高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣西2025屆高中畢業(yè)班4月適應(yīng)性測試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由，解得，所以，因?yàn)?，所?故選：B.2.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)復(fù)數(shù)，則其共軛復(fù)數(shù)，所以，則，解得.所以.故選：C.3.在公差不為0的等差數(shù)列中，若是與的等差中項(xiàng)，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)樵诠畈粸?的等差數(shù)列中，是與的等差中項(xiàng)，所以，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為.故選：.4.已知向量，，若，則在上的投影向量的坐標(biāo)為（）A B. C. D.【答案】D【解析】由，則，解得，即，所以在上的投影向量為.故選：D.5.已知，，，則，，的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】；所以故選：B.6.某校新聞社團(tuán)負(fù)責(zé)報(bào)道采訪本校田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)，社團(tuán)派出甲、乙、丙、丁四名成員到跳高、跳遠(yuǎn)、短跑三個(gè)比賽場地進(jìn)行現(xiàn)場報(bào)道，且每個(gè)場地至少安排一人，則甲不在短跑場地的不同安排的方法數(shù)為（）A.12 B.18 C.24 D.32【答案】C【解析】當(dāng)甲單獨(dú)一人進(jìn)行現(xiàn)場報(bào)道時(shí)，甲有種選擇，再將乙、丙、丁分配到其他兩個(gè)地方，情況數(shù)為，則此時(shí)總的情況數(shù)為；當(dāng)甲與人組隊(duì)進(jìn)項(xiàng)現(xiàn)場報(bào)道時(shí)，先從乙、丙、丁中選出一人與甲組隊(duì)，則情況數(shù)為，再在跳高、跳遠(yuǎn)選一個(gè)去進(jìn)行現(xiàn)場報(bào)道，則情況數(shù)為，最后剩下的兩人安排去其他兩個(gè)地方，則情況數(shù)為，所以此時(shí)總的情況數(shù)為；綜上，符合題意的情況數(shù)為.故選：C.7.已知拋物線：的焦點(diǎn)為，雙曲線：經(jīng)過點(diǎn)，且雙曲線與拋物線交于，兩點(diǎn)，若為等腰直角三角形，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】拋物線：的焦點(diǎn)為，雙曲線：經(jīng)過點(diǎn)，即點(diǎn)為雙曲線的上頂點(diǎn)，可得，即.雙曲線與拋物線交于，兩點(diǎn)，且為等腰直角三角形，設(shè)點(diǎn)，代入拋物線方程，得.將點(diǎn)代入雙曲線方程，，化簡得.則，所以漸近線方程為.故選：C.8.如圖，在棱長為的正方體中，點(diǎn)是平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡長度是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)平面，連接，，，，因?yàn)椋?，所以三棱錐為正三棱錐，因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)?，，所以平面，又平面，所以，同理可證，又，平面，所以平面，則為正三角形的中心，則，所以，因?yàn)椋?，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，即，，因?yàn)?，即，因?yàn)?，解得，所以點(diǎn)的軌跡是半徑為的圓，所以點(diǎn)的軌跡長度是.故選：.二、多項(xiàng)選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.）9.某超市在兩周內(nèi)的車?yán)遄用咳沾黉N量如下圖，根據(jù)此折線圖，下面結(jié)論正確的有（）A.這兩周的日促銷量低于200盒的比例低于50%B.這兩周的日促銷量的眾數(shù)是214C.這兩周的日促銷量的極差是195D.這兩周的日促銷量的第30百分位數(shù)是155【答案】BC【解析】對于A，日促銷量低于200盒的有：80,83,138,155,157,165,179共7個(gè)，所以日促銷量低于200盒的比例為50%，A不正確；對于B，由圖中數(shù)據(jù)可知眾數(shù)是214，B正確；對于C，由圖中數(shù)據(jù)可知極差是,C正確；對于D，由知，日促銷量的第30百分位數(shù)是從小到大排列的第5個(gè)數(shù)據(jù)，即157，D不正確.故選：BC10.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線上任意一點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于1，若直線與曲線交于不同的兩點(diǎn)，，則（）A.當(dāng)時(shí)， B.線段中點(diǎn)軌跡長度為C.的取值范圍為 D.