確．記C在第一象限內(nèi)的部分為曲線D，設(shè)為D上任意一點(diǎn)，則，由，得，即，故點(diǎn)B在直線的上方或在的下方（不重合），從而．假設(shè)，則由，可得，則，則，則，這與假設(shè)矛盾，故D在直線的上方，從而，故，D正確．故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知雙曲線的離心率為，則_____________．【答案】3【解析】由雙曲線，得，所以雙曲線C的離心率為，所以，解得故答案為：.13.4名醫(yī)生和2名護(hù)士站成一排，要求2名護(hù)士不相鄰，且醫(yī)生甲不站在隊(duì)伍的最左端，則不同的站法共有_____________種．【答案】408【解析】若醫(yī)生甲不站在醫(yī)生的最左端則有種不同的站法，若醫(yī)生甲站在醫(yī)生的最左端，則有種不同的站法，故不同的站法共有種．故答案為：408.14.將數(shù)列與中所有的項(xiàng)去掉它們的公共項(xiàng)后，剩余的項(xiàng)從小到大排序得到數(shù)列，則_____________，的前202項(xiàng)和為_____________．【答案】①.14②.49609【解析】與的公共項(xiàng)為，去掉它們的公共項(xiàng)后，剩余的項(xiàng)從小到大排序?yàn)?，5，11，12，14，16，17，23，24，26，28，29，35，…，所以，且每?jī)蓚€(gè)相鄰的公共項(xiàng)之間有5項(xiàng)，分別求和，，，，…，可以看到這5項(xiàng)的和為一項(xiàng)構(gòu)成的新數(shù)列是首項(xiàng)為70，公差為60的等差數(shù)列．因?yàn)?，所以的?02項(xiàng)和為．故答案為：14，49600四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.為了研究觀眾對(duì)某檔節(jié)目的喜愛情況與性別的關(guān)聯(lián)性，分別調(diào)查了該檔節(jié)目男、女觀眾各100人，發(fā)現(xiàn)共有70名觀眾喜愛該檔節(jié)目，且不喜愛該檔節(jié)目的女性觀眾數(shù)是喜愛該檔節(jié)目的男性觀眾數(shù)的2倍．（1）根據(jù)題中信息，完成下面列聯(lián)表；單位：人性別喜愛情況合計(jì)喜愛不喜愛男女合計(jì)（2）根據(jù)（1）中的列聯(lián)表，依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為觀眾對(duì)該檔節(jié)目的喜愛情況與性別有關(guān)？附：．0.10.050.012.7063.8416.635解：（1）設(shè)喜愛該檔節(jié)目的男性觀眾數(shù)為x，則喜愛該檔節(jié)目的女性觀眾數(shù)為，不喜愛該檔節(jié)目的女性觀眾數(shù)為，則，得．故列聯(lián)表完成如下．單位：人性別喜愛情況合計(jì)喜愛不喜愛男3070100女4060100合計(jì)70130200（2）零假設(shè)為：觀眾對(duì)該檔節(jié)目的喜愛情況與性別無(wú)關(guān)．根據(jù)（1）中列聯(lián)表的數(shù)據(jù)，計(jì)算得到．根據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒(méi)有充分證據(jù)推斷不成立，因此可以認(rèn)為成立，即認(rèn)為觀眾對(duì)該檔節(jié)目的喜愛情況與性別無(wú)關(guān)．16.如圖，在四棱錐中，是正三角形，四邊形是正方形，平面為的中點(diǎn)．（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值．（1）證明：連接，記的中點(diǎn)為G，連接．因?yàn)槠矫?，所以．由是正三角形，四邊形是正方形，F(xiàn)為的中點(diǎn)，易得，則．因?yàn)镚是的中點(diǎn)，所以．又，所以．因，平面，所以平面，從而．（2）解：記的中點(diǎn)為O，連接，則．以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線為x軸，所在的直線為y軸，過(guò)點(diǎn)O且與平行的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．不妨令，則，．設(shè)平面的法向量為，由得令，得，則．設(shè)直線與平面所成的角為，則．故直線與平面所成角正弦值為.17.已知函數(shù)．（1）若，求的極值；（2）若，討論的單調(diào)性．解：（1）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?，則．當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減．故當(dāng)時(shí)，取得極大值，無(wú)極小值．（2）由，得．令，得或．若，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減．若，則，當(dāng)和時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．若，則在上恒成立，單調(diào)遞減．綜上所述，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為