【答案】ABD【解析】由題意，曲線為圓，如圖：對于選項(xiàng)A，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，若直線，圓心C到直線的距離為，則，故A正確；對于選項(xiàng)B，如圖線段中點(diǎn)M滿足，所以M的軌跡是以O(shè)C為直徑的圓圓C內(nèi)部部分，所以線段中點(diǎn)的軌跡長度為，故B正確；對于選項(xiàng)C，，因?yàn)辄c(diǎn)A，B不重合，所以，故C錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)D，，故D正確.故選：ABD11.已知首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列滿足，若數(shù)列前項(xiàng)和為，且，則下列結(jié)論正確的有（）A.是等差數(shù)列 B.C. D.【答案】ACD【解析】對于A，因?yàn)椋?，即等差?shù)列，A正確；對于B，設(shè)的公差為，則，即，，所以，因?yàn)椋?，解得，所以，，B不正確；對于C，由B可知，C正確；對于D，令，則，即為增函數(shù)，所以，即，所以，又，所以，D正確.故選：ACD三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）12.圓錐的軸截面是邊長為的等邊三角形，則圓錐的體積為______.【答案】【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為，母線為，高為，因?yàn)閳A錐的軸截面是邊長為的等邊三角形，所以，，，則，則這個(gè)圓錐的體積為.故答案為：.13.已知函數(shù)，若函數(shù)為偶函數(shù)，則的最大負(fù)值是______.【答案】【解析】由，則，由函數(shù)為偶函數(shù)，則軸為該函數(shù)圖象的對稱軸，即，，化簡可得，，當(dāng)時(shí)，取得最大負(fù)值為.故答案為：14.設(shè)函數(shù)，若有兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，則的最小值是______.【答案】【解析】定義域?yàn)?，，有兩個(gè)極值點(diǎn)等價(jià)于在上有兩個(gè)不等實(shí)根，，，，，；設(shè)，則，在上單調(diào)遞減，，即，的最小值為.故答案為：四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15.已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，.已知.（1）求角；（2）若，，求邊.解：（1）由，根據(jù)正弦定理，則，由，則，化簡可得，易知，則，解得.（2）由，化簡可得，解得，由余弦定理可得，解得.16.如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，，，，為線段的中點(diǎn).（1）證明：直線平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明：連接BD交AC于點(diǎn)H，連接HE.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，根據(jù)正方形對角線性質(zhì)，可知H是BD的中點(diǎn).又因?yàn)镋為線段PD的中點(diǎn)，在△PBD中，可得.由于平面ACE，平面ACE，所以直線平面ACE.（2）解：因?yàn)榈酌鍭BCD是邊長為2的正方形，所以AB⊥AD.又因?yàn)锳B⊥PD，AD∩PD=D，且AD、PD?平面PAD，所以AB⊥平面PAD.在平面PAD內(nèi)作Ax⊥AP，分別以Ax，AP，AB為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)?xyz.又底面ABCD為邊長為2的正方形，，則，，；；設(shè)平面PAC的一個(gè)法向量為，則，即，令，得，設(shè)直線AE與平面PAC所成角為θ，，即直線AE與平面PAC所成角正弦值為.17.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）對任意的，當(dāng)時(shí)，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）函數(shù)定義域?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，由得，由得.此時(shí)函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為.綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為.（2）由，化簡為，即.令，因?yàn)?，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故在上恒成立，即在上恒成立，設(shè)，，在單調(diào)遞增，所以.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.18.已知點(diǎn)和直線：，點(diǎn)到的距離，記點(diǎn)的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）過點(diǎn)作斜率不為0的直線與曲線交于，不同的兩點(diǎn)，再過點(diǎn)作直線的平行線與曲線交于不同的兩點(diǎn)，.①證明：為定值；②求面積的取值范圍.解：（1）設(shè)，由題意，，整理可得.（2）設(shè)直線方程為，則直線的方程為.聯(lián)立，得，可得.設(shè)，則.聯(lián)立，得，，設(shè)，則.①證明：因?yàn)?，所以，故為定?②因?yàn)榈拿娣e,,.設(shè)，則.由對勾函數(shù)的性質(zhì)可得，所以.19.我國廣西某自然保護(hù)區(qū)分布著國家一級(jí)保護(hù)動(dòng)物白頭葉猴，為了研究空氣質(zhì)量與白頭葉猴分布數(shù)量的相關(guān)性，將該保護(hù)區(qū)分為面積大小相近的多個(gè)區(qū)域，用簡單隨機(jī)抽樣的方法抽取其中20個(gè)區(qū)域進(jìn)行編號(hào)，統(tǒng)計(jì)抽取到每個(gè)區(qū)域的某空氣指標(biāo)和區(qū)域內(nèi)白頭葉猴分布的數(shù)量，得到數(shù)組.已知，，.（1）求樣本的相關(guān)系數(shù)；（2）假設(shè)白頭葉猴的壽命為隨機(jī)變量（可取任意正整數(shù)）.研究人員統(tǒng)計(jì)大量數(shù)據(jù)后發(fā)現(xiàn)：對于任意的，壽命為的樣本在壽命超過的樣本里的數(shù)量占比與壽命為1的樣本在全體樣本中的數(shù)量占比相同，均等于0.05，這種現(xiàn)象被稱為“幾何分布的無記憶性”.①求的表達(dá)式；②推導(dǎo)白頭葉猴壽命期望的值.附：相關(guān)系數(shù).解：（1）（2）①已知對于任意的，，，，①當(dāng)時(shí)，，②兩式相減可得：，，又，所以②設(shè)，，兩式相減得：，所以，所以白頭葉猴壽命期望.廣西2025屆高中畢業(yè)班4月適應(yīng)性測試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由，解得，所以，因?yàn)?，所?故選：B.2.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)復(fù)數(shù)，則其共軛復(fù)數(shù)，所以，則，解得.所以.故選：C.3.在公差不為0的等差數(shù)列中，若是與的等差中項(xiàng)，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)樵诠畈粸?的等差數(shù)列中，是與的等差中項(xiàng)，所以，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為.故選：.4.已知向量，，若，則在上的投影向量的坐標(biāo)為（）A B. C. D.【答案】D【解析】由，則，解得，即，所以在上的投影向量為.故選：D.5.已知，，，則，，的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】；所以故選：B.6.某校新聞社團(tuán)負(fù)責(zé)報(bào)道采訪本校田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)，社團(tuán)派出甲、乙、丙、丁四名成員到跳高、跳遠(yuǎn)、短跑三個(gè)比賽場地進(jìn)行現(xiàn)場報(bào)道，且每個(gè)場地至少安排一人，則甲不在短跑場地的不同安排的方法數(shù)為（）A.12 B.18 C.24 D.32【答案】C【解析】當(dāng)甲單獨(dú)一人進(jìn)行現(xiàn)場報(bào)道時(shí)，甲有種選擇，再將乙、丙、丁分配到其他兩個(gè)地方，情況數(shù)為，則此時(shí)總的情況數(shù)為；當(dāng)甲與人組隊(duì)進(jìn)項(xiàng)現(xiàn)場報(bào)道時(shí)，先從乙、丙、丁中選出一人與甲組隊(duì)，則情況數(shù)為，再在跳高、跳遠(yuǎn)選一個(gè)去進(jìn)行現(xiàn)場報(bào)道，則情況數(shù)為，最后剩下的兩人安排去其他兩個(gè)地方，則情況數(shù)為，所以此時(shí)總的情況數(shù)為；綜上，符合題意的情況數(shù)為.故選：C.7.已知拋物線：的焦點(diǎn)為，雙曲線：經(jīng)過點(diǎn)，且雙曲線與拋物線交于，兩點(diǎn)，若為等腰直角三角形，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】拋物線：的焦點(diǎn)為，雙曲線：經(jīng)過點(diǎn)，即點(diǎn)為雙曲線的上頂點(diǎn)，可得，即.雙曲線與拋物線交于，兩點(diǎn)，且為等腰直角三角形，設(shè)點(diǎn)，代入拋物線方程，得.將點(diǎn)代入雙曲線方程，，化簡得.則，所以漸近線方程為.故選：C.8.如圖，在棱長為的正方體中，點(diǎn)是平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡長度是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)平面，連接，，，，因?yàn)?，，所以三棱錐為正三棱錐，因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)椋?，所以平面，又平面，所以，同理可證，又，平面，所以平面，則為正三角形的中心，則，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，即，，因?yàn)椋?，因?yàn)椋獾?，所以點(diǎn)的軌跡是半徑為的圓，所以點(diǎn)的軌跡長度是.故選：.二、多項(xiàng)選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.）9.某超市在兩周內(nèi)的車?yán)遄用咳沾黉N量如下圖，根據(jù)此折線圖，下面結(jié)論正確的有（）A.這兩周的日促銷量低于200盒的比例低于50%B.這兩周的日促銷量的眾數(shù)是214C.這兩周的日促銷量的極差是195D.這兩周的日促銷量的第30百分位數(shù)是155【答案】BC【解析】對于A，日促銷量低于200盒的有：80,83,138,155,157,165,179共7個(gè)，所以日促銷量低于200盒的比例為50%，A不正確；對于B，由圖中數(shù)據(jù)可知眾數(shù)是214，B正確；對于C，由圖中數(shù)據(jù)可知極差是,C正確；對于D，由知，日促銷量的第30百分位數(shù)是從小到大排列的第5個(gè)數(shù)據(jù)，即157，D不正確.故選：BC10.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線上任意一點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于1，若直線與曲線交于不同的兩點(diǎn)，，則（）A.當(dāng)時(shí)， B.線段中點(diǎn)軌跡長度為C.的取值范圍為 D.【答案】ABD【解析】由題意，曲線為圓，如圖：對于選項(xiàng)A，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，若直線，圓心C到直線的距離為，則，故A正確；對于選項(xiàng)B，如圖線段中點(diǎn)M滿足，所以M的軌跡是以O(shè)C為直徑的圓圓C內(nèi)部部分，所以線段中點(diǎn)的軌跡長度為，故B正確；對于選項(xiàng)C，，因?yàn)辄c(diǎn)A，B不重合，所以，故C錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)D，，故D正確.故選：ABD11.已知首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列滿足，若數(shù)列前項(xiàng)和為，且，則下列結(jié)論正確的有（）A.是等差數(shù)列 B.C. D.【答案】ACD【解析】對于A，因?yàn)椋?，即等差?shù)列，A正確；對于B，設(shè)的公差為，則，即，，所以，因?yàn)?，所以，解得，所以，，B不正確；對于C，由B可知，C正確；對于D，令，則，即為增函數(shù)，所以，即，所以，又，所以，D正確.故選：ACD三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）12.圓錐的軸截面是邊長為的等邊三角形，則圓錐的體積為______.【答案】【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為，母線為，高為，因?yàn)閳A錐的軸截面是邊長為的等邊三角形，所以，，，則，則這個(gè)圓錐的體積為.故答案為：.13.已知函數(shù)，若函數(shù)為偶函數(shù)，則的最大負(fù)值是______.【答案】【解析】由，則，由函數(shù)為偶函數(shù)，則軸為該函數(shù)圖象的對稱軸，即，，化簡可得，，當(dāng)時(shí)，取得最大負(fù)值為.故答案為：14.設(shè)函數(shù)，若有兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，則的最小值是______.【答案】【解析】定義域?yàn)椋?，有兩個(gè)極值點(diǎn)等價(jià)于在上有兩個(gè)不等實(shí)根，，，，，；設(shè)，則，在上單調(diào)遞減，，即，的最小值為.故答案為：四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15.已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，.已知.（1）求角；（2）若，，求邊.解：（1）由，根據(jù)正弦定理，則，由，則，化簡可得，易知，則，解得.（2）由，化簡可得，解得，由余弦定理可得，解得.16.如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，，，，為線段的中點(diǎn).（1）證明：直線平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明：連接BD交AC于點(diǎn)H，連接HE.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，根據(jù)正方形對角線性質(zhì)，可知H是BD的中點(diǎn).又因?yàn)镋為線段PD的中點(diǎn)，在△PBD中，可得.由于平面ACE，平面ACE，所以直線平面ACE.（2）解：因?yàn)榈酌鍭BCD是邊長為2的正方形，所以AB⊥AD.又因?yàn)锳B⊥PD，AD∩PD=D，且AD、PD?平面PAD，所以AB⊥平面PAD.在平面PAD內(nèi)作Ax⊥AP，分別以Ax，AP，AB為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)?xyz.又底面ABCD為邊長為2的正方形，，則，，；；設(shè)平面PAC的一個(gè)法向量為，則，即，令，得，設(shè)直線AE與平面PAC所成角為θ，，即直線AE與平面PAC所成角正弦值為.17.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）對任意的，當(dāng)時(shí)，都有